江苏省连云港市灌云县杨集高级中学2025届高三下学期三模考前质量检测数学练习

高三年级三模考前质量检测 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量是两个单位向量，在上投影向量为，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 若数列各项均为正数，则“为等比数列”是“为等差数列”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点到点的距离与到直线的距离相等，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知函数则解集是（ ） A. B. C. D. 7．已知圆锥的侧面展开图为半圆，其轴截面是以为顶点的等腰三角形，若，，分别是该三角形的三个内角，则 A． B． C．0 D．1 8. 若函数有唯一零点，且，则（ ） A． B． C． D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在二项式的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 展开式中所有奇数项的二项式系数和为128 C. 常数项为 D. 展开式中系数最大项为第3项和第4项 10. “早潮才落晚潮来，一月周流六十回”，潮汐现象是海水受日月的引力而引起的周期性涨落现象，观察发现某港口的潮汐涨落规律为（其中（单位）为港口水深，（单位）为时间，）.若某轮船当水深大于时可以进出港口，根据表格中的观测数据，下列说法正确的是（ ） 时间 1 4 7 10 13 16 19 22 水深 11 12.5 14 12.5 11 12.5 14 12.5 A B. C. 该轮船9点可以进出港口 D. 该轮船从0点到12点，在港口可停留的时间最长不超过4小时 11. 已知，分别是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，为上异于左、右顶点的一点，是线段的中点，则（ ） A. B. C. 内切圆半径的最大值为 D. 外接圆半径的最小值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 将两个1，两个3，一个5排成一行，则不同的排法种数为________.（用数字作答） 13. 函数的最小值为________. 14. 已知正四面体的棱长为，动点P满足，用所有这样的点P构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 16. 如图，正方形所在平面和等腰梯形所在平面互相垂直，已知，，点在线段上. （1）求证：平面平面； （2）当直线与平面所成角正弦值为时，求. 17. 已知双曲线：的离心率为，为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，. （1）求的方程； （2）过P作直线的垂线，垂足为N. （i）证明：直线过定点； （ii）求面积的最小值. 18．中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，推导出了三角垛、方垛、刍甍多、刍童垛等的公式．我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列是“一阶等差数列”，则称数列是“二阶等差数列”．定义：若数列是“阶等差数列”，则称原数列为“阶等差数列”．例如：数列，它的后项与前项之差组成新数列，新数列是公差为的等差数列，则称数列为二阶等差数列． （1）若数列满足，且，求证：数列为二阶等差数列； （2）若三阶等差数列的前项依次为，求的前项和； 19. 已知，函数，. （1）当时，求的极值； （2）若存在零点. （i）当时，求的取值范围； （ii）求证： 数学参考答案及评分细则 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A B C B A B C 二、多选题 题号 9 10 11 答案 ABD BC ACD 三、填空题 12．30 13．-1 14．2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 【答案】（1）； （2）分布列见解析，期望为，方差为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式求解. （2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望的方差. 【小问1详解】 设“智能客服的回答被采纳”，“输入的问题表达不清晰”， 依题意，，， 因此， 所以智能客服的回答被采纳的概率为. 小问2详解】 依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望；. 16. 如图，正方形所在平面和等腰梯形所在平面互相垂直，已知，，点在线段上. （1）求证：平面平面； （2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求. 【答案】（1）证明见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，设即可求得点的坐标，利用夹角公式即可求解. 【小问1详解】 证明：由正方形有，又平面平面，平面平面， 所以平面，又平面，所以， 过点作，则，，，所以， 所以，即，又， 所以平面，又平面，所以平面平面； 【小问2详解】 由（1）知两两互相垂直，分别以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图： 则有，设，则，设， 则有，解得，得， 所以， 设平面的法向量为，则有， 令，得， 设直线与平面所成角为， 所以， 解得或， 所以或. 17. 已知双曲线：的离心率为，为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，. （1）求的方程； （2）过P作直线的垂线，垂足为N. （i）证明：直线过定点； （ii）求面积的最小值. 【答案】（1）； （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由离心率及双曲线参数关系求得，结合已知令，代入双曲线求参数值，即可得方程； （2）（i）设，则，设，联立双曲线并应用韦达定理，结合直线、双曲线对称性确定定点位置并得到，再作化简求值，即可得定点坐标； （ii）应用三角形面积公式、弦长公式，结合求面积的最小值. 【小问1详解】 由题设且，则， 由轴时，，不妨令，代入双曲线得， 所以，则所求方程为； 【小问2详解】 （i）设，则，由斜率不为0，设， 联立双曲线并整理得，则， 所以， 由，直线， 根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上， 令，则， 因为，所以， 而，则， 所以过定点； （ii）由， 由（i），，可得， 令，则， 由，故，当时取等号， 综上，的最小值为. 18．【解析】（1）因为，所以， 所以是首项为，公差为2的等差数列， 则是一阶等差数列，数列为二阶等差数列 3分 （2）因为是“三阶等差数列”，所以是“二阶等差数列”，设， 所以是“一阶等差数列”. 由题意得，，，所以， ， 满足上式，所以 ， 因为满足上式 19. 已知，函数，. （1）当时，求的极值； （2）若存在零点. （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：. 【答案】（1）答案见解析； （2）（i）；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）直接求导得，再分和讨论即可； （i）转化得有解，再设，求导后再对分类讨论，最后利用隐零点法即可得到其范围； （ⅱ）分析得表示原点与直线上的动点之间的距离，再等价转化为证明，再设新函数并多次求导即可证明. 【小问1详解】 时，， 当时，，函数单调递增，既无极大值也无极小值. 当时，，，函数单调递减，，，函数单调递增， 函数的极小值是，无极大值. 【小问2详解】 （ⅰ）当时，因为函数存在零点，故有解， 若，此时无解，所以，有解，， ①若单调递增，此时不存在零点； ②若，令，，， 由零点存在定理可知存在， 所以在上为减函数，在上为增函数， 故，解得，故. （ⅱ）因为函数存在零点，所以有解，其中， 若，则，该式不成立，故. 故，考虑直线， 表示原点与直线上的动点之间的距离， ，所以， 时，要证，只需证， 即证. 令，则， 令，，故在上为增函数，故. 即在上为增函数， 故，故，即成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$