3.7 正多边形（同步课件）数学浙教版九年级上册

3.7 正多边形 数学（浙教版） 九年级 上册 第3章 圆的基本性质 学习目标 1．理解正多边形的概念； 2．会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题； 　 导入新课 我们知道，各边相等，各角也相等的三角形是等边三角形.在生活中，各边相等，各角相等的多边形的图案处处可见. 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 　 导入新课 我们已经学习过等边三角形（正三角形）、正方形（正四边形），正三角形、正四边形的各边相等，各角也相等。 螺帽的边缘 窗户的边框 生活中，各边相等、各角也相等的多边形的形象处处可见~ 讲授新课 知识点一 正多边形的相关概念 问题1 观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？ 各边相等，各角也相等. 观察与思考 讲授新课 知识要点 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形. 正多边形 各边相等 各角相等 缺一不可 讲授新课 【思考1】已知：三边相等的三角形是正三角形，三角相等的三角形也是正三角形，问：各边相等的多边形是正多边形吗？或各角相等的多边形是正多边形吗？ 各角相等的多边形不一定是正多边形 各边相等的多边形不一定是正多边形 讲授新课 【思考2】如图，已知⨀O， (1)用量角器把⨀O五等分，依次连接各等分点，得五边形ABCDE；(2)五边形ABCDE是正五边形吗？为什么？ 如图，点A、B、C、D、E把⨀O五等分， ∵====， ∴AB=BC=CD=DE=EA，= ， ∴∠A =∠B， 同理：∠B=∠C=∠D=∠E， ∴五边形ABCDE是正五边形. O A B C D E 讲授新课 问题2 n边形的内角和为多少？正n边形的每个内角的度数如何计算？ n边形的内角和为 正n边形的每个内角的度数为 讲授新课 问题3 n边形的外角和为多少？已知正n边形的内角为a度，如何求n的值？ n边形的外角和为360° 正n边形的内角为a度，则它的外角为(180-a)度. 故 讲授新课 典例精析 【例1】 如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求∠BED的度数． 解：由题意得 AB=AE,所以∠AEB= (180°-∠A)=36°， 所以∠BED=∠AED-∠AEB=108°-36°=72°. 讲授新课 练一练 1、如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若∠ADB=18°，则这个正多边形的边数为________。 【分析】如图，连接OA，OB， ∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心， ∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上， ∵∠ADB=18°， ∴∠AOB=2∠ADB=36°， ∴这个正多边形的边数==10． 10 讲授新课 知识点二 正多边形与圆 正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆. 以圆内接正五边形为例证明. 一般地，只要用量角器把一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点就能得到这个圆的内接正n边形，这个圆是这个正n边形的外接圆。 讲授新课 我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. ¬ 边心距r 讲授新课 O A B C D R 内接正三角形 边长 中心角 边心距 周长 面积 内接正三角形 边长 R 中心角 120° 边心距 周长 3R 面积 R2 O A B C D R E 内接正方形 边长 R 中心角 90° 边心距 R 周长 4R 面积 2R2 内接正六边形 边长 中心角 边心距 周长 面积 O A B C D E F R 内接正六边形 边长 R 中心角 60° 边心距 R 周长 6R 面积 R2 讲授新课 设正n边形的半径为R，边长为a，边心距为d，周长为C，面积为S 名称 公式 中心角 边心距 d= 周长 C=na 面积 S=Cd 讲授新课 典例精析 【例2】求边长为a的正六边形的周长和面积. 解：如图，过正六边形的中心O作OG⊥BC，垂足为G，连接OB，OC，设该正六边形的周长和面积分别为l和S. F A B C D E O G ∵ 多边形ABCDEF为正六边形， ∴ ∠BOC=60°，△BOC是等边三角形. ∴ l=6BC=6a. 在△BOC中，有 ∴ 讲授新课 2. 作边心距，构造直角三角形. 1. 连半径，得中心角； O A B C D E F R M r · 圆内接正多边形的辅助线 方法归纳 O 边心距r 边长