精品解析：江西省新余市分宜县2024-2025学年高二下学期期末质量检测数学试卷

2024-2025学年江西省新余市分宜县高二下学期期末质量检测数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知、是椭圆的两个焦点，过的直线交于、两点，若的周长为，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4，0)，(0，2)的椭圆方程为（ ） A. ＝1 B. ＝1 C. ＝1 D. ＝1 4. 过点且与圆相切的直线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 某数学课外兴趣小组对一圆锥筒进行研究，发现将该圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内首次转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了周，如图，若该兴趣小组已测得圆锥的底面半径为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 若实数满足，则的取值范围为 A. B. C. D. 7. 将4个不同的小球全部投入3个不同的盘子（每个盒子容纳的小球的个数不限），则所有的投放方法数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知在四棱锥中，平面，，，为等边三角形，则平面与三棱锥的外接球球面的交线长为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 关于函数，下列结论错误的是（ ） A. 最小正周期为 B. 最大值为3 C. 图象关于直线对称 D. 在区间上单调递增 11. 的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量满足，则的夹角为___________． 13. ______． 14. 一个圆台上、下底面的半径分别为和，若两底面圆心的连线长为，则这个圆台的母线长为__________，该圆台的轴截面的面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知双曲线，过点作两条互相垂直的直线. （1）求两条直线与双曲线的交点个数，并说明理由； （2）若，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点，证明：直线过定点. 16. 已知双曲线E的渐近线方程为，且过点． （1）求双曲线E的标准方程； （2）点Q为双曲线E上一点，证明点Q到两渐近线的距离之积为定值，并求出该定值； （3）双曲线E的两个顶点分别为，点M在直线上，直线与双曲线E分别交于（异于）两点，且直线与x轴垂直，求点M的坐标及直线的方程． 17. 已知全集，集合，. （1）求，； （2）求，并写出它的所有真子集. 18. 已知椭圆 的左右焦点分别为、 ，离心率 ，点、分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆上顶点的直线交椭圆于点，且，求直线的方程; （3）直线、过右焦点，且它们的斜率乘积为，设、分别与椭圆交于点、和、.若、分别是线段和的中点，求面积的最大值. 19. 已知双曲线的左顶点为，离心率为，过点作直线与交于，两点，当直线的斜率为时，的面积为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若，求直线的方程； （3）若直线，分别与直线交于，两点，试探究在直线上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江西省新余市分宜县高二下学期期末质量检测数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知、是椭圆的两个焦点，过的直线交于、两点，若的周长为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求出的值，由此可求得的值. 【详解】因为，则椭圆的焦点在轴上， 过的直线交于、两点， 若的周长为，则， 所以，. 故选：C. 2. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由同角三角函数的平方关系求得，再根据两角差的余弦公式即可求解． 【详解】因为，所以， 所以， 则 ， 故选：A． 3. 中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4，0)，(0，2)的椭圆方程为（ ） A. ＝1 B. ＝1 C. ＝1 D. ＝1 【答案】D 【解析】 【分析】待定系数法求椭圆方程即可. 【详解】设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，把点(4，0)，(0，2)代入得： 所以 故选：D． 【点睛】待定系数法、定义法、代入法、参数方程法等方法可以用求二次曲线的标准方程. 4. 过点且与圆相切的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断出点M在圆上，进而求出切线斜率即可得到答案. 【详解】因为，所以点M在圆上，而， 则切线斜率为，所以切线方程为： 即 故选：A 5. 某数学课外兴趣小组对一圆锥筒进行研究，发现将该圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内首次转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了周，如图，若该兴趣小组已测得圆锥的底面半径为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为，则圆锥绕顶点滚动所形成的圆的半径为，周长为，由周长公式求出，即可求出圆锥的高，再由圆锥的体积公式即可得出答案. 【详解】设圆锥的母线长为，则圆锥绕顶点滚动所形成的圆的半径为，周长为， 又圆锥底面半径为，则底面周长为， 故，解得， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为， 故选：B. 6. 若实数满足，则的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式得，然后解不等式可得，同时注意． 【详解】∵，∴（时取等号），，∴，又，∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查基本不等式求最值问题，解题关键是掌握基本不等式的变形应用：． 7. 将4个不同的小球全部投入3个不同的盘子（每个盒子容纳的小球的个数不限），则所有的投放方法数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理即可求解. 【详解】每个小球都有3种不同的选择，根据乘法原理可知，所求即为. 故选：A. 8. 已知在四棱锥中，平面，，，为等边三角形，则平面与三棱锥的外接球球面的交线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明出平面，所以，则为三棱锥的外接球的直径，且，作出辅助线，得到平面，求出到平面的距离，平面与三棱锥的外接球球面的交线为圆，且圆的半径，故其周长为. 【详解】因为，所以， 又平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 则为三棱锥的外接球的直径， 平面，平面，所以， ，由勾股定理得． 取为的中点，过作，为垂足，， 平面，平面，所以， 又，平面，故平面， 因为为等边三角形，且，则， 所以到平面的距离， 故平面与三棱锥的外接球球面的交线为圆， 且圆的半径满足，解得，故其周长为 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用赋值法计算即可判断AC；根据二项式展开式的通项公式计算即可判断BD. 【详解】设，二项式展开式的通项公式为， A：，故A正确； B：令，得，故B正确； C：， 所以，故C正确； D：令，得；令，得； 令，得；令，得； 令，得， 所以，故D错误. 故选：ABC 10. 关于函数，下列结论错误的是（ ） A. 最小正周期为 B. 最大值为3 C. 图象关于直线对称 D. 在区间上单调递增 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正余弦函数的周期判断A，根据最大值成立的条件判断B，根据特殊值判断CD. 【详解】的最小正周期为的最小正周期为，故的最小正周期为，A正确； 易知的最大值不超过，当且时，需同时满足且，此时无解，故实际最大值小于，B错误； 若的图象关于对称，则， 而，与矛盾，故的图象不关于直线对称，C错误； 由知，不满足在上单调递增的定义，D错误. 故选：BCD 11. 的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法和充分不必要条件的定义逐项判断即可. 【详解】即或, 所以或是的充要条件，故A错； 或和是的充分不必要条件，故BC正确； 是的不充分不必要条件，故D错. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量满足，则的夹角为___________． 【答案】 【解析】 【分析】对两边平方结合题设条件得到，故可得两向量夹角的大小． 【详解】由可以得到， 所以，所以，故，因，故．填． 【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 ；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是. 13. ______． 【答案】1 【解析】 【分析】把题目分解为多个部分分别计算，利用对数和指数的性质化简，最后合并结果. 【详解】计算： 根据对数的性质，，所以.代入指数表达式，. 计算： 利用对数的换底公式和幂的性质： ， 所以. 计算： 利用对数的减法法则和幂的性质： ， . 计算： . 把各部分结果代入原式： 故答案为：1. 14. 一个圆台上、下底面的半径分别为和，若两底面圆心的连线长为，则这个圆台的母线长为__________，该圆台的轴截面的面积为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据圆台的几何性质和勾股定理，求出母线长和轴截面面积. 【详解】 如图所示，作圆台轴截面，上下底面圆心为， 根据题意，可知， 根据勾股定理，可知，所以母线长为13； 轴截面为等腰梯形，则面积为，所以轴截面面积为132； 故答案为：13；132. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知双曲线，过点作两条互相垂直的直线. （1）求两条直线与双曲线的交点个数，并说明理由； （2）若，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点，证明：直线过定点. 【答案】（1）当直线或的斜率不存在时（即一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在）， 因为两直线均过点，所以两直线的方程分别为， 则直线与双曲线共有四个交点， 分别为，.（由，解得或）， 当直线和的斜率都存在时，设直线的斜率为， 则直线的斜率为，直线的方程分别为. 联立直线与双曲线的方程，得， 消去整理得. 当，即时，方程仅有一解， 此时直线与双曲线仅有一个交点； 当，即时，， 此时直线与双曲线有两个交点. 同理联立直线与双曲线的方程，可知当时，直线与双曲线仅有一个交点； 当时，直线与双曲线有两个交点； 综上，当直线或的斜率不存在时（即一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在），交点个数为4； 当且时，交点个数为2； 当且时，交点个数为4； 当且或时，交点个数为3； 当且且时，交点个数为4. （2）由（1）可知，当直线或的斜率不存在时，两直线与双曲线有四个交点， 分别为，， 则点坐标分别为，直线与轴重合， 所以若直线过定点，则定点应在轴上.当直线和的斜率同时存在时， 设直线的斜率为，则直线的斜率为， 直线的方程分别为. 因为在双曲线中，所以由（1）可知， 当两直线与双曲线有四个交点时，且， 记点， 联立直线与双曲线的方程，得， 消去整理得， 则，则， 即点.同理可得点. 当时，，，则， 此时直线的方程为； 同理当时，，则， 此时直线的方程为. 所以若直线过定点，则定点在直线上. 又因为定点在轴上，所以可猜想定点为， 所以只需证明当时，三点共线即可. 此时，，直线的斜率都存在，即证明. 因为， ， 所以，即三点共线， 即直线过定点. 综上，直线过定点. 【解析】 【分析】（1）分直线当直线或的斜率不存在与直线和的斜率都存在两种情况讨论，当直线和的斜率都存在设直线的斜率为，则直线的斜率为，联立直线方程与双曲线方程，消元，分二次项系数为和不为两种情况讨论，即可求出交点个数； （2）首先判断直线过定点，则定点应在轴上，再计算时直线过定点坐标，最后推导当时，三点共线即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 已知双曲线E的渐近线方程为，且过点． （1）求双曲线E的标准方程； （2）点Q为双曲线E上一点，证明点Q到两渐近线的距离之积为定值，并求出该定值； （3）双曲线E的两个顶点分别为，点M在直线上，直线与双曲线E分别交于（异于）两点，且直线与x轴垂直，求点M的坐标及直线的方程． 【答案】（1） （2） （3），直线: 【解析】 【分析】（1）根据渐近线可设双曲线方程为，代入经过的点即可求解； （2）利用距离公式即可证明； （3）设三点坐标，由三点共线即可计算. 【小问1详解】 由渐近线方程为，可设双曲线方程为， 将点代入方程可得，即. 故双曲线方程为. 【小问2详解】 证明：设Q， 因为点Q在双曲线E上，所以，即， 双曲线E的渐近线方程为， 点Q到两渐近线的距离之积为， 故点Q到两渐近线的距离之积为定值，定值为. 【小问3详解】 由（1）得，则双曲线E的两个顶点分别为， 不妨设， 由三点共线可得，即 由三点共线可得，即 则，代入双曲线方程得，即， 把，代入方程得， 所以，直线的方程为. 17. 已知全集，集合，. （1）求，； （2）求，并写出它的所有真子集. 【答案】（1）， （2），对应真子集有， 【解析】 【分析】（1）化简集合，由交集和并集定义可求，； （2）化简集合，由交集和补集定义求出，一一列举出真子集即可. 【小问1详解】 化简得，， 所以，； 【小问2详解】 由题知，，则， 则集合对应真子集有， 18. 已知椭圆 的左右焦点分别为、 ，离心率 ，点、分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆上顶点的直线交椭圆于点，且，求直线的方程; （3）直线、过右焦点，且它们的斜率乘积为，设、分别与椭圆交于点、和、.若、分别是线段和的中点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）求出直线的方程，将该直线方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，即可求得直线的方程； （3）设直线的方程为，其中，将该直线方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，同理可得出点的坐标，分析可知，线段的中点为，然后利用三角形的面积公式结合基本不等式可求得面积的最大值. 【小问1详解】 由题意，因为、，为直角三角形，所以， 又 因为，，解得，， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 易知点，，且，则， 所以，直线的方程为， 联立，解得或，即点或， 当点的坐标为时，直线的方程为； 当点的坐标为时，， 此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 【小问3详解】 由题意，， 设直线的方程为，其中，、， 则直线的方程为 ，、， 联立可得， 由韦达定理可得，， 所以，，，所以， 同理可得，， 所以，点，即的中点为， 所以， 当且仅当时，即当时取等号，所以的面积最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 19. 已知双曲线的左顶点为，离心率为，过点作直线与交于，两点，当直线的斜率为时，的面积为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若，求直线的方程； （3）若直线，分别与直线交于，两点，试探究在直线上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，定点，定值为1 【解析】 【分析】（1）由的面积求出，点坐标为，代入椭圆方程求解即可； （2）设直线的方程为，即，整体代入双曲线方程，利用齐次化，结合韦达定理求解即可； （3）设直线：，则，同理可得，假设存在点满足题设，求出为定值即可． 【小问1详解】 因为当直线的斜率为时，的面积为． 所以的面积为， 由对称性得，点坐标为， 则 结合，得，， 所以双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 因为双曲线的左顶点为，则， 因为直线斜率不存在时不满足题意， 所以设直线，，的斜率分别为，，，直线的方程为， 则， 双曲线，即， 所以，则， 所以， 即， 所以， 设，， 则， 若，则， 则直线的方程为，即． 【小问3详解】 设直线：， 令，得，则，同理可得， 假设存在点满足题设， 则为定值， 所以，所以，且， 即存在定点，使得为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $