专题03 圆（12大类基础+4大类提升）（高效培优期末专项训练）数学浙教版九年级上学期

专题03 圆 【题型导航】 【经典基础题】 1 题型1 圆的相关概念 2 题型2 判断点与圆的位置关系 2 题型3 三角形的外接圆 2 题型4 生活中的旋转现象 4 题型5 根据旋转的性质求解 4 题型6 垂径定理及应用 5 题型7 圆周角定理 7 题型8 圆内接四边形 9 题型9 正多边形与圆的综合 10 题型10 弧长的有关计算 10 题型11 扇形面积的有关计算 11 题型12 求图形旋转后扫过的面积 12 【优选提升题】 12 题型1 求一点到圆上点距离的最值 12 题型2 旋转中规律问题 14 题型3 旋转综合应用 14 题型4 不规则图形的阴影面积 15 【经典基础题】 题型1 圆的相关概念 1．已知是半径为4的圆内的一条弦，则的长不可能是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 2．下列说法中，错误的是（ ） A．经过点P的圆有无数个 B．以点P为圆心的圆有无数个 C．半径为且经过点P的圆有无数个 D．以点P为圆心，长为半径的圆有无数个 3．下列说法中，不正确的是（  ） A．过圆心的弦是圆的直径 B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 C．周长相等的两个圆是等圆 D．等弧的长度一定相等 题型2 判断点与圆的位置关系 1．已知的半径为5，若在平面上有一点A，且，则点A在（   ） A．外 B．上 C．内 D．不能确定 2．若的半径是3，点P在圆外，则的长可能是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图，中，于点，点为上的点，，以点为圆心为半径画圆，下列说法错误的是（    ） A．点在外 B．点在外 C．点在外 D．点在内 题型3 三角形的外接圆 1．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，， ，解答下列问题： (1)请在图中确定该圆弧所在圆心点的位置，则点坐标为_______． (2)连结，，求出的度数． 2．三边长为6，8，10的三角形，它的外接圆半径长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．学校耕读园里有一块空地，空地上有三棵树A，B，C，学校想修建一个圆形苗圃，使三棵树都在苗圃的边上． (1)请你把苗圃的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若中，米，米，，试求圆形苗圃的面积． 4．点是的外心，则点是的（    ） A．三条垂直平分线交点 B．三条角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高的交点 5．在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心； (2)若方格纸中每个小正方形的边长为2，求外接圆半径的长． 题型4 生活中的旋转现象 1．下列选项中的运动，属于旋转变换的是（   ） A．升国旗的过程 B．摩天轮的转动 C．汽车刹车时的滑动 D．电梯的运行 2．下列现象：①地下水位逐年下降，②传送带的移动，③方向盘的转动，④水龙头的转动；其中属于旋转的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型5 根据旋转的性质求解 1．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，且点恰好落在上．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点恰好在边上，连接，则的长为 ． 4．如图，在中，，，把绕着点逆时针旋转得到，其中点落在边的上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图所示的剪纸图片旋转一定角度后与自身重合，则这个角度至少是（    ）    A． B． C． D． 题型6 垂径定理及应用 1．如图，在中，弦，半径于点，，则的半径为（    ）    A． B． C． D．5 2．如图，残破的轮子上，弓形的弦为，高为，则这个轮子的半径长为（   ）． A． B．5 C． D．17 3．丁字尺是一种作图工具，如图1所示为丁字尺，可以看作由两把互相垂直的直尺（直尺的宽度均忽略不计）组成，并且部分平分部分．现将丁字尺放在一个圆形工件上（圆心为），其示意图如图所示，使得、、分别落在上，这样圆心就会落在上，已知，，请求出该圆形工件的半径． 4．如图，有一圆弧形桥拱，已知桥拱的跨度m，拱高，那么桥拱圆弧所在圆的半径为（   ） A．20m B．12m C．10m D．8m 5．利用以下素材解决问题． 探索货船通过拱桥的方案 素材1 图1中有一座对称石拱桥，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离，拱顶离水面的距离 素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物，据调查，船身下降的高度y（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式 素材3 本次探索成员对石桥桥拱的形状产生了争议，根据争论结果分成了两个小组，小组1认为桥拱为圆弧一部分，小组2认为桥拱为抛物线一部分 问题解决 任务1 根据小组1的结论，求圆形桥拱的半径． 任务2 根据小组1的结论探索方案 根据小组1的结论，根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？（最终结果四舍五入保留整数，参考数据：） 任务3 根据小组2的结论探索方案 据小组2的结论，根据图3状态，货船能否通过抛物线拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ 题型7 圆周角 1．如图，是的直径，是的中点，连接，，若，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，为半圆的直径，已知，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，点，，在上，且．若，则为（   ） A． B． C． D． 4．如图，是的圆周角，若则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．图，中，点C在上，，分别为、所对的圆周角．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 题型8 圆内接四边形 1．如图，四边形内接于，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，内接于，．若，则 度． 3．如图，四边形内接于，，，则的度数为 ． 4．如图，四边形内接于，如果的度数为122°，则∠DCE的度数为（   ） A． B． C． D． 题型9 正多边形与圆的综合 1．如图，已知正五边形内接于，连接、，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．若的半径为．则其内接正六边形的周长等于 3．一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是（   ） A．6 B．9 C．10 D．12 4．如图，在半径为3的上，以3为半径依次截取点六个点，并连接得六边形．连结，则四边形的面积是 ． 题型10 弧长的有关计算 1．已知圆心角为的扇形的半径为6，则扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，半径，则所对的长为 cm． 3．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，其主要思路是局部以直代曲，给出一个比较实用的近似公式．如图，弧是以O为圆心，为半径的圆弧，点C是弦的中点，，D在弧上．“会圆术”给出弧的弧长的近似值s的计算公式：．当，时， ． 4．一个长为 4cm，宽为 3cm 的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板点 A 位置的变化为A→Al→A2，其中第二次翻滚被面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°的角，则点 A 滚到A2位置时共走过的路径长为（         ） A． cm B． cm C． cm D． cm 题型11 扇形面积的有关计算 1．半径为3，圆心角为的扇形面积为（   ） A． B． C．3 D． 2.杭扇，素称“杭州雅扇”，与杭州丝绸、龙井茶被誉为“杭产三绝”．如图，某款杭扇完全打开后的展开图为扇形，该扇形圆心角为，半径是，则扇形的面积为（    ）． A． B． C． D． 3．已知扇形的半径为6，弧长为，则扇形的面积为 ． 题型12 求图形旋转后扫过的面积 1．如图，C，D是以为直径的半圆周的三等分点，．则阴影部分的面积等于 ． 2．如图，在等腰直角三角形中，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段 ，阴影部分的面积为 ． 3．如图，等腰三角形的顶角，以腰为直径作半圆，交于点D，交于点E，连结和．若，则阴影部分面积为 ． 【优选提升题】 题型1 求一点到圆上点距离的最值 1．如图，在矩形中，已知，，是边上一动点（点不与点，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为（   ） A． B． C．7 D．8 2．如图，在正方形中，，分别是边和上的动点，且，与交于点，连接，则的最小值是（    ）． A． B．3 C． D． 3．如图，矩形的边为上的点，是矩形内部一动点，且满足为边上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 4．如图，在中，，，点是上的动点，连接，过点作于点，点是的中点，连接，则的最小值是 5．已知抛物线与轴交于，两点，点为抛物线的顶点，点为以为直径的上一动点，为的中点，则的最小值为 ． 题型2 旋转中规律问题 1．如图，在平面直角坐标系中，等腰顶点A在x轴的正半轴上， 且， 将绕点O逆时针旋转，每次旋转，第次旋转结束时，点B的坐标为 （    ） A． B． C． D． 2．如图，一段抛物线记为，它与x轴交于两点O，，将绕旋转得到，交x轴于，将绕旋转得到，交x轴于，照这样的规律进行下去，则抛物线的顶点坐标是 3．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC绕点A 顺时针旋转到①，可得到点 P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2＋；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3＋；…按此规律继续旋转，直到点P2020为止，则 AP2021等于 4．如图，在平面直角坐标系中，第1次将边长为1的正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后，得到正方形OA1B1C1；第2次将正方形OA1B1C1绕点O逆时针旋转45°后，得到正方形OA2B2C2；.....按此规律，绕点O旋转得到正方形OA2020B2020C2020，则点B2020的坐标为 ． 题型3 旋转综合应用 1．如图，在正方形中，，E，F分别是边，上的点，满足，，分别与对角线交于点M，N． (1)求证： ①； ②； (2)求的最小值． 2．请阅读下列材料，完成相应的任务： 在已知所在平面内求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小（如图1）．这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．解决方法如下： (1)如图2，把绕A点逆时针旋转得到（点P，C的对应点分别为点，），连接．当B，P，，四点在同一直线上时，点P是的“费马点”． 证明过程如下： 由旋转可知 则， ∵______， ∴为等边三角形， ∴______， ∴， ∴当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，即点P是的“费马点”． (2)如图3，已知锐角，分别以，为边向外作正和正，连接，相交于P点，交于点M，交于点N．求的度数． （经过一定的证明我们可知所得点P也是的“费马点”．） (3)图4所示是学校教学楼前面的草坪，王校长准备在草坪地底下安装一个水管总接头P，然后从总接头P分别向顶点A，B，C布设三根滴灌水管，现测得，，，求滴灌水管总长度的最小值． 3．在中，，的角度记为．发现 如图1，若，点为边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转至位置，连接，． ①的形状为__________； ②填空：与的数量关系：__________；__________； 论证 如图2，若，点为边延长线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转至位置，连接，． ①试判断和的数量关系，并说明理由； ②求的度数． 拓展 若，，将“点为边延长线上一点”改为“点为直线上一点”，其余条件不变，当时，直接写出的长． 4．在中，为边上一点（不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到．    (1)如图1，连接，则线段与的数量关系是_________，位置关系是________； (2)如图2，当点在的延长线上时，连接，写出此时线段之间的等量关系，并加以证明； (3)如图3，在四边形中，．若，请直接写出的长． 5．问题背景：如图1设P是等边△ABC内一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，求∠APB的度数．小君研究这个问题的思路是：将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，易证：△APP'是等边三角形，△PBP'是直角三角形，所以∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝150°． 简单应用：（1）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝3，PC＝2，则∠BPC＝　　°． （2）如图3，在等边△ABC中，P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝12，∠APB＝150°，则PC＝　　． 拓展延伸：（3）如图4，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC．求证：BD＝AD+DC． （4）若图4中的等腰直角△ABC与Rt△ADC在同侧如图5，若AD＝2，DC＝4，请直接写出BD的长． 题型4 不规则图形的阴影面积 1．如图，C，D是以为直径的半圆周的三等分点，．则阴影部分的面积等于 ． 2．如图，在等腰直角三角形中，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段 ，阴影部分的面积为 ． 3．如图，等腰三角形的顶角，以腰为直径作半圆，交于点D，交于点E，连结和．若，则阴影部分面积为 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆 【题型导航】 【经典基础题】 1 题型1 圆的相关概念 2 题型2 判断点与圆的位置关系 3 题型3 三角形的外接圆 5 题型4 生活中的旋转现象 8 题型5 根据旋转的性质求解 9 题型6 垂径定理及应用 12 题型7 圆周角定理 18 题型8 圆内接四边形 21 题型9 正多边形与圆的综合 24 题型10 弧长的有关计算 26 题型11 扇形面积的有关计算 29 题型12 求图形旋转后扫过的面积 30 【优选提升题】 34 题型1 求一点到圆上点距离的最值 34 题型2 旋转中规律问题 40 题型3 旋转综合应用 44 题型4 不规则图形的阴影面积 58 【经典基础题】 题型1 圆的相关概念 1．已知是半径为4的圆内的一条弦，则的长不可能是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了圆的认识，基本概念，掌握“圆中最长的弦是直径”是解题的关键．根据圆内弦的性质，弦的长度不超过直径，直径为8，因此的长度不能大于8． 【详解】解：由题意知，该圆的直径为8， 圆中最长的弦为直径， ， 选项A中，故的长不可能为9，符合题意， 故选：A． 2．下列说法中，错误的是（ ） A．经过点P的圆有无数个 B．以点P为圆心的圆有无数个 C．半径为且经过点P的圆有无数个 D．以点P为圆心，长为半径的圆有无数个 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握确定圆的条件．根据圆的相关知识逐一分析即可． 【详解】解：由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．则： A、经过一个点P的圆有无数个，正确； B、以点P为圆心的圆，半径不确定，所以有无数个，正确； C、半径为且经过点P的圆，圆心不确定，所以有无数个，正确； D、以点P为圆心，以为半径的圆，圆心半径都确定，所以只有唯一的一个圆，错误． 故选：D． 3．下列说法中，不正确的是（  ） A．过圆心的弦是圆的直径 B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 C．周长相等的两个圆是等圆 D．等弧的长度一定相等 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本概念，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键． 根据直径、弦、弧、等圆和等弧的定义和性质，逐项判断即可． 【详解】解：选项A、过圆心的弦是圆的直径，这是直径的定义，则A正确； 选项B、在同一个圆中，当弦为直径时，所对的两条弧相等，且都为半圆，其他情况下一条弦所对的两条弧，是一条优弧和一条劣弧，两条弧不相等，因此同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，则B错误； 选项C、根据圆的周长公式半径，周长相等的圆，半径也相等，为等圆，则C正确； 选项D、等弧能完全重合，长度一定相等，则D正确； 故选：B． 题型2 判断点与圆的位置关系 1．已知的半径为5，若在平面上有一点A，且，则点A在（   ） A．外 B．上 C．内 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键． 直接根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：∵的半径为5，， ∴， ∴点A在内． 故选：C． 2．若的半径是3，点P在圆外，则的长可能是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点在圆外时，点与圆心的距离大于半径即可确定． 【详解】解：的半径是，点在圆外， ∴的长大于3， ∴的长可能是4． 故选：A． 3．如图，中，于点，点为上的点，，以点为圆心为半径画圆，下列说法错误的是（    ） A．点在外 B．点在外 C．点在外 D．点在内 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质求出BD=CD=6cm，利用勾股定理求出AD，得到AP的长，即可判断点A与的位置关系；利用勾股定理求出BP、CP，即可判断点B、C与的位置关系，由DP即可判断点D与位置关系． 【详解】解：∵， ∴BD=CD=6cm，∠ADC=90°， ∴cm， ∵DP=2cm， ∴AP=6cm， ∴点A在上；故A选项符合题意； 连接BP、CP， ∵， ∴AD垂直平分BC， ∴BP=CP=, ∴点B、C都在外；故B、C选项都不符合题意； ∵DP=2<6， ∴点在内，故D选项不符合题意， 故选：A． 【点睛】此题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，线段垂直平分线的判定及性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记点与圆的位置关系是解题的关键． 题型3 三角形的外接圆 1．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，， ，解答下列问题： (1)请在图中确定该圆弧所在圆心点的位置，则点坐标为_______． (2)连结，，求出的度数． 【答案】(1)图形见解析， (2) 【分析】本题主要考查确定圆的条件、勾股定理的逆定理、平面直角坐标系： （1）作线段和线段的垂直平分线，两条直线的交点即为点； （2）利用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）如图所示，作线段和线段的垂直平分线，两条直线的交点即为点． 故答案为： （2）如图所示，连接． ∵，，， ∴． ∴． 2．三边长为6，8，10的三角形，它的外接圆半径长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的外接圆与外心、勾股定理的逆定理等知识点，掌握直角三角形的外心就是斜边中点是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，可以判断这个三角形是直角三角形，且斜边就是外接圆的直径，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴该三角形为直角三角形， ∴这个三角形的外接圆的直径的长就是斜边的长为10， ∴此三角形的外接圆半径是5． 故选：C 3．学校耕读园里有一块空地，空地上有三棵树A，B，C，学校想修建一个圆形苗圃，使三棵树都在苗圃的边上． (1)请你把苗圃的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若中，米，米，，试求圆形苗圃的面积． 【答案】(1)见解析 (2)圆形花坛的面积为平方米 【分析】本题考查了作垂直平分线，画三角形的外接圆，勾股定理，直角所对的弦是直径； （1）根据线段垂直平分线性质，求三角形的外接圆； （2）根据勾股定理求斜边，斜边的一半就是圆的半径，即可求圆的面积． 【详解】（1）解：如图，即为苗圃的位置． （2）∵，米，米， ∴米， ∴外接圆的半径为米． ∴圆形花坛的面积为平方米． 4．点是的外心，则点是的（    ） A．三条垂直平分线交点 B．三条角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高的交点 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可解答． 【详解】解：点I是的外心，则点I是的三条垂直平分线交点， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，线段垂直平分线的判定定理，熟练掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理是解题的关键． 5．在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心； (2)若方格纸中每个小正方形的边长为2，求外接圆半径的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查作图应用与设计作图，三角形的外接圆等知识，解题的关键是理解三角形外接圆的圆心的三边垂直平分线的交点． （1）线段，的垂直平分线的交点即为所求； （2）连接，利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：连接． ． 故外接圆半径的长为． 题型4 生活中的旋转现象 1．下列选项中的运动，属于旋转变换的是（   ） A．升国旗的过程 B．摩天轮的转动 C．汽车刹车时的滑动 D．电梯的运行 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的定义，熟记旋转的定义是解题的关键． 根据旋转的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 升旗的过程属于平移，不属于旋转，故该选项不符合题意； B． 摩天轮的转动属于旋转，故该选项符合题意； C． 汽车刹车时的滑动属于平移，不属于旋转，故该选项不符合题意； D．电梯的运行属于平移，不属于旋转，故该选项不符合题 故选：B ． 2．下列现象：①地下水位逐年下降，②传送带的移动，③方向盘的转动，④水龙头的转动；其中属于旋转的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据旋转的概念解答即可． 【详解】解：①地下水位逐年下降，不是旋转现象； ②传送带的移动，不是旋转现象； ③方向盘的转动，是旋转现象； ④水龙头的转动，是旋转现象， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的判断，解题的关键是掌握旋转的概念：在平面内，将一个图形沿某一个定点转动一个角度，这样的图形运动称为旋转． 题型5 根据旋转的性质求解 1．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，且点恰好落在上．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 由旋转的性质得，，从而，然后由三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：由旋转的性质得，， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选B． 2．如图，绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得到，即可得到答案． 【详解】解： 绕点逆时针旋转得到， ， ． 故选C． 3．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点恰好在边上，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，由题意可得，即得，，进而由旋转得为等边三角形，得到，即得，得到为等边三角形，即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转得，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：． 4．如图，在中，，，把绕着点逆时针旋转得到，其中点落在边的上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形的外角，熟练掌握旋转的性质是解题关键．旋转得到，等边对等角，求出的度数，三角形的外角，求出的度数即可． 【详解】解：∵旋转， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5．如图所示的剪纸图片旋转一定角度后与自身重合，则这个角度至少是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求旋转对称图形的旋转角度．根据正五角形的对称性，用除以 5 计算即可得解． 【详解】， ∴旋转的角度角度至少． 故选B． 题型6 垂径定理及应用 1．如图，在中，弦，半径于点，，则的半径为（    ）    A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，由垂径定理可得，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：∵在中，弦，半径于点， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，残破的轮子上，弓形的弦为，高为，则这个轮子的半径长为（   ）． A． B．5 C． D．17 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，方程的应用等知识，熟练掌握垂径定理是解题关键．由垂径定理可得，设这个轮子的半径长为，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：，， ， 设这个轮子的半径长为，则， ， ， 在中，， ， 解得：， 即这个轮子的半径长为， 故选：B． 3．丁字尺是一种作图工具，如图1所示为丁字尺，可以看作由两把互相垂直的直尺（直尺的宽度均忽略不计）组成，并且部分平分部分．现将丁字尺放在一个圆形工件上（圆心为），其示意图如图所示，使得、、分别落在上，这样圆心就会落在上，已知，，请求出该圆形工件的半径． 【答案】该圆形工件的半径． 【分析】此题考查了垂径定理的应用．根据线段垂直平分线段，得出，连接，则，再设的半径为，可得，然后解方程即可． 【详解】解：圆心落在上，平分， 线段垂直平分线段， 、、三点所在圆的圆心在上， ， 连接，则， 设的半径为， ， ， ， 解得：， 该圆形工件的半径． 4．如图，有一圆弧形桥拱，已知桥拱的跨度m，拱高，那么桥拱圆弧所在圆的半径为（   ） A．20m B．12m C．10m D．8m 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，得出关于的等式是解题关键． 根据垂径定理和勾股定理得出求解即可． 【详解】解：根据垂径定理可知， 在直角中，根据勾股定理得：， 设，， ∴， 解得：， 即， 故选：C． 5．利用以下素材解决问题． 探索货船通过拱桥的方案 素材1 图1中有一座对称石拱桥，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离，拱顶离水面的距离 素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物，据调查，船身下降的高度y（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式 素材3 本次探索成员对石桥桥拱的形状产生了争议，根据争论结果分成了两个小组，小组1认为桥拱为圆弧一部分，小组2认为桥拱为抛物线一部分 问题解决 任务1 根据小组1的结论，求圆形桥拱的半径． 任务2 根据小组1的结论探索方案 根据小组1的结论，根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？（最终结果四舍五入保留整数，参考数据：） 任务3 根据小组2的结论探索方案 据小组2的结论，根据图3状态，货船能否通过抛物线拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ 【答案】任务1：；任务2：货船能通过圆形拱桥，最多还能卸载19吨货物；任务3：货船不能通过抛物线拱桥，至少要增加20吨货物才能通过 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，垂径定理的实际应用，勾股定理： 任务1：设拱桥所在圆的圆心为O，连接，先证明垂直平分，设圆O的半径为，则，利用勾股定理得到，解方程即可得到答案； 任务2：当恰好为圆O的弦时，由垂径定理得到，则，可得，则货船能通过圆形拱桥，进而得到，则，则货船能通过圆形拱桥，最多还能卸载19吨货物． 任务3：如图所示，以D为原点，所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，设桥拱所在的抛物线解析式为，由勾股定理得，则，利用待定系数法求出桥拱所在的抛物线解析式为，在中，当时，，由于，则货船不能通过抛物线拱桥，根据，得到，则货船不能通过抛物线拱桥，至少要增加20吨货物才能通过． 【详解】解：任务1：设拱桥所在圆的圆心为O，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴O、C、D三点共线， 设圆O的半径为，则， 由勾股定理得 ， ∴， 解得， ∴圆形桥拱的半径为 任务2：当恰好为圆O的弦时， ∵，， ∴（垂足为M）， ∴， ∴， ∴， ∴货船能通过圆形拱桥， ∵， ∴， ∴最多还能卸载19吨货物， ∴货船能通过圆形拱桥，最多还能卸载19吨货物． 任务3：如图所示，以D为原点，所在的直线为x轴，y轴建立坐标系， 设桥拱所在的抛物线解析式为， 由勾股定理得， ∴， 把代入中得：， ∴， ∴桥拱所在的抛物线解析式为， 在中，当时，， ∵， ∴货船不能通过抛物线拱桥， ∵， ∴， ∴至少要增加20吨货物才能通过 ∴货船不能通过抛物线拱桥，至少要增加20吨货物才能通过． 题型7 圆周角 1．如图，是的直径，是的中点，连接，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，得到，得出，即可得到答案． 【详解】如图，连接， 是的中点， ， ， ， 故选：A． 2．如图，为半圆的直径，已知，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系．利用圆周角定理求得，推出，由，得到，据此计算求得答案即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 3．如图，点，，在上，且．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，掌握圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系及三角形内角和定理、等腰三角形的性质是解题的关键．连接，根据等腰三角形的性质求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数；根据圆心角、弧、弦的关系求出的度数，由三角形内角和定理与等腰三角形的性质求出的度数，从而求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数即可． 【详解】解：如图，连接 ， ， ， 故选：D． 4．如图，是的圆周角，若则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出的度数，等边对等角，求出的度数即可． 【详解】解：∵是的圆周角，， ∴， ∵， ∴； 故选A． 5．图，中，点C在上，，分别为、所对的圆周角．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理求出，再根据弧、圆周角的关系求解即可． 【详解】解：解：连接，如图： ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 题型8 圆内接四边形 1．如图，四边形内接于，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的内接四边形，根据圆的内接四边形对角互补，即可作答． 【详解】解：四边形内接于，若， ， 故选：D． 2．如图，内接于，．若，则 度． 【答案】108 【分析】设，得到，求得，，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论． 本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：如图所示，在上取点，连接，， ，， ，， 设， ， 则， ，， 在BC的上方上取点D，连接BD，CD，则， ， ， ， ． 故答案为：． 3．如图，四边形内接于，，，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理．先利用圆内接四边形的对角互补计算出的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数，最后利用圆周角定理得到的度数． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：． 4．如图，四边形内接于，如果的度数为122°，则∠DCE的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据圆周角定理求出，然后根据圆内接四边形的性质求出，最后根据邻补角性质求解即可． 【详解】解：， ， ∵四边形内接于， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 题型9 正多边形与圆的综合 1．如图，已知正五边形内接于，连接、，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，掌握正多边形的性质是解题的关键． 根据正五边形的性质，进行计算，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵正五边形内接于， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 2．若的半径为．则其内接正六边形的周长等于 【答案】 【分析】本题考查了正六边形的性质，根据正六边形是的内接正六边形，可知是等边三角形，从而可知正六边形的边长为，所以正六边形的周长为． 【详解】解：如下图所示，正六边形是的内接正六边形， ，， 是等边三角形， ， ， 正六边形的周长为． 故答案为： ． 3．一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是（   ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法是正确解答的关键． 根据正多边形中心角的计算方法列方程求解即可． 【详解】解：设这个正多边形为正边形，由题意得， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 所以这个正多边形是正九边形， 故选：B． 4．如图，在半径为3的上，以3为半径依次截取点六个点，并连接得六边形．连结，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正六边形面积，熟练掌握正六边形性质，正三角形面积公式，是解题的关键． 正六边形可等分成六个正三角形，正三角形面积公式为（a正三角形的边长），剪下的三角形的面积每个都等于其中的一个正三角形的面积． 【详解】． 故答案为：． 题型10 弧长的有关计算 1．已知圆心角为的扇形的半径为6，则扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式； 根据扇形的弧长公式进行计算即可． 【详解】解：扇形的弧长为， 故选：B． 2．如图，在中，，半径，则所对的长为 cm． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理、扇形弧长公式，熟练掌握圆周角定理和弧长公式是解题的关键． 根据圆周角定理可得，利用扇形弧长公式求出长即可． 【详解】解：在中，， 则， 因此所对的长为：， 故答案为：． 3．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，其主要思路是局部以直代曲，给出一个比较实用的近似公式．如图，弧是以O为圆心，为半径的圆弧，点C是弦的中点，，D在弧上．“会圆术”给出弧的弧长的近似值s的计算公式：．当，时， ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等．根据题意连接，继而得，设圆的半径为r，则，再利用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：连接，如图： ，是的弦中点，， ， ，D，O共线， ， ， 设圆的半径为r，则， 在中，根据勾股定理，得， 即，解得， ， ． 故答案为：． 4．一个长为 4cm，宽为 3cm 的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板点 A 位置的变化为A→Al→A2，其中第二次翻滚被面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°的角，则点 A 滚到A2位置时共走过的路径长为（         ） A． cm B． cm C． cm D． cm 【答案】B 【分析】将点A翻滚到A2位置分成两部分：第一部分是以B为旋转中心，BA长5cm为半径旋转90°，第二部分是以C为旋转中心，4cm为半径旋转60°，根据弧长的公式计算即可． 【详解】解：∵长方形长为4cm，宽为3cm， ∴AB=5cm， 第一次是以B为旋转中心，BA长5cm为半径旋转90°， 此次点A走过的路径是 第二次是以C为旋转中心，4cm为半径旋转60°， 此次走过的路径是 ∴点A两次共走过的路径是= 故选B． 题型11 扇形面积的有关计算 1．半径为3，圆心角为的扇形面积为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查求扇形的面积，根据扇形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，扇形的面积为：； 故选D． 2.杭扇，素称“杭州雅扇”，与杭州丝绸、龙井茶被誉为“杭产三绝”．如图，某款杭扇完全打开后的展开图为扇形，该扇形圆心角为，半径是，则扇形的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形面积公式，根据扇形面积公式计算即可得解，熟练掌握扇形面积公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：扇形的面积为， 故选：C． 3．已知扇形的半径为6，弧长为，则扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积公式及弧长公式，根据扇形面积公式，计算即可．解题关键是找到弧长公式与面积公式之间得关系． 【详解】解：扇形面积． 故答案为：． 题型12 求图形旋转后扫过的面积 1．如图，C，D是以为直径的半圆周的三等分点，．则阴影部分的面积等于 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了扇形的面积公式，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等边三角形的性质和判定等知识点，能求出阴影部分的面积=扇形的面积是解此题的关键，注意：圆心角为，半径为r的扇形的面积． 连接，，求出的度数都是，求出，，得，根据等底、等高的三角形的面积相等得出和的面积相等，求出阴影部分的面积=扇形的面积，求出，再根据扇形的面积公式求出答案即可． 【详解】解：连接，， ∵C，D是以为直径的半圆周的三等分点，是的直径， 的度数都是， ， ， 是等边三角形， ， ， 和的面积相等， 即阴影部分的面积=扇形的面积， ，， ， 故答案为：． 2．如图，在等腰直角三角形中，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段 ，阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积计算公式，勾股定理，等腰直角三角形的性质和旋转的性质，连接，延长交于点，如图，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，得到，再根据旋转的性质得到，，则可判断为等边三角形，所以，从而可判断垂直平分，所以，，接着勾股定理计算出，则可求，然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积进行计算即可．知道求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，延长交于点， 为等腰直角三角形，， ，，， 绕点顺时针旋转得到， ，， 为等边三角形， ， ， 垂直平分， ，， ， 在中，， ， ， 阴影部分的面积． 故答案为：，． 3．如图，等腰三角形的顶角，以腰为直径作半圆，交于点D，交于点E，连结和．若，则阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，圆周角定理以及扇形面积，连接，则，，由知是等腰直角三角形，求出，过点作求出，过点作于点，则四边形是矩形，所以，，分别求出扇形的面积和的面积，即可得出结论． 【详解】解：连接，如图， ∵是等腰三角形，，, ， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 过点作则， ∴ ， ∴ 过点作于点，则四边形是矩形， 所以，， ∴, ∴． 故答案为：． 【优选提升题】 题型1 求一点到圆上点距离的最值 1．如图，在矩形中，已知，，是边上一动点（点不与点，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为（   ） A． B． C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称性质、圆的性质、矩形性质、勾股定理等知识点，准确根据题意得出动点轨迹是解题的关键． 根据对称性得到动点M的轨迹是在以A圆心，5为半径的圆上，根据点圆模型，在矩形中利用勾股定理求出线段的最小值即可． 【详解】解：如图：连接， ∵点B和M关于对称， ∴， ∴M在以A圆心，5为半径的圆上， ∴当A，M，C三点共线时，最短， ∵在矩形中，，， ∴． 故选：D． 2．如图，在正方形中，，分别是边和上的动点，且，与交于点，连接，则的最小值是（    ）． A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，借助于圆解决线段的最值问题，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．取线段的中点，以点为圆心，长为半径画圆，连接交于点，判定出，得出，确定点在上，然后利用勾股定理即可求出线段最小值． 【详解】解：如图所示，取线段的中点，以点为圆心，长为半径画圆，连接交于点， 在正方形中， ， ， 又， ， , ， ， ∴点在上， 此时，时值最小， 由勾股定理得, ， 故选：A． 3．如图，矩形的边为上的点，是矩形内部一动点，且满足为边上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，先找出点的运动路线为以为直径的圆，作以为直径的，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，推出的最小值为，再求出的长度即可，推出的最小值为是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴点的运动路线为以为直径的圆， 作以为直径的，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，取点的中点，连接， 则， ∴， ∴的最小值为； ∵四边形是矩形，点是的中点，是的中点， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴的最小值为， 故答案为：． 4．如图，在中，，，点是上的动点，连接，过点作于点，点是的中点，连接，则的最小值是 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求一点到圆上一点的距离的最值问题，勾股定理，直角三角形的性质，，取的中点，连接，则，可得点在以为直径的上，连接，则当点在线段上时，取得最小值，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：， ． 如图所示，，取的中点，连接，则， 点在以为直径的上，的半径为， 连接，则当点在线段上时，取得最小值， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ，即的最大值为， 故答案为：． 5．已知抛物线与轴交于，两点，点为抛物线的顶点，点为以为直径的上一动点，为的中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，三角形的中位线和点与圆的位置关系，先求出点的坐标，计算出圆心的坐标，连接，取的中点，当点与点重合时，连接，得，则点在以点为圆心，2为半径的圆上运动，当三点共线时最小，即最小，由勾股定理得，所以最小值为． 【详解】解：， 令，则， 解得，或， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴, ∴， 当时，， ∴， ∴, 连接，取的中点，则, 当点与点重合时，连接，如图， ∴是的中位线， ∴， 则点在以点为圆心，2为半径的圆上运动，当三点共线时最小，即最小，如图， 由勾股定理得，， ∴的最小值为：， 故答案为：． 题型2 旋转中规律问题 1．如图，在平面直角坐标系中，等腰顶点A在x轴的正半轴上， 且， 将绕点O逆时针旋转，每次旋转，第次旋转结束时，点B的坐标为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质与坐标变化，直角三角形性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据旋转角度和旋转次数确定旋转周期，得出第次旋转相当于旋转个周期后再旋转2次，即如图的位置，过点作轴于点H，利用直角三角形性质和勾股定理即可求得点坐标． 【详解】解：将绕点O逆时针旋转，每次旋转， ∵， ∴每旋转4次回到初始位置， ∵， 即次旋转相当于旋转个周期后再旋转2次，即如图的位置． ∵绕点O逆时针旋转得到， ∴， ∴， 过点作轴于点H， ， 在中，， ∴， ， ∴的坐标为． 故选：D． 2．如图，一段抛物线记为，它与x轴交于两点O，，将绕旋转得到，交x轴于，将绕旋转得到，交x轴于，照这样的规律进行下去，则抛物线的顶点坐标是 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数与几何变换．明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答是解题的关键． 先求出坐标，然后利用旋转的性质得出，的坐标，依此规律得到，的坐标，再根据抛物线开口向上，利用交点式求出的解析式，最后确定此抛物线的顶点坐标即可解答． 【详解】解：当时，，解得，， ∴ ∵将绕旋转得到，交x轴于，将绕旋转得到，交x轴于，…， ∴，， … ∴，， 即，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的开口向上， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为． 故答案为： 3．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC绕点A 顺时针旋转到①，可得到点 P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2＋；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3＋；…按此规律继续旋转，直到点P2020为止，则 AP2021等于 【答案】 【分析】仔细审题，发现每旋转3次为一个循环，按此规律即可求解． 【详解】解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1， ∴AB=2，BC=3， ∴将△ABC绕点A顺时针旋转到①,可得到点，此时A=2； 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点 ，此时A=2+； 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置，可得到点，此时A=3+； 由此可得：A =3++2=5+； A =5++=5+2； A =5+2+1=6+2 =2(3+)； ∵2021÷3=673…2， A  =673(3+)+2+=2021+674 故答案为：2021+674． 【点睛】本题考查了旋转的性质及直角三角形的性质，得到AP的长度依次增加2，，1，且三次一循环是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，第1次将边长为1的正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后，得到正方形OA1B1C1；第2次将正方形OA1B1C1绕点O逆时针旋转45°后，得到正方形OA2B2C2；.....按此规律，绕点O旋转得到正方形OA2020B2020C2020，则点B2020的坐标为 ． 【答案】（-1，-1） 【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形O A B C，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论． 【详解】解：∵四边形OABC是正方形，且OA=1， ∴B（1，1）； 连接OB，由勾股定理得：OB= ，由旋转得：OB= OB= OB=OB=…=； ∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB=∠BO B=∠BO B=…=45°， ∴B（0，），B（-1，1），B（-，0），B（-1，-1），…，发现是8次一循环，所以2020÷8=252…余4， ∴点B的坐标为（-1，1）． 故答案为（-1，-1）． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。也考查了坐标与图形的变化、规律型，点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型． 题型3 旋转综合应用 1．如图，在正方形中，，E，F分别是边，上的点，满足，，分别与对角线交于点M，N． (1)求证： ①； ②； (2)求的最小值． 【答案】(1)①见详解；②见详解 (2) 【分析】（1）①延长至点，使，连接，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质得到，再利用全等三角形的判定与性质得到，则结论得证； ②把绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，连接，由旋转的性质可得：，则，利用全等三角形的判定与性质得到，再利用勾股定理解答即可得出结论； （2）以为斜边，作等腰直角三角形，连接，过点作于，利用等腰直角三角形的性质得到，利用两点之间线段最短的性质得到，利用不等式的性质解答即可得出结论． 【详解】（1）（1）①证明：延长至点，使，连接， 如图， ∵四边形为正方形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ． ②证明：把绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，连接， 如图， ∵四边形为正方形， ， ， 由旋转的性质可得：， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：由（1）可知：， 以为斜边，作等腰直角三角形，连接，过点作于， 如图， ∵是等腰直角三角形，， ， ，， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ， ， ， ， ∴的最小值． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．请阅读下列材料，完成相应的任务： 在已知所在平面内求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小（如图1）．这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．解决方法如下： (1)如图2，把绕A点逆时针旋转得到（点P，C的对应点分别为点，），连接．当B，P，，四点在同一直线上时，点P是的“费马点”． 证明过程如下： 由旋转可知 则， ∵______， ∴为等边三角形， ∴______， ∴， ∴当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，即点P是的“费马点”． (2)如图3，已知锐角，分别以，为边向外作正和正，连接，相交于P点，交于点M，交于点N．求的度数． （经过一定的证明我们可知所得点P也是的“费马点”．） (3)图4所示是学校教学楼前面的草坪，王校长准备在草坪地底下安装一个水管总接头P，然后从总接头P分别向顶点A，B，C布设三根滴灌水管，现测得，，，求滴灌水管总长度的最小值． 【答案】(1)， (2) (3)滴灌水管总长度的最小值为米 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用． （1）将绕A点逆时针旋转得到，其中点P的对应点为，点C的对应点为，根据旋转的性质，旋转角，且对应边相等，即； （2）利用等边三角形的性质得出，，，进而得到，利用“”证明，设，利用三角形内角和定理得出结果； （3）将绕点A逆时针旋转得到，连接，当B，P，，四点共线时，的值最小，最小值为，过点作交延长线于点D，利用旋转构造出特殊三角形，通过勾股定理求出三个距离之和的最小值． 【详解】（1）证明：由旋转可知， 则，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，即点P是的“费马点”． 故答案为：，． （2）解：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 则，， 由三角形内角和定理可得，， 即． （3）解：如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接，当B，P，，四点共线时，的值最小，最小值为，过点作交延长线于点D， 由旋转的性质可得，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， 即滴灌水管总长度的最小值为米． 3．在中，，的角度记为．发现 如图1，若，点为边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转至位置，连接，． ①的形状为__________； ②填空：与的数量关系：__________；__________； 论证 如图2，若，点为边延长线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转至位置，连接，． ①试判断和的数量关系，并说明理由； ②求的度数． 拓展 若，，将“点为边延长线上一点”改为“点为直线上一点”，其余条件不变，当时，直接写出的长． 【答案】发现：① 等边三角形；② ，；论证：① ，理由见解析．② ；拓展：的长为或． 【分析】发现：由旋转的性质可知，即可解① 问，再结合题干的条件证明，即可解题． 论证：本题解题方法和第一问发现类似，证明，即可解题． 拓展：本题由讨论点在直线上和点在直线延长线上，过作于，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，得出线段，，最后结合勾股定理和旋转的性质即可解题． 【详解】发现：①解：由旋转的性质可知，，， 是等边三角形， 故答案为：等边三角形； ②解：由题意知，，， ， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， 故答案为：，； 论证：①解：，理由如下： 由题意知，， ， ， 由旋转的性质可知，，且， ， ； ②解：∵，， ， 由论证①可知，， ， ， 的度数为； 拓展 解：由，可知共有两种情况，如图、，过作于， ∵，， ， ， ， ，， 在中，由勾股定理得， ， ， 在中，由勾股定理得，， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，灵活运用全等三角形性质即可解题． 4．在中，为边上一点（不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到．    (1)如图1，连接，则线段与的数量关系是_________，位置关系是________； (2)如图2，当点在的延长线上时，连接，写出此时线段之间的等量关系，并加以证明； (3)如图3，在四边形中，．若，请直接写出的长． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质解答； （2）证明，得到，根据勾股定理计算即可； （3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明，得到，证明是直角三角形，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）在中，， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∵ ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故答案为，； （2），理由是：如图2，    ∵， ∴， 在和中， ∵， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图3，将绕点A逆时针旋转至，连接，    则是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 同理得：， ∴， 中， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题关键． 5．问题背景：如图1设P是等边△ABC内一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，求∠APB的度数．小君研究这个问题的思路是：将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，易证：△APP'是等边三角形，△PBP'是直角三角形，所以∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝150°． 简单应用：（1）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝3，PC＝2，则∠BPC＝　　°． （2）如图3，在等边△ABC中，P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝12，∠APB＝150°，则PC＝　　． 拓展延伸：（3）如图4，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC．求证：BD＝AD+DC． （4）若图4中的等腰直角△ABC与Rt△ADC在同侧如图5，若AD＝2，DC＝4，请直接写出BD的长． 【答案】（1）135；（2）13；（3）见解析；（4） 【分析】简单应用：（1）先利用旋转得出BP'＝AP＝5，∠PCP'＝90°，CP'＝CP＝2，再根据勾股定理得出PP'＝CP＝4，最后用勾股定理的逆定理得出△BPP'是以BP'为斜边的直角三角形，即可得出结论； （2）同（1）的方法得出∠APP'＝60°，进而得出∠BPP'＝∠APB﹣∠APP'＝90°，最后用勾股定理即可得出结论； 拓展延伸：（3）先利用旋转得出BD'＝BD，CD'＝AD，∠BCD'＝∠BAD，再判断出点D'在DC的延长线上，最后用勾股定理即可得出结论； （4）先利用旋转得出BD'＝BD，CD＝AD'，∠DBD'＝90°，∠BCD＝∠BAD'，再判断出点D'在AD的延长线上，最后用勾股定理即可得出结论． 【详解】解：简单应用：（1）如图2， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ACB＝90°，AC＝BC，将 △ACP绕点C逆时针旋转90°得到△CBP'，连接PP'， ∴BP'＝AP＝5，∠PCP'＝90°，CP'＝CP＝2， ∴∠CPP'＝∠CP'P＝45°， 根据勾股定理得，PP'＝CP＝4， ∵BP'＝5，BP＝3，∴PP'2+BP2＝BP'， ∴△BPP'是以BP'为斜边的直角三角形， ∴∠BPP'＝90°， ∴∠BPC＝∠BPP'+∠CPP'＝135°， 故答案为：135； （2）如图3， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AC＝AB， 将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，连接PP'， ∴BP'＝CP，AP'＝AP＝5，∠PAP'＝60°， ∴△APP'是等边三角形， ∴PP'＝AP＝5，∠APP'＝60°， ∵∠APB＝150°， ∴∠BPP'＝∠APB﹣∠APP'＝90°， 根据勾股定理得，BP'＝＝13， ∴CP＝13， 故答案为：13； 拓展延伸：（3）如图4， 在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC， 将△ABD绕点B顺时针旋转90°得到△BCD'， ∴BD'＝BD，CD'＝AD，∠BCD'＝∠BAD， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∴∠BCD+∠BCD'＝180°， ∴点D'在DC的延长线上， ∴DD'＝CD+CD'＝CD+AD， 在Rt△DBD'中，DD'＝BD， ∴BD＝CD+AD； （4）如图5， 在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC， 连接BD，将△CBD绕点B顺时针旋转90°得到△ABD'， ∴BD'＝BD，CD＝AD'，∠DBD'＝90°，∠BCD＝∠BAD'， AB与CD的交点记作G， ∵∠ADC＝∠ABC＝90°， ∴∠DAB+∠AGD＝∠BCD+∠BGC＝180°， ∵∠AGD＝∠BGC， ∴∠BAD＝∠BCD， ∴∠BAD＝∠BAD'， ∴点D'在AD的延长线上， ∴DD'＝AD'﹣AD＝CD﹣AD＝2， 在Rt△BDD'中，BD＝DD'＝． 【点睛】本题主要考查了三角形的旋转变换，涉及了旋转的性质、等边三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，灵活的利用三角形的旋转变换添加辅助线是解题的关键. 题型4 不规则图形的阴影面积 1．如图，C，D是以为直径的半圆周的三等分点，．则阴影部分的面积等于 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了扇形的面积公式，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等边三角形的性质和判定等知识点，能求出阴影部分的面积=扇形的面积是解此题的关键，注意：圆心角为，半径为r的扇形的面积． 连接，，求出的度数都是，求出，，得，根据等底、等高的三角形的面积相等得出和的面积相等，求出阴影部分的面积=扇形的面积，求出，再根据扇形的面积公式求出答案即可． 【详解】解：连接，， ∵C，D是以为直径的半圆周的三等分点，是的直径， 的度数都是， ， ， 是等边三角形， ， ， 和的面积相等， 即阴影部分的面积=扇形的面积， ，， ， 故答案为：． 2．如图，在等腰直角三角形中，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段 ，阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积计算公式，勾股定理，等腰直角三角形的性质和旋转的性质，连接，延长交于点，如图，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，得到，再根据旋转的性质得到，，则可判断为等边三角形，所以，从而可判断垂直平分，所以，，接着勾股定理计算出，则可求，然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积进行计算即可．知道求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，延长交于点， 为等腰直角三角形，， ，，， 绕点顺时针旋转得到， ，， 为等边三角形， ， ， 垂直平分， ，， ， 在中，， ， ， 阴影部分的面积． 故答案为：，． 3．如图，等腰三角形的顶角，以腰为直径作半圆，交于点D，交于点E，连结和．若，则阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，圆周角定理以及扇形面积，连接，则，，由知是等腰直角三角形，求出，过点作求出，过点作于点，则四边形是矩形，所以，，分别求出扇形的面积和的面积，即可得出结论． 【详解】解：连接，如图， ∵是等腰三角形，，, ， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 过点作则， ∴ ， ∴ 过点作于点，则四边形是矩形， 所以，， ∴, ∴． 故答案为：． / 学科网（北京）股份有限公司 $