专题3.3 垂径定理（高效培优讲义）数学浙教版九年级上册

专题3.3 垂径定理 教学目标 1. 学生能够准确理解垂径定理及其推论的内容， 2. 熟练掌握定理中 “直径”“垂直于弦”“平分弦”“平分弦所对的优弧”“平分弦所对的劣弧” 之间的相互关系，能够用几何语言准确表述定理和推论。 3. 通过典型例题和练习，学生能正确运用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明，解决与圆中弦、弧、圆心距等相关的几何问题。 教学重难点 1.重点 （1）垂径定理及其推论的内容理解和掌握是教学的首要重点； （2）学生需要清晰明确地认识到定理中各个条件和结论之间的逻辑关系，这是后续运用定理解决问题的基础； （3）熟练运用垂径定理及其推论进行计算和证明也是重点内容，学生要能够根据具体的几何问题，准确地选择合适的定理和推论，将已知条件与定理相结合，通过合理的推理和计算得出结论。 2.难点 （1）垂径定理及其推论的推导过程较为抽象，涉及到圆的对称性、全等三角形等多个知识点的综合运用，对学生的空间想象能力和逻辑思维能力要求较高，这是教学的难点之一； （2）在实际问题中，学生往往难以准确地识别出垂径定理的基本图形，无法快速判断哪些条件可以运用垂径定理及其推论来解决问题，这需要学生具备较强的图形识别能力和问题分析能力，也是教学过程中需要突破的难点 ； （3）在运用垂径定理进行计算时，常常需要结合勾股定理等知识，构建方程来求解未知量，这种综合运用知识解决问题的方法对部分学生来说存在一定困难，也是教学难点的重要组成部分。 知识点01 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 【即学即练】 1．如图，是⊙的直径，是⊙的弦，，垂足为E．若，，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 知识点02 垂径定理的应用 经常为未知数，结合方程于勾股定理解答 【即学即练】 1．在直径为的圆柱形容器装进一些水后，其横截面如图所示．已知水面的宽度 ，则水的最大深度为（　　） A． B． C． D． 题型01利用垂径定理求值 【典例1】如图，点A，B，C在上，垂直平分于点．现测得，则圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，圆弧形石拱桥的桥顶到水面的距离为 ，桥拱半径OC为 ，则水面宽AB为（    ） A． B． C． D． 【变式2】将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 【变式3】如图，是的直径，点、在上，且，垂足为．若，，则 ．    题型02利用垂径定理求平行弦问题 【典例2】如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5． （1）若，，求的长； （2）若，且，求弦的长； 【变式1】已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是 ． 【变式2】设AB、CD是⊙O的两条弦，ABCD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离为 ． 【变式3】如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ． 题型03利用垂径定理求同心圆问题 【典例3】如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【变式1】如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点P. （1）PA与PB相等吗？请说明理由； （2）若，求圆环的面积. 【变式2】 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm 题型04利用垂径定理求解其他问题 【典例4】小明同学在做一道题时需要找出已知弧线所在圆的圆心，他在弧上描出了三个点，并连接了和，请你用尺规作图法，帮小明继续完成，找出该弧所在圆的圆心．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式1】如图，等腰的底边交⊙O于点、．求证：． 【变式2】如图，⊙P与y轴相切于点，与x轴相交于点，．直线恰好平分的面积，那么的值是 ． 题型05垂径定理的推论 【典例5】如图、已知为的直径，点为的中点．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，、在上，连接，，．的平分线交于点，交于点，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，是的直径，是的弦，且．若的半径为，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】如图，是的直径，弦与交于点，连接，，，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型06垂径定理的实际应用 【典例6】如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是这一款拱门的示意图，已知拱门所在圆的半径为，拱门最下端． (1)求拱门最高点到地面的距离； (2)现需要给房间内搬进一个直径为的圆桌面（桌面的厚度忽略不计），已知搬桌面的两名工人在搬运时所抬高度相同（桌面与地面平行），通过计算说明工人将桌面抬高多少（即桌面与地面的距离）就可以使该圆桌面通过拱门． 【变式1】如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，，为水面截线，，为桌面截线， ．    (1)作于点，求的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 【变式2】某地欲搭建一座桥，桥的底部两端间的距离米，桥面最高点C到的距离米，现有以下两种设计方案可供选择： (1)方案一：如图1，设计成抛物线型，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系，求此函数表达式． (2)方案二：如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； (3)现有一艘宽为18米的货船，货船露出水面部分的横截面为矩形，并高出水面2.7米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由． 【变式3】如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽为，拱高为． (1)求桥拱的半径； (2)此桥的安全限度是拱顶点距离水面不得小于，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度为时，是否需要采取紧急措施？请说明理由． 1．如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A．3 B．2 C．6 D． 2．如图，是的弦，半径，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 3．如图，点在上，点是中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知矩形的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径上．若，则矩形的面积等于（    ） A．21 B．22 C．23 D．24 5．石拱桥是中国传统的桥梁四大基本形式之一如图，石拱桥整体形状为圆的一部分，已知该石拱桥的桥顶到水面的距离为，水面的长也为，则该石拱桥的半径为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”大意是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，则的直径为 寸． 7．如图，过的中点作，垂足为，，，则所在圆的半径长是 ． 8．如图，在中，弦，O到的距离，则的半径为 ． 9．如图，为的直径，弦于点，，，那么该圆的半径为 . 10．如图，的半径为5，圆心到弦的距离的长为3，则弦的长是 ． 11．将一个量角器与一把无刻度透明直尺如图所示摆放，直尺的边与量角器分别交于点A，B，C，D，点C，点D分别对应量角器的刻度为120，60，若量角器的直径的长为，则点O到的距离为 ． 12.已知如图，、是的弦，，垂足为点E，被分成3厘米、14厘米两段（），则点O到的距离为 ． 13．我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法早1500年．其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，为的直径，弦于点E，寸，寸（注：1尺寸），则可得直径的长为 尺．” 三、解答题 14．如图，是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 15．西安的摔碗酒吸引众多游客体验，喝完酒摔碎碗，寓意“碎碎”平安．如图，这是摔碗酒瓷碗正面的形状示意图，是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接、，已知，碗深，求的长． 16．如图，某零件的截面为弓形． (1)请用直尺和圆规作出该弓形的圆心； (2)若，弓形的高为1．求弓形的半径． 17．装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆．如图①和图②所示，为水面截线，为台面截线，．计算在图①中，已知，作于点． (1)求的长． (2)操作将图①中的水槽沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，如图②．其中，半圆的中点为与半圆的切点为，连接交于点．探究在图②中．操作后水面高度下降了多少？ (3)连接并延长交于点，求线段的长度． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 垂径定理 教学目标 1. 学生能够准确理解垂径定理及其推论的内容， 2. 熟练掌握定理中 “直径”“垂直于弦”“平分弦”“平分弦所对的优弧”“平分弦所对的劣弧” 之间的相互关系，能够用几何语言准确表述定理和推论。 3. 通过典型例题和练习，学生能正确运用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明，解决与圆中弦、弧、圆心距等相关的几何问题。 教学重难点 1.重点 （1）垂径定理及其推论的内容理解和掌握是教学的首要重点； （2）学生需要清晰明确地认识到定理中各个条件和结论之间的逻辑关系，这是后续运用定理解决问题的基础； （3）熟练运用垂径定理及其推论进行计算和证明也是重点内容，学生要能够根据具体的几何问题，准确地选择合适的定理和推论，将已知条件与定理相结合，通过合理的推理和计算得出结论。 2.难点 （1）垂径定理及其推论的推导过程较为抽象，涉及到圆的对称性、全等三角形等多个知识点的综合运用，对学生的空间想象能力和逻辑思维能力要求较高，这是教学的难点之一； （2）在实际问题中，学生往往难以准确地识别出垂径定理的基本图形，无法快速判断哪些条件可以运用垂径定理及其推论来解决问题，这需要学生具备较强的图形识别能力和问题分析能力，也是教学过程中需要突破的难点 ； （3）在运用垂径定理进行计算时，常常需要结合勾股定理等知识，构建方程来求解未知量，这种综合运用知识解决问题的方法对部分学生来说存在一定困难，也是教学难点的重要组成部分。 知识点01 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 【即学即练】 1．如图，是⊙的直径，是⊙的弦，，垂足为E．若，，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，解题关键是理解垂径定理的内容并能灵活运用于计算． 【详解】解：∵是的直径，是的弦，， ∴， ∴， 故选：B ． 知识点02 垂径定理的应用 经常为未知数，结合方程于勾股定理解答 【即学即练】 1．在直径为的圆柱形容器装进一些水后，其横截面如图所示．已知水面的宽度 ，则水的最大深度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可． 【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示： ∵， ∴， ∵的直径为， ∴， 在中，， ∴， 即水的最大深度为， 故选：C 题型01利用垂径定理求值 【典例1】如图，点A，B，C在上，垂直平分于点．现测得，则圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理和垂径定理，关键是利用垂径定理解答． 连接，利用垂径定理解答即可． 【详解】连结，如图，设半径为， ∵垂直平分于点， ∴，， ∴， ∴点O，D，C三点共线， ， ， 在中， ，即 解得：， 则圆的半径为． 故答案为：A． 【变式1】如图，圆弧形石拱桥的桥顶到水面的距离为 ，桥拱半径OC为 ，则水面宽AB为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理． 连接，根据题意，得出，，再根据勾股定理，得出的长，再根据垂径定理，即可得出的长． 【详解】解：连接， ∵桥拱半径为， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长. 【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC， ∵OA=OD=4，CD=2， ∴OC=2， ∴AC=， ∴AB=2AC=. 故答案为C. 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键. 【变式3】如图，是的直径，点、在上，且，垂足为．若，，则 ．    【答案】6 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 连接，设，则，求得 ，根据垂径定理得，进而在中根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，设，则，    ∴ ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得（不合题意，舍去）， ∴． 故答案为：6． 题型02利用垂径定理求平行弦问题 【典例2】如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5． （1）若，，求的长； （2）若，且，求弦的长； 【答案】（1）7；（2）8 【分析】（1）连接AO和DO，由垂径定理得，再由勾股定理求出OF的长，同理求出OE的长，即可求出EF的长； （2）连接BO和DO，先由垂径定理和勾股定理求出OE的长，设，在中，利用勾股定理列式求出x的值，得到BF的长，即可求出AB的长． 【详解】解：（1）连接AO和DO， ∵，且EF过圆心， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理， ， ∴； （2）如图，连接BO和DO， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ，解得，（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理，并能够结合勾股定理进行运用求解． 【变式1】已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是 ． 【答案】7或17 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，分当的圆心O位于、之间时，当的圆心O不在两平行弦、之间时，两种情况分别利用勾股定理和垂径定理求出点O到和的距离，据此可得答案． 【详解】解：如图，当的圆心O位于、之间时，作于点E，并延长，交于F点．分别连接、． ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴和之间的距离为17； 如图所示，当的圆心O不在两平行弦、之间（即弦、在圆心O的同侧）时， 同理可得：， ∴， ∴和之间的距离为7； 综上所述，和之间的距离为7或17． 故答案为：7或17． 【变式2】设AB、CD是⊙O的两条弦，ABCD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离为 ． 【答案】17或7/7或17 【分析】根据题意画出图形，由于AB、CD在圆心的同侧或异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】解：①当AB、CD如图（一）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC， ∵ABCD，OE⊥CD， ∴OF⊥AB， 由垂径定理可知AF=AB=×24=12，CE=CD=×10=5， 在Rt△CEO中，OE==12； 同理，OF==5， 故EF=OE﹣OF=12﹣5=7； ②当AB、CD如图（二）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC， 同（一）可得OE=12，OF=5，EF=OE+OF=12+5=17； 故答案为：17或7． 【点睛】本题考查的是垂径定理，勾股定理，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解． 【变式3】如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ． 【答案】 【分析】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在△OHF中，勾股定理计算． 【详解】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H， 则EH=FH=EF=2， ∵GB=5， ∴OF=OB=， 在△OHF中，勾股定理，得 OH=， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形OADH也是矩形， ∴AD=OH=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键． 题型03利用垂径定理求同心圆问题 【典例3】如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【答案】(1)见解析 (2)大圆的半径为 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理； （1）作于E，根据垂径定理得到即可得到； （2）连接，在和中根据勾股定理得到，代入求值计算即可． 【详解】（1）证明：如图：作于E， 由垂径定理，得： 即； （2）解：如图，连接， ， ， 在和中，由勾股定理，得： ， ， 即， 解得： 大圆的半径为． 【变式1】如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点P. （1）PA与PB相等吗？请说明理由； （2）若，求圆环的面积. 【答案】（1）相等，证明见解析；（2）圆环的面积为 【详解】试题分析：（1）PA=PB，连接OP，在大圆中利用垂径定理即可证明， （2）连接OA，根据切线的性质和勾股定理可得：OA2﹣OP2=AB2，写出环形的面积表达式，把数值代入即可． 试题解析：（1）PA=PB，理由如下： 连接OP， ∵大圆的弦AB切小圆于点P， ∴OP⊥AB， ∴PA=PB， （2）接OA， ∵大圆中长为8的弦AB与小圆相切， ∴OP⊥AB，AP=4， ∴OA2﹣OP2=16， ∴πOA2﹣πOP2=（OA2﹣OP2）π， ∴圆环的面积=16π． 【变式2】 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm 【答案】134 【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32， ∵OE⊥AB， ∴AE=EB=100cm， 在RT△OAE中， 在RT△OCE中，， 则 解得：r=134． 故答案为：134． 【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 题型04利用垂径定理求解其他问题 【典例4】小明同学在做一道题时需要找出已知弧线所在圆的圆心，他在弧上描出了三个点，并连接了和，请你用尺规作图法，帮小明继续完成，找出该弧所在圆的圆心．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作线段的垂直平分线和垂径定理，属于基础题型，熟练掌握垂径定理和线段垂直平分线的尺规作图是关键． 根据垂径定理的推论可知：弦的垂直平分线过圆心，尺规作线段和的垂直平分线，其交点即为所求． 【详解】解：如图，点O即为所求． 【变式1】如图，等腰的底边交⊙O于点、．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了垂径定理和等腰三角形的性质三线合一，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 过点O点作，垂足为M，根据垂径定理可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，进而可求证． 【详解】证明：过点O点作，垂足为M． ∵， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 【变式2】如图，⊙P与y轴相切于点，与x轴相交于点，．直线恰好平分的面积，那么的值是 ． 【答案】 【分析】连接，，过点作于点，根据切线的性质可知轴，故可得出四边形是矩形，所以，再求出的长，由垂径定理可得出的长，故可得出的长，进而得出点坐标，再把点坐标代入直线即可得出结论． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵与轴相切于点，∴轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，∴， ∴， ∴， ∴，∵直线恰好平分的面积， ∴点在直线上， ∴，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是圆的综合题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形求出点坐标即可得出结论． 题型05垂径定理的推论 【典例5】如图、已知为的直径，点为的中点．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，根据垂径定理中“知二推三”进行推理论证，即可解题． 【详解】解： 为的直径，点为的中点． ， 故选：B． 【变式1】如图，、在上，连接，，．的平分线交于点，交于点，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了垂径定理，根据垂径定理解答即可． 【详解】解：∵的平分线交于点，是半径， ∴，，，，故A、B、D正确； 选项C不能证明， 故选：C． 【变式2】如图，是的直径，是的弦，且．若的半径为，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】此题考查了垂径定理的推论、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理推论是关键．先利用垂径定理的推论得到，再利用勾股定理进行解答即可． 【详解】解：是的直径，是的弦，且 ， ． 故选A. 【变式3】如图，是的直径，弦与交于点，连接，，，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查垂径定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选D． 题型06垂径定理的实际应用 【典例6】如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是这一款拱门的示意图，已知拱门所在圆的半径为，拱门最下端． (1)求拱门最高点到地面的距离； (2)现需要给房间内搬进一个直径为的圆桌面（桌面的厚度忽略不计），已知搬桌面的两名工人在搬运时所抬高度相同（桌面与地面平行），通过计算说明工人将桌面抬高多少（即桌面与地面的距离）就可以使该圆桌面通过拱门． 【答案】(1)拱门最高点到地面的距离为 (2)工人将桌面抬高就可以使该圆桌面通过拱门 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，熟知垂径定理是解题的关键． （1）设拱门所在圆的圆心为O，，作于C，延长交圆于D，连接，由垂径定理可得，则由勾股定理可得的长，据此求出的长即可得到答案； （2）设弦，且，连接，同理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图②中，设拱门所在圆的圆心为O，，作于C，延长交圆于D，连接， ∵，经过圆心O， ∴， ∴， ∴， ∴拱门最高点到地面的距离为； （2）解：如图，设弦，且，连接． ∵，经过圆心O， ∴， ∴， ∴， 答：工人将桌面抬高就可以使该圆桌面通过拱门． 【变式1】如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，，为水面截线，，为桌面截线， ．    (1)作于点，求的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 【答案】(1)的长为 (2)水面截线减少了 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理． （1）连接，利用垂径定理得出，由勾股定理计算即可得出答案； （2）过作，连接，由题意得，利用勾股定理求出，再利用垂径定理得出与相减即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，连接， 为圆心，，， ， ， ， 在中，， 的长为；    （2）如图，过作，连接， 由题意得：， 在Rt中，， ， ， 水面截线减少了．    【变式2】某地欲搭建一座桥，桥的底部两端间的距离米，桥面最高点C到的距离米，现有以下两种设计方案可供选择： (1)方案一：如图1，设计成抛物线型，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系，求此函数表达式． (2)方案二：如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； (3)现有一艘宽为18米的货船，货船露出水面部分的横截面为矩形，并高出水面2.7米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由． 【答案】(1) (2)米 (3)抛物线型方案：不能；圆弧型方案：能；理由见解析 【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为，将点代入，求出a的值，即可确定函数的解析式； （2）设圆心为，连接交于点，连接，在中，由勾股定理可得，即，解方程即可求出该圆弧所在圆的半径； （3）①选择抛物线型方案时，当时，，由，即可得出结论；②选择圆弧型方案时，设米，过点G作交弧于点F，过点O作交于点H，连接，在中，利用勾股定理可求出米，进而可得米，再由，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵米， ∴，， ∵， ∴， 设抛物线的解析式为， 将点的坐标代入，得： ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，设圆心为，连接交于点，连接， ∵米，桥面最高点到的距离米， ∴，米， 在中，， ∴， 解得：， ∴该圆弧所在圆的半径为米； （3）解：抛物线型方案：货船不能顺利通过该桥；圆弧型方案：货船能顺利通过该桥；理由如下： ①选择方案一时，货船从正中间走时，当时，， ∵， ∴货船不能顺利通过该桥； ②选择方案二时，货船从正中间走时，设米， 如图，过点G作交弧于点F，过点O作交于点H，连接，则四边形为矩形， ∴米，（米）， 在中，， ∴， ∴米， ∵（米）， ∴（米）， ∵， ∴货船能顺利通过该桥． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了实际问题与二次函数（拱桥问题），待定系数法求二次函数解析式，圆的性质，垂径定理的实际应用，勾股定理等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【变式3】如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽为，拱高为． (1)求桥拱的半径； (2)此桥的安全限度是拱顶点距离水面不得小于，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度为时，是否需要采取紧急措施？请说明理由． 【答案】(1) (2)不需要采取紧急措施，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于圆半径的方程． （1）设桥拱的半径是，由垂径定理求出，而，由勾股定理得到，求出； （2）由垂径定理求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长即可得解． 【详解】（1）解：如图半径，， 设桥拱的半径是， ， ， 拱高为， ， ， ， ， 桥拱的半径是； （2）解：不需要采取紧急措施，理由如下： 如图，连接， ， ， ， ， ， 不需要采取紧急措施． 1．如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A．3 B．2 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟悉掌握垂径定理是解题的关键． 由垂径定理得到的长，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴在中，， 故选：A． 2．如图，是的弦，半径，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质．连接，利用全等三角形的性质证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，设交于K．    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：C． 3．如图，点在上，点是中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形性质，由点是中点，可得，进而可得，根据，即可得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵点是中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图，已知矩形的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径上．若，则矩形的面积等于（    ） A．21 B．22 C．23 D．24 【答案】D 【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、垂径定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解答的关键．连接，过于H，则，可证明四边形是矩形得，则，再利用勾股定理求得，进而利用矩形性质求解即可． 【详解】解：连接，过于H，则，， ∵矩形的顶点B，C在半径为5的半圆O上，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，则， 在中，， ∴矩形的面积等于， 故选：D． 5．石拱桥是中国传统的桥梁四大基本形式之一如图，石拱桥整体形状为圆的一部分，已知该石拱桥的桥顶到水面的距离为，水面的长也为，则该石拱桥的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，连接，设，得根据垂径定理得，根据勾股定理列出方程求出的值即可． 【详解】解：连接，如图， ， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得，， 故选：B． 二、填空题 6．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”大意是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，则的直径为 寸． 【答案】26 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，先根据垂径定理，由垂直得到点为的中点，由寸可求出的长，再设出圆的半径为寸，表示出的长，根据勾股定理建立关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵为的直径，，且寸， ∴寸， 设圆的半径的长为寸，则 寸， ∵寸， ∴寸， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ∴， 解得， ∴寸， 故答案为：26． 7．如图，过的中点作，垂足为，，，则所在圆的半径长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，勾股定理，解一元一次方程等知识点，熟练掌握垂径定理的推论及勾股定理是解题的关键． 由“点是的中点，”，根据垂径定理的推论可知，所在圆的圆心在所在的直线上，延长到圆心，连接，设所在圆的半径长为，则，，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出所在圆的半径长． 【详解】解：如图，延长到圆心，连接， 设所在圆的半径长为，则， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， 解得：， 所在圆的半径长为， 故答案为：． 8．如图，在中，弦，O到的距离，则的半径为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，由垂径定理可得，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴的半径为2， 故答案为：2． 9．如图，为的直径，弦于点，，，那么该圆的半径为 . 【答案】13 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识．连接，首先根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧”可得，再在中，利用勾股定理列式计算，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接，设该圆的半径为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 即， 解得 ∴该圆的半径为，， 故答案为：13． 10．如图，的半径为5，圆心到弦的距离的长为3，则弦的长是 ． 【答案】8 【分析】此题考查了勾股定理和垂径定理，先根据垂径定理得到，再根据勾股定理求出的值即可． 【详解】解：连接， ∵的半径为5， ∴ ∵圆心到弦的距离的长为3， 由垂径定理知，点M是的中点，， 由勾股定理可得，， ∴． 故答案为：8 11．将一个量角器与一把无刻度透明直尺如图所示摆放，直尺的边与量角器分别交于点A，B，C，D，点C，点D分别对应量角器的刻度为120，60，若量角器的直径的长为，则点O到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的度量、等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等知识点，掌握这些基础知识点是解题关键． 连接，过点O作于点H，根据题意得出，再由等边三角形的判定和性质得出为等边三角形，，结合三线合一及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接，过点O作于点H， ∵点C，点D分别对应量角器的刻度为120，60， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵直径的长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点O到的距离为， 故答案为：． 12.已知如图，、是的弦，，垂足为点E，被分成3厘米、14厘米两段（），则点O到的距离为 ． 【答案】厘米 【分析】本题考查了垂径定理、矩形的判定与性质，作于，于，由题意可得，厘米，厘米，则四边形为矩形，厘米，由垂径定理可得厘米，求出的长，即可得解． 【详解】解：如图：作于，于， ， 由题意可得：，厘米，厘米， ∴四边形为矩形，厘米， ∴， ∵， ∴厘米， ∴厘米， ∴厘米， 即点O到的距离为厘米， 故答案为：厘米． 13．我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法早1500年．其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，为的直径，弦于点E，寸，寸（注：1尺寸），则可得直径的长为 尺．” 【答案】1 【分析】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，根据垂径定理得出的长，设半径为r寸，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ， 由垂径定理知，点E是的中点， 寸， 设半径为r寸，则寸 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得：，     ， 即圆的直径为寸，即为1尺． 故答案为：1． 三、解答题 14．如图，是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1)4 (2)5 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理得到；由勾股定理求出长． （1）由垂径定理得到； （2）设，得，由勾股定理可得,求出的值即可． 【详解】（1）解：∵直径， ∴； （2）解：∵， ∴ 设， ∵, ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 15．西安的摔碗酒吸引众多游客体验，喝完酒摔碎碗，寓意“碎碎”平安．如图，这是摔碗酒瓷碗正面的形状示意图，是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接、，已知，碗深，求的长． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的关键． 根据垂径定理得出，在中，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：是的中点， ， ． 设， ，则． 在中，由勾股定理得， 即，解得， 的长为． 16．如图，某零件的截面为弓形． (1)请用直尺和圆规作出该弓形的圆心； (2)若，弓形的高为1．求弓形的半径． 【答案】(1)见解析； (2)2． 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、垂径定理的应用、勾股定理， （1）在弧上任取点，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，则点即为该弓形的圆心； （2）设线段的垂直平分线交弧于点，交于点，连接，则，．设弓形的半径为，则，．由勾股定理得，，代入求出的值即可． 【详解】（1）解：如图，在弧上任取点，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，则点即为所求； （2）解：设线段的垂直平分线交弧于点，交于点，连接， 则，， 设弓形的半径为， 则，． 由勾股定理得，， 即， 解得， 弓形的半径为2． 17．装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆．如图①和图②所示，为水面截线，为台面截线，．计算在图①中，已知，作于点． (1)求的长． (2)操作将图①中的水槽沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，如图②．其中，半圆的中点为与半圆的切点为，连接交于点．探究在图②中．操作后水面高度下降了多少？ (3)连接并延长交于点，求线段的长度． 【答案】(1)的长为 (2)操作后水面高度下降了cm (3)线段E F的长度为cm 【分析】（1）连接，利用垂径定理，圆的性质，勾股定理解答即可． （2）根据题意由平行线的公理可得出，由垂径定理得出，再由含30直角三角形的性质得出的长度，计算就是水位下降的高度． （3）由题意可知，，再由半径相等可知，由勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）解：连接，如图， 由题意得：， 故答案为：7； （2）解：由题意得：， 与半圆的切点为， ， 操作后水面高度下降了． 故答案为： （3）解：半圆的中点为， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的性质，垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$