《1.5等腰三角形（三）》讲义2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025-2026学年苏科版版八年级数学上 《1.5等腰三角形（三）》精品讲义 ( 一． 学习 目标 1.明确等边三角形的定义，能准确识别等边三角形。 2.掌握等边三角形的性质与判定方法，并能运用解决简单问题。 3.理解并掌握直角三角形中30 ° 角所对的直角边与斜边的关系，会进行相关计算与证明。 4.经历探究过程，提升几何推理与分析能力。 ) ( 二．重点难点 1.重点： （1）等边三角形的性质与判定， （2）直角三角形中30 ° 角的对边与斜边的关系。 2.难点： （1）等边三角形性质与判定的综合应用， （2）直角三角形中30 ° 角性质的推导与灵活运用。 ) ( 三． 课前预习 阅读教材，完成下列问题: 1. 三条边都相等的三角形叫做______，它是特殊的等腰三角形。 【 答案 】 ：等边三角形 2. 等边三角形的三个内角都______，且每个内角都等于______ ° 【 答案 】 ：相等；60 3. 等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，对称轴是各边的______所在的直线。 【 答案 】 ：3；垂直平分线 4. 判定三角形为等边三角形的方法：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是______ ° 的等腰三角形是等边三角形。 【 答案 】 ：60 5. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ° ，那么它所对的直角边等于斜边的______。 【 答案 】 ：一半 ) 四．课堂探秘 （一）认识等边三角形 1.等边三角形的定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形，也称为正三角形。 2.深入理解 （1）从边的角度：三条边都相等。 （2）从角的角度：三个角都相等，且均为60°（可通过三角形内角和定理推导）。 （3）从对称性角度：有3条对称轴，远超等腰三角形的1条。 （二）等边三角形的性质 1.等腰三角形与等边三角形比较 （1）边：等腰三角形两腰相等，等边三角形三边都相等。 （2）角：等腰三角形两底角相等，等边三角形三个角都相等，因为三角形内角和为180°，所以每个角都是60°。 （3）对称性：等腰三角形是轴对称图形，等边三角形也是轴对称图形，且有三条对称轴（分别是三条高所在直线 ，也可以说是三条角平分线所在直线或三条中线所在直线）。 （4）三线合一：等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线三线合一，等边三角形任意一条边上都有三线合一的性质。 【活动】画出等边三角形的三条对称轴，你有什么发现？ 【发现】三条对称轴交于一点 2.等边三角形的性质 (1)等边三角形的三条边都相等； (2)等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60 °； (3)等边三角形是轴对称图形，它有3 条对称轴，分别为三边的垂直平分线； (4)各边上的高、中线、对角的角平分线重合，且长度相等. （三）等边三角形的判定 1.讨论分析： （1）若一个三角形三条边都相等，是否为等边三角形？ 是，符合定义。 （2）若一个三角形三个角都相等，能否判定为等边三角形？ 是，利用等角对等边，可推出三边相等。 （3）若一个等腰三角形有一个角是60°，它一定是等边三角形吗？ 分两种情况：顶角为60°或底角为60°，均能推出三边相等。 2.总结判定方法： （1）定义法：三条边都相等的三角形是边三角形 （2）判定定理一：三个角相等的三角形是等边三角形。 三个角都相等的三角形是等边三角形。因为三角形内角和180°，若三个角相等，每个角就是60°，满足等边三角形角的特征。 （3）判定定理二：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。若等腰三角形顶角是60°，根据三角形内角和及等腰三角形两底角相等，可得两底角也是60°；若底角是60°，则另一个底角60°，顶角也是60°，都能得出是等边三角形。 3. 证明等边三角形的思维导图 （四）直角三角形中30°角的性质 动手操作：用两个全等的含30°角的直角三角形拼摆成一个等边三角形。 如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？ 已知：在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°. 求证：BC =AB． 方法一：倍长法 证明：延长BC 到D，使BC=CD，连接AD，∵　∠C =90° ∴AC⊥BD∴AB=AD 又∵∠A =30°, ∴∠B =60°∴△ABD 是等边三角形 ∴AB=BD=2BC ∴BC =AB． 方法二：截半法 证明：在BA上截取BE=BC，连接EC. ∵ ∠B= 60° ，BE=BC.∴ △BCE是等边三角形， ∴ ∠BEC= 60°，BE=EC.∵ ∠A= 30°， ∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°∴ AE=EC， ∴ AE=BE=BC，∴ AB=AE+BE=2BC.∴BC =AB． 【结论】含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【几何语言】 ∵　在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°， ∴BC =AB （五）经典例题 例1.如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E,P为线段AE上任意一点.若∠DPE=80°,则∠PDE的度数为(　　) A.20°　　　B.40°　　　C.60°　　　D.100° 【答案】B　 【解析】∵△ABC是等边三角形,∴∠C=60°,∵DE∥BC,∴∠PED=∠C=60°,∵∠DPE=80°, ∴∠PDE=180°-∠PED-∠DPE=40°,故选B. 例2.在△ABC中,AB=AC,添加下列条件不能判定△ABC是等边三角形的是(　　) A.∠A=60° B.AC=BC C.∠B的补角等于∠C的补角 D.AB边上的高也是AB边上的中线 【答案】C　 【解析】A.当AB=AC,∠A=60°时,△ABC是等边三角形,故本选项不符合题意;B.当AB=AC, AC=BC时,AB=AC=BC,则△ABC是等边三角形,故本选项不符合题意;∵AB=AC,∴∠B=∠C, ∴∠B的补角等于∠C的补角,∴当∠B的补角等于∠C的补角时,不能判定△ABC是等边三角形,故本选项符合题意;D.当AB边上的高也是AB边上的中线时,CA=CB, ∴AB=AC=BC,∴△ABC是等边三角形,故本选项不符合题意.故选C. 例3.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,AD⊥BC于D,则BD与BC的数量关系(　　) A.BC=2BD　　　　　B.BC=3BD C.BC=4BD　　　　　D.BC=5BD 【答案】C　 【解析】∵∠BAC=90°,∠C=30°,∴BC=2AB,∠B=180°-∠BAC-∠C=60°, ∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴∠BAD=180°-∠ADB-∠B=30°,∴AB=2BD,∴BC=4BD.故选C. 例4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=4,等边△CDE的顶点E,D分别在线段AB,BC上,则CD的长为(　　) A.1　　　 B.2　　 　C.3　　　 D.4 【答案】B　 【解析】∵△CDE为等边三角形,∴∠ECD=60°,CE=CD,∵∠B=30°,∴∠CEB=180°-60° -30°=90°,∴CE⊥AB,即△CBE为直角三角形,∴CD=CE=BC=×4=2,故选B. 例5.如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC至E,连接DE,使DB=DE. (1)求∠BDE的度数; (2)求证:△CED为等腰三角形. 解析(1)∵DB=DE,∴∠E=∠DBE,∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=∠ABC=60°,∵BD是AC边上的高,∴∠DBC=30°,∴∠E=∠DBE=30°,∴∠BDE=180°-30°-30°=120°. （2）证明:∵∠ACB=60°,∠E=30°,∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°,∴∠CDE=∠E, ∴CD=CE,∴△CED是等腰三角形. 例6.在复习课上,老师布置了一道思考题:如图所示,点M、N分别在等边△ABC的BC、CA边上,且BM=CN,AM、BN交于点Q,求证:∠BQM=60°. (1)请你完成这道思考题; (2)做完(1)后,同学们在老师的启发下进行了反思,提出许多问题,譬如: ①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换,得到的是否仍是真命题? ②若将题中的点M,N分别移动到BC,CA的延长线上,是否仍能得到∠BQM=60°?请你选择其中一个问题,并画出图形,给出证明. 解：(1)证明:∵△ABC为等边三角形,∴AB=BC,∠ABC=∠C=60°,在△ABM和△BCN中,∴△ABM≌△BCN(SAS).∴∠BAM=∠CBN.∵∠QBA+∠CBN=∠CBA=60°, ∴∠QBA+∠BAM=60°.∴∠BQM=60°. (2)任选一个问题回答即可.①是.证明:∵∠BQM=60°,∴∠QBA+∠BAM=60°.∵∠QBA+∠CBN=60°,∴∠BAM=∠CBN.在△ABM和△BCN中,∴△ABM≌△BCN(ASA).∴BM=CN. ②能.证明:如图,∵BM=CN,BC=AC,∴CM=AN.∵∠BAC=∠ACB=60°,∴∠ACM=∠BAN =180°-60°=120°,在△BAN和△ACM中,∴△BAN≌△ACM(SAS). ∴∠NBA=∠MAC,∴∠BQM=∠BNA+∠NAQ=∠BNA+∠CAM=∠BNA+∠ABN=∠BAC=60°. 五．课堂检测 1.如图,直线m∥n,△ABC是等边三角形,顶点B在直线n上,直线m交AB于点E,交AC于点F,若∠1=140°,则∠2的度数是(　　) A.80°　　　　B.100°　　　　C.120°　　　　D.140° 【答案】B　 【解析】如图,∵△ABC是等边三角形,∴∠A=60°.∵∠1=∠A+∠AEF=140°,∴∠AEF= 140°-60°=80°,∴∠DEB=∠AEF=80°.∵m∥n,∴∠2+∠DEB=180°,∴∠2=180°-80°=100°.故选B. 2．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为(　　) A．4 B．30 C．18 D．12 【答案】D 【解析】：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠AED＝∠B＝∠C＝60°，∴△ADE为等边三角形，∵AB＝10，BD＝6，∴AD＝AB－BD＝10－6＝4，∴△ADE的周长为12. 3．下列推理中，错误的是(　　) A．因为∠A＝∠B＝∠C，所以△ABC是等边三角形 B．因为AB＝AC且∠B＝∠C，所以△ABC是等边三角形 C．因为∠A＝60°，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形 D．因为AB＝AC，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形 【答案】B 【解析】：选项A，根据判定方法可知三个角相等的三角形是等边三角形，因此A是正确的；选项B，由AB＝AC可推出∠B＝∠C，因此它只能判定△ABC是等腰三角形，故B是错误的；选项C，可求出第三个角也是60°，因此有两个角是60°的三角形可判定为等边三角形，故C是正确的；选项D，有一个角为60°的等腰三角形，可判定为等边三角形，故D是正确的． 4．如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD＝____°. 【答案】30° 【解析】：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠BAC＝30°. 5．某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要________. 【答案】150a元 【解析】：如图，作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，∵∠BAC＝150°，∴∠DAC＝30°，∵CD⊥BD，AC＝30 m，∴CD＝15 m，∵AB＝20 m，∴S△ABC＝AB×CD＝×20×15＝150(m2)，∵每平方米售价a元，∴购买这种草皮的价格是150a元． 6.在△ ABC 中，∠ A=120 °，AB=AC，D 是BC 的中点，DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，点E，F 为垂足.求证：△ DEF 是等边三角形． 证明：∵∠ A=12 0 °，AB=AC，∴∠ B= ∠ C=3 0 °.∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，∴∠ BED= ∠ CFD=90 °.∴易得∠ BDE= ∠ CDF= 60 °.∴∠ EDF=180 °－∠ BDE－∠ CDF= 60 °. ∵ D 是BC 的中点，∴ BD=CD.在△ BDE 和△ CDF 中，∴△ BDE ≌△ CDF(ASA). ∴ DE=DF.∴△ DEF 是等边三角形. 7.如图，△ ABC 中，AB=AC，∠ BAC=120 °，AC 边的垂直平分线DE与BC 边交于点D，垂足为E，若DE=1，求线段CD 和BC 的长． 解:如图，连接AD.AB=AC,∠BAC=120°,∠B=∠C=（180°-120°）÷2=30°. ∵DE 垂直平分AC, ∴AD=CD，∠DEC=90°.∴CD＝2DE＝2，∠C＝∠DAC＝30°.∴AD＝2，∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝90°.∴BD＝2AD＝4.∴BC＝BD＋CD＝6. 8.如图,在等边△ABC中,点D在边BC上,过点D作DE∥AB交AC于点E,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数; (2)求证:DC=CF. 解:(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°.∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°.∵DE⊥EF, ∴∠DEF=90°,∴∠F=90°-∠EDC=90°-60°=30°. (2)证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,∴∠EDC=∠ECD=60°,∴△DEC是等边三角形,∴CE=CD.∵∠ECD=∠F+∠CEF,∠F=30°,∴∠CEF=∠ECD-∠F=30°=∠F,∴EC=CF, ∴DC=CF. 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.等边三角形的定义：______的三角形叫做等边三角形。 【答案】：三条边都相等 2.等边三角形的性质：等边三角形的三条边______，三个内角都等于______°，是______图形，有______条对称轴。 【答案】：相等；60；轴对称；3 3.等边三角形的判定方法： ①________________________________________； ②________________________________________； ③________________________________________。 【答案】：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 4.直角三角形的特殊性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的______等于______的一半。 【答案】：直角边；斜边 （二）强化训练 一．选择题 1.下列关于等边三角形的说法错误的是（ ） A. 等边三角形的三条边相等 B. 等边三角形的三个角都是60° C. 等边三角形只有一条对称轴 D. 等边三角形是等腰三角形 【答案】：C 【解析】：等边三角形有3条对称轴，分别是各边的垂直平分线，故C选项错误，其余选项均符合等边三角形的性质。 2.如图,在△ABC中,∠B=60°,点D在边BC上,且AD=AC,若AB=6,CD=4,则BD的长为(　　) A.3　　　　B.2.5　　　　C.2　　　　D.1 【答案】D　 【解析】如图,过点A作AE⊥BC于E,又∵AD=AC,CD=4,∴DE=EC=CD=2.在Rt△ABE中, ∵∠AEB=90°,∠B=60°,∴∠BAE=90°-∠B=30°,∴BE=AB=×6=3,∴BD=BE-DE=3-2=1故选D. 3．如图，在以BC为底边的等腰△ABC中，∠A＝30°，AC＝8，BD⊥AC，则△ABC的面积是(　　) A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【解析】：∵AB＝AC，AC＝8，∴AB＝8，∵BD是高，∴∠BDA＝90°，∵∠A＝30°，∴BD＝AB＝4，∴△ABC的面积＝×8×4＝16. 4．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于(　　) A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】A 【解析】：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD＝CD，即：AD是BC的垂直平分线， ∵点E在AD上，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EBC＝45°，∴∠ECB＝45°， ∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠ACE＝∠ACB－∠ECB＝15°. 5．如图，∠MON＝30°，且OP平分∠MON，过点P作PQ∥OM交ON于点Q.若点P到OM的距离为2，则OQ的长为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】如图过点P作PE⊥ON，∵OP平分∠MON，∴∠1＝∠2，∵PQ∥OM，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3＝∠MON＝15°，∴OQ＝PQ，∠4＝30°，∴PQ＝2PE＝4，∴OQ＝PQ＝4. 6.如图,AB∥CD,△ACE为等边三角形,∠DCE=40°,则∠EAB等于(　　) A.40°　　　B.30°　　　C.20°　　　D.15° 【答案】C　 【解析】∵AB∥CD,∴∠DCA+∠CAB=180°,即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB=180°,∵△ACE为等边三角形,∴∠ECA=∠EAC=60°,∴∠EAB=180°-40°-60°-60°=20 7.如图,△ABC是等边三角形,AQ=PQ,PR⊥AB于点R,PS⊥AC于点S,PR=PS,有下列结论:①点P在∠BAC的平分线上;②AS=AR;③QP∥AR;④△BRP≌△QSP.其中正确的有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】　D　 【解析】∵△ABC是等边三角形,PR⊥AB,PS⊥AC,且PR=PS,∴P在∠BAC的平分线上,故①正确;∵△ABC为等边三角形,AP平分∠BAC,∴PB=PC,∠B=∠C,∵PS=PR,∴Rt△BPR≌ Rt△CPS,∴BR=CS,∵AB=AC,∴AS=AR,故②正确;由①得∠PAC=∠BAC=30°,∵AQ=PQ, ∴∠APQ=∠PAQ,∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC,∴PQ∥AR,故③正确;易得△PQC是等边三角形,∵PS⊥CQ,∴∠PSQ=∠PSC=90°,SQ=SC,∵PS=PS,∴△PQS≌△PCS,∵△BPR≌ △CPS,∴△BRP≌△QSP,故④正确.∴①②③④都正确.故选D. 8.如图,已知:∠MON=30°,点A1、A2、A3、…在射线ON上,点B1、B2、B3、…在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形,若OA1=,则△A6B6A7的边长为 (　　) A.6 B.12 C.16 D.32 【答案】　C　 【解析】如图,∵△A1B1A2是等边三角形,∴A1B1=A2B1,∠3=∠4=∠12=60°,∴∠2=120°, ∵∠MON=30°,∴∠1=180°-120°-30°=30°,∵∠3=60°,∴∠5=180°-60°-30°=90°,∵∠MON=30°=∠1,∴A1B1=OA1=,∴A2B1=,∵△A2B2A3、△A3B3A4都是等边三角形, ∴∠11=∠10=∠13=60°,A2B2=A3B2,∴∠4=∠10=∠11=∠12=∠13,∴A1B1∥A2B2∥A3B3,B1A2 ∥B2A3,∴∠6=∠7=∠1=30°,∠8=∠5=90°,∴A2B2=2B1A2,B3A3=2B2A3,∴A3B3=4B1A2=2,A4B4=8B1A2=4,A5B5=16B1A2=8,……∴△AnBnAn+1的边长为×2n-1,∴△A6B6A7的边长为×26-1=×25=16.故选C. 9.如图,△ABC和△BDE都是等边三角形.如果∠EBC=20°,那么∠ABD的度数为(　　) A.80° B.90° C.100° D.105° 【答案】C　 【解析】因为△ABC和△BDE都是等边三角形,所以∠EBD=∠ABC=60°.又因为∠EBC =20°,所以∠DBC=40°,所以∠ABD=∠ABC+∠DBC=60°+40°=100°.故选C. 10.已知:在△ABC中,∠A=60°,如要判定△ABC是等边三角形,还需添加一个条件.现有下面三种说法:①如果添加条件“AB=AC”,那么△ABC是等边三角形; ②如果添加条“∠B=∠C”,那么△ABC是等边三角形;③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”,那么 △ABC是等边三角形.上述说法中,正确的有 (　　) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 【答案】　A　 【解析】①若添加的条件为AB=AC,由∠A=60°,利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC为等边三角形;②若添加条件为∠B=∠C,∵∠A=60°,∴∠B=∠C=60°, ∴∠A=∠B=∠C,∴△ABC为等边三角形;③若添加的条件为边AB、BC上的高相等,如图所示:∵AE⊥BC,CD⊥AB,∴∠ADC=∠AEC=90°,在Rt△ADC和Rt△CEA中, ∴Rt△ADC≌Rt△CEA(HL),∴∠ACE=∠BAC=60°,∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°,∴△ABC为等边三角形.综上,正确的说法有3个.故选A. 二．填空题 11．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F.若△AFC是等边三角形，则∠B＝____°. 【答案】30° 【解析】：∵EF垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠B＝∠BCF，∵△AFC为等边三角形，∴∠AFC＝60°，∴∠B＝∠BCF＝30°. 12．如图，直线a，b过等边三角形ABC顶点A和C，且a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为____. 【答案】102° 【解析】：如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵∠1＝42°，a∥b，∴∠2＝∠1＋∠BAC＝42°＋60°＝102°. 13.如图,等边△ABC的两条中线BD、CE交于点O,则∠BOC=　　　　.  【答案】　120° 【解析】　∵△ABC是等边三角形,BD、CE是中线,∴BD⊥AC,∠ACE=∠ACB=30°, ∴∠BDC=90°,∴∠BOC=∠ODC+∠ACE=120°,故答案为120°. 14.如图,点D,E,F分别为等边△ABC三边AB,BC,AC上的动点,当△DEF为等边三角形时,AD=3,则线段CF的长为　　　　.  【答案】　3 【解析】　∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠C=60°,∴∠ADF+∠AFD=180°-∠A=120°, ∵△DEF是等边三角形,∴DF=EF,∠DFE=60°,∴∠AFD+∠EFC=180°-∠DFE=120°, ∴∠ADF=∠EFC,∴△ADF≌△CFE(AAS),∴CF=AD=3. 15.由于木质衣架没有柔韧性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小明设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,套进衣服后松开即可.如图,OA=OB=20 cm,当衣架收拢时,∠AOB=60°,此时A,B两点之间的距离是　　　　cm.  【答案】　20 【解析】　如图,连接AB.∵OA=OB,∠AOB=60°,∴△OAB是等边三角形,∴AB=OA=20 cm.故答案为20. 16.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AB=5,BE平分∠ABD,AE∥BD交BE于E,则△ABE的周长是　　　　. 【答案】　15 【解析】　∵∠ABC=60°,∴∠ABD=180°-60°=120°,∵BE平分∠ABD, ∴∠ABE=∠DBE=60°,∵AE∥BD,∴∠EAB=∠ABC=60°,∴∠ABE=∠EAB=60°,∴△ABE是等边三角形,∴AB=BE=AE=5,∴△ABE的周长是AB+BE+AE=15. 17.如图所示的是某种落地灯的简易示意图,AB为立杆,BC为支杆,可绕点B旋转,DE为悬杆,滑动悬杆可调节CD的长度.为了使落地灯更方便学习时的照明,小唯将该落地灯进行了调整,使悬杆的CD部分的长度与支杆BC的长度相等,且∠BCE=120°.若CD的长为50 cm,则此时B,D两点之间的距离为　　　　cm.  【答案】　50 【解析】　连接BD(图略),∵∠BCE=120°,∴∠BCD=60°,∵BC=CD,∴△BCD是等边三角形,∴BD=CD=50 cm,故B,D两点之间的距离为50 cm. 18.如图,校园内有一棵大树AB,大树旁边有一栋教学楼CD,且CD=6.6米,站在楼顶C处,测得点B的仰角为30°,点A的俯角为30°,AC=BC,AD∥EC,则大树AB的高度为　　　.  【答案】　13.2米 【解析】　∵∠ACB=∠ACE+∠BCE=30°+30°=60°,AC=BC,∴△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∵AD∥EC,∴∠CAD=∠ACE=30°,在Rt△ADC中,∠CAD=30°, CD=6.6米,∴AC=2CD=2×6.6=13.2(米),∴大树AB的高度为13.2米. 19.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E,连接BD.若CD=1,则AD的长为　　　　.  【答案】　2 【解析】　∵DE垂直平分AB,∴AD=BD,∴∠ABD=∠A=30°,∴∠BDC=∠A+∠ABD= 30°+30°=60°,∵∠C=90°,∴∠CBD=30°,∵CD=1,∴BD=2CD=2,∴AD=2.故答案为2. 20.如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.有以下五个结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°.其中恒成立的结论有　 .(只填序号)  【答案】①②③⑤　 【解析】由题意易得△ADC≌△BEC,所以AD=BE,∠ADC=∠BEC,①正确.又因为CD=CE,∠DCP=∠ECQ=60°,所以△CDP≌△CEQ,所以CP=CQ,PD=QE,所以∠CPQ=∠CQP=60°,所以∠CPQ=∠BCA,所以PQ∥AE,②正确.因为AD=BE,所以AD-PD=BE-QE,即AP=BQ,③正确.DE=DP,显然是错误的,④错误.∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°,⑤正确.故答案为①②③⑤. 三．解答题 21.如图所示,△ABC是等边三角形,D是AC的中点,过点D作DM⊥BC,垂足是M,延长BC到点E,使CE=CD.求证:BM=EM. 解:(1)证明:∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC=∠C=60°,AB=CA.在△ABE和△CAD中,∴△ABE≌△CAD. (2)∵△ABE≌△CAD,∴∠ABE=∠CAD.∵∠BFD=∠ABE+∠BAD,∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°. 22.如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC至E,连接DE,使DB=DE. (1)求∠BDE的度数; (2)求证:△CED为等腰三角形. 解：(1)∵DB=DE,∴∠E=∠DBE,∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=∠ABC=60°,∵BD是AC边上的高,∴∠DBC=30°,∴∠E=∠DBE=30°,∴∠BDE=180°-30°-30°=120°. （2）证明:∵∠ACB=60°,∠E=30°,∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°,∴∠CDE=∠E,∴CD=CE, ∴△CED是等腰三角形. 23.如图1,已知等边△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,连接DE. (1)若DE∥BC,求证:△ADE是等边三角形; (2)如图2,若D、E分别为AB、AC的中点,连接CD、BE,CD与BE相交于点F,请直接写出图中所有等腰三角形.(△ADE与△ABC除外) 图1 图2 解：(1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C,∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C, ∴∠A=∠ADE=∠AED,∴△ADE是等边三角形. (2)△BDE,△DEC,△DEF和△BFC为等腰三角形.∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC=BC,∠A=60°,∵D、E分别为AB、AC的中点,∴AD=BD=AB,AE=CE=AC, ∴AD=AE,∴△ADE为等边三角形,∴AD=DE,∴BD=DE,∴△BDE为等腰三角形,同理△DEC为等腰三角形.∵AB=BC,E为AC的中点,∴∠ABE=∠CBE=30°,∵∠ADE=∠ABC=60°, ∴DE∥BC,∴∠DEB=∠EBC=30°,同理∠BCD=∠EDC=30°,∴∠BCD=∠CBE=∠DEB=∠CDE, ∴FB=FC,DF=EF,∴△DEF和△BFC都为等腰三角形. 24.已知在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC. (1)【特殊情况,探索结论】 如图1,当点E为AB的中点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE　　　　DB(填“>”“<”或“=”).  (2)【特例启发,解答题目】 如图2,当点E为AB边上任意一点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论: AE　　　　DB(填“>”“<”或“=”);理由如下:过点E作EF∥BC,交AC于点F(请你完成后续解答过程).  (3)【拓展结论,设计新题】 在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在线段CB的延长线上,且ED=EC,若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你画出相应图形,并直接写出结果). 图1 图2 解：(1)当E为AB的中点时,AE=DB. （2）AE=DB.理由:如图,过点E作EF∥BC,交AC于点F,∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB=AC,∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,∴△AEF为等三角边形,∴AE=AF=EF,∴BE=CF.∵ED=EC,∴∠D=∠ECD. ∵∠DEB=∠ABC-∠D=60°-∠D,∠ECF=∠ACB-∠ECB=60°-∠ECD,∴∠DEB=∠ECF.在△DBE和△EFC中,∴△DBE≌△EFC(SAS),∴DB=EF,∴AE=DB. （3）如图所示,过点E作EF∥BC,交AC的延长线于点F,易得△AEF是等边三角形,且边长为2,∴EB=FC.∵ED=EC,∴∠EDC=∠ECD,∵BC∥EF, ∴∠DCE=∠CEF,∴∠CDE=∠CEF,又∵∠DBE=∠ABC=60°=∠AFE, ∴△DBE≌△EFC,∴DB=EF=2,∵BC=1,∴CD=BC+DB=3. 25．（12分）如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？ （3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+12=2x，解得：x=12； （2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，AM=t×1=t，AN=AB﹣BN=12﹣2t，∵三角形△AMN是等边三角形，∴t=12﹣2t，解得t=4，∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN． （3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图②，假设△AMN是等腰三角形，∴AN=AM，∴∠AMN=∠ANM，∴∠AMC=∠ANB，∵AB=BC=AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C=∠B， 在△ACM和△ABN中，∵，∴△ACM≌△ABN，∴CM=BN，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM=y﹣12，NB=36﹣2y，CM=NB，y﹣12=36﹣2y，解得：y=16．故假设成立．∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒． 26.（12分）在△ABC中,AB=AC. (1)如图1,如果∠BAD=30°,AD是BC边上的高,AD=AE,则∠EDC=　　　　;  (2)如图2,如果∠BAD=40°,AD是BC边上的高,AD=AE,则∠EDC=　　　　;  (3)思考:通过以上两题,你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系?请用式子表示:　　　　　　;  (4)如图3,如果AD不是BC边上的高,AD=AE,∠BAD与∠EDC是否仍有上述关系?如有,请你写出来,并说明理由. 图1 图2 图3 解：(1)∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,∴∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°, ∵∠BAD=30°,∴∠CAD=30°,∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=×(180°-30°)=75°, ∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°. (2)∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,∴∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°,∵∠BAD=40°,∴∠CAD=40°,∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=×(180°-40°)=70°,∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-70°=20°. (3)∠BAD=2∠EDC. (4)仍有∠BAD=2∠EDC.理由如下:∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED, ∴∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=(∠EDC+∠C)+∠EDC=2∠EDC+∠C,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠BAD=2∠EDC. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版版八年级数学上 《1.5等腰三角形（三）》精品讲义 ( 一． 学习 目标 1.明确等边三角形的定义，能准确识别等边三角形。 2.掌握等边三角形的性质与判定方法，并能运用解决简单问题。 3.理解并掌握直角三角形中30 ° 角所对的直角边与斜边的关系，会进行相关计算与证明。 4.经历探究过程，提升几何推理与分析能力。 ) ( 二．重点难点 1.重点： （1）等边三角形的性质与判定， （2）直角三角形中30 ° 角的对边与斜边的关系。 2.难点： （1）等边三角形性质与判定的综合应用， （2）直角三角形中30 ° 角性质的推导与灵活运用。 ) ( 三． 课前预习 阅读教材，完成下列问题: 1. 三条边都相等的三角形叫做______，它是特殊的等腰三角形。 2. 等边三角形的三个内角都______，且每个内角都等于______ ° 3. 等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，对称轴是各边的______所在的直线。 4. 判定三角形为等边三角形的方法：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是______ ° 的等腰三角形是等边三角形。 5. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ° ，那么它所对的直角边等于斜边的______。 ) 四．课堂探秘 （一）认识等边三角形 1.等边三角形的定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形，也称为正三角形。 2.深入理解 （1）从边的角度：三条边都相等。 （2）从角的角度：三个角都相等，且均为60°（可通过三角形内角和定理推导）。 （3）从对称性角度：有3条对称轴，远超等腰三角形的1条。 （二）等边三角形的性质 1.等腰三角形与等边三角形比较 （1）边：等腰三角形两腰相等，等边三角形三边都相等。 （2）角：等腰三角形两底角相等，等边三角形三个角都相等，因为三角形内角和为180°，所以每个角都是60°。 （3）对称性：等腰三角形是轴对称图形，等边三角形也是轴对称图形，且有三条对称轴（分别是三条高所在直线 ，也可以说是三条角平分线所在直线或三条中线所在直线）。 （4）三线合一：等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线三线合一，等边三角形任意一条边上都有三线合一的性质。 【活动】画出等边三角形的三条对称轴，你有什么发现？ 【发现】三条对称轴交于一点 2.等边三角形的性质 (1)等边三角形的三条边都相等； (2)等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60 °； (3)等边三角形是轴对称图形，它有3 条对称轴，分别为三边的垂直平分线； (4)各边上的高、中线、对角的角平分线重合，且长度相等. （三）等边三角形的判定 1.讨论分析： （1）若一个三角形三条边都相等，是否为等边三角形？ 是，符合定义。 （2）若一个三角形三个角都相等，能否判定为等边三角形？ 是，利用等角对等边，可推出三边相等。 （3）若一个等腰三角形有一个角是60°，它一定是等边三角形吗？ 分两种情况：顶角为60°或底角为60°，均能推出三边相等。 2.总结判定方法： （1）定义法：三条边都相等的三角形是边三角形 （2）判定定理一：三个角相等的三角形是等边三角形。 三个角都相等的三角形是等边三角形。因为三角形内角和180°，若三个角相等，每个角就是60°，满足等边三角形角的特征。 （3）判定定理二：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。若等腰三角形顶角是60°，根据三角形内角和及等腰三角形两底角相等，可得两底角也是60°；若底角是60°，则另一个底角60°，顶角也是60°，都能得出是等边三角形。 3. 证明等边三角形的思维导图 （四）直角三角形中30°角的性质 动手操作：用两个全等的含30°角的直角三角形拼摆成一个等边三角形。 如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？ 已知：在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°. 求证：BC =AB． 方法一：倍长法 方法二：截半法 【结论】含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【几何语言】 ∵　在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，∴BC =AB （五）经典例题 例1.如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E,P为线段AE上任意一点.若∠DPE=80°,则∠PDE的度数为(　　) A.20°　　　B.40°　　　C.60°　　　D.100° 例2.在△ABC中,AB=AC,添加下列条件不能判定△ABC是等边三角形的是(　　) A.∠A=60° B.AC=BC C.∠B的补角等于∠C的补角 D.AB边上的高也是AB边上的中线 ∴AB=AC=BC,∴△ABC是等边三角形,故本选项不符合题意.故选C. 例3.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,AD⊥BC于D,则BD与BC的数量关系(　　) A.BC=2BD　　　　　B.BC=3BD C.BC=4BD　　　　　D.BC=5BD 例4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=4,等边△CDE的顶点E,D分别在线段AB,BC上,则CD的长为(　　) A.1　　　 B.2　　 　C.3　　　 D.4 例5.如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC至E,连接DE,使DB=DE. (1)求∠BDE的度数; (2)求证:△CED为等腰三角形. 例6.在复习课上,老师布置了一道思考题:如图所示,点M、N分别在等边△ABC的BC、CA边上,且BM=CN,AM、BN交于点Q,求证:∠BQM=60°. (1)请你完成这道思考题; (2)做完(1)后,同学们在老师的启发下进行了反思,提出许多问题,譬如: ①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换,得到的是否仍是真命题? ②若将题中的点M,N分别移动到BC,CA的延长线上,是否仍能得到∠BQM=60°?请你选择其中一个问题,并画出图形,给出证明. 五．课堂检测 1.如图,直线m∥n,△ABC是等边三角形,顶点B在直线n上,直线m交AB于点E,交AC于点F,若∠1=140°,则∠2的度数是(　　) A.80°　　　　B.100°　　　　C.120°　　　　D.140° 2．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为(　　) A．4 B．30 C．18 D．12 3．下列推理中，错误的是(　　) A．因为∠A＝∠B＝∠C，所以△ABC是等边三角形 B．因为AB＝AC且∠B＝∠C，所以△ABC是等边三角形 C．因为∠A＝60°，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形 D．因为AB＝AC，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形 4．如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD＝____°. 5．某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要________. 6.在△ ABC 中，∠ A=120 °，AB=AC，D 是BC 的中点，DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，点E，F 为垂足.求证：△ DEF 是等边三角形． 7.如图，△ ABC 中，AB=AC，∠ BAC=120 °，AC 边的垂直平分线DE与BC 边交于点D，垂足为E，若DE=1，求线段CD 和BC 的长． 8.如图,在等边△ABC中,点D在边BC上,过点D作DE∥AB交AC于点E,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数; (2)求证:DC=CF. 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.等边三角形的定义：______的三角形叫做等边三角形。 2.等边三角形的性质：等边三角形的三条边______，三个内角都等于______°，是______图形，有______条对称轴。 3.等边三角形的判定方法： ①________________________________________； ②________________________________________； ③________________________________________。 4.直角三角形的特殊性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的______等于______的一半。 （二）强化训练 一．选择题 1.下列关于等边三角形的说法错误的是（ ） A. 等边三角形的三条边相等 B. 等边三角形的三个角都是60° C. 等边三角形只有一条对称轴 D. 等边三角形是等腰三角形 2.如图,在△ABC中,∠B=60°,点D在边BC上,且AD=AC,若AB=6,CD=4,则BD的长为(　　) A.3　　　　B.2.5　　　　C.2　　　　D.1 3．如图，在以BC为底边的等腰△ABC中，∠A＝30°，AC＝8，BD⊥AC，则△ABC的面积是(　　) A．12 B．16 C．20 D．24 4．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于(　　) A．15° B．30° C．45° D．60° 5．如图，∠MON＝30°，且OP平分∠MON，过点P作PQ∥OM交ON于点Q.若点P到OM的距离为2，则OQ的长为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 6.如图,AB∥CD,△ACE为等边三角形,∠DCE=40°,则∠EAB等于(　　) A.40°　　　B.30°　　　C.20°　　　D.15° 7.如图,△ABC是等边三角形,AQ=PQ,PR⊥AB于点R,PS⊥AC于点S,PR=PS,有下列结论:①点P在∠BAC的平分线上;②AS=AR;③QP∥AR;④△BRP≌△QSP.其中正确的有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.如图,已知:∠MON=30°,点A1、A2、A3、…在射线ON上,点B1、B2、B3、…在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形,若OA1=,则△A6B6A7的边长为 (　　) A.6 B.12 C.16 D.32 9.如图,△ABC和△BDE都是等边三角形.如果∠EBC=20°,那么∠ABD的度数为(　　) A.80° B.90° C.100° D.105° 10.已知:在△ABC中,∠A=60°,如要判定△ABC是等边三角形,还需添加一个条件.现有下面三种说法:①如果添加条件“AB=AC”,那么△ABC是等边三角形; ②如果添加条“∠B=∠C”,那么△ABC是等边三角形;③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”,那么 △ABC是等边三角形.上述说法中,正确的有 (　　) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 二．填空题 11．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F.若△AFC是等边三角形，则∠B＝____°. 12．如图，直线a，b过等边三角形ABC顶点A和C，且a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为____. 13.如图,等边△ABC的两条中线BD、CE交于点O,则∠BOC=　　　　.  14.如图,点D,E,F分别为等边△ABC三边AB,BC,AC上的动点,当△DEF为等边三角形时,AD=3,则线段CF的长为　　　　.  15.由于木质衣架没有柔韧性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小明设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,套进衣服后松开即可.如图,OA=OB=20 cm,当衣架收拢时,∠AOB=60°,此时A,B两点之间的距离是　　　　cm.  16.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AB=5,BE平分∠ABD,AE∥BD交BE于E,则△ABE的周长是　　　　. 17.如图所示的是某种落地灯的简易示意图,AB为立杆,BC为支杆,可绕点B旋转,DE为悬杆,滑动悬杆可调节CD的长度.为了使落地灯更方便学习时的照明,小唯将该落地灯进行了调整,使悬杆的CD部分的长度与支杆BC的长度相等,且∠BCE=120°.若CD的长为50 cm,则此时B,D两点之间的距离为　　　　cm.  18.如图,校园内有一棵大树AB,大树旁边有一栋教学楼CD,且CD=6.6米,站在楼顶C处,测得点B的仰角为30°,点A的俯角为30°,AC=BC,AD∥EC,则大树AB的高度为　　　.  19.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E,连接BD.若CD=1,则AD的长为　　　　.  20.如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.有以下五个结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°.其中恒成立的结论有　 .(只填序号)  三．解答题 21.如图所示,△ABC是等边三角形,D是AC的中点,过点D作DM⊥BC,垂足是M,延长BC到点E,使CE=CD.求证:BM=EM. 22.如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC至E,连接DE,使DB=DE. (1)求∠BDE的度数; (2)求证:△CED为等腰三角形. 23.如图1,已知等边△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,连接DE. (1)若DE∥BC,求证:△ADE是等边三角形; (2)如图2,若D、E分别为AB、AC的中点,连接CD、BE,CD与BE相交于点F,请直接写出图中所有等腰三角形.(△ADE与△ABC除外) 图1 图2 24.已知在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC. (1)【特殊情况,探索结论】 如图1,当点E为AB的中点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE　　　　DB(填“>”“<”或“=”).  (2)【特例启发,解答题目】 如图2,当点E为AB边上任意一点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论: AE　　　　DB(填“>”“<”或“=”);理由如下:过点E作EF∥BC,交AC于点F(请你完成后续解答过程).  (3)【拓展结论,设计新题】 在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在线段CB的延长线上,且ED=EC,若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你画出相应图形,并直接写出结果). 图1 图2 25．（12分）如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？ （3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 26.（12分）在△ABC中,AB=AC. (1)如图1,如果∠BAD=30°,AD是BC边上的高,AD=AE,则∠EDC=　　　　;  (2)如图2,如果∠BAD=40°,AD是BC边上的高,AD=AE,则∠EDC=　　　　;  (3)思考:通过以上两题,你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系?请用式子表示:　　　　　　;  (4)如图3,如果AD不是BC边上的高,AD=AE,∠BAD与∠EDC是否仍有上述关系?如有,请你写出来,并说明理由. 图1 图2 图3 学科网（北京）股份有限公司 $