专题3.5 正多边形（高效培优讲义）数学浙教版九年级上册

专题3.5 正多边形 教学目标 1. 在探索正多边形性质的过程中，引导学生经历观察、测量、猜想、验证等数学活动，培养学生的动手实践能力和自主探究能力； 2. 通过研究正多边形与圆的内在联系，让学生体会转化、类比等数学思想方法， 3. 在解决实际问题的过程中，提高学生分析问题和解决问题的能力，增强学生的逻辑思维能力和空间想象能力，进一步发展学生的几何直观。 教学重难点 1.重点 （1）正多边形的概念和性质是教学的核心重点。学生需要深刻理解正多边形边和角的特性，熟练掌握内角和、外角和公式以及内角、外角的计算方法，这是后续学习和应用的基础。 （2）正多边形与圆的关系及相关概念，如正多边形的中心、半径、边心距、中心角等，学生要准确把握这些概念的内涵，并能运用它们进行相关的计算和推理，理解正多边形是如何内接于圆或外切于圆的。 （3)运用正多边形的性质和相关公式解决实际问题，包括计算边长、角度、周长、面积等，以及利用尺规作图绘制正多边形，让学生能够将所学知识应用到具体情境中，提高知识的运用能力。 2.难点 (1)理解正多边形与圆的内在联系，推导正多边形的相关性质和计算公式，涉及到圆的对称性、弧长、扇形面积等知识的综合运用，对学生的抽象思维能力要求较高，学生在理解和推导过程中容易出现困难，这是教学的难点之一。 (2)利用尺规作正多边形，尤其是作正五边形等较为复杂的正多边形，作图方法和步骤较为繁琐，需要学生具备较高的作图技巧和空间想象能力，学生在实际操作过程中容易出现错误，难以准确作出符合要求的正多边形。 (3)综合运用正多边形的知识解决复杂的实际问题 知识点01 圆内正多边形的计算 （1）正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行，. 【即学即练】 1．如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．如图， 的半径为，正六边形内接于．求： (1)圆心O到的距离； (2)正六边形的面积． 知识点02 与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 【即学即练】 1．如图，点O为正六边形的中心，连接．若正六边形的边长为4，则点O到的距离的长为（    ） A． B．2 C． D．1 2．正多边形的一部分如图所示，点为正多边形的中心，若，则该正多边形的边数为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 知识点03 正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 2、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 3、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。 【即学即练】 1．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为8的正六边形，点是正六边形的中心，则的长为 ． 题型01求正多边形的中心角 【典例1】如图，正五边形内接于，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，正六边形内接于，点在上，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【变式2】正十边形的中心角的度数为 ． 题型02已知正多边形的中心角求边数 【典例2】如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A．9 B．10 C．18 D．20 【变式1】如图，是正多边形的一部分，若，则该正多边形的边数为 ． 【变式2】若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个正多边形是 ． 【变式3】如图，是的内接正六边形的一边，点在上．且是的内接正十边形的一边，若是的内接正边形的一边，则 ．   题型03正多边形和圆的综合 【典例3】如图，正五边形内接于，连接，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，是一个正多边形相邻的四个顶点，若，则这个多边形的边数为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 【变式2】如图，正六边形内接于，若的半径为3，则正六边形的周长为（    ） A．18 B．9 C．12 D．36 【变式3】如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的面积为（   ） A． B． C． D．18 题型04正多边形与平面直角坐标系综合 【典例4】如图，在平面直角坐标系中，边长为的正六边形的中心与原点重合， 轴，交 轴于点． 将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点，在轴上，顶点在轴上，若正六边形的中心点的坐标为 则点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 【变式2】蜂巢结构精巧，其巢房横截面形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，将七个全等的正六边形不重叠且无缝隙的放在直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，，则点的坐标为（   ）      A． B． C． D． 一、单选题 1．如图，正五边形内接于，将其绕它的中心旋转某一角度后会与原图形重合，这个角度可以是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则n的值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 4．半径为2的圆的内接正六边形的面积是（   ） A． B． C． D． 5．如图，正五边形内接于 ，为弧上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．如图，内部多边形为的内接正十二边形，若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为（   ） A．1 B． C．12 D． 二、填空题 7．如图，正五边形的顶点在上，是优弧上的一点（不与点重合），连接，则的度数为 ．    8．如图，已知的半径等于，则圆内接正六边形的边心距的长等于 ． 9．如图，在正多边形中，若，则 ． 10．如图，正六边形内接于，若点为上异于的一点，则的度数为 ． 11．李师傅要在木板上开一个小孔，使其恰好能穿过一个正六边形的螺母，如图所示，若圆孔的周长等于，则正六边形螺母的边长为 ． 三、解答题 12．综合与实践 某数学小组，在计算当周长为固定值时，围成正三角形、正方形、正六边形、圆的面积．      【探究发现】 当周长为时，计算回答下列问题： （1）正方形的面积为________． （2）如图，正，该正三角形的面积为多少？请写出计算过程． （3）直接写出该周长下，正六边形和圆的面积．比较在同一周长下，、、、的大小关系．（参考数据：，）    【应用结论】 张强同学假期看望爷爷奶奶，发现爷爷准备在空地上围一个简易羊圈，用来给怀胎和产仔的的母羊单独喂食．爷爷买了的护栏网，若不计损耗，围成的简易羊圈场地面积，是否能达到，若能，该如何围？若不能，说明理由． 13．如图，的周长等于，正六边形内接于． (1)求圆心到的距离． (2)求正六边形的面积． 14．金字塔是一种古老的建筑结构．它的底面是一个正多边形（如正三角形、正方形、正五边形等），侧面是由多个形状和大小一样的三角形构成，这些三角形的底边是底面多边形的边，顶点汇聚于一个共同的点，称为金字塔的顶点． 【提出问题】如何利用一张正多边形硬纸片制成一个无底的金字塔模型？ 【理解问题】在正多边形中，到各顶点距离相等的点是正多边形的中心．将正多边形相邻的两个顶点与中心相连，所得的三角形面积均相等． 【探究问题】 （1）如图，点O是正n边形硬纸片的中心，将其沿虚线剪开，分割成的多个四边形形状和大小也一样．将分割成的三角形拼接成一个无底的金字塔模型，此时正n边形的中心变为了金字塔的顶点． 已知正三角形、正方形、正五边形硬纸片的面积均为180，几种简单情形的数据如下： 正n边形的边数 3 4 5 …… 示意图 图1 图2 图3 …… 的度数 ° ° …… 金字塔模型中每个侧面的面积 20 15        …… 【归纳总结】（2）如图4，按照以上方式，则的度数为 °（用含有n的代数式表示），金字塔模型中每个侧面的面积为 （用含有S与n的代数式表示）． 【应用结论】（3）按照上述方式，若想剪拼出每个侧面的面积均为的无底金字塔模型，需要用面积多大的正八边形硬纸片？ 15．如图正方形内接于，为任意一点，连接、． (1)求的度数． (2)如图2，过点作交于点，连接，，，，求的长度． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.5 正多边形 教学目标 1. 在探索正多边形性质的过程中，引导学生经历观察、测量、猜想、验证等数学活动，培养学生的动手实践能力和自主探究能力； 2. 通过研究正多边形与圆的内在联系，让学生体会转化、类比等数学思想方法， 3. 在解决实际问题的过程中，提高学生分析问题和解决问题的能力，增强学生的逻辑思维能力和空间想象能力，进一步发展学生的几何直观。 教学重难点 1.重点 （1）正多边形的概念和性质是教学的核心重点。学生需要深刻理解正多边形边和角的特性，熟练掌握内角和、外角和公式以及内角、外角的计算方法，这是后续学习和应用的基础。 （2）正多边形与圆的关系及相关概念，如正多边形的中心、半径、边心距、中心角等，学生要准确把握这些概念的内涵，并能运用它们进行相关的计算和推理，理解正多边形是如何内接于圆或外切于圆的。 （3)运用正多边形的性质和相关公式解决实际问题，包括计算边长、角度、周长、面积等，以及利用尺规作图绘制正多边形，让学生能够将所学知识应用到具体情境中，提高知识的运用能力。 2.难点 (1)理解正多边形与圆的内在联系，推导正多边形的相关性质和计算公式，涉及到圆的对称性、弧长、扇形面积等知识的综合运用，对学生的抽象思维能力要求较高，学生在理解和推导过程中容易出现困难，这是教学的难点之一。 (2)利用尺规作正多边形，尤其是作正五边形等较为复杂的正多边形，作图方法和步骤较为繁琐，需要学生具备较高的作图技巧和空间想象能力，学生在实际操作过程中容易出现错误，难以准确作出符合要求的正多边形。 (3)综合运用正多边形的知识解决复杂的实际问题 知识点01 圆内正多边形的计算 （1）正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行，. 【即学即练】 1．如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据正多边形的边数周角中心角，计算即可得解． 【详解】解：这个多边形的边数是， 故选：C． 【点睛】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算；熟记正多边形的中心角与边数的关系是解题的关键． 2．如图， 的半径为，正六边形内接于．求： (1)圆心O到的距离； (2)正六边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点O作于点H，连结、，则可得，，在根据垂径定理和勾股定理即可求出的长； （2）由，，可得是等边三角形，先求出的面积，即可得正六边形的面积． 本题考查的是正多边形与圆、垂径定理，掌握正六边形的性质、垂径定理是解题的关键． 【详解】（1） 如图，过点O作于点H，连结、， 则，， ， 在中， ， ， ， 故圆心O到的距离为． （2），， 是等边三角形， ， ， ∴正六边形的面积为． 知识点02 与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 【即学即练】 1．如图，点O为正六边形的中心，连接．若正六边形的边长为4，则点O到的距离的长为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，求正多边形的中心角，连接，则，可证明是等边三角形，，则可得到，再求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点O为正六边形的中心， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴点O到的距离的长为2， 故选：B． 2．正多边形的一部分如图所示，点为正多边形的中心，若，则该正多边形的边数为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形与圆、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．连接，，易知点在以点为圆心，为半径的同一个圆上，根据圆周角定理得到，即可得到结论． 【详解】解：连接，，如下图， ∵为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， ∴点在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵ ∴， ∴这个正多边形的边数． 故选：B． 知识点03 正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 2、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 3、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。 【即学即练】 1．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为8的正六边形，点是正六边形的中心，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据正多边形性质得到，，利用等腰三角形性质和三角形内角和求得，作于点，利用等腰三角形性质得到，根据30度所对直角边等于斜边一半求得，再利用勾股定理求得，即可解题． 【详解】解：由题知，， ， ， 作于点， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形性质、等腰三角形性质、30度所对直角边等于斜边一半、勾股定理、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题． 题型01求正多边形的中心角 【典例1】如图，正五边形内接于，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的中心角、圆心角与弧的关系、圆周角定理，熟练掌握圆心角与弧的关系是解题关键．连接，先求出，再求出，然后根据圆周角定理即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵正五边形内接于， ∴， ∴的度数为， ∵点为的中点， ∴的度数为， ∴， 由圆周角定理得：， 故选：C． 【变式1】如图，正六边形内接于，点在上，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出是解决问题的关键．由正六边形的性质得出，由圆周角定理求出． 【详解】解：连接，， 多边形是正六边形， ， ， 故选：C． 【变式2】正十边形的中心角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，根据正多边形的中心角的定义解决问题即可． 【详解】解：正十边形中心角的度数， 故答案为：． 题型02已知正多边形的中心角求边数 【典例2】如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A．9 B．10 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．根据圆周角定理得到，即可得到结论． 【详解】解：、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， 点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ， ， 这个正多边形的边数， 故选：A． 【变式1】如图，是正多边形的一部分，若，则该正多边形的边数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形中心角问题、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．连接，，易知点在以点为圆心，为半径的同一个圆上，根据圆周角定理得到，再根据正多边形中心角计算方法即可得到答案． 【详解】解：连接，，如下图， ∵为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， ∴点在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵ ∴， ∴这个正多边形的边数． 故答案为：． 【变式2】若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个正多边形是 ． 【答案】正六边形 【分析】本题考查了正多边形的边数与中心角的关系，掌握正多边形的中心角等于是解题的关键． 根据正多边形中心角等于即可求解． 【详解】解：由题意得，边数为， 故答案为：正六边形． 【变式3】如图，是的内接正六边形的一边，点在上．且是的内接正十边形的一边，若是的内接正边形的一边，则 ．    【答案】/十五 【分析】本题考查正多边形和圆，连接，求出的度数，利用360度除以的度数即可得出结果． 【详解】解：连接，    ∵是的内接正六边形的一边， ∴， ∵是的内接正十边形的一边， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 题型03正多边形和圆的综合 【典例3】如图，正五边形内接于，连接，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形与圆、正五边形的性质、正多边形的中心角等知识．根据多边形的内角和可以求得，根据周角等于，可以求得的度数，然后即可计算出的度数． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， 故选：D． 【变式1】如图，是一个正多边形相邻的四个顶点，若，则这个多边形的边数为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形与圆的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 如图所示，设这个正边形内接于，连接，则，根据正多边形的每条边所对圆心角相等即可求解． 【详解】解：如图所示，设这个正边形内接于，连接， ∴， ∴， ∴，即这个多边形的边数为， 故选：D ． 【变式2】如图，正六边形内接于，若的半径为3，则正六边形的周长为（    ） A．18 B．9 C．12 D．36 【答案】A 【分析】本题考查正多边形与圆的有关计算，等边三角形的判定与性质，熟练掌握正六边形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的确关键． 连接，，证是等边三角形，即可求得正六边形的边长，然后由正六边形周长公式求解即可． 【详解】解：连接，， ∵正六边形内接于， ∴是等边三角形， ∴正六边形的周长， 故选：A． 【变式3】如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的面积为（   ） A． B． C． D．18 【答案】C 【分析】本题考查了圆与正多边形，连接，，由正多边形的性质得是等边三角形，求出三角形的面积，即可求解；理解正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接，， 正六边形内接于， ， ， 是等边三角形， ， 解得：， ， 正六边形的面积为 ； 故选：C． 题型04正多边形与平面直角坐标系综合 【典例4】如图，在平面直角坐标系中，边长为的正六边形的中心与原点重合， 轴，交 轴于点． 将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，坐标的变化规律问题，根据正多边形的性质可得，进而求出每旋转一次点的坐标，再根据每旋转次一个循环解答即可求解，找到坐标旋转变化的规律是解题的关键． 【详解】解：∵是正六边形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵ 轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转，每次旋转， ∴第次旋转结束时，点的坐标为， 第次旋转结束时，点的坐标为， 第次旋转结束时，点的坐标为， 第次旋转结束时，点的坐标为， ∵， ∴第次旋转结束时，点的坐标为， 故选：． 【变式1】如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点，在轴上，顶点在轴上，若正六边形的中心点的坐标为 则点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点P作与点K，延长交y轴与点N，连接，，，先证明四边形是矩形，再根据矩形的性质得出，由含30度直角三角形的性质得出 ，由等腰三角形的性质得出，由勾股定理求出，求出点K的坐标即可得出点B的坐标． 【详解】解：过点P作与点K，延长交y轴与点N，连接，，， 则，， ∵是正六边形，且中心角为， 则，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵正六边形的中心点的坐标为 ∴， ∴， ∴， ∴点K的坐标为：， ∴B点的坐标为， 故选：D． 【点睛】此题考查了正多边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，写出直角坐标系中点的坐标，等腰直角三角形的判定和性质等知识，掌握正多边形的性质是解题的关键． 【变式2】蜂巢结构精巧，其巢房横截面形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，将七个全等的正六边形不重叠且无缝隙的放在直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，，则点的坐标为（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设中间正六边形的中心为，连接，可得，，即得，得到，再根据正多边形的性质可得为等边三角形，即可得，得到，利用勾股定理得，即得，即可求解． 【详解】解：设中间正六边形的中心为，连接， ∵点的坐标分别为，，图中是七个全等的正六边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了正多边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，掌握以上知识点是解题的关键． 一、单选题 1．如图，正五边形内接于，将其绕它的中心旋转某一角度后会与原图形重合，这个角度可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆与正多边形，旋转对称图形，掌握正多边形的中心角的求法是解题的关键． 求出正五边形的中心角即为可旋转的角度． 【详解】解：正五边形中心角为：， ∴将其绕它的中心旋转会与原图形重合， 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正多边形和圆、勾股定理；正确掌握正多边形的性质是解题关键，利用正多边形的性质结合勾股定理计算，找到规律即可得解． 【详解】解：在中，，， ， 点的坐标为， 第1次顺时针旋转，点的对应点第四象限，其坐标为， 第2次顺时针旋转，点的对应点第三象限，其坐标为， 第3次顺时针旋转，点的对应点第二象限，其坐标为， 第4次顺时针旋转，点的对应点第一象限，其坐标为， 第5次顺时针旋转，点的对应点第四象限，其坐标为， 每4个一循环，则， 第2024次顺时针旋转，点的对应点第二象限，其坐标为， 故选：． 3．如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则n的值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键．由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得出结论． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 4．半径为2的圆的内接正六边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形和圆，正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，画出图形，如图，连接、，作于，利用半径求得即可求得面积．解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形． 【详解】解：如图： 连接、，作于， 根据题意，， 为等边三角形， ， ， ， 根据勾股定理可得， 等边三角形的面积为， 正六边形由6个等边三角形组成， 正六边形的面积为． 故选：A． 5．如图，正五边形内接于 ，为弧上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理；连接，先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵正五边形内接于 ， ∴, ∴， 故选：A． 6．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．如图，内部多边形为的内接正十二边形，若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为（   ） A．1 B． C．12 D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，含角的直角三角形的性质等知识点，解决此题的关键是熟练运用这些知识点． 如图，过点A作于，得到圆的内接正十二边的圆心角为，根据三角形的面积公式即可求出结论． 【详解】解：由题意可作图如下，过点A作于， ∵圆的内接正十二边形的圆心角为， ∴， ∴， 即这个圆的内接正十二边形的面积为， 故选：C 二、填空题 7．如图，正五边形的顶点在上，是优弧上的一点（不与点重合），连接，则的度数为 ．    【答案】/54度 【分析】本题考查正多边形与圆、圆周角定理等知识点，理解圆周角定理是解题的关键． 先根据正多边形内角和定理求得再根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∵是优弧上的一点（不与点重合）， ∴． 故答案为：． 8．如图，已知的半径等于，则圆内接正六边形的边心距的长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形，等边三角形的判定及性质，熟练掌握圆内接正多边形的相关概念是解题的关键．连接，，可得是等边三角形，根据边心距即为等边三角形的高用勾股定理求出． 【详解】解：连接，， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， 由题意可知，则垂直平分， ，， ， 故答案为：． 9．如图，在正多边形中，若，则 ． 【答案】108 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，三角形内角和定理应用，根据求出，再根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】解：∵所对的边有3条，所对的边有5条， ∴， ∴． 故答案为：108． 10．如图，正六边形内接于，若点为上异于的一点，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了正多边形和圆以及圆周角定理的知识，解题的关键是正确的构造圆心角．构造圆心角，分两种情况，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求得答案即可． 【详解】解：连接，，如图所示： 六边形是正六边形， ， 当点不在上时， ， 当点在上时， ， 故答案为：或． 11．李师傅要在木板上开一个小孔，使其恰好能穿过一个正六边形的螺母，如图所示，若圆孔的周长等于，则正六边形螺母的边长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查正多边形与圆的相关计算，解题的关键是掌握圆内接正六边形中心角等于，从而得到是等边三角形． 连接、，根据圆周长求出半径，再根据六边形是正六边形，求出得出是等边三角形，即可得出结果． 【详解】连接、，如图： 的周长等于， 的半径， 六边形是正六边形， ，     是等边三角形， ， 即正六边形的边长为． 故答案为：3． 三、解答题 12．综合与实践 某数学小组，在计算当周长为固定值时，围成正三角形、正方形、正六边形、圆的面积．      【探究发现】 当周长为时，计算回答下列问题： （1）正方形的面积为________． （2）如图，正，该正三角形的面积为多少？请写出计算过程． （3）直接写出该周长下，正六边形和圆的面积．比较在同一周长下，、、、的大小关系．（参考数据：，）    【应用结论】 张强同学假期看望爷爷奶奶，发现爷爷准备在空地上围一个简易羊圈，用来给怀胎和产仔的的母羊单独喂食．爷爷买了的护栏网，若不计损耗，围成的简易羊圈场地面积，是否能达到，若能，该如何围？若不能，说明理由． 【答案】[探究发现]（1）；（2）或（3）；[应用结论]能，理由见解析 【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理的应用； 【探究发现】（1）根据正方形的面积公式进行计算即可求解； （2）根据等边三角形的性质，勾股定理求得高，进而根据面积公式，即可求解; （3）根据圆的面积公式，以及正六边形的性质分别求解，进而比较大小，即可求解； 【应用结论】根据【探究发现】可得圆面积最大，进而计算周长为的圆的面积，即可求解． 【详解】解：（1）∵正方形的周长为， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积为， 故答案为：． （2）解：作于点， 是等边三角形，周长为，则， ， 在中，由勾股定理得：， ；    （3）∵的周长为， ∴半径为， ∴面积为； ∵正六边形的周长为，则边长为， ∴正六边形的面积为；    ∵、、、， ∴， 【应用结论】解：能，护栏网围成圆时，面积能达到； 根据【探究发现】可知，围成圆时，面积最大， ∵的周长为， ∴半径为， ∴面积为； ∴尽量围成圆时，简易羊圈场地面积能达到． 13．如图，的周长等于，正六边形内接于． (1)求圆心到的距离． (2)求正六边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（）连接，过点作于点，由圆的周长可得，由正六边形的性质可得，即得，得到，再利用勾股定理解答即可求解； （）由（）可得是等边三角形，得到，可得，再根据解答即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点，则， ∵的周长等于， ∴半径， ∵六边形是正六边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即圆心到的距离为； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 14．金字塔是一种古老的建筑结构．它的底面是一个正多边形（如正三角形、正方形、正五边形等），侧面是由多个形状和大小一样的三角形构成，这些三角形的底边是底面多边形的边，顶点汇聚于一个共同的点，称为金字塔的顶点． 【提出问题】如何利用一张正多边形硬纸片制成一个无底的金字塔模型？ 【理解问题】在正多边形中，到各顶点距离相等的点是正多边形的中心．将正多边形相邻的两个顶点与中心相连，所得的三角形面积均相等． 【探究问题】 （1）如图，点O是正n边形硬纸片的中心，将其沿虚线剪开，分割成的多个四边形形状和大小也一样．将分割成的三角形拼接成一个无底的金字塔模型，此时正n边形的中心变为了金字塔的顶点． 已知正三角形、正方形、正五边形硬纸片的面积均为180，几种简单情形的数据如下： 正n边形的边数 3 4 5 …… 示意图 图1 图2 图3 …… 的度数 ° ° …… 金字塔模型中每个侧面的面积 20 15        …… 【归纳总结】（2）如图4，按照以上方式，则的度数为 °（用含有n的代数式表示），金字塔模型中每个侧面的面积为 （用含有S与n的代数式表示）． 【应用结论】（3）按照上述方式，若想剪拼出每个侧面的面积均为的无底金字塔模型，需要用面积多大的正八边形硬纸片？ 【答案】（1）120；90；12；（2），；（3）1200 【分析】本题考查了正多边形的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键． （1）由题意可得出答案； （2）由正多边形的性质可得出答案； （3）由（2）中的结论可得出答案． 【详解】解：（1）由图1可知，； 由图2可知，， 由图3可知，金字塔模型中每个侧面的面积为； 故答案为：； （2）∵分割成的多个三角形形状和大小一样， ∴的度数为； ∵正n边形硬纸片的面积为S， ∴金字塔模型中每个侧面的面积为. 故答案为：，； （3）根据题意可得， ∵， 所以，， 所以． 15．如图正方形内接于，为任意一点，连接、． (1)求的度数． (2)如图2，过点作交于点，连接，，，，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图1中，连接、．根据即可解决问题； （2）如图2中，连接，，，，作于．首先证明，求出，设，在中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1中，连接、． 四边形是正方形， ， ； （2）解：如图2中，连接，，，，作于． ∵，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 在中，， ， 解得或（舍弃）， ． 【点睛】本题考查正多边形与圆、全等三角形的判定和性质、勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$