专题3.3 垂直定理（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）基础知识专项突破讲练2025-2026学年九年级数学上册（浙教版）

专题3.3 垂直定理 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点引入1： 1 知识点（一）垂径定理 1 【题型1】利垂径定理进行求解 2 【题型2】利垂径定理进行求值证明 3 【题型3】利垂径定理进行尺规作图 3 知识引入2： 4 知识点（二）垂径定理1，定理2. 5 【题型4】利垂径定理1，定理2求解 5 【题型5】利垂径定理1，定理2证明 6 知识点（三）垂径定理在同心圆和平行弦中的应用. 7 【题型6】利垂径定理解决同心圆问题 8 【题型7】利垂径定理解决平行弦问题 9 小结： 9 【题型8】垂径定理实际运用 9 【题型9】垂径定理综合问题 10 二. 同步练习 11 【基础巩固（20题）】 11 【能力提升（21题）】 16 【中考真题8题】 21 一．知识梳理与题型分类精析 知识点引入1： 【例】（23-24九年级上·山东滨州·期中）求证：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 由此，我们得到了以下定理 知识点（一）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. 数学语言：.如图1，在☉o中，是☉o的直径 ，， 备注：分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点；圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距. 【题型1】利垂径定理进行求解 【例题1】（24-25九年级下·天津·开学考试）如图，在中，已知是垂直平分半径的弦． （1）求的度数； （2）若弦，求的半径． 【变式1】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，的直径，是的弦，，垂足为M，，则的长为（　　） A．8 B．16 C．32 D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱高长，则该拱门的半径是 ． 【题型2】利垂径定理进行求值证明 【例题2】（24-25九年级上·河北沧州·期中）【教材变式】如图，是的直径，是的一条弦，且于，连接，，． （1）求证：；（2）若，，求的半径长． 【变式1】（2025·安徽淮北·二模）如图，为直径，E为弦的中点，连接． （1）求证：为等腰三角形； （2）连接，若，四边形的面积为40，求的长． 【变式2】（24-25九年级上·湖北十堰·期中）如图，，交于点，，是半径，且于点． （1）求证：．（2）若，，，求的长度． 【题型3】利垂径定理进行尺规作图 【例题3】（24-25九年级下·陕西西安·开学考试）如图，为的弦，连接，请用尺规作图法在劣弧上求作一点C，连接交于点D，使得点D为的中点（保留作图痕迹，不写作法） 【变式1】（2025·山西晋城·三模）在数学活动课上，老师让同学们测一个残缺圆形工件（如图所示）的半径，实践小组给出了解决方案：在工件圆弧上任取两点，连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，交于点，交弦于点，经测量，，则圆形工件的半径为 ． 【变式2】（2025·广东东莞·一模）如图，在中，直径为，． （1）请用尺规作图法过点作的垂线，交于点，交劣弧于点，保留作图痕迹不写作法； （2）求的长． 知识引入2： 【例】如图，☉o的直径交弦AB（不是直径）于点，. 求证：，. （垂直于弦的直径平分弦所对的弧）. 同理可证：当，时，. 这样，我们就得到了垂径定理的性质2和性质3如下： 知识点（二）垂径定理1，定理2. 定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. 数学语言：如图2，在☉o中，是☉o的直径， ，，. 定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦. 数学语言：如图2，在☉o中，是☉o的直径， ， . 【题型4】利垂径定理1，定理2求解 【例题4】（23-24九年级上·北京西城·期末）如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点D，连接，．若，，求的面积． 【变式1】（2025·广东湛江·二模）如图，，，在上，，交于点．若，，则半径的长为（   ） A． B．6 C．8 D．10 【变式2】（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）如图，是的弦，半径经过的中点．若，则的大小为 ． 【题型5】利垂径定理1，定理2证明 【例题5】（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图所示，D、E分别是的中点，交于M、交于 求证：． 【变式1】（2025·河南新乡·三模）如图，、在上，连接，，．的平分线交于点，交于点，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，点在以为直径的上，，交于点，垂足，，． （1）连接，证明为等腰直角三角形； （2）连接，若点，在上，且，求证：． 知识点（三）垂径定理在同心圆和平行弦中的应用. 垂直定理在同心圆中的应用： 在同心圆☉o中，大圆的弦交小圆于、两点，过点作于点C，所以. 图3 垂直定理在平行弦中的应用： 在☉o中，//，分为、在圆心的同侧和两侧两种情况，过圆心作弦的弦心距构造直角三角形，利用勾股定理解决问题。 图4 【题型6】利垂径定理解决同心圆问题 【例题6】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． （1）求证：； （2）若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【变式1】（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． （1）求证：； （2）若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 【变式2】（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，已知点是两个同心圆的圆心，大圆的弦与小圆交于点、． （1）求证：； （2）如果，，大圆面积是小圆面积的倍，求大圆半径的长． 【题型7】利垂径定理解决平行弦问题 【例题7】（23-24九年级上·甘肃庆阳·期中）已知的半径为13，弦平行于，，求和之间的距离． 【变式1】（23-24九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是 ． 小结： 垂径定理可以概括为：① 过圆心（即直线为直径或半径所在直线）；② 垂直于弦；③ 平分弦；④ 平分弦所对的优弧；⑤ 平分弦所对的劣弧。在这五个要素中，若已知其中任意两个要素成立，则可推出另外三个要素也成立（当 “平分弦” 的弦为直径时，推论不成立，即两条直径互相平分但不一定垂直）. 【题型8】垂径定理实际运用 【例题8】（24-25九年级下·河南许昌·开学考试）如图，有一拱桥为圆弧形，跨度，拱高，当洪水泛滥时，跨度只有时要采取紧急措施．当测量人员测得水面到拱顶距离只有时，是否需要采取紧急措施？ 【变式1】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（    ） A．4cm B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·广东佛山·阶段练习）如图，北京冬奥冰壶比赛中，凌智在中轴线上点投出一个冰壶，范苏圆通过擦冰让冰壶的运行轨迹为圆弧，对方在中轴上点有一障碍壶，米，且冰壶偏离中轴线的最大距离为4米，如果要把对方冰壶撞开，则圆弧的半径为 ． 【题型9】垂径定理综合问题 【例题9】（24-25九年级下·安徽淮北·期中）如图1，在中，直径垂直弦于点G，，连接交于点F． （1）若，，求的长； （2）连接，如图2，若，求的度数． 【变式1】（24-25九年级上·重庆·期末）如图，是的内接三角形，，将沿折叠恰好经过中点，连接，若，，则的半径长为 ，的长为 ． 【变式2】（24-25九年级上·广东潮州·期末）如图1，是的直径，点D为下方上一点，点F为弦的中点，连接且延长交于点C，连接，． （1）求证：； （2）如图2，延长，相交于点 求证：； 若，，求的半径． 二. 同步练习​ 【基础巩固（20题）】 一、单选题 1．（24-25九年级下·湖南湘西·阶段练习）如图，圆O 的半径交于点 D，，则圆O的半径为（       ）    A．5 B．6 C．7 D．8 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，是的直径，弦于点，连接．若，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 4．（22-23九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 5．（2025·湖南衡阳·二模）如图，点在上，点是中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·云南楚雄·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，且．若的半径为，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2025·广东广州·二模）如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，桨轮船的轮子半径为，则轮子的浸水深度为（ ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·广东广州·期末）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O为圆心的圆，已知圆心 O在水面的上方，被水面截得的弦长为 8 米，点 C 是运行轨道的最低点，点 C 到弦 AB 的距离为 2 米，则  的半径长为（   ） A．4 米 B．5 米 C．6 米 D．8 米 二、填空题 9．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）的半径是13，弦，，则与的距离是 ． 10．（24-25九年级下·江苏·阶段练习）如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为 ． 11．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）如图，在中，弦的长为4，，则的度数为 ． 12．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 ． 13．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作交于点D、E，则的最大值为 ． 14．（2024九年级·全国·竞赛）在中，半径为，弦垂直平分弦，则 ． 15．（24-25九年级上·陕西西安·期末）王师傅要测量一个如图所示的残缺圆形工件的半径，因为无法直接测量，所以王师傅这样操作：在工件圆弧上任取两点，连接，作AB的垂直平分线交于点，交于点，测出，便可求出该工件的半径，则该圆形工件的半径为 ． 16．（2023·宁夏中卫·三模）我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法早1500年．其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，为的直径，弦于点E，寸，寸（注：1尺寸），则可得直径的长为 尺．” 三、解答题 17．（24-25九年级下·广东广州·开学考试）如图，为⊙的直径，是弦，且于点E，连接、、，，，求弦的长． 18．（2025·安徽马鞍山·一模）如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G．，若，，求的半径． 19．（24-25九年级上·山东聊城·期中）已知：如图，的弦的延长线相交于点，且．求证：点在的平分线上． 20．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，为的直径，点C在上． （1）尺规作图：在中作出点D，使得点D是所对的弧的中点（不写作法，只保留作图痕迹）； （2）连接，交于点E．探究与的数量关系，并证明你的结论． 【能力提升（21题）】 一、单选题 1．（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）图2是从正面看到的一个“老碗”（图1）的形状示意图是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接，．已知，碗深，则的半径为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东东营·阶段练习）的半径是13，弦，，，则与的距离是（   ） A．7或34 B．17或34 C．7或17 D．34 3．（2025·广西来宾·三模）如图，在中，、为的两条弦，，，垂足为、，连接，若，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，点A为的中点，，所在的平面内有一点D，若，则点D与的位置关系是（   ） A．点D在外 B．点D在上 C．点D在内 D．无法确定 5．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·甘肃嘉峪关·开学考试）如图，在直径为的半圆中，为半圆弧上的一点，连接，将劣弧沿弦折叠交直径于点，取劣弧的中点为，连接．已知，则点与圆心距离的最小值为（   ）    A． B． C． D． 7．（24-25九年级下·安徽池州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与轴交于两点，点为上一动点，于点，则点在上运动过程中，线段的长的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，点、、均在圆上，连接、、、、，若，，，则的长是（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）直径为的中，弦，则弦的弦心距为 ． 10．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，是圆的弦，直径，垂足为，若，，则的长为 ． 11．（2025·四川甘孜·三模）如图，的半径为3，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长是 ． 12．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，是的直径，点、在上，且，垂足为．若，，则 ．    13．（2025·青海·二模）如图，是的外接圆，，，，垂足分为，，，连接，，．若，的周长为20，则的长为 ． 14．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，A点是上直径所分的半圆的一个三等分点，B点是弧的中点，P点是上一动点，的半径为3，则的最小值为 ． 15．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，是⊙的直径，⊙的弦在直线的上方，且，以为直径向下作半圆（圆心为）交于、两点，若，则 ． 16．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，（P在第一象限）恰好经过A、B、C三点，且的弦心距为，则a的值为 ．    三、解答题 17．（2024·广东湛江·模拟预测）如图，在破残的圆形残片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点，已知，． （1）求作此残片所在的圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求出（1）中所作圆的半径． 18．（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：． （2）若，，求直径的长． 19．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，P是的直径延长线上的一点，与分别相交于点E和点C，过点C作，交于点F，交于点D，连接． （1）求证：； （2）若的长等于的半径，，求的度数． 20．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，是半圆O的直径，C，D是半圆上的点，，过点C作于点E，连接相交于点 F． （1）求证：； （2）若，．求的长． 21．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“闪亮四边形”． （1）若是圆的“闪亮四边形”，则是 （填序号）； ①矩形；②菱形；③正方形 （2）如图1，已知的半径为于点E，四边形是的“闪亮四边形”． ①求证： ②求证： （3）如图2，四边形为的“闪亮四边形”，相交于点，，求的半径为R 【中考真题8题】 一、单选题 1．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A．3 B．2 C．6 D． 2．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（    ） A．4 B． C．5 D． 3．（2024·新疆·中考真题）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2025·四川内江·中考真题）如图，是的弦．半径于点D，且．则的长是 ． 7．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在中，直径于点E，，则弦的长为 ． 8．（2024·江西·中考真题）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 垂直定理 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点引入1： 1 知识点（一）垂径定理 2 【题型1】利垂径定理进行求解 3 【题型2】利垂径定理进行求值证明 6 【题型3】利垂径定理进行尺规作图 9 知识引入2： 12 知识点（二）垂径定理1，定理2. 12 【题型4】利垂径定理1，定理2求解 13 【题型5】利垂径定理1，定理2证明 15 知识点（三）垂径定理在同心圆和平行弦中的应用. 17 【题型6】利垂径定理解决同心圆问题 18 【题型7】利垂径定理解决平行弦问题 22 小结： 25 【题型8】垂径定理实际运用 25 【题型9】垂径定理综合问题 28 二. 同步练习 33 【基础巩固（20题）】 33 【能力提升（21题）】 48 【中考真题8题】 72 一．知识梳理与题型分类精析 知识点引入1： 【例】（23-24九年级上·山东滨州·期中）求证：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 【答案】见分析 【分析】本题考查了垂径定理，根据命题画出图形并根据圆的隐含条件半径相等进行证明是解题的关键．先根据已知画图，然后写出已知和求证，再进行证明即可． 解： 已知：如图，是的一条弦，是的一条直径，并且，垂足为点． 求证： 证明：连接，则． 在等腰三角形中， ， ． 点和点关于对称． 关于对称， 当圆沿着直径对折时，点与点重合， ∴与重合，与重合． ∴. 由此，我们得到了以下定理 知识点（一）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. 数学语言：如图1，在☉o中，是☉o的直径 ，，. 备注：分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点；圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距. 【题型1】利垂径定理进行求解 【例题1】（24-25九年级下·天津·开学考试）如图，在中，已知是垂直平分半径的弦． （1）求的度数； （2）若弦，求的半径． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）证明是等边三角形，即可得到结论； （2）证明，，由是的垂直平分线，可得，（），再利用勾股定理求解即可． 解：（1）解：∵是的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：如图， ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴在中，（）， 由勾股定理，得， 解得：（舍去）， ∴的半径为． 【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，垂径定理的应用，线段的垂直平分线的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键. 【变式1】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，的直径，是的弦，，垂足为M，，则的长为（　　） A．8 B．16 C．32 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．连接，先求得，再利用垂径定理和勾股定理求得即可求解． 解：连接， ∵的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱高长，则该拱门的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理的应用、勾股定理，连接，设该拱门的半径，根据垂径定理求出，将用含r的代数式表示出来，在中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可． 解：如图，连接， 设该拱门的半径， 根据题意得在的直径上，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中利用勾股定理，得， ∴， ∴， ∴该拱门的半径是， 故答案为：． 【题型2】利垂径定理进行求值证明 【例题2】（24-25九年级上·河北沧州·期中）【教材变式】如图，是的直径，是的一条弦，且于，连接，，． （1）求证：； （2）若，，求的半径长． 【答案】（1）见分析；（2）5 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，等腰三角形性质等． （1）利用垂径定理定理得，，再利用等腰三角形性质可得，继而得到本题答案； （2）利用圆周角定理得，再设的半径为，继而利用勾股定理即可得到本题答案． 解：（1）解：证明：是的直径，， ， ， ， ， ； （2）解：是的直径，，， ，， 设的半径为，，则， 在中，， 解得， 的半径为5． 【变式1】（2025·安徽淮北·二模）如图，为直径，E为弦的中点，连接． （1）求证：为等腰三角形； （2）连接，若，四边形的面积为40，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）2 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键． （1）由垂径定理得，，然后由线段垂直平分线的性质可得答案； （2）连接，由四边形的面积为40求出，在中，由勾股定理求出，然后根据即可求解． 解：（1）证明：为弦的中点，为直径， ，， ， 为等腰三角形； （2）如图，连接， 四边形的面积为40， ， ， ， ，则， 在中，， ． 【变式2】（24-25九年级上·湖北十堰·期中）如图，，交于点，，是半径，且于点． （1）求证：． （2）若，，，求的长度． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识． （1）根据垂径定理得到，又由得到，则垂直平分，得到，即可得到结论； （2）连接，设的半径是r，由勾股定理得到，解得，，，最后利用勾股定理即可求出的长度． 解：（1）证明：，是半径， ， ， ， 垂直平分， ； ； （2）解：如图，连接，设的半径是r， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， . 【题型3】利垂径定理进行尺规作图 【例题3】（24-25九年级下·陕西西安·开学考试）如图，为的弦，连接，请用尺规作图法在劣弧上求作一点C，连接交于点D，使得点D为的中点（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 过点O作于点D，交于点C，点C，点D即为所求． 解：如图，点C，点D即为所求． 【变式1】（2025·山西晋城·三模）在数学活动课上，老师让同学们测一个残缺圆形工件（如图所示）的半径，实践小组给出了解决方案：在工件圆弧上任取两点，连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，交于点，交弦于点，经测量，，则圆形工件的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、勾股定理等知识，在上取一点作为圆心，连接，如图所示，根据题意表示出相关线段长度，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案．熟记垂径定理构造直角三角形，勾股定理求线段长的组合是解决问题的关键． 解：在上取一点作为圆心，连接，如图所示： ， ， 设， ， ， 在中，，，，，则由勾股定理可得， 解得， 故答案为：． 【变式2】（2025·广东东莞·一模）如图，在中，直径为，． （1）请用尺规作图法过点作的垂线，交于点，交劣弧于点，保留作图痕迹不写作法； （2）求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的判定，垂径定理，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）分别以为圆心，为半径画弧交于圆外一点，连接这一点与点，交于点，交劣弧于点，即可得到所作图形满足题干条件． （2）结合垂径定理得到，利用勾股定理求出，再根据求解，即可解题． 解：（1）解：所作图形如图所示： （2）解：直径为， ， ，， ， ， ． 知识引入2： 【例】如图，☉o的直径交弦AB（不是直径）于点，. 求证：，. （垂直于弦的直径平分弦所对的弧）. 同理可证：当，时，. 这样，我们就得到了垂径定理的性质2和性质3如下： 知识点（二）垂径定理1，定理2. 定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. 数学语言：如图2，在☉o中，是☉o的直径， ，，. 定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦. 数学语言：如图2，在☉o中，是☉o的直径， ， . 【题型4】利垂径定理1，定理2求解 【例题4】（23-24九年级上·北京西城·期末）如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点D，连接，．若，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是垂径定理的推论、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理．先根据垂径定理的推论得到，再由线段中点的定义得到，再根据勾股定理求出圆的半径，则的面积即可求解． 解：设的半径是， 点是的中点，过圆心， ， ，， ，， 在直角中，由勾股定理得， ， 解得， ， ． 【变式1】（2025·广东湛江·二模）如图，，，在上，，交于点．若，，则半径的长为（   ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理的推论以及勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据垂径定理的推论得到，再对运用勾股定理即可求解半径． 解：∵为半径，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式2】（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）如图，是的弦，半径经过的中点．若，则的大小为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，熟知等腰三角形的性质以及直角三角形的性质是解本题的关键．根据垂径定理的推理得，再利用三线合一及直角三角形的性质解答即可． 解：∵半径经过的中点． ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【题型5】利垂径定理1，定理2证明 【例题5】（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图所示，D、E分别是的中点，交于M、交于求证：． 【答案】见分析 【分析】连结，，根据垂径定理的推论可得，，再由得到，根据等角的余角相等得到，即可证明结论． 解：证明：连结，， 是的中点，E是的中点， ，， 又， ， ，， 而，， ， 【点拨】此题主要考查垂径定理的推论，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 【变式1】（2025·河南新乡·三模）如图，、在上，连接，，．的平分线交于点，交于点，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了垂径定理，根据垂径定理解答即可． 解：∵的平分线交于点，是半径， ∴，，，，故A、B、D正确； 选项C不能证明， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，点在以为直径的上，，交于点，垂足，，． （1）连接，证明为等腰直角三角形； （2）连接，若点，在上，且，求证：． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析． 【分析】（）根据垂径定理求出，再根据勾股定理求出，得出，再根据，即可得出为等腰直角三角形； （）连接，根据，得出，再根据为等腰直角三角形得出，从而得出． 解：（1）证明：∵为直径，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形； （2）证明：连接，交于， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了垂径定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 知识点（三）垂径定理在同心圆和平行弦中的应用. 垂直定理在同心圆中的应用： 在同心圆☉o中，大圆的弦交小圆于、两点，过点作于点C，所以. 图3 垂直定理在平行弦中的应用： 在☉o中，//，分为、在圆心的同侧和两侧两种情况，过圆心作弦的弦心距构造直角三角形，利用勾股定理解决问题。 图4 【题型6】利垂径定理解决同心圆问题 【例题6】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． （1）求证：； （2）若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【答案】（1）见分析；（2）大圆的半径为 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理； （1）作于E，根据垂径定理得到即可得到； （2）连接，在和中根据勾股定理得到，代入求值计算即可． 解：（1）证明：如图：作于E， 由垂径定理，得： 即； （2）解：如图，连接， ， ， 在和中，由勾股定理，得： ， ， 即， 解得： 大圆的半径为． 【变式1】（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． （1）求证：； （2）若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解题的关键． （1）过O作于点E，由垂径定理可得，，再用等式的性质即可得证； （2）连接、，利用垂径定理求出，在中，由勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理即可求出． 解：（1）证明：过O作于点E，如图， 由垂径定理可得，， ∴， ∴； （2）解：连接、，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴，即小圆的半径r为 【变式2】（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，已知点是两个同心圆的圆心，大圆的弦与小圆交于点、． （1）求证：； （2）如果，，大圆面积是小圆面积的倍，求大圆半径的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）过点作于，根据垂径定理得，，所以，即可求解； （2）连接、，在与中，由勾股定理得：，，再结合，得，又大圆面积是小圆面积的倍，即可求解大圆半径的长． 解：（1）解：过点作于， ，， ， ； （2）解：连接、， 在与中，由勾股定理得：，， ， ， ，， ，， ， 大圆面积是小圆面积的倍， ，即， 根据可得：， ． 【题型7】利垂径定理解决平行弦问题 【例题7】（23-24九年级上·甘肃庆阳·期中）已知的半径为13，弦平行于，，求和之间的距离． 【答案】7或17 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，分当的圆心O位于、之间时，当的圆心O不在两平行弦、之间时，两种情况分别利用勾股定理和垂径定理求出点O到和的距离，据此可得答案． 解：如图，当的圆心O位于、之间时，作于点E，并延长，交于F点．分别连接、． ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴和之间的距离为17； 如图所示，当的圆心O不在两平行弦、之间（即弦、在圆心O的同侧）时， 同理可得：， ∴， ∴和之间的距离为7； 综上所述，和之间的距离为7或17． 【变式1】（23-24九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【答案】B 【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点O作于点E，交于点F．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是2； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点O作于点P，延长交于点Q．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是14． 综上可知AB与CD间的距离是2或14． 故选B． 【点拨】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形． 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是 ． 【答案】7或17 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，分当的圆心O位于、之间时，当的圆心O不在两平行弦、之间时，两种情况分别利用勾股定理和垂径定理求出点O到和的距离，据此可得答案． 解：如图，当的圆心O位于、之间时，作于点E，并延长，交于F点．分别连接、． ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴和之间的距离为17； 如图所示，当的圆心O不在两平行弦、之间（即弦、在圆心O的同侧）时， 同理可得：， ∴， ∴和之间的距离为7； 综上所述，和之间的距离为7或17． 故答案为：7或17． 小结： 垂径定理可以概括为：① 过圆心（即直线为直径或半径所在直线）；② 垂直于弦；③ 平分弦；④ 平分弦所对的优弧；⑤ 平分弦所对的劣弧。在这五个要素中，若已知其中任意两个要素成立，则可推出另外三个要素也成立（当 “平分弦” 的弦为直径时，推论不成立，即两条直径互相平分但不一定垂直）. 【题型8】垂径定理实际运用 【例题8】（24-25九年级下·河南许昌·开学考试）如图，有一拱桥为圆弧形，跨度，拱高，当洪水泛滥时，跨度只有时要采取紧急措施．当测量人员测得水面到拱顶距离只有时，是否需要采取紧急措施？ 【答案】不需要采取紧急措施 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接、，由题意可得，，，，，，由垂径定理可得，，再利用勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：如图：连接、， ， 由题意可得：，，，，，， 由垂径定理可得：，， 由勾股定理可得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴不需要采取紧急措施． 【变式1】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（    ） A．4cm B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答． 解：连接， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． ∴截面圆中弦的长为． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级下·广东佛山·阶段练习）如图，北京冬奥冰壶比赛中，凌智在中轴线上点投出一个冰壶，范苏圆通过擦冰让冰壶的运行轨迹为圆弧，对方在中轴上点有一障碍壶，米，且冰壶偏离中轴线的最大距离为4米，如果要把对方冰壶撞开，则圆弧的半径为 ． 【答案】米/ 【分析】依题意，三点共圆，设圆弧的半径为，过点作交于点，进而根据垂径定理得出，在中，根据勾股定理，即可求解． 解：依题意，三点共圆，如图， 设圆弧的半径为，过点作交于点， ∵，， ∴， 在中， ∴ 解得： 故答案为：米． 【题型9】垂径定理综合问题 【例题9】（24-25九年级下·安徽淮北·期中）如图1，在中，直径垂直弦于点G，，连接交于点F． （1）若，，求的长； （2）连接，如图2，若，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考出了圆的垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图1：连接，由垂径定理的推理可得，再结合已知条件可得，设，则．然后在运用勾股定理求解即可． （2）如图2，连接交于点H，由（1）知，则，易证可得，即，进而得到，最后由三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质可得即可解答． 解：（1）解：如图1：连接， 直径弦， ． ， ， ， ． 设，则． 在中，，即，解得， ∴． （2）解：如图2，连接交于点H， 由（1）知， ． ，， ， ， ， ， ． 【变式1】（24-25九年级上·重庆·期末）如图，是的内接三角形，，将沿折叠恰好经过中点，连接，若，，则的半径长为 ，的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、垂径定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 如图：连接，由垂径定理可得、，然后运用勾股定理求得即可确定的半径；如图：过点C作垂足为E，作D关于的对称点F，连接，由圆的内接四边形的性质可得，再根据轴对称的性质、等量代换以及等腰三角形的定义可得，进而证明是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质可得，则，再证明是等腰直角三角形，则，最后根据勾股定理即可解答即． 解：如图所示，连接， ∵中点， ∴，， ∴； 如图：过点C作垂足为E，作D关于的对称点F，连接， ∵是四边形的外接圆， ∴， ∵将沿折叠恰好经过中点， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：，． 【变式2】（24-25九年级上·广东潮州·期末）如图1，是的直径，点D为下方上一点，点F为弦的中点，连接且延长交于点C，连接，． （1）求证：； （2）如图2，延长，相交于点 求证：； 若，，求的半径． 【答案】（1）详见分析；（2）详见分析；的半径为 【分析】由垂径定理得出，则是的垂直平分线，则可得出结论； ① 证明是等腰三角形，由等腰三角形的性质得出结论； ②连接，则，求出设的半径为r，则，由勾股定理可得出答案． 解：（1）证明：点F为弦的中点， ， 是的垂直平分线， （2）① 证明：点F为弦的中点， ， ， 又是的直径， ， ， ， ， 由得， 是等腰三角形， 点F为的中点， 平分， ， ②解：连接，则，如图所示， ， ， 由①得， ， ， ， ， ， 设的半径为r，则， ， ， ， 整理得， 解得，不符合题意，舍去， 的半径为 【点拨】本题考查了垂直平分线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等知识；正确作出辅助线是解题的关键． 二. 同步练习​ 【基础巩固（20题）】 一、单选题 1．（24-25九年级下·湖南湘西·阶段练习）如图，圆O 的半径交于点 D，，则圆O的半径为（       ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，先根据垂径定理求出的长，在中根据勾股定理求解即可． 解：连接，    ∵于点D，， ∴， 在中，， ∴， ∴圆O的半径为． 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，是的直径，弦于点，连接．若，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理．连接，根据垂径定理可得，再根据勾股定理求出，则，最后根据，即可求解． 解：如图，连接， 是的直径，弦于点， ， 在中，， ， ， ． 故选：D． 3．（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 4．（22-23九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】B 【分析】根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可． 解：如图 作线段和的垂直平分线，交于点E，即为弧的圆心， 故选：B． 【点拨】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用． 5．（2025·湖南衡阳·二模）如图，点在上，点是中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形性质，由点是中点，可得，进而可得，根据，即可得出，根据，即可求解． 解：∵点是中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 6．（2025·云南楚雄·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，且．若的半径为，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】此题考查了垂径定理的推论、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理推论是关键．先利用垂径定理的推论得到，再利用勾股定理进行解答即可． 解：是的直径，是的弦，且 ， ． 故选A. 7．（2025·广东广州·二模）如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，桨轮船的轮子半径为，则轮子的浸水深度为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用垂径定理，勾股定理求出OD，即可由求解． 本题考查垂径定理，勾股定理，熟知 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 解：，， ， ， ， 故选：A 8．（24-25九年级上·广东广州·期末）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O为圆心的圆，已知圆心 O在水面的上方，被水面截得的弦长为 8 米，点 C 是运行轨道的最低点，点 C 到弦 AB 的距离为 2 米，则  的半径长为（   ） A．4 米 B．5 米 C．6 米 D．8 米 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，设的半径长为，由垂径定理得（米），再由勾股定理列方程求出的值即可． 解：如图，连接、，交于点，设的半径长为， ∵点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为米， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径长为米． 故选：B． 二、填空题 9．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）的半径是13，弦，，则与的距离是 ． 【答案】17或7 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理等知识点，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形． 作于E，于F，利用勾股定理求出相关线段的长度，然后分两种情况进行讨论求解即可． 解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是17或7． 故答案为：17或7． 10．（24-25九年级下·江苏·阶段练习）如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理，根据垂径定理得，再利用勾股定理得，进而可求出，然后利用勾股定理求解即可．熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 解：连接，如图： ∵为直径，且，， ∴， 在中，，根据勾股定理得： ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）如图，在中，弦的长为4，，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题主要考查了垂径定理和等腰直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理是解答此题的关键． 利用垂径定理可得，由可得为等腰直角三角形，即可得结果． 解：∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 ． 【答案】 【分析】过O点作于H点，连接、，如图，根据垂径定理得到，，设，则，再利用双勾股得到，然后解方程求出r即可． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 解：过O点作于H点，连接，如图，则 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或r（舍去）， 即小圆半径是， 故答案为：． 13．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作交于点D、E，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】连接，由可知当最小时，最大；又，故当最小时，最大；所以当时满足题意，据此即可求解． 解：连接，如图所示： ∵， 为的半径，其值一定， ∴当最小时，最大， ∵ ∴当最小时，最大， ∵点C在上移动， ∴当时，最小 此时，点与点（或点）重合，点与点（或点）重合， ∴的最大值为 故答案为： 【点拨】本题考查了垂径定理的相关知识点，得出当时，最小，最大，也最大是解题关键． 14．（2024九年级·全国·竞赛）在中，半径为，弦垂直平分弦，则 ． 【答案】20 【分析】本题考查的是垂径定理的推论，根据垂直平分弦的直线必过圆心可得出弦为直径，即可解决问题． 解：在中，半径为，弦垂直平分弦， 根据垂直平分弦的直线必过圆心，则弦必为直径， ， 故答案为：20． 15．（24-25九年级上·陕西西安·期末）王师傅要测量一个如图所示的残缺圆形工件的半径，因为无法直接测量，所以王师傅这样操作：在工件圆弧上任取两点，连接，作AB的垂直平分线交于点，交于点，测出，便可求出该工件的半径，则该圆形工件的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理；连接，设圆的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 解：由题意，圆心在所在直线上，连接，设圆的半径为，则：，， 在中，， ∴， 解得：； ∴圆形工件的半径为． 故答案为：． 16．（2023·宁夏中卫·三模）我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法早1500年．其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，为的直径，弦于点E，寸，寸（注：1尺寸），则可得直径的长为 尺．” 【答案】1 【分析】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，根据垂径定理得出的长，设半径为r寸，再利用勾股定理建立方程求解即可． 解：如图所示，连接， ， 由垂径定理知，点E是的中点， 寸， 设半径为r寸，则寸 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得：，     ， 即圆的直径为寸，即为1尺． 故答案为：1． 三、解答题 17．（24-25九年级下·广东广州·开学考试）如图，为⊙的直径，是弦，且于点E，连接、、，，，求弦的长． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理．根据勾股定理及垂径定理求解即可． 解：∵，， ∴， ∴， ∵AB⊥CD， ∴， ∴． 18．（2025·安徽马鞍山·一模）如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G．，若，，求的半径． 【答案】的半径为． 【分析】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理等；连接，设，可得，由线段和差得，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解． 解：如图，连接， 设， ， ， ， ， 为直径，， ， 在中， ， ， 解得：（舍去），， 故的半径为． 19．（24-25九年级上·山东聊城·期中）已知：如图，的弦的延长线相交于点，且．求证：点在的平分线上． 【答案】见分析 【分析】本题考查了圆的综合题，垂径定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，构造辅助线是解题的关键．连接，分别过点作，，垂足分别为， 根据垂径定理得，再证明，得出，再根据角平分线的判定定理即可证得结论． 解：如图，连接，分别过点作，，垂足分别为， ，， 又， ， ， ， ， 点在的平分线上． 20．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，为的直径，点C在上． （1）尺规作图：在中作出点D，使得点D是所对的弧的中点（不写作法，只保留作图痕迹）； （2）连接，交于点E．探究与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）图见详解；（2）．理由见分析 【分析】本题考查作图—复杂作图，圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）作的角平分线交于点D，点D即为所求； （2）结论：，利用垂径定理，三角形中位线定理证明即可． 解：（1）解：如图，点D即为所求； （2）解：结论：． 理由：∵， ， ， ， ∴是的中位线， ∴． 【能力提升（21题）】 一、单选题 1．（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）图2是从正面看到的一个“老碗”（图1）的形状示意图是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接，．已知，碗深，则的半径为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设的半径为，列出关于的方程是解题的关键．首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径为，则．在中根据勾股定理列出方程，求出即可． 解：是的一部分，是的中点，， ，． 设的半径为，则． 在中， ， ， ， ， 即的半径为． 故选：A． 2．（24-25九年级上·山东东营·阶段练习）的半径是13，弦，，，则与的距离是（   ） A．7或34 B．17或34 C．7或17 D．34 【答案】C 【分析】该题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，先构造半径，弦心距，半弦长为边长的直角三角形，再利用勾股定理求弦心距，本题要注意分两种情况讨论． 先作出图象根据勾股定理分别求出弦的弦心距，再根据两弦在圆心同侧和在圆心异侧两种情况讨论． 解：如图，根据题意可得，， ∴，， ①当两弦在圆心同侧时，距离； ②当两弦在圆心异侧时，距离． 所以距离为7或17． 故选：C． 3．（2025·广西来宾·三模）如图，在中，、为的两条弦，，，垂足为、，连接，若，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，全等三角形的判定和性质，等边对等角等知识．根据垂直于弦的直径平分弦得出，推得，根据全等三角形的判定和性质得出，根据等边对等角得出，即可求解． 解：∵，，， ∴，，，即A选项、B选项说法正确； 在和中， ， ∴ ∴， ∴，即C选项说法正确， 不能确定的度数，故D选项说法错误． 故选：D． 4．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，点A为的中点，，所在的平面内有一点D，若，则点D与的位置关系是（   ） A．点D在外 B．点D在上 C．点D在内 D．无法确定 【答案】A 【分析】先由点A为的中点，得出，即，从而可求得，再由证明是等边三角形，得出，然后根据，得到，即可由点与圆位置关系得出答案． 解：连接交于D，连接，如图， ∵点A为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点D在外． 故选：A． 【点拨】本题考查垂径定理的推论，点与圆的位置关系，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，求出圆的半径是解题的关键． 5．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理是解题的关键．由垂径定理可得，再根据圆的性质可得，再根据勾股定理列方程求得，即，最后根据三角形的面积公式求解即可． 解：∵是的直径，弦于点， ∴， ∵，， ∴，解得：， ∴， ∴的面积是． 故选：A． 6．（24-25九年级下·甘肃嘉峪关·开学考试）如图，在直径为的半圆中，为半圆弧上的一点，连接，将劣弧沿弦折叠交直径于点，取劣弧的中点为，连接．已知，则点与圆心距离的最小值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把弧的圆补全为，可知点与点关于对称，得，即得，即可得，进而由垂径定理得，再根据勾股定理得，最后根据解答即可求解． 解：把弧的圆补全为，可知点与点关于对称，半径为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：．    【点拨】本题考查了轴对称的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． 7．（24-25九年级下·安徽池州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与轴交于两点，点为上一动点，于点，则点在上运动过程中，线段的长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，含角直角三角形，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键. 连接，作，连接，由可知，点在以为直径的圆上移动，当点在的延长线上时，的长最小，根据含角直角三角形及勾股定理求出，，即可得到答案. 解：如图，连接，过点作于点，连接． ， ． 在中， ，， ，， ，，． ， ． ， ， ，． ， ， 点在以为直径的上运动， ． 当点在的延长线上时，的长最小，最小值为． 故选：B． 8．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，点、、均在圆上，连接、、、、，若，，，则的长是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作、，过点作，可以判断四边形是矩形，利用垂径定理可知，利用勾股定理可以求出，利用三角形的面积公式可以求出，根据矩形的性质可知：，利用勾股定理可以求出的长度，再根据垂径定理可知，可以求出结果． 解：如下图所示，过点作、，过点作， ∵， ，， 四边形是矩形， ， ，， ， 又， ， ， ， 解得：， ， 又， ． 故选：B． 【点拨】本题考查了圆的性质、矩形的判定和性质、垂径定理、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造矩形，利用矩形对边相等的性质求出的长度，再利用勾股定理求出的长度，从而可得的长度． 二、填空题 9．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）直径为的中，弦，则弦的弦心距为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，如图，过点作于，由垂径定理得到，由勾股定理即可求出的长．解题的关键是由垂径定理得到，然后由勾股定理求出的长． 解：如图，过点作于， ∵弦， ∴， ∵的直径为， ∴， ∴， ∴弦的弦心距为． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，是圆的弦，直径，垂足为，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，连接，首先根据题意可求得，，根据勾股定理即可求得的长，再根据垂径定理即可求得的长． 解：如图，连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 11．（2025·四川甘孜·三模）如图，的半径为3，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质．过点O作于H，连接，则，利用勾股定理求出，则由垂径定理可得． 解：如图所示，过点O作于H，连接， ∴ 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，是的直径，点、在上，且，垂足为．若，，则 ．    【答案】6 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 连接，设，则，求得 ，根据垂径定理得，进而在中根据勾股定理进行求解即可． 解：连接，设，则，    ∴ ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得（不合题意，舍去）， ∴． 故答案为：6． 13．（2025·青海·二模）如图，是的外接圆，，，，垂足分为，，，连接，，．若，的周长为20，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、垂径定理等知识点，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 由垂径定理可得，根据三角形的中位线定理得到，进而完成解答． 解：∵，是的外接圆， ， ∴是的中位线， ， ， ， 故答案为：4． 14．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，A点是上直径所分的半圆的一个三等分点，B点是弧的中点，P点是上一动点，的半径为3，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理，作点关于的对称点，连接，交于点，则最小，连接，，求出，然后根据勾股定理求出解答即可． 解：作点关于的对称点，连接，交于点，则最小，连接，， ∵点与关于MN对称，点是半圆上的一个三等分点， ， ∵点是弧的中点， ， ， 又∵， ， ． 故答案为：． 15．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，是⊙的直径，⊙的弦在直线的上方，且，以为直径向下作半圆（圆心为）交于、两点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，勾股定理等知识，应用好垂径定理及其推论是解题的关键．设，则得，，；连接、、，过点作于；由垂径定理得，从而；由是的中点，则得，在中，由勾股定理求得，在中由勾股定理得，在中，由勾股定理得：，由此建立方程求得的值，即可求得结论． 解：， 设，则， ，， 如图，连接、、，过点作于； ，； 为的一条弦，且， ， ； 由题意知，是的中点，且为的直径， ， 由垂径定理推论知：； 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，（P在第一象限）恰好经过A、B、C三点，且的弦心距为，则a的值为 ．    【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质，圆的性质，垂径定理，勾股定理，先由得出，，，即可得，过作于，连接，，，再根据圆的性质得，再由垂径定理得，再由的弦心距为得，进而可得点P的坐标，由勾股定理得，再由列等式方程，解方程即可得解． 解：∵的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C， ∴，，， ∴， 如图，过作于，连接，，，    ∵（P在第一象限）恰好经过A、B、C三点， ∴， ∴， ∵的弦心距为， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：或． 三、解答题 17．（2024·广东湛江·模拟预测）如图，在破残的圆形残片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点，已知，． （1）求作此残片所在的圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求出（1）中所作圆的半径． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了垂经定理的应用和基本作图，用到的知识点是线段垂直平分线的作法与性质、垂径定理、勾股定理的应用，基本作图需要熟练掌握． （1）在圆形残片上作弦的垂直平分线，交于点P，连接，以P为圆心，为半径的圆为所求残片的圆． （2）先设圆P的半径为r，根据和已知条件求出，，在中，根据，得出，求出r即可． 解：（1）解：作图如下， （2）解：设圆P的半径为r， ∵，，， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径为． 18．（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：． （2）若，，求直径的长． 【答案】（1）见分析；（2）的直径是 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理．熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据垂径定理，得到，等腰三角形三线合一，即可得出结论； （2）连接，设的半径是r，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可． 解：（1）证明：∵，且过圆心O ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，设的半径是r， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴的直径是． 19．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，P是的直径延长线上的一点，与分别相交于点E和点C，过点C作，交于点F，交于点D，连接． （1）求证：； （2）若的长等于的半径，，求的度数． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，三角形外角的性质等； （1）由垂径定理得，由线段垂直平分线的判定及性质，即可得证； （2）连接，由圆的定义得，由等腰三角形的性质得，由三角形的外角性质得，，即可求解； 掌握垂径定理，线段垂直平分线的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，三角形外角的性质是解题的关键． 解：（1）证明：是直径，， ， 是的垂直平分线， ； （2）解：如图，连接， ， 的长等于的半径， ， ， ， ， ． 20．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，是半圆O的直径，C，D是半圆上的点，，过点C作于点E，连接相交于点 F． （1）求证：； （2）若，．求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定、垂径定理推论的应用及勾股定理的应用， （1）先证明，进而证明三角形全等； （2）根据（1）中结论得出，求出，设，根据勾股定理列方程并解方程即可解决． 解：（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）解：， 由（1）知， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 21．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“闪亮四边形”． （1）若是圆的“闪亮四边形”，则是 （填序号）； ①矩形；②菱形；③正方形 （2）如图1，已知的半径为于点E，四边形是的“闪亮四边形”． ①求证： ②求证： （3）如图2，四边形为的“闪亮四边形”，相交于点，，求的半径为R 【答案】（1）③；（2）①见分析；②见分析；（3） 【分析】（1）根据“闪亮四边形”的定义结合平行四边形的性质即可解答； （2）①连接并延长交于点F，分别连接，，，，利用垂径定理证明是的中位线，推出，再根据圆周角定理结合“闪亮四边形”的定义，推出，进而推出，，得到，最后，即可得出结论；②过点O作于点G，是等腰三角形，再证明，推出，再根据四边形是的内接四边形，得到，进而求出，，利用勾股定理即可证明； （3）同理（2）②可得，由圆周角定理推出，得到，再根据四边形为的“闪亮四边形”，结合，利用勾股定理可求出，求出，再利用勾股定理求出，由（2）②可得，利用勾股定理即可求解． 解：（1）解：∵中，， ∴， ∴， ∵是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴是矩形， ∵圆的“闪亮四边形”， ∴， ∴是菱形， ∵是矩形， ∴是正方形， 故答案为：③； （2）①证明∶连接并延长交于点F，分别连接，，，， ∵， ∴， ∴点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵四边形是“闪亮四边形”， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②过点O作于点G， 由①知， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：同理（2）②可得， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为的“闪亮四边形”，， ∴，， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 由（2）②可得， ∴， ∴（负值舍去）． 【点拨】本题是圆的综合题，考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，圆的内接四边形，熟练的建立数学模型并灵活应用是解本题的关键． 【中考真题8题】 一、单选题 1．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A．3 B．2 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟悉掌握垂径定理是解题的关键． 由垂径定理得到的长，再由勾股定理解答即可． 解：∵，， ∴， 又∵， ∴在中，， 故选：A． 2．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到，再根据勾股定理求解即可． 解：∵在中，弦的长为8，圆心O到的距离， ∴，， 在中，， 故选：B． 3．（2024·新疆·中考真题）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据垂径定理求得，再对运用勾股定理即可求，最后即可求解． 解：∵，是的直径， ∴，， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 故选：B． 4．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长． 解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为，连接．    中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故轮子的半径为， 故选：C． 5．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用。勾股定理的应用，如图，连接，先证明，，再进一步的利用勾股定理计算即可； 解：如图，连接， ∵为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，， ∴，， 设拱门所在圆的半径为， ∴，而， ∴， ∴， 解得：， ∴拱门所在圆的半径为； 故选B 二、填空题 6．（2025·四川内江·中考真题）如图，是的弦．半径于点D，且．则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 先根据垂径定理得到，在中，由勾股定理求解，再由即可求解． 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：2． 7．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在中，直径于点E，，则弦的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 由垂径定理得，设的半径为，则，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可得出，在中，由勾股定理即可求解． 解：∵， ， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 8．（2024·江西·中考真题）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ． 【答案】或或2 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据，可得或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键． 解：为直径，为弦， ， 当的长为正整数时，或2， 当时，即为直径， 将沿翻折交直线于点F，此时与点重合， 故； 当时，且在点在线段之间， 如图，连接， 此时， ， ， ， ， ； 当时，且点在线段之间，连接， 同理可得， ， 综上，可得线段的长为或或2， 故答案为：或或2． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$