江苏省连云港市灌云县杨集高级中学2024-2025学年高三上学期第五次数学周练试卷

2024-2025学年度高三上学期数学周练试卷 1、 单选题 1. 已知集合，，则(     ) A. B. C. D. 2. 若，则(     ) A. 0 B. 1 C. D. 2 3. 有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为(     ) A. B. C. D. 4. 已知双曲线C：的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则(     ) A. B. C. D. 5. 已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则(     ) A. B. C. D. 6. 已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为(     ) A. B. C. D. 7. 如图，点N为正方形ABCD的中心，为正三角形，平面平面ABCD，M是线段ED的中点，则(     ) A. ，且直线BM，EN是相交直线 B. ，且直线BM，EN是相交直线 C. ，且直线BM，EN是异面直线 D. ，且直线BM，EN是异面直线 8. 设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则(    ) A. B. C. D. 2、 多选题 9. 已知O为坐标原点，点，，，，则(     ) A. B. C. D. 10. 已知O为坐标原点，过抛物线的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点，若，则(     ) A. 直线AB的斜率为 B. C. D. 11. 已知函数的定义域为R，，则(     ) A. B. C. 是偶函数 D. 为的极小值点 12. 在正三棱柱中，，点P满足，其中，，则(     ) A. 当时，的周长为定值 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，有且仅有一个点P，使得 D. 当时，有且仅有一个点P，使得平面 三、填空题 13. 已知向量，满足，，则__________ 14. 已知为等比数列，则__________. 15. 在正方体中，E，F分别为CD，的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为__________. 16. 已知双曲线的左右焦点分别为，点A在C上，点B在y轴上，，，则C的离心率为__________. 四、解答题 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 求B； 若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 18. 如图，长方体的底面ABCD是正方形，点E在棱上， 证明：平面； 若，求二面角的正弦值． 19. 已知公比大于1的等比数列满足 求的通项公式； 记为在区间中的项的个数，求数列的前100项和 20. 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率. 当漏诊率时，求临界值c和误诊率； 设函数当时，求的解析式，并求在区间的最小值. 21. 已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D， 求E的方程; 证明：直线CD过定点. 22. 已知函数 若，证明：当时，； 若在只有一个零点，求 答案和解析 1.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查集合的交集运算，为基础题. 对一元二次不等式求解求出N，再计算 【解答】 解：，， 所以 故选 2.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了复数的四则运算与模长，属于基础题. 由题意利用复数的四则运算以及模长的计算即可求解. 【解答】 解：由得，， 故选 3.【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查集合中元素个数，条件概率的问题，属于基础题. 由题意确定报名各类班的人数，再由条件概率即可求解. 【解答】 解：由题意知，既报名足球俱乐部又报名乒乓球俱乐部的有人， 则只报名足球俱乐部人，只报名乒乓球俱乐部人， 所以已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率 故选 4.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查双曲线的性质、直线与圆相交的弦长问题，属于中档题. 由离心率的值，求出渐近线的方程，又渐近线与圆相交，求出圆心到直线的距离，进而即可求解. 【解答】 解：由题知，即，故， 双曲线C的渐近线为， 圆心到直线的距离， 故直线与圆相离，  圆心到直线的距离，满足题意， 故选 5.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查三角函数的图象与性质，是基础题. 先由题意求出函数的周期，得到的值，再由单调区间即可求解. 【解答】 解：由题意，函数的最小正周期T满足，解得，不妨取，即， 当时，取得最小值，则 可取，则 故选：D 6.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查圆锥体积的求法，涉及到了余弦定理，属于中档题. 利用余弦定理先求出，然后构造求出圆锥的高，结合体积公式计算即可. 【解答】 解：在中，，由可得， 作于点C，由可知C是AB的中点，可得， 又，所以， 由，可得， 所以， 所以圆锥的体积 故选 7.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题． 推导出BM是中DE边上的中线，EN是中BD边上的中线，从而直线BM，EN是相交直线，设，通过计算得到 【解答】 解：连接BD，点N为正方形ABCD的中心，则N为BD中点， 又M是线段ED的中点， 平面BDE，平面BDE， 是中DE边上的中线，EN是中BD边上的中线， 直线BM，EN是相交直线， 取CD中点F，连接EF，BF，FN，则， 平面平面ABCD，平面平面，平面ECD， 平面ABCD， 又BF、平面ABCD， ，， 设，则，，，， 则， ， ，， ， 故选 8.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了函数的奇偶性和单调性，关键是对指数函数和对数函数单调性的灵活应用，属中档题． 根据，，结合的奇偶性和单调性即可判断． 【解答】解：是定义域为R的偶函数， ， ，， ， 在上单调递减， ， 故选： 9.【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查向量的坐标运算，及三角恒等变换，属于中档题． 根据题意，由向量的坐标运算公式及三角恒等变换公式依次分析选项，即可得答案． 【解答】 解：根据题意，依次分析选项： 对于A、，A正确； 对于B、， ，B不正确； 对于C、， ，C正确； 对于D、，，D不正确； 故选 10.【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查了抛物线的定义和性质，属于中档题。 【解答】 解：选项设FM中点为N，则，所以 ，所以，故 选项所以 所以 选项 选项由选项A，B知，，所以 ，所以为钝角; 又，所以为钝角， 所以 11.【答案】ABC  【解析】【分析】 本题主要考查抽象函数的奇偶性、函数的极值点，属中档题. 通过赋值法，可判断ABC选项.对于D选项可设常函数 ，进行排除. 【解答】 解：选项A，令，则，则，故A正确; 选项B，令，则，则，故B正确; 选项C，令，则，则， 再令，则，即，故C正确; 选项D，不妨设为常函数，且满足原题，而常函数没有极值点，故D错误. 故选： 12.【答案】BD  【解析】【分析】 本题考查了动点轨迹，线面平行与线面垂直的判定，锥体的体积问题等，综合性强，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于拔高题． 判断当时，点P在线段上，分别计算点P为两个特殊点时的周长，即可判断选项A；当时，点P在线段上，利用线面平行的性质以及锥体的体积公式，即可判断选项B；当时，取线段BC，的中点分别为M，，连结，则点P在线段上，分别取点P在，M处，得到均满足，即可判断选项C；当时，取的中点，的中点D，则点P在线的上，证明当点P在点处时，平面，利用过定点A与定直线垂直的平面有且只有一个，即可判断选项 【解答】解：对于A，当时，，即， 所以， 故点P在线段上，此时的周长为， 当点P为的中点时，的周长为， 当点P在点处时，的周长为， 故周长不为定值，故选项A错误； 对于B，当时，，即， 所以， 故点P在线段上， 因为平面， 所以直线上的点到平面的距离相等， 又的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故选项B正确； 对于C，当时，取线段BC，的中点分别为M，，连接， 因为，即， 所以， 则点P在线段上， 当点P在处时，，， 又， 所以平面， 又平面， 所以，即， 同理，当点P在M处，，故选项C错误； 对于D，当时，取的中点，的中点D， 因为，即， 所以， 则点P在线的上， 当点P在点处时，取AC的中点E，连接，BE， 因为平面， 又平面，所以， 在正方形中，， 又，BE，平面， 故平面， 又平面，所以， 在正方体形中，， 又，，平面， 所以平面， 因为过定点A与定直线垂直的平面有且只有一个， 故有且仅有一个点P，使得平面，故选项D正确． 故选： 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查向量模及向量数量积的运算，属于基础题． 将两等式分别平方，然后化简计算即可． 【解答】 解：将原式平方： 化简可得： 即，故 14.【答案】  【解析】【分析】 主要考查了等比数列性质，以及数列基本量的运算。属于基础题. 先设公比q，用，q 分别表示出已知量。先求，再求 【解答】 解：设公比为q，，，，故 ，，故，则 故答案为 15.【答案】12  【解析】【分析】 本题考查了正方体的结构特征和球的结构特征，属基础题. 根据正方体的结构特征和球的结构特征可知以EF为直径的球面与正方体的各棱均相切，即可知交点总数. 【解答】 解：在正方体中，E，F分别为CD，的中点， 所以，以EF为直径的球的球心为正方体的中心，半径为正方体面对角线的一半， 因此，以EF为直径的球面与正方体的各棱均相切，即该球面与正方体每条棱的交点总数为12， 故答案为： 16.【答案】  【解析】【分析】 主要考查了双曲线的定义以及性质、余弦定理，向量共线的充要条件等.属于一般题.  根据向量的关系设参数t 得到，，的关系，勾股定理得到 由双曲线的定义得到，在中用余弦定理得到a 与c的关系. 【解答】 解：，设， 由对称性知又，故， 由双曲线的定义知，，故 在中， 解得：，故C的离心率为 17.【答案】解：，即为， 可得， ， ， 若，可得，不成立， ， 由，可得； 若为锐角三角形，且， 由余弦定理可得， 由三角形ABC为锐角三角形，可得且，且， 解得， 可得面积  【解析】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、三角形面积公式、二倍角公式和诱导公式，以及化简运算能力，属于中档题． 运用三角函数的诱导公式和二倍角公式，以及正弦定理，计算可得所求角； 运用余弦定理可得b，由三角形ABC为锐角三角形，可得且，求得a的范围，由三角形的面积公式，可得所求范围． 18.【答案】证明：长方体中，平面，平面， ， ，，平面 平面 解：以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 平面，平面， ，又， ， 则，，，，， 平面，平面， ， ，且，平面EBC， 平面EBC， 故取平面EBC的法向量为， 设平面 的法向量， 由，得， 取，得，，， ， 二面角的正弦值为  【解析】本题主要考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 推导出，，由此能证明平面 以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值． 19.【答案】解：设等比数列的公比为q，且， ，， ， 解得舍或， 数列的通项公式为 由知，，，，，，， 则当时，，当时，， 以此类推，，， ，， ，，   【解析】本题考查了数列求和及等比数列通项公式，属中档题． 根据等比数列通项公式列出方程，求出首项和公比，即可求出通项公式; 根据等比数列通项公式，归纳数列的规律，从而求出其前100项和． 20.【答案】解：因为 依据“患病者”的频率分布直方图得， 依据“未患病者”的频率分布直方图得 当时， 当时， 故 所以在区间的最小值为：   【解析】本题问考察了频率分布直方图频率的简单计算，问需结合分段函数解决概率统计的问题. 依据题意理解漏诊率即“患病者”的频率分布直方图中小于c的各小矩形部分面积，观察到，故，即可求同理误诊率即“未患病者”的频率分布直方图中大于c的各小矩形部分面积，即可求 要求，观察到在区间和区间小矩形高度不同，故分段考虑分别列式.得时，，时，再利用函数的单调性得到在区间的最小值. 21.【答案】解： 由题意 ， 椭圆E的方程为 由知， 则直线PA的方程为， 联立， 由韦达定理，代入直线PA的方程得，，即， 直线PB的方程为， 联立， 由韦达定理，代入直线PA的方程得，，即， 直线CD的斜率， 直线CD的方程为：， 整理得 ， 直线CD过定点   【解析】本题考查直线于椭圆的位置关系，定点问题，属于较难题； 求出各点坐标，表示出向量； 求出C，D两点坐标，进而求出直线CD，即可证明. 22.【答案】解：当时，等价于， 设函数， 则 当时，，所以在单调递减. 又，故当时，，即 设函数 在只有一个零点等价于在只有一个零点. 当时，，没有零点; 当时， 当时，当时， 所以在单调递减，在单调递增. 故是在的最小值. ①若，即，在没有零点; ②若，即，在只有一个零点; ③若，即，由于，所以在有一个零点. 由知，当时，， 所以 故在有一个零点. 因此在有两个零点. 综上，在只有一个零点时，   【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查函数零点存在性定理，考查导数中的零点问题，考查分析与计算能力，属于较难题. 当时，等价于，设函数，求导，利用导数证明当时，即可； 设函数，在只有一个零点等价于在只有一个零点，利用导数，计算求 1 学科网（北京）股份有限公司 $$