第05讲 等腰三角形的性质和判定（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版新教材）

第05讲 等腰三角形的性质和判定 知识点1：等腰三角形的概念及性质 知识点2：等腰三角形的判定 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 【题型1：等腰三角形的定义】 【典例1】如果等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长为（  ） A．12或16 B．16 C．20 D．20或16 【变式1】等腰三角形的两边分别是8、17，则它的周长是（   ） A．25 B．33 C．42 D．33或42 【变式2】等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为（　　） A．3cm B． C．3cm或4cm D．或 【变式3】已知一个等腰三角形的两条边长分别为和，则它的底边长是 ． 【题型2：三线合一】 【典例2】如图，在中，，是边上的中线，于点，与相交于点F． (1)求证：； (2)若，求证：． 【变式1】如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（   ）    A． B．平分 C． D． 【变式2】在中，，过点作，垂足为点，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在等腰三角形中，，点是边的中点，则的度数为 度． 【题型3：格点图中画等腰三角形】 【典例3】如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3】小聪与小明同学对作格点等腰三角形（顶点都在小正方形的顶点上的等腰三角形）开展探究．如图1，在一个的方格中，已知格点A、B，确定点C的位置，使是格点等腰三角形． 小聪的作法是：以点A为圆心，以长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（B点除外）就是点C的位置． (1)按照小聪的作法，能确定_______个点C，此时等腰三角形的底边是_______．（填线段） (2)小明受到小聪的启发，也有了自己的想法，他想以作为的底边，那么小明的作法应该是：以点_______为圆心，以_______长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（A点除外）就是点C的位置． (3)你还有其他确定点C位置的方法吗？请将你的想法在图2中用尺规作图的方法表示出来．（不写作法，保留作图痕迹） (4)小聪、小明和你一共作出了_______个符合要求的点C． 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 【题型4：等腰三角形的判定】 【典例4】如图，在和中，，交于点，且．求证：是等腰三角形． 【变式1】如图，在等腰三角形中，，为边上的高线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出边上的高线，与交于点O．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，判断的形状，并说明理由． 【变式2】如图，在，点是上一点，，，，，连接交于点． (1)求证：； (2)求证：是等腰三角形 【变式3】已知：如图，为的外角平分线上的一点，，，求证： (1)是等腰三角形； (2)． 【题型5：等腰三角形的性质和判定】 【典例5】如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【变式1】如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【变式2】在△ABC中，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F． （1）若AB＝AC，请判断△AEF是否是等腰三角形，并说明理由； （2）若△ABC的周长为18，BC＝6，求△AEF的周长． 【变式3】如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E． （1）过点E作EF∥BC交AB于点F，求证：FB＝FE． （2）若∠C＝36°，求∠BAD的度数． 一、单选题 1．如图：在中，，平分，交于点D，若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．等腰三角形的一个底角为，这个等腰三角形的顶角为（   ） A． B． C． D． 3．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（   ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．勾股定理的逆定理 D．等腰三角形的“三线合一” 4．如图，在中，的垂直平分线交于为垂足，连接，若的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，点在边上，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，平分交于点，，交于点．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．等腰三角形的两边长分别是4和7，则其周长为 ． 8．在中，，，则的长度为 ． 9．如图，在中，，点为上一点，连接，且，若的周长为，则的周长为 ． 10．如图，在中，，平分交于点，，，则的面积为 ． 三、解答题 11．如图， 在下列网格中， 每个小正方形的边长均为一个单位， 小正方形的顶点称为网格的格点． （1） 图1为8×6网格， 点A，点B在格点上，在网格中画出以一个以AB为一边， 点C在格点上，面积为9的等腰ACB， 此时∠ABC= ． （2）图2为5×3网格，点A，点B在格点上，在网格中找出所有的点C，使得 ABC为等腰三角形，点C在格点上．(在找到的点上标上点C1，C2，C3… ) 12．如图，在中，，为的中点，，分别为，上的点，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 13．如图，点C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 14．如图，在中，． (1)在AC上求作点，使（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 等腰三角形的性质和判定 知识点1：等腰三角形的概念及性质 知识点2：等腰三角形的判定 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 【题型1：等腰三角形的定义】 【典例1】如果等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长为（  ） A．12或16 B．16 C．20 D．20或16 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的定义，涉及三角形三边关系等知识，根据题意，分两种情况，结合构成三角形的条件求解即可得到答案，熟记等腰三角形的定义、三角形三边关系等知识是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，分两种情况： 当等腰三角形的边长分别为， ， 由构成三角形的三边关系可知，无法构成三角形， 即此情况不符合题意； 当等腰三角形的边长分别为， 改等腰三角形的周长为， 故选：C． 【变式1】等腰三角形的两边分别是8、17，则它的周长是（   ） A．25 B．33 C．42 D．33或42 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形的定义．分①腰长为8和②腰长为17两种情况，再结合三角形的三边关系，利用三角形的周长公式即可得． 【详解】解：由题意，分以下两种情况： ①当腰长为8时，则这个等腰三角形的三边长分别为8、8、17， 此时，不满足三角形的三边关系，舍去； ②当腰长为17时，则这个等腰三角形的三边长分别为8、17、17， 此时，满足三角形的三边关系， 所以它的周长为； 综上，这个等腰三角形的周长为42， 故选：C． 【变式2】等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为（　　） A．3cm B． C．3cm或4cm D．或 【答案】C 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形的三边关系的应用，分两种情况讨论：当为腰长或底边长，分别计算另一边的长度并验证是否满足三角形三边关系. 【详解】解：当为腰长时： 另一腰长也为，底边长为周长减去两腰之和，即： 此时三边为、、，验证三边关系：符合题意； 满足条件，故腰长为； 当为底边长时： 两腰之和为周长减去底边，即： 每边腰长为：， 此时三边为、、，验证三边关系：符合题意； 满足条件，故腰长为； 综上，腰长可能为或，对应选项C； 故选：C 【变式3】已知一个等腰三角形的两条边长分别为和，则它的底边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；本题应分为两种情况：①为底，为腰，②为底，为腰，根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：等腰三角形的两边分别是和 应分为两种情况：①为底，为腰，则； ②为底，为腰，则构不成三角形； 它的底边长是 故答案为：． 【题型2：三线合一】 【典例2】如图，在中，，是边上的中线，于点，与相交于点F． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据，，得出，再根据等腰三角形的性质得出即可得证结论； （2）根据证，得出，根据，即可得证结论． 【详解】（1）证明：∵，是边上的中线， ∴，， ， ，， ∴， ∴． （2）证明：由（1）知，，那么， 在和中， ， ∴， ∴， 是边上的中线 ， ∴． 【变式1】如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（   ）    A． B．平分 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质可得，平分，从而判断B与C正确；由等腰三角形等边对等角的性质可判断A正确；根据已知条件不能判断D正确． 【详解】解：∵中，，D是中点 ∴，即平分， 故A、B、C三项正确， D不正确． 故选：D． 【变式2】在中，，过点作，垂足为点，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：在中，，， ，，， 故选项A.B.C正确，不符合题意； 不能证明， 故选项D不正确，符合题意； 故：D． 【变式3】如图，在等腰三角形中，，点是边的中点，则的度数为 度． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，根据三线合一可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解． 【详解】解：∵在等腰三角形中，点是边的中点， ∴，则， ∵， ∴ 故答案为：． 【题型3：格点图中画等腰三角形】 【典例3】如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，画出图形即可得出结论． 【详解】解：如图， 由图得满足条件的格点P有5个， 故选：C． 【变式1】如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数． 【详解】解：如图：当为腰时，点C的个数有2个， 当为底时，点C的个数有1个， 故选：C． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标，等腰三角形的性质，垂直平分线，根据以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，进行分类讨论，借助尺规作图进行快速得出满足条件的点P的个数，即可作答． 【详解】解：依题意，当时，如图所示： 此时满足条件的点P有一个； 当时，如图所示： 此时满足条件的点P有两个； 当时，如图所示： 此时满足条件的点P有一个； 综上满足在坐标轴上的点一共有个， 故选：C 【变式3】小聪与小明同学对作格点等腰三角形（顶点都在小正方形的顶点上的等腰三角形）开展探究．如图1，在一个的方格中，已知格点A、B，确定点C的位置，使是格点等腰三角形． 小聪的作法是：以点A为圆心，以长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（B点除外）就是点C的位置． (1)按照小聪的作法，能确定_______个点C，此时等腰三角形的底边是_______．（填线段） (2)小明受到小聪的启发，也有了自己的想法，他想以作为的底边，那么小明的作法应该是：以点_______为圆心，以_______长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（A点除外）就是点C的位置． (3)你还有其他确定点C位置的方法吗？请将你的想法在图2中用尺规作图的方法表示出来．（不写作法，保留作图痕迹） (4)小聪、小明和你一共作出了_______个符合要求的点C． 【答案】(1)3； (2)B； (3)见解析 (4)8 【分析】本题主要考查了网格中画等腰三角形，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，熟知等腰三角形的定义是解题的关键． （1）根据题意作出图形结合等腰三角形的定义即可得到答案； （2）根据等腰三角形的等腰可得，则以点B为圆心，以长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（A点除外）就是点C的位置； （3）作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线与小正方形顶点的交点（A点除外）就是点C的位置； （4）作出（1）（2）（3）的图形即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，一共有3个点符合题意， 由作图方法可得，故底边为； （2）解：∵作为的底边， ∴， ∴以点B为圆心，以长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（A点除外）就是点C的位置． （3）解：如图所示，即为所求； （4）解：如图所示，一共有8个点符合题意； 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 【题型4：等腰三角形的判定】 【典例4】如图，在和中，，交于点，且．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据证明，再根据全等三角形的性质得出，然后根据等腰三角形的判定即可得证． 【详解】证明：在和中， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【变式1】如图，在等腰三角形中，，为边上的高线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出边上的高线，与交于点O．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)作图见解析 (2)等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线及等腰三角形的判定， （1）过点B作的垂线即可； （2）先证明，进而证明，即可证明结论； 【详解】（1）解：下图即为所求作． （2）解：为等腰三角形． 理由：在中，， ∴． ∵分别为边上的高线， ∴． ∴． ∴． ∴为等腰三角形． 【变式2】如图，在，点是上一点，，，，，连接交于点． (1)求证：； (2)求证：是等腰三角形 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据，得到，再根据即可得到； （2）由，得到，由，得到，从而得到，可得，即可证明是等腰三角形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【变式3】已知：如图，为的外角平分线上的一点，，，求证： (1)是等腰三角形； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判断与性质． （1）由可得，由平分得，从而，故可得结论； （2）根据证明即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ，， 为的外角平分线上的一点， ， ， ， 是等腰三角形； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴． 【题型5：等腰三角形的性质和判定】 【典例5】如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，平行线的性质是解此题的关键． （1）根据角平分线性质可得，由，根据平行线的性质得，到，即可得到结论． （2）根据三角形的内角和可求出，由，根据平行线的性质即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ， ， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：， ， ， ， ． 【变式1】如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）先根据等腰三角形的性质得到平分，则，再利用平行线的性质得到，所以，然后根据等腰直角三角形的判定得到结论； （2）先根据等腰三角形的性质得出，则，根据平行线的性质得出，进而得出，得出，根据（1）知，进而得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：是等腰三角形的底边上的高， ． ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：是等腰三角形，， ， ． ， ， ． 由（1）知， ． ． 【变式2】在△ABC中，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F． （1）若AB＝AC，请判断△AEF是否是等腰三角形，并说明理由； （2）若△ABC的周长为18，BC＝6，求△AEF的周长． 【答案】（1）△AEF是等腰三角形，理由见解析； （2）12． 【解答】解：（1）△AEF是等腰三角形， 理由：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵EF∥BC， ∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴△AEF是等腰三角形； （2）∵△ABC的周长为18，BC＝6， ∴AB+AC＝18﹣6＝12， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵EF∥BC， ∴∠EDB＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠EDB， ∴BE＝ED， 同理DF＝CF， ∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝12． 【变式3】如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E． （1）过点E作EF∥BC交AB于点F，求证：FB＝FE． （2）若∠C＝36°，求∠BAD的度数． 【答案】（1）证明见解答； （2）∠BAD的度数是54°． 【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE，即∠FBE＝∠CBE， ∵EF∥BC， ∴∠FEB＝∠CBE， ∴∠EBF＝∠FEB， ∴FB＝FE． （2）解：∵AB＝AC，D是BC边上的中点， ∴AD⊥BC，∠ABD＝∠C＝36°， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣36°＝54°， ∴∠BAD的度数是54°． 一、单选题 1．如图：在中，，平分，交于点D，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和与外角的性质，掌握等边对等角是解题的关键．设，由条件结合等腰三角形的性质可证明，在中由三角形内角和定理列出方程可求得x，可求得． 【详解】解：设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，即， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 2．等腰三角形的一个底角为，这个等腰三角形的顶角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的两个底角相等是解题的关键． 由等腰三角形的两个底角相等及三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解： ∵等腰三角形的一个底角为， ∴这个等腰三角形的顶角为， 故选：D． 3．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（   ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．勾股定理的逆定理 D．等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质：等腰三角形的“三线合一”，即可得到答案． 【详解】解： ， 是等腰三角形， 是的中点， ， 故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一” 故选：D． 4．如图，在中，的垂直平分线交于为垂足，连接，若的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及等腰三角形的判定与性质、垂直平分线性质和三角形内角和定理，先由等腰三角形性质得到，再由三角形内角和定理确定，利用垂直平分线性质及等腰三角形的判定与性质即可得到答案，熟记相关几何性质，掌握等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，则, 由三角形内角和定理可得, 是的垂直平分线， ,则， , 故选：A． 5．如图，在中，点在边上，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键． 先根据等腰三角形的性质求出的度数，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵， ∴． 故选：． 6．如图，在中，平分交于点，，交于点．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线性质、平行线性质、以及等角对等边的性质等，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 首先根据角平分线的性质得出，进而利用平行线的性质得出，即可得出进而求出即可． 【详解】解：平分交于， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 二、填空题 7．等腰三角形的两边长分别是4和7，则其周长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的意义，三角形的三边关系，解题关键是理解等腰三角形的意义． 根据等腰三角形的意义，根据腰的不同分两种情况求解． 【详解】解：等腰三角形的两边长分别是4和7， 当腰长为4时，三边长分别为4，4，7，，能构成三角形，此时周长为； 当腰长为7时，三边长分别为4，7，7，，能构成三角形，此时周长为， 故答案为：或． 8．在中，，，则的长度为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了等角对等边，根据在中，，则，即可作答． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故答案为：2． 9．如图，在中，，点为上一点，连接，且，若的周长为，则的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了等角对等边，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键 ； 利用等角对等边得，将的周长转化为，然后计算的周长即可． 【详解】∵， ∴． ∵的周长为， ∴ ． ∵的周长为，， 的周长为． 故答案为：20 ． 10．如图，在中，，平分交于点，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．由等腰三角形的性质可得，，最后根据，即可求解． 【详解】解：在中，，平分交于点， ，， ， 故答案为：． 三、解答题 11．如图， 在下列网格中， 每个小正方形的边长均为一个单位， 小正方形的顶点称为网格的格点． （1） 图1为8×6网格， 点A，点B在格点上，在网格中画出以一个以AB为一边， 点C在格点上，面积为9的等腰ACB， 此时∠ABC= ． （2）图2为5×3网格，点A，点B在格点上，在网格中找出所有的点C，使得 ABC为等腰三角形，点C在格点上．(在找到的点上标上点C1，C2，C3… ) 【答案】（1）画图见详解，45°；（2）见详解 【分析】（1）根据面积为9的等腰ACB，AB=6，即可作出等腰ACB，进而即可求解； （2）根据等腰三角形的定义，分AB为腰，AB为底，找出第三个顶点位置，即可． 【详解】解：（1）如图1所示： 此时ACB是等腰直角三角形，∠ABC=45°， 故答案是：45°； （2）如图所示： 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，掌握分类讨论思想方法，熟悉网格的结构特征是解题的关键． 12．如图，在中，，为的中点，，分别为，上的点，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的内角和，等腰三角形，熟练掌握是解答本题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，为的中点，得到，可证明，即可证明； （2）由（1）得，根据全等三角形可得，根据平角可得，根据得，在中，利用内角和可求，即，在中，利用内角和可求解． 【详解】（1）证明： ， ， 为的中点， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）得，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ． 13．如图，点C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质可得，，进而可得，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中   ， ； （2）解：， ，， ， ， ． 14．如图，在中，． (1)在AC上求作点，使（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合线段垂直平分线的性质，作线段的垂直平分线，交于点D，则点D即为所求． （2）由等腰三角形的性质可得，则． 【详解】（1）如图，作线段的垂直平分线，交于点D， 则点D即为所求． （2）解：， ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$