3.3.1垂径定理1　课件　2025-2026学年浙教版（2012）数学九年级上册

该初中数学课件围绕垂径定理展开，从圆的轴对称性出发，通过折叠实验引导学生发现直径与弦的垂直关系，逐步构建“垂直于弦的直径平分弦及其所对弧”的核心结论，前后衔接自然，形成由直观感知到逻辑推理的学习支架。 其亮点在于融合几何直观、逻辑推理与数学建模三大核心素养，以【思考1】和【思考2】为探究起点，借助图形折叠操作强化空间观念，再通过例题解析落实弦心距与半径的关系，体现“用数学的眼光观察现实世界”，如例2中排水管截面问题即是对实际情境的抽象建模。教师可借此提升课堂互动质量，学生则能在动手实践中深化理解，发展理性思维与应用意识。

3.3.1垂径定理1 浙教版数学 九年级上 【回顾】 类比 思想 定义 图形的旋转 性质 应用 三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度 ①图形经过旋转所得的图形和原图形全等； ②对应点到旋转中心的距离相等； ③任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度 等于旋转角度. ①作图； ②利用旋转解决线段、角和面积的有关问题. 平移 轴对称 数学抽象 逻辑推理 （２）圆是轴对称性图形吗？如果是，它有几条对称轴？ （１）什么是轴对称图形？　 【思考1】回答下列问题 （ 3 ）你是怎么得出结论的？ ●O 圆的对称性： 圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴. 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形. 用折叠的方法 【思考2】 （1）如图，在⊙O中任意作一条弦AB，观察此时的图形，它还是轴对称图形吗，若是，你能作出它的对称轴吗？ E 证明：连结OA，OB. ∵OA=OB， ∴AE=BE. ∵CD⊥AB， ∵∠AEO=∠BEO=Rt∠， ∴沿直径CD对折时，射线EA与射线EB重合， ∴点A与点B重合, ∴. （2）沿垂直于弦AB的直径CD所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧会相互重合？ 【思考2】 （1）如图，在⊙O中任意作一条弦AB，观察此时的图形，它还是轴对称图形吗，若是，你能作出它的对称轴吗？ E （2）沿垂直于弦AB的直径CD所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧会相互重合？ 点A与点B重合 AE与BE重合 AE=BE ， 【结论】用“如果…那么…” 的形式表述上面的命题。 如果直径垂直于弦，那么直径平分弦并且平分弦所对的弧。 【垂径定理】垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 如果直径垂直于弦，那么直径平分弦并且平分弦所对的弧。 ∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件) ∴ AP=BP, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD.(结论) 大前提条件下 推导格式： E 分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点. 如图，C是 ①平分弦 ③ 平分弦所对的优弧 ②平分弦所对的劣弧 已知，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点． 例1 A B 【分析】要平分，只要画垂直于弦AB的直径，而这条直径应在弦AB的垂直平分线上.因此，画弦AB的垂直平分线就能把平分. C D E 【变式】 求弧AB的四等分点． C D A B E F G m n 思考：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为CD没有过圆心 垂径定理的几个基本图形 一条排水管的截面如图所示．已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆圆心O到水面的距离OC ． 例2 8 10 解：过点O作OC⊥AB，垂足为C. 答：截面圆心O到水面的距离为6. ∵OC⊥AB，AB=16， ∴BC=AB=8. 在Rt由勾股定理，得 圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距 C 5 13 A B O D . 半径 弦心距 半弦长 弓高 构造直角三角形 知二求二 圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距 已知⊙O的半径为13cm，一条弦的弦心距为5cm， 求这条弦的长. 试一试 如图，O的直径AB垂直弦CD于点P，且P为半径OB的中点，若CD=6，则O的半径长为_________. 在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解. 方法归纳 涉及垂径定理时辅助线的添加方法 弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系： 弓形中重要数量关系 A B C D O h r d d+h=r O A B C · 已知⊙O的半径为25 cm，弦AB＝40 cm，弦CD＝48 cm，AB∥CD.求两条平行弦AB，CD之间的距离． 拓展 在无图的题目中，要根据题意画出图形，思考要严谨．易忽略圆的对称性而漏解． $