21.3实际问题与一元二次方程（第2课时）（教学课件）数学人教版九年级上册

第二十一章 一元二次方程 第二课时 21.3实际问题与一元二次方程 学 习 目 标 1 2 3 能根据以生产成本变化为问题情境，讨论平均变化率的问题的数量关系列一元二次方程并求解，能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理。 学生通过在独立思考、解决问题的基础上进行合作讨论，用平均变化率一元二次方程模型解决身边的问题。 在分析解决问题的过程中更深入地体会一元二次方程的应用价值，体会应用数学知识的价值，提高学生学习数学的兴趣。 知识回顾 利用一元二次方程解实际问题的基本过程： 由实际问题得到数学问题, 分析问题中的已知量、未知量、等量关系， 设未知数列一元二次方程， 解一元二次方程， 检验解的合理性， 作答。 利用一元二次方程建模我们已经学会解决流感病毒两轮的传播问题、单循环比赛场次问题 利用一元二次方程建模还可以解决生产成本变化、平均变化率等生活生产中的实际问题 导入新课 探究点1 平 均 变 化 率 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大? 探究 讨 论 甲种药品的成本两年间一共降 元， 平均一年下降 元 乙种药品的成本两年间一共降 元 平均一年下降 元 5000-3000 = 2000（元） 2000 6000-3600 = 2400（元） 1200 2000÷2=1000（元） 1000 2400÷2=1200（元） 2400 乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率. 4 新知探究 探究点1 平 均 变 化 率 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大? 探究 思考 下降率是什么意思？它与下降前的量、下降后的量之间有何数量关系？ 下降率 = 下降前的量 - 下降后的量 下降前的量 下降后的量= 下降前的量（1-下降率） 探究点1 平 均 变 化 率 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大? 探究 设甲种药品的成本平均年下降率是 x 讨 论 第一次下降前的量 第二次下降前的量 （第一次下降后的量） 第二次下降后的量 5000(1 - x) 5000 5000(1 - x)2 新知探究 解：设甲种药品的年平均下降率为，根据题意： 解方程，得 根据问题的实际意义，取 0.225 即甲种药品成本的年平均下降率为22.5％. 注意 下降率不可为负，且不大于1. 探究点1 平 均 变 化 率 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大? 探究 5000(1 -)2=3000 (1 -)2=0.6 新知探究 探究点1 平 均 变 化 率 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大? 探究 设乙种药品的成本平均年下降率是 y 讨 论 下降率y 前年乙种药品成本 6000(1 - y) 第一次下降后的量 下降率y 现在乙种药品成本 去年乙种药品成本 6000(1 - y)(1 - y) 6000 新知探究 探究点1 平 均 变 化 率 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大? 探究 解：设乙种药品的成本平均年下降率是 ，由题意可得： 解方程，得 根据问题的实际意义，取 0.225 即乙种药品成本的年平均下降率为22.5％. 6000(1 -)2=3600 (1 -)2=0.6 ∴两种药品成本的年平均下降率相等 ∵ 0.225＝22.5％ 新知探究 新知探究 探究点1 平 均 变 化 率 思考 （1）为什么选择22.5％作为答案？ 经过计算,甲乙两种药品的平均下降率相同 根据问题的实际意义，成本的年下降率应是小于l的正数，所以应选取0.225，即22.5％ （2）经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗?应怎样全面地比较对象的变化状况? 成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大。成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况。 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大? 探究 典例分析 探究点1 平 均 变 化 率 例1．某书店今年3月份盛利6000元，5月份盈利7260元．该书店每月盈利的平均增长率是多少？ 增长后的量= 增长前的量（1+增长率） 分析 书店每月盈利的平均均增长率x 今年3月份盛利为 元， 今年4月份盛利为 元 今年5月份盛利为 元 依题意得， ， 6000 6000（1-x） 6000（1-x）2 6000（1-x）2=7260 答该书店每月盈利的平均均增长率是10% . 解:设该书店每月盈利的平均增长率为 ， 由题意得: 典例分析 探究点1 平 均 变 化 率 例2.某水果商场销售一种高档水果． (1)若原售价每千克50元，连续两次降价后为每千克32元，已知每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且尽可能减轻顾客负担，那么每千克应涨价多少元？ （1）解：设每次下降率为𝒙，依题意得： 答：每次下降的百分率20% . ∴ 连续两次降价等量关系 原售价（1-降价率）²=现售价 典例分析 探究点1 平 均 变 化 率 例2.某水果商场销售一种高档水果． (1)若原售价每千克50元，连续两次降价后为每千克32元，已知每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且尽可能减轻顾客负担，那么每千克应涨价多少元？ （2）解：设每千克应涨价 y元，则每千克盈利 （10+y）元， 每天可售出（500-2y） 元， 依题意得：（10+y）（500-2y）=6000 ， 整理得： y²-15y+50=0 ， 解得： y1=5，y2=10 ． 又∵尽可能减轻顾客负担，∴ y=5． 答：每千克应涨价5元． 则一次增长后的值为： ； 设开始基数为a，平均增长率为x 二次增长后的值为 ； 总结归纳 依次类推连续n次增长后的值为: . 连续两次增长或降低的增长率与降低率问题 a（1+x） 探究点1 平 均 变 化 率 a（1+x）² a（1+x）n 则一次降低后的值为： ； 设开始基数为a，平均降低率为x 二次降低后的值为： ； a（1-x） a（1-x）² a（1-x）n 依次类推连续n次降低后的值为: . 3.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( ) A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500 新知巩固 1.某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（　　） A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80 C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=100 2.某市从2022年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2022年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2024“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2023年、2024年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（　　） A．2% B．4.4% C．20% D．44% A C B 增长的基础数 增长后的数 a (1±x ) n = b 平均变化率问题 4.某电脑公司2024年的各项经营，一月份的营业额为200万元，一、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率. 新知巩固 一月份 二月份 三月份 200万 设这个增长率为x 思考 等量关系 一月份营业额＋二月份营业额＋三月份营业额＝950万元 解：设平均增长率为x,得 200+200(1+x)+200(1+x)2=950. 整理，得200x2+600x=350. 解得x1≈0.5，x2≈-3.5（舍去）. 答:这个增长率是50%. 5.“新希望杯”组委会组织开展了“一方有难，八方支援”的捐款赈灾活动．第一天组织捐款10000元，第三天组织捐款12100元，如果每天组织捐款的平均增长率相同，则前四天组织捐款的总额为多少元？ 第一天 第二天 第三天 10000元 设每天平均增长率为x 解：设每天平均增长率为x,得 整理，得： 解得： ∴每天平均增长率是10%. 新知巩固 思考 等量关系 ∴第二天捐款 第四天捐款 前四天组织捐款的总额： （元） 答：前四天组织捐款的总额为46410元 真题感知 1．（25九年级上·河南洛阳·期末）近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业．据统计从2022年底至2024年底，华东地区颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约 6.94万人增加到约8.14 万人．若设2022年底至2024年底，华东地区民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为 x，则可列出关于 的方程为（ ） A． B． C． D． 连续两次增长 2022年/万人 2023年/万人 2024年/万人 6.94 D 年平均增长率为 2．（2023·湖南郴州·中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，由题意得： ， 解得： ∴； 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为； （2）解：设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意得： ， 解得： ； ∴5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人． (2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 真题感知 课堂小结 平 均 变 化 率 a (1 ± x ) n = b 增长（或降低）的次数 增长（或降低）前的基础数 增长（或降低）的变化率 增长（或降低）后的数量 （1）1与x的位置不要调换 （2）解这类问题列出的方程一般用 直接开平方法 注意 其中增长取“+”,降低取“－” 习题21.3 7.青山村种的水稻 2010年平均每公顷产7 200 kg，2012年平均每公顷产8 450 kg.求水稻每公顷产量的年平均增长率. 解：设水稻每公顷产量的年平均增长率，由题意得： ， 解得： ∴ 答：水稻每公顷产量的年平均增长率为； 教材P22综合运用 5.一个菱形两条对角线长的和是10 cm，面积是12 cm².求菱形的周长. 解：设菱形对角线 中较短为，由题意得： 整理得： 解得： ∴ ∴ （不合题设，舍去） 菱形两条对角线分别为4cm，6cm 由勾股定理得菱形边长： a= 菱形周长：4a＝4（cm） 答：菱形的周长4. 课后练习 如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，若第n个图形需要黑色棋子的个数是440个，则n的值为（ ）. 探究性作业 A．19 B．20 C．21 D．22 解：结合图形， 第1个图形是 2×3－3＝3， 第2个图形是3×4－4＝8 第3个图形是4×5－5＝15 ， 按照这样的规律摆下去， 则第n个图形需要黑色棋子的个数是： ． ∵第n个图形需要黑色棋子的个数是440个 解得： B $$