精品解析：贵州省遵义市2024-2025学年高二下学期7月期末学业水平监测数学试题

遵义市2024~2025学年度第二学期学业水平监测 高二数学 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1.考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的学校、姓名、班级、考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码. 2.选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其他选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题，在规定区域以外的答题不给分，在试卷上作答无效. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若复数z满足，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 10 2. 已知双曲线，则它的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 78 B. 72 C. 39 D. 36 4. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 720 B. 526 C. 288 D. 280 5. 某人工智能公司2020年至2024年的利润情况如表所示. 年份 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 第x年 1 2 3 4 5 利润y/亿元 2.7 3.3 3.6 4.4 m 根据表中数据，得出y关于x的回归直线方程为，则表中（ ） A. 4.6 B. 5 C. 5.2 D. 5.9 6. 已知随机变量，且，则下列错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 某公司从10名大学生中招聘4名工作人员，甲、乙两人至少有一人入选的不同选法种数为（ ） A. 90种 B. 140种 C. 196种 D. 256种 8. 已知曲线，直线，经过原点，且与C交于A、B两点，与C交于M、N两点，其中A、M两点位于x轴上方，O为坐标原点，若的面积为，则四边形AMBN的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列的前n项和为，，，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 数列是等差数列 10. 甲、乙两人在商场参与抽奖活动，已知6张奖券中有2张是中奖的，首先由甲抽一张，不放回，然后由乙抽一张，则下列正确的是（ ） A. 甲中奖的概率为 B. 乙中奖的概率为 C. 甲、乙都中奖的概率为 D. 甲不中奖乙中奖的概率为 11. 已知A，B为两个随机事件，且，，则下列正确的是（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若A与B相互独立，则 C. 若事件C满足，则 D. 若，则， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜4)＝________. 13. 设，则________. 14. 甲、乙两名同学参加汉语听写比赛，每次由其中一人听写，规则如下：若听写正确则此人继续听写，若未听写正确则换对方听写，无论之前听写情况如何，甲每次听写的正确率均为0.6，乙每次听写的正确率均为0.8，第1次听写的人是甲、乙的概率各为0.5，则第二次听写的人是甲的概率________；第n次听写的人是乙的概率________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知. （1）求A： （2）若，的面积为，求a. 16. 已知抛物线，点为抛物线的焦点. （1）若点在抛物线上，求； （2）过点的直线与抛物线相交于、两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 17. 如图，在矩形中，，，是的中点，将沿折起使点到点的位置，是的中点. （1）证明：平面； （2）若平面平面，求二面角的余弦值. 18. 已知数列的前n项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和； （3）若数列满足，不等式对一切恒成立，求的取值范围. 19. 某企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了名员工进行调查，所得数据（单位：人）如下表所示： 支持企业改革 不支持企业改革 合计 工作积极性高 工作积极性一般 合计 （1）能否有的把握认为员工工作积极性与对待企业改革态度有关； （2）现采取分层抽样的方法从工作积极性高的人中抽取人，再从人中随机抽取人进一步调查，记抽到人中不支持企业改革的人数为，求的分布列及数学期望； （3）若将频率视为概率，从该企业所有员工中随机抽取人进行调查.记人中不支持企业改革的人数的概率为，当取最大值时，求的值. 参考公式：，其中， 参考数据： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市2024~2025学年度第二学期学业水平监测 高二数学 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1.考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的学校、姓名、班级、考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码. 2.选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其他选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题，在规定区域以外的答题不给分，在试卷上作答无效. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若复数z满足，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数模的意义求解即得. 【详解】由，得. 故选：C 2. 已知双曲线，则它的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的双曲线方程，直接求出渐近线方程即可. 【详解】双曲线，则它的渐近线方程为. 故选：A 3. 已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 78 B. 72 C. 39 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列性质及前n项和公式求解即得. 【详解】依题意，. 故选：C 4. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 720 B. 526 C. 288 D. 280 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项式定理求出展开式中含的项即可. 【详解】在的展开式中含的项为， 所以所求系数为280. 故选：D 5. 某人工智能公司2020年至2024年的利润情况如表所示. 年份 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 第x年 1 2 3 4 5 利润y/亿元 2.7 3.3 3.6 4.4 m 根据表中数据，得出y关于x的回归直线方程为，则表中（ ） A. 4.6 B. 5 C. 5.2 D. 5.9 【答案】B 【解析】 【分析】由数表求出样本中心点，再代入回归直线方程求解. 【详解】由数表得，， 依题意，，所以. 故选：B 6. 已知随机变量，且，则下列错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项分布的期望公式求出的值，可判断A选项；利用二项分布的方差公式可判断B选项；利用期望的性质可判断C选项；利用方差的性质可判断D选项. 【详解】因为随机变量，且，解得，A对； 因为，故，B对； ，C对； ，D错. 故选：D. 7. 某公司从10名大学生中招聘4名工作人员，甲、乙两人至少有一人入选的不同选法种数为（ ） A. 90种 B. 140种 C. 196种 D. 256种 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用组合计数问题，结合间接法列式求解. 【详解】依题意，从10名大学生中任取4名有种方法，甲乙都未取到的有种方法， 所以甲、乙两人至少有一人入选的不同选法种数为. 故选：B 8. 已知曲线，直线，经过原点，且与C交于A、B两点，与C交于M、N两点，其中A、M两点位于x轴上方，O为坐标原点，若的面积为，则四边形AMBN的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数定义域，得到为奇函数，画出图象，数形结合，结合对称性可知四边形AMBN为平行四边形，并求出面积. 【详解】的定义域为， 且，故为奇函数， 又，故在，上单调递增， 画出图象如下： 由对称性可知，四边形AMBN为平行四边形， 的面积为，故平行四边形AMBN的面积为. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列的前n项和为，，，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 数列是等差数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，求出数列的公比，再逐项求解判断. 【详解】在等比数列中，由，，得数列的公比， 通项， 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，，数列不是等差数列，D错误. 故选：ABC 10. 甲、乙两人在商场参与抽奖活动，已知6张奖券中有2张是中奖的，首先由甲抽一张，不放回，然后由乙抽一张，则下列正确的是（ ） A. 甲中奖的概率为 B. 乙中奖的概率为 C. 甲、乙都中奖的概率为 D. 甲不中奖乙中奖的概率为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用古典概率，结合概率的乘法公式及全概率公式逐项求解. 【详解】设甲中奖的事件为，乙中奖的事件为， 对于A，甲中奖的概率为，A错误； 对于B，，， ，B正确； 对于C，由选项B，得，C错误； 对于D，由选项B，得，D正确. 故选：BD 11. 已知A，B为两个随机事件，且，，则下列正确的是（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若A与B相互独立，则 C. 若事件C满足，则 D. 若，则， 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用互斥事件加法公式判断A；利用相互独立事件求解判断B；举例说明判断C；利用事件关系及条件概率公式求解判断D. 【详解】对于A，由A与B互斥，得，A正确； 对于B，由A与B相互独立，得相互独立，，B正确； 对于C，若，则，当与互斥时， 由，得，则，C错误； 对于D，由，得，， ，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜4)＝________. 【答案】0.6 【解析】 【分析】利用正态分布关于x＝2对称，可求出P(ξ≤0)，从而求出P(0＜ξ＜4). 【详解】由P(ξ＜4)＝0.8，得P(ξ≥4)＝0.2. 又正态曲线关于x＝2对称． 则P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2， ∴P(0＜ξ＜4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6. 故答案为：0.6 【点睛】本题考查利用正态分布的对称性求指定区间的概率，属于基础题. 13. 设，则________. 【答案】 【解析】 【分析】令，再将两式相加即可. 【详解】令，则， 令，则， 两式相加得，. 故答案为： 14. 甲、乙两名同学参加汉语听写比赛，每次由其中一人听写，规则如下：若听写正确则此人继续听写，若未听写正确则换对方听写，无论之前听写情况如何，甲每次听写的正确率均为0.6，乙每次听写的正确率均为0.8，第1次听写的人是甲、乙的概率各为0.5，则第二次听写的人是甲的概率________；第n次听写的人是乙的概率________. 【答案】 ①. ##0.4 ②. 【解析】 【分析】记“第次听写的人是甲”为事件，“第次听写的人是乙”为事件， 设，由题意可得，根据数列知识，构造等比数列即可解出； 【详解】记“第次听写的人是甲”为事件，“第次听写的人是乙”为事件， 设，依题可知， 则， 即， 构造等比数列， 设，解得，则， 又，则，所以是首项为，公比为的等比数列， 即，． 则第2次听写的人是甲的概率为. 则第次听写的人是甲的概率为. 第n次听写的人是乙的概率为. 故答案为：; 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知. （1）求A： （2）若，的面积为，求a. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简条件式，确定角A的值； （2）利用三角形面积公式求出边c，在用余弦定理求出边a. 【小问1详解】 根据正弦定理，，，代入原式 得， 因为，所以 ， 化简得，即 因为，故. 【小问2详解】 由（1）知，而，的面积为， 所以，即. 解得. 根据余弦定理：， 解得，因为 故. 16. 已知抛物线，点为抛物线的焦点. （1）若点在抛物线上，求； （2）过点的直线与抛物线相交于、两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线方程，求出的值，结合抛物线焦半径公式可求得的值； （2）设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求出，以及原点到直线的距离，结合三角形的面积公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出直线的方程. 【小问1详解】 因为点在抛物线上，所以，解得，故. 【小问2详解】 若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意. 依题意，设直线的方程为， 将直线与抛物线方程联立得得， 设点、，， 由韦达定理可得，， ， 又因为原点到直线的距离为， 所以，解得， 故直线的方程为，即或. 17. 如图，在矩形中，，，是的中点，将沿折起使点到点的位置，是的中点. （1）证明：平面； （2）若平面平面，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，即可证明四边形为平行四边形，从而得到，即可得证； （2）在平面内过作于点，由面面垂直的性质得到平面，再过作于点，连接，则得即为所求，最后由锐角三角函数计算可得． 【小问1详解】 取的中点，连接，， 又是的中点，所以且， 又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 由平面平面， 在平面内过作于点，由平面平面， 平面，所以平面， 又平面，所以， 又为等腰直角三角形，所以为的中点， 取中点为，连接，，则， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 则得即为二面角的平面角， ， 所以， 所以， 故二面角的余弦值为． 18. 已知数列的前n项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和； （3）若数列满足，不等式对一切恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）数列的通项公式为：. （2）数列的前n项和为：. （3）的取值范围为：. 【解析】 【分析】（1）利用数列前n项和与通项的关系来求解； （2）先根据（1）的结果求出，再利用裂项相消法求数列的前n项和； （3）先根据已知条件求出，再区分n为奇数和偶数两种情况讨论不等式恒成立时的取值范围. 【小问1详解】 当时，. 当时，. 根据指数运算法则,,则. 当时，也满足. 故数列的通项公式为：. 【小问2详解】 已知，由（1）可知，则， ； 所以. 所以. 故数列的前n项和为：. 【小问3详解】 已知，由（1）可知，则 ①. 当时，，解得. 当时，②. ①②相减得： ， 所以. 当时，也满足. 那么不等式可化为. 当n为偶数时，若恒成立，即恒成立： 因为在n为偶数时单调递增，当时取最小值，，所以时，不等式恒成立. 当n为奇数时，若恒成立，即恒成立： 因为在n为奇数时单调递减，当时取最大值，所以时，不等式恒成立. 故的取值范围为：. 19. 某企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了名员工进行调查，所得数据（单位：人）如下表所示： 支持企业改革 不支持企业改革 合计 工作积极性高 工作积极性一般 合计 （1）能否有的把握认为员工工作积极性与对待企业改革态度有关； （2）现采取分层抽样的方法从工作积极性高的人中抽取人，再从人中随机抽取人进一步调查，记抽到人中不支持企业改革的人数为，求的分布列及数学期望； （3）若将频率视为概率，从该企业所有员工中随机抽取人进行调查.记人中不支持企业改革的人数的概率为，当取最大值时，求的值. 参考公式：，其中， 参考数据： 【答案】（1）有，理由见解析 （2）分布列答案见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）计算出的观测值，结合临界值表可得出结论； （2）分析可知，人中有人支持企业改革，人不支持企业改革，则随机变量的可能取值有、、、，利用超几何分布可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （3）由题意可知，则，由解出的取值范围，结合得出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 因为， 所以有的把握认为员工工作积极性与对待企业改革态度有关. 【小问2详解】 工作积极性高的人中有人支持企业改革，有人不支持企业改革， 由分层抽样可知，人中有人支持企业改革，人不支持企业改革， 由题意可知，随机变量的可能取值有、、、， 则，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以. 【小问3详解】 由题意可知，，则， 由，可得， 解得， 又因为，所以，当时，最大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $