专题四 长方体和正方体的体积-【通成学典】2025年五年级数学暑期升级训练（人教版）

82 使两组中的质因数一样,并且相同质因数的个数相 同。所以可分为169,33,14,75和143,39,30,35或 169,33,30,35和143,39,14,75。 专题三 长方体和正方体的表面积 [例题导引] 例1 解答:(6×5+6×4+5×4)×2=148(平方厘米) 6×5×4=120(平方厘米) 148+120=268(平方厘米) 例2 解答:80÷4=20(cm2) 20÷5=4(cm) 4× 4×2+40×4×4=672(cm2) [提优训练] 1. 5×2=10(厘米) (10×4+10×3+4×3)×2= 164(平方厘米) 解析:根据题意,把两个同样大小的 长方体拼成一个大长方体,有三种不同的拼法。要求 拼成的大长方体的表面积最大,应将最小的面拼在一 起,然后根据长方体的表面积计算公式解答问题。 2. (40÷2+90÷3+96÷4)×2=148(平方厘米) 解析:根据题意可知,一个长方体,如果长增加2厘 米,那么体积增加40立方厘米,即宽与高的乘积是 40÷2=20(平方厘米);如果宽增加3厘米,那么体积 增加90立方厘米,即长与高的乘积是90÷3=30(平 方厘米);如果高增加4厘米,那么体积增加96立方 厘米,即长与宽的乘积是96÷4=24(平方厘米)。最 后根据长方体的表面积计算公式进行解答。 3. 48÷4=12(平方厘米) 12÷3=4(厘米) 4-3= 1(厘米) 4×1×4+4×4×2=48(平方厘米) 解析:根据题意可知,一个长方体,如果高增加3厘 米,那么它就变成一个正方体,说明长和宽相等,且比 高长3厘米,因此表面积增加的48平方厘米是4个同 样的长方形的面积之和。可以先求出1个长方形的 面积是48÷4=12(平方厘米),再求出长方体的长 (宽)是12÷3=4(厘米),由于长(宽)比高长3厘米, 故高是4-3=1(厘米),从而可以求出原来长方体的 表面积。 4. 有三种方法 ① 从顶点上挖掉小正方体,剩余物 体的表面积是4×4×6=96(平方厘米) ② 从棱上 挖掉小正方体,剩余物体的表面积是4×4×6+1× 1×2=98(平方厘米) ③ 从面的中间挖掉小正方体, 剩余物体的表面积是4×4×6+1×1×4=100(平方 厘米) 5. A方案:2×2=4(分米) 4×2×4+4×4×2= 64(平方分米) B方案:2×4=8(分米) 8×2×4+ 2×2×2=72(平方分米) 64<72 A方案比较节省 包装纸,至少需要64平方分米的包装纸 专题四 长方体和正方体的体积 [例题导引] 例1 解答:8×8×8÷(16×4)=8(cm) 例2 解答:168÷4÷6=7(cm) 7+6=13(cm) 7×7×13=637(cm3) [提优训练] 1. 8×8×8÷(4×4)=32(dm) 2. 20÷4×(2×3)=30(立方米) 3. 96÷6×(6×4)=384(m3) 4. 80÷4÷2=10(cm) 10×10×(10-2)= 800(cm3) 5. 8×4×4.5÷(6×4)=6(分米) 解析:根据题意可 知,无论横放还是竖放,玻璃缸里水的体积不变,先求 出玻璃缸里水的体积,然后用水的体积除以竖放时玻 璃缸的底面积,即可求出竖放时玻璃缸里的水深。 专题五 分数基本性质的应用 [例题导引] 例1 解答:5×[(12+36)÷12]-5=15 例2 解答:23+19=42 1+5=6 42÷6=7 1×7 5×7= 7 35 7 35-19= 7 16 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)五年级 欧几里得,古希腊数学家,被称为“几何之父”,著有《几何原本》,是世界上最早的公理 化数学著作。 采蜜角 27 专题四 长方体和正方体的体积 立体图形所占空间的大小叫作它的体积。在计算有关长方体和正方体的体积时,常常会 遇到物体的形状发生变化,体积却不变的问题,解决这类问题的关键是学会转化,利用体积不 变的特性进行求解;也经常会遇到根据长方体或正方体的表面积变化计算体积的问题。 类型一 两个物体体积相等的问题 例1 手工制作课上,小明将一块棱长是8cm 的正方体橡皮泥捏成一块长 16cm、宽4cm的 长方体橡皮泥(如图)。这块长方体橡皮泥的 高是多少厘米? (损耗忽略不计) 点拨:解答本题的关键在于明确将正方体橡皮 泥捏成长方体橡皮泥后,形状改变 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,体积不变 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 。 因此要先求出正方体橡皮泥的体积(即长方体 橡皮泥的体积),再逆用长方体的体积计算公 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 式 􀪍 求出长方体橡皮泥的高。 解答: 形状改变而体积不变的问题 解决此类问题时,要抓住题中的不变量“体 积”,先运用体积计算公式求出物体的体积,再逆 用体积计算公式求出变化后的量。 类型二 通过表面积的变化求体积 例2 将一个长方体的高减少6cm,就变成一 个正方体(如下图),正方体的表面积比原来长 方体的表面积减少了168cm2。原来长方体的 体积是多少立方厘米? 点拨:由题意可知,原来长方体的上、下面是正 􀪍 方形 􀪍􀪍 ,即原来长方体的长和宽相等 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,前、后、左、 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 右4个面的面积也相等􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 。所以表面积减少的 168cm2 相当于高是6cm的长方体的前、后、 左、右4个相同面的面积之和,由此可以求出 原来长方体的长和宽,进而得出原来长方体的 高,最后根据长方体的体积计算公式V=abh􀪍􀪍􀪍􀪍 求出原来长方体的体积。 解答: 截去部分后物体的表面积减少的问题 长方体或正方体沿截面被截去一段 (如图),减少的那部分表面积等于截去部 分前、后、左、右4个面的面积和。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 整合提优 评价苑 用时：　　　分钟　　　　自我评价：☆☆☆☆☆28 1. 把一个棱长为8dm 的正方体铁块熔铸成一个长方体铁块,它的横截面是边长为4dm的正方 形。这个长方体铁块的长为多少分米? (损耗忽略不计) 2. 如图,将一个长方体平均截成3段,每段的长是2米,表面积增加了20平方米。原来长方体的 体积是多少立方米? 3. 如图,将四个长是6m的小长方体拼成一个大长方体,表面积减少了96m2。拼成的这个大长 方体的体积是多少立方米? 4. 将一个长方体的高增加2cm,就变成一个正方体,正方体的表面积比原来长方体的表面积增 加了80cm2。原来长方体的体积是多少立方厘米? 5. 一个密封玻璃缸,从里面量,长8分米,宽4分米,高6分米,现在玻璃缸里水深4.5分米。如 果将玻璃缸竖起来(如图),那么此时玻璃缸里水深多少分米? 数学(人教版)五年级