专题02 与隐圆有关的四种模型（高效培优专项训练）数学浙教版九年级上册

专题02 与隐圆有关的四种模型 题型一：线圆最值问题 题型二：定弦定角 题型三：四点共圆 题型四：瓜豆原理 题型一：线圆最值问题 1．如图，在矩形中，已知，，是边上一动点（点不与点，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为（   ） A． B． C．7 D．8 2．如图，矩形，，，E为中点，F为直线上动点，B、G关于对称，连接，点P为平面上的动点，满足，则的最小值 ． 3．如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为 ． 4．如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为 ． 5．如图，正方形的边长为2，动点P为平面内一点，且，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 6．如图，在中，，，，点D是边上一动点，将沿翻折得，连接，则线段的最小值为 ． 7．如图，在矩形中，，，，是一动点，是由沿直线翻折得到，连接，则的最小值是 ． 题型二：定弦定角 1．如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，，，，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 3．如图，在正方形中，，分别是边和上的动点，且，与交于点，连接，则的最小值是（    ）． A． B．3 C． D． 4．如图，矩形中，．点P是边上一动点，点M为线段上一动点．，则的最小值为（   ）． A．2 B． C． D． 5．在直角中，，，，为射线上一点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，等边中，，点D、点E分别在和上，且，连接、交于点F，则的最小值为 ． 7．如图，在等腰三角形中，，，D为平面内一点，连接，，且，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 8．如图，在边长为2的正方形中，有一动点满足，连接，，分别是，的中点，随着点在正方形内位置的变化，长度的最小值是 ． 9．如图，在中，，，，点是边上的一动点，连接，作于点，连接，则的最小值为 ． 10．如图，矩形的边为上的点，是矩形内部一动点，且满足为边上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 11．如图，矩形中，，点E是矩形内部一动点，且，已知的最小值等于2，则矩形的周长= ． 12．如图，在矩形中，，点E是上一动点，连接，过点C作于点F，连接．面积的最小值为 ． 13．如图，在中，，点D为边上一动点，连接，以为斜边在右侧作，，连接，随着点D的运动，的最小值为 ． 题型三：四点共圆 1．如图，在中，，，，点P为平面内一点，且，过C作交PB的延长线于点Q，则CQ的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知AB=AC=AD，∠CAD=20°，则∠CBD的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 3．如图，四边形是的内接四边形，，，，求的长． 题型四：瓜豆原理 1．如图，在等腰中，，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（ ） A． B．4 C． D．6 3．在矩形中，，点在上，点在平面内，，，连按，将线段绕着点顺时针旋转得到，则线段的最大值为 ． 4．如图所示，在扇形中，，，点是上的动点，以为边作正方形，当点从点移动至点时，求点经过的路径长．    2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 与隐圆有关的四种模型 题型一：线圆最值问题 题型二：定弦定角 题型三：四点共圆 题型四：瓜豆原理 题型一：线圆最值问题 1．如图，在矩形中，已知，，是边上一动点（点不与点，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为（   ） A． B． C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称性质、圆的性质、矩形性质、勾股定理等知识点，准确根据题意得出动点轨迹是解题的关键． 根据对称性得到动点M的轨迹是在以A圆心，5为半径的圆上，根据点圆模型，在矩形中利用勾股定理求出线段的最小值即可． 【详解】解：如图：连接， ∵点B和M关于对称， ∴， ∴M在以A圆心，5为半径的圆上， ∴当A，M，C三点共线时，最短， ∵在矩形中，，， ∴． 故选：D． 2．如图，矩形，，，E为中点，F为直线上动点，B、G关于对称，连接，点P为平面上的动点，满足，则的最小值 ． 【答案】 【分析】由题意可知，，可得，可知点在以为弦，圆周角的圆上，（要使最小，则点要靠近蒂点，即点在的右侧），设圆心为，连接，，，，，过点作，可知为等腰直角三角形，求得，，，，再由三角形三边关系可得：，当点在线段上时去等号，即可求得的最小值． 【详解】解：∵B、G关于对称， ∴，且 ∵E为中点，则为的中位线， ∴， ∴， ∵，即， ∴点在以为弦，圆周角的圆上，（要使最小，则点要靠近蒂点，即点在的右侧） 设圆心为，连接，，，，，过点作， 则， ∵， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 又∵为中点， ∴，， 又∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， 由三角形三边关系可得：，当点在线段上时去等号， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，隐形圆，三角形三边关系，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，根据得知点在以为弦，圆周角的圆上是解决问题的关键． 3．如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意可知：点C在半径为的⊙B上．在x轴上取OD=OA=6，连接CD，易证明OM是△ACD的中位线，即得出OM=CD，即当OM最大时，CD最大，由D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大，根据勾股定理求出BD的长，从而可求出CD的长，最后即可求出OM的最大值． 【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，， ∴C在⊙B上，且半径为， 在x轴上取OD=OA=6，连接CD， ∵AM=CM，OD=OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OM=CD， ∴即当OM最大时，CD最大，而D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB=OD=6，∠BOD=90°， ∴BD=， ∴CD=，且C(2,8), ∴OM=CD，即OM的最大值为， ∵M是AC的中点，则M（4,4）， 故答案为：（4,4）． 【点睛】本题考查坐标和图形，三角形的中位线定理，勾股定理等知识．确定OM为最大值时点C的位置是解题关键，也是难点． 4．如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为 ． 【答案】38 【分析】首先连接AC，过B作BH⊥AC于H，当G在BH上时，三角形ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值，再连接BG，知BG=2，得到G点轨迹圆，该轨迹与BH交点即为所求最小值时的G点，利用面积法求出BH、GH的长，代入三角形面积公式求解即可． 【详解】解：连接，过作于， 当G在BH上时，△ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值， 四边形AGCD面积=三角形ACG面积+三角形ACD面积， 即四边形AGCD面积=三角形ACG面积+24． 连接BG，由G是EF中点，EF=4知， BG=2， 故G在以为圆心，为半径的圆弧上，圆弧交于，此时四边形AGCD面积取最小值，如图所示， 由勾股定理得：AC=10， ∵AC·BH=AB·BC， ∴BH=4.8， ∴， 即四边形面积的最小值=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，解题的关键是利用直角三角形斜边的直线等于斜边的一半确定出点的运动轨迹． 5．如图，正方形的边长为2，动点P为平面内一点，且，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质，点与圆的位置关系；以B点为坐标原点，分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，利用，结合圆的性质可得出点P的轨迹是以为直径的圆，将的最值问题转化为点C到圆上点的距离最值问题，通过点C到圆心的距离与半径的关系即可求解． 【详解】解：如图，以B点为坐标原点，分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系， ∵ 根据圆的性质，点P的轨迹是以为直径的圆， ∵正方形的边长为2， ∴，则圆心为，半径为， ∴圆的方程为， ∵， ∴圆心到点C的距离为 ∵， ∴点C在圆外， ∴最小值为， 最大值为， 故答案为：，． 6．如图，在中，，，，点D是边上一动点，将沿翻折得，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质、辅助圆等知识点，发现点E的轨迹是解题的关键． 由勾股定理可得，由折叠的性质可得，即如图：点E的轨迹是以A为圆心，以为半径的圆，然后结合图形即可解答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵将沿翻折得，连接， ∴， ∴如图：点E的轨迹是以A为圆心，以为半径的圆，且当点E在的点处时，最小， ∵． 故答案为2． 7．如图，在矩形中，，，，是一动点，是由沿直线翻折得到，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，两点之间线段最短，勾股定理，熟练掌握以上知识点，确定点在何位置时，的值最小是解题的关键．根据题意可推出点在以为圆心为半径的圆上运动，得到当、、共线时，的值最小，根据勾股定理求出，根据折叠的性质可知，即可求出． 【详解】解：由折叠可得：， ，， ， 点在以为圆心为半径的圆上运动， 当、、共线时，的值最小，如图， 四边形矩形， ， 在中，，， ， ． 故答案为：． 题型二：定弦定角 1．如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，得出点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，从而计算出答案． 【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆 ∵四边形为矩形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上 连接OB交圆O与点N ∵点B为圆O外一点 ∴当直线BM过圆心O时，BM最短 ∵， ∴ ∴ ∵ 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识． 2．如图，中，，，，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】结合题意推导得，取AB的中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接OP；根据直角三角形斜边中线的性质，得；根据圆的对称性，得点P在以AB为直径的上，根据两点之间直线段最短的性质，得当点O、点P、点C三点共线时，PC最小；根据勾股定理的性质计算得，通过线段和差计算即可得到答案． 【详解】， ， ， ， ， 取AB的中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接OP， 点P在以AB为直径的上，连接OC交于点P， 当点O、点P、点C三点共线时，PC最小 在中， ，，， ， 最小值为 故选：D． 【点睛】本题考查了两点之间直线段最短、圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、两点之间直线段最短、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解． 3．如图，在正方形中，，分别是边和上的动点，且，与交于点，连接，则的最小值是（    ）． A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，借助于圆解决线段的最值问题，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．取线段的中点，以点为圆心，长为半径画圆，连接交于点，判定出，得出，确定点在上，然后利用勾股定理即可求出线段最小值． 【详解】解：如图所示，取线段的中点，以点为圆心，长为半径画圆，连接交于点， 在正方形中， ， ， 又， ， , ， ， ∴点在上， 此时，时值最小， 由勾股定理得, ， 故选：A． 4．如图，矩形中，．点P是边上一动点，点M为线段上一动点．，则的最小值为（   ）． A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】设的中点为，连接，证明，得出，点在点为圆心，4为半径的圆上，利用勾股定理求出从而计算出答案． 【详解】解：设的中点为，连接， ∵四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ∴点在点为圆心，4为半径的圆上． ， ， ∵的最小值为2． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，二次根式的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，应用直角三角形性质解决问题． 5．在直角中，，，，为射线上一点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理以及圆外一点与圆的最短距离问题，连接，由是直径得，即得，得到点在以为直径的圆上运动，设的中点为，连接，当点在与的交点处时，最短，利用勾股定理求出即可求解，找到点P的运动轨迹是圆是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， 设的中点为，连接，当点在与的交点处时，最短，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 6．如图，等边中，，点D、点E分别在和上，且，连接、交于点F，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】首先证明，推出点F的运动轨迹是O为圆心，为半径的弧上运动（易求，），连接交于N，当点F与N重合时，的值最小，只需求得的长即可． 【详解】解：如图，∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 作的外接圆，圆心为O，则点F在以O为圆心，为半径的劣弧上运动，连接，交于N，当点F与N重合时，的值最小，最小值为． ∵， ∴， ∵， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质、等腰三角形的性质、含30度角直角三角形的性质、勾股定理、圆的有关知识等知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 7．如图，在等腰三角形中，，，D为平面内一点，连接，，且，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 1 7 【分析】根据题意，得，，得点D的运动轨迹是以为直径的，且的半径为2，连接，并延长交于点E，F，利用的等腰三角形的性质，勾股定理，圆的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴点D的运动轨迹是以为直径的，且的半径为3， 如图所示，连接，并延长交于点E，F， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴当点D与点E重合时，有最小值1，当点D与点F重合时，有最大值7， 故答案为：1，7． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，圆的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 8．如图，在边长为2的正方形中，有一动点满足，连接，，分别是，的中点，随着点在正方形内位置的变化，长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、角所对的弦是直径、三角形中位线定理以及到圆上一点距离最短问题；得出点在以为直径的半圆上运动是解决问题的关键． 根据动点满足可得点在以为直径的半圆上运动．由此得出取的中点，连接，则当点为与半圆的交点时，长取最小值．再根据中位线定理可知．由此即可得出结论． 【详解】连接． ∵，分别是，的中点， ∴． ∵动点满足，点在正方形内， ∴点在以为直径的半圆上运动． 取的中点，连接，则当点为与半圆的交点时， 如图所示，长取最小值． 在正方形中，，， ∴， ∴． ∴． 9．如图，在中，，，，点是边上的一动点，连接，作于点，连接，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了圆的直径所对的圆周角为直角、勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质、最短路径问题等问题，解题关键是灵活运用相关知识． 取的中点，连接、，由于点，可得点在以为圆心，半径为的圆上运动，当三点在同一直线上时，最短，即可求出的值． 【详解】解：如下图，取的中点，连接、， ∵，，， ∴， ∵，为的中点， ∴， 由于点，可得点在以为圆心，半径为的圆上运动， 当三点在同一直线上时，最短， 此时， ∴，即的最小值为4． 故答案为：4． 10．如图，矩形的边为上的点，是矩形内部一动点，且满足为边上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，先找出点的运动路线为以为直径的圆，作以为直径的，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，推出的最小值为，再求出的长度即可，推出的最小值为是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴点的运动路线为以为直径的圆， 作以为直径的，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，取点的中点，连接， 则， ∴， ∴的最小值为； ∵四边形是矩形，点是的中点，是的中点， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴的最小值为， 故答案为：． 11．如图，矩形中，，点E是矩形内部一动点，且，已知的最小值等于2，则矩形的周长= ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，的圆周角所对的弦为直径，勾股定理等知识．确定点的运动轨迹是解题的关键． 由，可得，则，即点E在以为直径的半上运动，如图，当点O，E，D三点共线时，取最小值2，设，则，，，由勾股定理得，，即，可求．则，根据矩形的周长，求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 点E在以为直径的半上运动， 如图， ∴当点O，E，D三点共线时，取最小值2， 设，则，，， 由勾股定理得，，即， 解得，． ∴， 矩形的周长， 故答案为：． 12．如图，在矩形中，，点E是上一动点，连接，过点C作于点F，连接．面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】取得中点O，由，判断出F在以O为圆心，为直径的圆上，即可求解． 【详解】解：取得中点O， ∵ ∴F在以O为圆心，为直径的圆上 ∴F到的最小距离为 ∴面积的最小值为 故答案为：8． 【点睛】本题考查了动点的轨迹问题，关键是根据，判断出F在以O为圆心，为直径的圆上． 13．如图，在中，，点D为边上一动点，连接，以为斜边在右侧作，，连接，随着点D的运动，的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、直角三角形的性质、四点共圆等知识点，正确作出辅助线、发现点E的轨迹是解题的关键． 如图：过C作于H，由勾股定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质可得、、，即为等腰直角三角形；如图：取的中点O，连接，易证点C、D、H、E四点共圆，根据圆周角定理可得，进而得到点E在过H且与夹角为的直线上，记该直线为l以及，最后根据垂线段最短以及勾股定理即可解答． 【详解】解：如图：过C作于H， ∵， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， 如图：取的中点O，连接， ∴， ∴点C、D、H、E四点共圆， ∵， ∴， ∴点E在过H且与夹角为的直线上，记该直线为l， ∴ 当时，取最小值，则， ∴， ∴． 故答案为：． 题型三：四点共圆 1．如图，在中，，，，点P为平面内一点，且，过C作交PB的延长线于点Q，则CQ的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得A、B、C、P四点共圆，由AA定理判定三角形相似，由此得到CQ的值与PC有关，当PC最大时CQ即取最大值． 【详解】解：∵在中，，，， ∴A、B、C、P四点共圆，AB为圆的直径，AB= ∵ ∴ ∴△ABC∽△PQC ∴， ，即 ∴当PC取得最大值时，CQ即为最大值 ∴当PC=AB=5时，CQ取得最大值为 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质以及四点共圆，掌握同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等确定四点共圆，利用相似三角形性质得到线段间等量关系是解题关键． 2．如图，已知AB=AC=AD，∠CAD=20°，则∠CBD的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【答案】A 【详解】 如图，AB=AC=AD ∵ ， 故选A． 3．如图，四边形是的内接四边形，，，，求的长． 【答案】． 【分析】如图，连接，过点作于点，通过勾股定理确定OB、OC的长，利用AB与BE 的关系确定最终答案. 【详解】如解图所示，连接，过点作于点，，且， ， 在中，，，， ， ， ，， ， ， ， 是的弦，过的圆心，且于点， ，且， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、勾股定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键． 题型四：瓜豆原理 1．如图，在等腰中，，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的轨迹与等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理．取的中点，取的中点，连接，，，则，故的轨迹为以为圆心，为半径的半圆弧，据此求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，取的中点，连接，， ∴为的中位线， ∵在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上， ∴， ∴， ∵为的中位线， ∴， ∵， ∴当点在同一直线上时，有最小值，的最小值是， ∵在等腰中，，点斜边的中点， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故选：A． 2．如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（ ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】以为边向上作等边三角形，连接，证明得到，分析出点D的运动轨迹是以点M为圆心，长为半径的圆，在求出点D到线段的最大距离，即可求出面积的最大值． 【详解】解：如图，以为边向上作等边三角形，连接， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D的运动轨迹是以点M为圆心，长为半径的圆，要使的面积最大，则求出点D到线段的最大距离， ∵是边长为4的等边三角形， ∴点M到的距离为， ∴点D到的最大距离为， ∴的面积最大值是， 故选A． 【点睛】本题考查了动点轨迹是圆的问题，解决本题的关键是利用构造全等三角形找到动点D的轨迹圆，再求出圆上一点到定线段距离的最大值． 3．在矩形中，，点在上，点在平面内，，，连按，将线段绕着点顺时针旋转得到，则线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，将线段绕点顺时针旋转得，得 ，将线段绕点顺时针旋转得，得 ，证明，得判断要使最大，则三点共线时最大，最大值为，根据勾股定理可求出即可得出结论 【详解】解：∵在平面内，且， ∴在以为圆心，3为半径的圆上，如图， 将线段绕点顺时针旋转得， ∴ ， 将线段绕点顺时针旋转得， ∴ ， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴在点为圆心，3为半径的圆上， 要使最大，则三点共线时最大，最大值为； ∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴的最大值为， 故答案为：． 4．如图所示，在扇形中，，，点是上的动点，以为边作正方形，当点从点移动至点时，求点经过的路径长．    【答案】点经过的路径长为． 【分析】如图，由此BO交⊙O于F，取的中点H，连接FH、HB、BD．易知△FHB是等腰直角三角形，HF＝HB，∠FHB＝90°，由∠FDB＝45°＝∠FHB，推出点D在⊙H上运动，轨迹是（图中红线），易知∠HFG＝∠HGF＝15°，推出∠FHG＝150°，推出∠GHB＝120°，易知HB＝3，利用弧长公式即可解决问题． 【详解】解：如图，由此BO交⊙O于F，取的中点H，连接FH、HB、BD．    易知△FHB是等腰直角三角形，HF＝HB，∠FHB＝90°， ∵∠FDB＝45°＝∠FHB， ∴点D在⊙H上运动，轨迹是（图中红线）， 易知∠HFG＝∠HGF＝15°， ∴∠FHG＝150°， ∴∠GHB＝120°，易知HB＝3， ∴点D的运动轨迹的长为＝2π． 【点睛】本题考查轨迹、弧长公式、圆的有关知识、正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点D的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题． 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$