1.1.3集合的基本运算（题型专练）数学人教B版2019必修第一册

1.1.3 集合的基本运算 题型一 并集的运算 1．（24-25高二下·云南红河·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·重庆长寿·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·天津和平·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一·全国·假期作业）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江苏连云港·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 题型二 交集的运算 7．（河北省部分名校2024-2025学年高二下学期期末联考数学试题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．（北京市东城区2024-2025学年高二下学期期末统一检测数学试卷）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 9．（北京市平谷区2024-2025学年高二下学期教学质量监控（7月期末）数学试卷）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 10．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 题型三 补集的运算 11．（24-25高一下·湖北荆门·期末）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高二下·重庆·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高二下·广西玉林·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 14．（2025高三·四川·专题练习）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 题型四 集合交、并、补的综合运算 15．（2025·山西忻州·模拟预测）已知全集，，，则（    ）． A． B． C． D． 16．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知集合，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 17．（24-25高二下·浙江温州·期中）设全集，集合，集合，集合，则等于（    ） A． B． C． D． 18．（安徽省滁州市2024-2025学年高一下学期7月期末教学质量监测数学试题）全集为，集合，或，则（   ） A． B． C． D． 19．（24-25高二下·江西赣州·期末）已知全集，集合，，则正确的关系是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高三下·重庆·阶段练习）设集合，则（    ） A． B． C． D． 题型五 韦恩图的应用 21．（25-26高一上·全国·课后作业）设为全集，，，都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25高一上·四川眉山·期中）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 23．（2025·广东佛山·二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ）    A． B． C． D． 24．（24-25高二下·重庆·期末）已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 25．（24-25高一上·全国·课前预习）已知表示集合和关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 26．（2024·山西太原·一模）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 题型一 集合运算的求参问题 1．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知集合，，若，则（ ） A． B． C． D． 2．（2025·山东威海·三模）已知集合，若，则（    ） A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或1 3．（2025·北京海淀·二模）已知集合．若，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．（2025·湖南长沙·一模）已知集合，若，则（    ） A．1 B． C． D．0 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，集合，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·云南昭通·模拟预测）已知集合，集合．若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 7．（24-25高二下·吉林延边·阶段练习），，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·全国·模拟预测）已知集合，集合B满足，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025·陕西西安·二模）已知集合，.若，则（    ） A．0 B．1 C． D．0或 10．（24-25高三下·江苏·开学考试）已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·云南昭通·期中）设全集，集合A满足，则（   ） A． B． C． D． 12．（2025·江苏南京·二模）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高一上·全国·课后作业）设全集，集合或，，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．10 14．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（2025·湖南长沙·二模）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 18．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 19．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 题型二 集合运算中的元素个数问题 20．（24-25高一下·云南·期中）设集合，，则的元素个数是（   ） A．9 B．7 C．5 D．2 21．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知全集，，则集合B的元素个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．不确定 22．（2023·全国·模拟预测）已知集合和集合满足：有2个元素，有6个元素，且集合的元素个数比集合的元素个数多2个，则集合的所有子集个数比集合的所有子集个数多（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 23．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 24．（2025·湖北恩施·模拟预测）已知全集，，，则集合的真子集个数为（    ） A． B． C． D． 25．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知集合则集合的子集的个数为（    ） A．4个 B．8个 C．16个 D．32个 26．（2025·湖南·一模）设集合，，则集合中元素的个数为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 题型三 容斥原理 27．（24-25高一上·四川眉山·期中）高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 28．（2025·江苏·一模）我市某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为（    ） A．700 B．800 C．900 D．1000 29．（24-25高一上·天津滨海新·期末）1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为 30．（2025高三·全国·专题练习）某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 31．（2025高一·全国·专题练习）某单位周一、周二开车上班的职工人数分别是14， .若这两天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这两天中一天开车一天不开车上班的职工人数是（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高一上·江苏·阶段练习）为提升学生学习双语的热情“G11•四市十一校”教学联盟计划在2025年4月举行“语文情境默写”､“英语读后续写”两项竞赛，我校计划派出20人的代表队，据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了几名均不擅长的同学？（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 题型四 集合的运算新定义 33．（24-25高二下·浙江·阶段练习）定义集合的“对称差集”:且.已知集合， 下列结论正确的是（    ） A． B．C．D．若，则 34．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）对于集合，，定义且，，设，，则（    ） A． B． C． D． 35．（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）设为两个实数集，定义集合，若，则的子集个数为（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 36．（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）定义集合运算：.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 1．（2025·甘肃·模拟预测）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江·三模）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知集合或，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东珠海·阶段练习）已知集合，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（   ） A． B．或 C． D．或 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，．若，则实数的值可能为（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 6．（2025·山西·二模）设集合，，在集合的所有元素中，绝对值最小的元素是 . 7．（24-25高一上·陕西宝鸡·阶段练习）已知集合，．若，则实数的取值范围为 ． 8．（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）已知，，若，则m的取值范围为 . 9．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）已知集合 ， (1)若，求， (2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围． 10．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围； (4)若将题干中集合，变为集合， 或．若，求实数的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.3 集合的基本运算 题型一 并集的运算 1．（24-25高二下·云南红河·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集的运算规则运算即可. 【详解】因为，，所以. 故选：D. 2．（24-25高二下·重庆长寿·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的并集运算即可求解. 【详解】，， 所以. 故选：C. 3．（24-25高二下·天津和平·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】因为集合， 所以. 故选：D. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先明确集合的元素，再将集合与集合的元素合并起来得到并集. 【详解】依题意，，所以． 故选：D． 5．（25-26高一·全国·假期作业）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可求集合，再利用并集的运算求解即可. 【详解】集合的不等式为：，可求解为． 所以集合． 从而集合的并集为：． 故选：B． 6．（24-25高一下·江苏连云港·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由区间及并集定义可得答案. 【详解】由题， 则. 故选：C 题型二 交集的运算 7．（河北省部分名校2024-2025学年高二下学期期末联考数学试题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意用列举法表示出集合；再根据集合的交集运算即可求解. 【详解】由题意， 所以. 故选：C. 8．（北京市东城区2024-2025学年高二下学期期末统一检测数学试卷）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用绝对值不等式解法和交集运算即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 9．（北京市平谷区2024-2025学年高二下学期教学质量监控（7月期末）数学试卷）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用交集运算即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：B. 10．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求集合，利用集合的交集运算即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 题型三 补集的运算 11．（24-25高一下·湖北荆门·期末）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集概念计算. 【详解】全集，集合，则. 故选：B. 12．（24-25高二下·重庆·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的补集运算得到答案. 【详解】，，所以， 故选：C. 13．（24-25高二下·广西玉林·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由补集定义即可得解. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：D 14．（2025高三·四川·专题练习）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据补集的定义求解即可． 【详解】因为集，集合， 所以或． 故选：D. 题型四 集合交、并、补的综合运算 15．（2025·山西忻州·模拟预测）已知全集，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照补集交集的定义求解即可. 【详解】因为，，所以． 故选：． 16．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知集合，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】由求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以或， 故选：. 17．（24-25高二下·浙江温州·期中）设全集，集合，集合，集合，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用交集，并集和补集的概念进行求解，得到答案. 【详解】， ，故 故选：A 18．（安徽省滁州市2024-2025学年高一下学期7月期末教学质量监测数学试题）全集为，集合，或，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用补集和交集运算即可求解. 【详解】因为或，所以， 又因为，所以， 故选：C. 19．（24-25高二下·江西赣州·期末）已知全集，集合，，则正确的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意先判断集合与集合的基本关系，再逐项验证即可. 【详解】由，当，，所以， 当，，所以，所以，故A错误； ，故B正确；由，所以，故C错误； 因为，所以，故D错误. 故选：B. 20．（24-25高三下·重庆·阶段练习）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集、并集、补集的知识计算可求得结论. 【详解】， 则， 故或，故A错误； ，故B错误； 或，故C错误； ，故D正确. 故选：D. 题型五 韦恩图的应用 21．（25-26高一上·全国·课后作业）设为全集，，，都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】阴影在，内，而不在内，即在内，故阴影表示的集合是． 22．（24-25高一上·四川眉山·期中）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合韦恩图的表示方法，利用集合的运算法则，结合选项，即可求解. 【详解】解：由题意得，阴影部分的区域内的元素且， 所以阴影部分可表示为或或. 故选：D. 23．（2025·广东佛山·二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据集合的运算即可得到答案. 【详解】 在阴影部分区域内任取一个元素，则或， 故阴影部分所表示的集合为或者，故A正确. 故选：A. 24．（24-25高二下·重庆·期末）已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式求得集合元素，根据Vnne图以及集合的交并补，可得答案. 【详解】由题意，由解得，所以集合， 因为函数的值域为，所以， 图中阴影部分所表示的集合是. 故选：C． 25．（24-25高一上·全国·课前预习）已知表示集合和关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先通过识别Venn图得知阴影部分表示的是集合，然后根据交集的内涵进行判断即可. 【详解】由题中Venn图得，阴影部分表示的集合是， 因为， 所以． 故选：A. 26．（2024·山西太原·一模）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由阴影部分可知对应的集合为，即可得到结论. 【详解】阴影部分对应的集合为， ∵全集，集合， ∴. 故选：D. 题型一 集合运算的求参问题 1．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知集合，，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由求出，进而得集合，根据集合的并集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以，所以.         故选：D. 2．（2025·山东威海·三模）已知集合，若，则（    ） A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或1 【答案】B 【分析】由得集合，之间的包含关系，进而确定元素与集合的关系，即可求解. 【详解】由，得， 因为，所以， 因为集合， 所以或，解得或（不合题意舍去）， 所以或2. 故选：B. 3．（2025·北京海淀·二模）已知集合．若，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据交集的结果直接得出答案. 【详解】由题意知，， 因为， 所以. 故选：B 4．（2025·湖南长沙·一模）已知集合，若，则（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【分析】先求得集合，再根据交集定义列式计算即可. 【详解】集合，因此. 故选：C. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，集合，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用交集的定义即可求得结果. 【详解】因为集合，集合，且，所以， 故选：B 6．（2025·云南昭通·模拟预测）已知集合，集合．若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】解方程求得集合A，根据并集结果从而求得. 【详解】集合，集合．由，可知集合必须包含元素2，即. 故选：D 7．（24-25高二下·吉林延边·阶段练习），，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知， ，分、两种情况讨论，在第一种情况下，可得出关于实数的不等式；在第二种情况下，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为，，，则， 若，则，解得； 若且，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 8．（2025·全国·模拟预测）已知集合，集合B满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据并集的运算即可求解. 【详解】由于，， 故， 故选：A 9．（2025·陕西西安·二模）已知集合，.若，则（    ） A．0 B．1 C． D．0或 【答案】D 【分析】解方程求出集合，根据即可确定参数的值. 【详解】由可得或， 则当时，；当时，； 因，且， 则或. 故选：D. 10．（24-25高三下·江苏·开学考试）已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的并集运算即可求解. 【详解】，，， ∴结合数轴可知：. 故选：A. 11．（24-25高二下·云南昭通·期中）设全集，集合A满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全集及补集写出集合A即可. 【详解】由题知， 由，得． 故选：C 12．（2025·江苏南京·二模）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合，再根据集合交集概念计算即可. 【详解】因为，， 所以，故， 故选：A 13．（25-26高一上·全国·课后作业）设全集，集合或，，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．10 【答案】B 【分析】利用补集概念得到，对照求出，得到答案. 【详解】由补集知且，对比得， 则. 故选：B 14．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先确定全集，再根据集合的运算，确定集合. 【详解】由条件可知，，且， 所以. 故选：B 15．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得或．又，所以，故． 16．（2025·湖南长沙·二模）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得中的元素，再根据，，，即可求得结果. 【详解】全集，∴， 又∵，∴，，∴集合． 故选：C. 17．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求得的取值范围. 【详解】因为集合， 所以， 由于， 所以. 故选：A. 18．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 【答案】D 【分析】求出A中方程的解确定A，再由A的补集与B的交集为空集，确定A与B的包含关系进行分类讨论，即可确定m的值. 【详解】因为方程的判别式， 所以， 根据题意得到集合，， 即，， 因为，所以， 所以或， 若，则，解得， 若，则，解得， 所以或. 故选：D. 19．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】由，得到，分与讨论即可. 【详解】由，得到 分两种情况考虑： ①当，即时，，符合题意； ②当，即时，需， 解得：，综上得：，则实数的取值范围为. 故选：A 题型二 集合运算中的元素个数问题 20．（24-25高一下·云南·期中）设集合，，则的元素个数是（   ） A．9 B．7 C．5 D．2 【答案】B 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】由题意可得，则有7个元素． 故选：B. 21．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知全集，，则集合B的元素个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．不确定 【答案】B 【分析】由已知求出全集，再由可知中肯定有1，3，5，7，中肯定没有1，3，5，7，从而可求出中的元素. 【详解】因为全集，， 所以中肯定有1，3，5，7，中肯定没有1，3，5，7，和中都有可能有0，2，4，6，8，9，10， 且除了1，3，5，7，中有的其他数字，中也一定会有，中没有的数字，中也一定会有， 所以， 故选：B 22．（2023·全国·模拟预测）已知集合和集合满足：有2个元素，有6个元素，且集合的元素个数比集合的元素个数多2个，则集合的所有子集个数比集合的所有子集个数多（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】C 【分析】设集合和集合的元素个数分别为，根据条件列方程求出，然后根据集合子集个数的公式求出集合和集合的所有子集个数，然后做差即可. 【详解】设集合和集合的元素个数分别为， 则由有2个元素，有6个元素可知，． 即①． 又因为集合的元素个数比集合的元素个数多2个， 所以②． 联立①②可得，，即集合和集合的元素个数分别为5和3， 所以集合的所有子集个数和集合的所有子集个数分别为，， 所以， 故选：C． 23．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】化简集合，即可求出中元素的个数. 【详解】由题意， 因为，所以，有4个元素， 故选：B. 24．（2025·湖北恩施·模拟预测）已知全集，，，则集合的真子集个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求解补集，再根据元素个数计算真子集个数. 【详解】，，， 则集合的真子集个数为7个. 故选：C. 25．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知集合则集合的子集的个数为（    ） A．4个 B．8个 C．16个 D．32个 【答案】C 【分析】求出集合的元素数即可求解. 【详解】因为 所以，共有个元素， 所以集合的子集的个数为. 故选：C. 26．（2025·湖南·一模）设集合，，则集合中元素的个数为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】用列举法写出集合的元素即可. 【详解】因为集合，， 所以集合中元素为，共4个. 故选：C 题型三 容斥原理 27．（24-25高一上·四川眉山·期中）高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 【答案】A 【分析】根据集合的容斥原理即可求解. 【详解】设集合“高三1班读过《牡丹亭》的学生”，其元素个数记为； 集合“高三1班读过《醒世恒言》的学生”，其元素个数记为； 则， 则. 故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人. 故选：A. 28．（2025·江苏·一模）我市某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为（    ） A．700 B．800 C．900 D．1000 【答案】C 【分析】根据题意，列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】设一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为， 则楼下食堂用午餐的学生数大约为， 原本在楼上食堂且留下的学生：占比，即， 从楼下食堂转来的学生：楼下食堂人数的，即， 所以，解得. 所以一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为. 故选：C 29．（24-25高一上·天津滨海新·期末）1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为 【答案】 9 3 【分析】因为参加趣味益智类比赛的人数已知，因为没有人同时参加三项比赛，所以从中减去“同时参加趣味益智类比赛和田径比赛”和“同时参加趣味益智类比赛和球类比赛”的人数，就是只参加趣味益智类一项比赛的人数，设同时参加田径和球类比赛的人数为，列出方程计算即可． 【详解】因为参加趣味益智类比赛的总人数为15， 且：同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人； 同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人． 又因为没有人同时参加三项比赛， 所以只参加趣味益智类一项比赛的人数为：人． 设同时参加田径和球类比赛的人数为，由题意得： ， 解得：， 故同时参加田径和球类比赛的人数为， 故答案为：9；3． 30．（2025高三·全国·专题练习）某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】A 【分析】作出韦恩图，将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示，不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为，利用容斥原理可求得的值，即为所求. 【详解】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示， 则，，，．    不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为， 则，，，． 由三个集合的容斥关系公式得， 解得，故接受调查的小学生共有人． 故选：A. 31．（2025高一·全国·专题练习）某单位周一、周二开车上班的职工人数分别是14， .若这两天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这两天中一天开车一天不开车上班的职工人数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的交集、并集运算求解即可. 【详解】设仅第一天开车人数为 ，仅第二天开车人数为 ，两天都开车人数为 ， 则由图知 ， ， 两式相减得 ， . 故选：C. 32．（24-25高一上·江苏·阶段练习）为提升学生学习双语的热情“G11•四市十一校”教学联盟计划在2025年4月举行“语文情境默写”､“英语读后续写”两项竞赛，我校计划派出20人的代表队，据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了几名均不擅长的同学？（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】利用venn图，结合集合的运算求解. 【详解】设擅长语文的同学构成集合，擅长英语的同学构成集合，20人代表队构成全集， 则，，，， ， ， 所以语文和英语均不擅长的同学人数为人. 故选：C. 题型四 集合的运算新定义 33．（24-25高二下·浙江·阶段练习）定义集合的“对称差集”:且.已知集合， 下列结论正确的是（    ） A． B．C．D．若，则 【答案】A 【分析】根据题设新定义的概念以及集合的基本运算法则计算即可得结果. 【详解】对于A，由，则， 所以，故A正确； 对于B，由，所以，故B错误； 对于C,由，则， 由，，则， 所以，，则， 所以，故C错误； 对于D，当时，结合选项B知，，故D错误. 故选：A. 34．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）对于集合，，定义且，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设定义求出和，再求出即可． 【详解】对于集合，，定义且，， 设，， 则，， 所以. 故选：C． 35．（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）设为两个实数集，定义集合，若，则的子集个数为（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 【答案】B 【分析】由集合新定义确定，即可求解. 【详解】由题意， 所以的子集个数为， 故选：B 36．（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）定义集合运算：.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，从而可得或，或，再根据新定义得，再代入验证即可得答案. 【详解】因为，所以或 所以或，或 所以或，， 代入验证得点在该直线上， 故. 故选：D. 1．（2025·甘肃·模拟预测）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求解集合，再求出，最后根据补集的定义求出. 【详解】已知集合，解一元二次方程，可得或 所以集合. 已知，所以. 所以. . 故选：A. 2．（2025·浙江·三模）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得集合及集合，再利用集合交并补运算性质可解. 【详解】，，所以， 故选：B． 3．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知集合或，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，，对实数的取值范围进行分类讨论，求出集合，根据集合的包含关系验证可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为，则，且集合或，. 当时，则，合乎题意； 当时，则， 因为，则，解得； 当时，， 因为，则，解得，此时，. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 4．（24-25高一上·广东珠海·阶段练习）已知集合，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】依题意中一定含有元素0，即可得，可得实数的取值范围. 【详解】易知，所以中有且仅有一个元素一定为0， 所以，因此可得或， 即实数的取值范围为或. 故选：B 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，．若，则实数的值可能为（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】ACD 【分析】分别讨论，，，即可求解. 【详解】由题意得集合． 若，则，即，故，符合； 若，则，即，故，符合； 若，则，即，故，符合； 若，则，即，故，符合． 综上，或3或4． 故选：ACD 6．（2025·山西·二模）设集合，，在集合的所有元素中，绝对值最小的元素是 . 【答案】 【分析】由集合交集运算易得结果. 【详解】，， 显然集合的所有元素中，绝对值最小的元素是. 故答案为：. 7．（24-25高一上·陕西宝鸡·阶段练习）已知集合，．若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求出集合，再由按或或或分类讨论求解． 【详解】依题意，集合，由，得，则或或或， 当时，，解得； 当时，，此时方程组无解； 当时，，解得； 当时，，此时方程组无解， 所以实数的范围是． 故答案为： 8．（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）已知，，若，则m的取值范围为 . 【答案】 【分析】由，可得，进而结合，讨论求解即可. 【详解】由，可得， 若，则，符合题意； 当时，，此时，要使， 则，解得，因此， 综上，m的取值范围为. 故答案为：. 9．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）已知集合 ， (1)若，求， (2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围． 【答案】(1)，． (2)． 【分析】（1）求出集合，然后结合集合运算可得； （2）根据包含关系，分集合是否为空集讨论即可得解 【详解】（1）若，，， 所以，． （2）集合是集合的真子集， 当时，此时，即； 当时，此时，即， 则，且两个不等式不能同时取等，解得， 综上，实数的取值范围为． 10．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围； (4)若将题干中集合，变为集合， 或．若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【分析】（1）由，结合数轴即可求解； （2）结合数轴即可求解； （3）由条件得到或，进而可求解； （4）由和两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为，所以，画出数轴如图： 所以，解得，故实数的取值范围是． （2）画出数轴如图，因为， 所以，解得． （3）因为，所以或． 又因为，所以或． 故实数的取值范围是． （4）①若，则，所以． ②若，因为，所以，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$