第03讲 三角形全等的判定（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版新教材）

第03讲 三角形全等的判定 知识点1：三角形全等的判定-SSS 知识点2：三角形全等的判定-SSS 知识点3：三角形全等的判定-ASA 知识点4：三角形全等的判定-AAS 知识点5：三角形全等的判定-HL 1.（1）三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 （2）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 【题型1：三角形全等的判定-SSS】 【典例1】如图，点在同一条直线上，且，求证：． 【变式1】已知：如图，，，与全等吗？并说明理由？ 【变式2】如图所示，A、D、F、B在同一直线上，，，．求证：． 【变式3】如图，在和中，，，求证：． 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 【题型2：三角形全等的判定-SAS】 【典例2】如图，已知点、在线段上，，，，求证：． 【变式1】已知：如图，点，，在同一条直线上，，，， (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式2】如图，点B、E在线段AD上，，，．求证：． 【变式3】如图，已知且，、是上两点，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 【题型3：三角形全等的判定-ASA】 【典例3】如图．在和中，点，，，在同一条直线上．已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式1】如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，，，求证：． 【变式2】如图，，E是的中点． (1)请说明：； (2)若，，求的长． 【变式3】（24-25八年级上·广西柳州·期中）如图，已知，，． (1)求证：； (2)求的度数． 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 【题型4：三角形全等的判定-AAS】 【典例4】如图，点在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式1】如图，和的边、在同一直线上（点在点的左边），已知，，． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【变式2】如图，点B，F，C，E在直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式3】如图，已知：，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 【题型5：三角形全等的判定-HL】 【典例5】如图，已知在线段上，与交于点，且，，求证：． 【变式1】如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从点A，B出发，小明沿行走，小芳沿行走，两人分别同时到达，点C，D，若． (1)与相等吗？为什么？ (2)若，求的度数． 【变式2】已知，如图，，，垂足分别为，，且，．求证：． 【变式3】如图，在中，，且，点E是线段上一点，连接，且．求证：． 【题型6：添加条件使三角形全等】 【典例6】如图，已知，若用“”判定和全等，则可以添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在与中，，且点A在上，点D在上，添加下列一个条件后，仍然不能判定的是（   ） A． B． C．D． 【变式2】如图，，添加下列条件，不能使的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，，要使，添加下列条件正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型7：全等三角形的性质和判定综合】 【典例7】如图，，点在边上，和相交于点． (1)若，则_____°； (2)若，求证：． 【变式1】如图，已知和相交于点O且，分别连接，，，已知，，求的度数． 【变式2】如图，点在的边上，经过边的中点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式3】如图，点A，D，B，E在同一条直线上，，，． (1)试说明； (2)若，，求的度数． 一、单选题 1．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在与中，若，，要使这两个三角形全等，还需具备的条件是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图，在四边形中，连接，已知，那么添加下列条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（   ） A．平分 B． C． D． 4．（24-25八年级上·河南商丘·期中）小刚把一块三角形玻璃打碎成了如图所示的三块，现要到玻璃店取配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（    ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 5．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知与（），分别以点，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以点为圆心，以长为半径画弧，在的内部交弧于点．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在和中，，，，则（   ）    A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）如图，分别是的中点，连接交于点．不添加辅助线，判断的依据是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，在由4个相同的小正方形组成的网格中，与的和为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，用尺规作图作一个角等于已知角，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的判别方法是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 10．（24-25八年级下·甘肃酒泉·期中）如图，在中，是边上的高，是边上一点，且，若，则 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，，，点在边上，，和相交于点．求证：． 12．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，是的中线，，于，于．求证：． 13．（2025·四川内江·中考真题）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 三角形全等的判定 知识点1：三角形全等的判定-SSS 知识点2：三角形全等的判定-SSS 知识点3：三角形全等的判定-ASA 知识点4：三角形全等的判定-AAS 知识点5：三角形全等的判定-HL 1.（1）三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 （2）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 【题型1：三角形全等的判定-SSS】 【典例1】如图，点在同一条直线上，且，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 根据全等三角形的判定定理证得结论． 【详解】证明：∵， ∵在和中， ∴． 【变式1】已知：如图，，，与全等吗？并说明理由？ 【答案】与全等，理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，根据三边相等即可证明． 【详解】解：与全等 理由如下：在和中 ∵（公共边），， ∴ 【变式2】如图所示，A、D、F、B在同一直线上，，，．求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了利用“”证明三角形全等，利用“”直接证明即可． 【详解】在与中， ， ． 【变式3】如图，在和中，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定，根据题中，，结合已知，由直接判定即可得证，熟记两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键． 【详解】证明：在和中， ， ． 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 【题型2：三角形全等的判定-SAS】 【典例2】如图，已知点、在线段上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，先证明，再由平行线的性质得到，则可利用证明，则． 【详解】证明：， ∴ ， ， ， 在和中， ， ， ． 【变式1】已知：如图，点，，在同一条直线上，，，， (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】此题考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由得到，然后证明出，即可得到； （2）首先由全等三角形的性质得到，，然后求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∵，， ∴ ∴； （2）∵ ∴， ∴． 【变式2】如图，点B、E在线段AD上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 先由得到，利用证明，即可得到． 【详解】证明：因为， 所以． ∵ ∴ 在和中， ∴， 所以． 【变式3】如图，已知且，、是上两点，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是： （1）根据等式的性质可得出，根据平行线的性质得出，然后根据证明即可； （2）根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质求出，然后根据邻补角定义求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 【题型3：三角形全等的判定-ASA】 【典例3】如图．在和中，点，，，在同一条直线上．已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)17 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，根据性质解答即可． （1）根据平行线的性质得到，再根据全等三角形的判定定理即可证明． （2）根据全等三角形的性质得到，再由，，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴． 【变式1】如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，平行线的性质，根据全等三角形的判定定理和平行线的性质即可得到结论．熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴． ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∴． 【变式2】如图，，E是的中点． (1)请说明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意可得到，，从而利用即可证得； （2）利用（1）中，得到，再利用，代入即可求得的长． 【详解】（1）解：∵，E是的中点． ∴，， 在与中， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴． 【变式3】（24-25八年级上·广西柳州·期中）如图，已知，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形的外角性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由得到，即可证明； （2）根据三角形外角和性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ； （2）解：由（1）知， ∵， ∴． 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 【题型4：三角形全等的判定-AAS】 【典例4】如图，点在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为8． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质， （1）利用等量代换得，从而利用“”证明即可； （2）由（1）知，可得，再利用求解即可． 【详解】（1）证明：，，且， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ， 的长为8． 【变式1】如图，和的边、在同一直线上（点在点的左边），已知，，． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)与平行，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）根据平行线的性质和等式的性质得出，，进而利用证明全等即可； （2）利用全等三角形的性质得出对应角相等，证明即可． 【详解】（1）证明：∵， 在与中 ； （2）解：与平行，理由如下： ∵， ， ∴与平行． 【变式2】如图，点B，F，C，E在直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形外角的性质，平行线的性质，证明是解题的关键． （1）根据平行线的性质得，，结合，利用证明，即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质以及三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ， ， ， ，即； （2）解： ，， ， ， ． 【变式3】如图，已知：，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定． （1）根据平行线的性质，得出题意得出，证明，再由全等三角形的判定定理即可证明； （2）求解，结合，据此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ， ∵，， ； （2）解：∵，， ∴， 即， ∴． 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 【题型5：三角形全等的判定-HL】 【典例5】如图，已知在线段上，与交于点，且，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由推出，利用进行判定． 【详解】证明：， ，即， ， ， 与都为直角三角形， 在和中， ， ． 【变式1】如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从点A，B出发，小明沿行走，小芳沿行走，两人分别同时到达，点C，D，若． (1)与相等吗？为什么？ (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定和性质，熟练掌握直角三角形全等判定的特殊方法是解题的关键． （1）根据题意，得到，又，利用直角三角形全等的判定方法证明；从而得证； （2）由（1）得，得到，结合，即可得解． 【详解】（1），理由如下： ∵小明和小芳以相同的速度分别同时从点A，B出发，两人分别同时到达， ， ， 在和中， ， ， ； （2）， ， 又， ． 【变式2】已知，如图，，，垂足分别为，，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．根据即可证明结论成立． 【详解】证明：∵，， ∴． 在和中 ∴． 【变式3】如图，在中，，且，点E是线段上一点，连接，且．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【题型6：添加条件使三角形全等】 【典例6】如图，已知，若用“”判定和全等，则可以添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等求解即可． 【详解】解：由题意可，，即两直角三角形斜边相等， 若用“”判定和全等，则还需一组直角边相等， 即或， 只有B选项符合， 故选：B． 【变式1】如图，在与中，，且点A在上，点D在上，添加下列一个条件后，仍然不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有等． 根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A．，不符合全等三角形的判定定理，不能推出与全等，故本选项符合题意； B．，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C．，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D．，符合两直角三角形全等的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式2】如图，，添加下列条件，不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定方法，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 已知，是公共角，根据选项逐一进行分析即可得． 【详解】解：，， 选项，添加可利用证明，不符合题意； 选项，添加可利用证明，不符合题意； 选项，添加可利用证明，不符合题意； 选项，添加不能证明，符合题意． 故选：． 【变式3】如图，，要使，添加下列条件正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：． 由全等三角形的判定方法，即可判断． 【详解】解：A、，不能判定； B、，不能判定； C、，故C符合题意； D、，不能判定． 故选：C． 【题型7：全等三角形的性质和判定综合】 【典例7】如图，，点在边上，和相交于点． (1)若，则_____°； (2)若，求证：． 【答案】(1)36 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握上述基础知识是解题的关键； （1）根据三角形的内角和定理即可求解； （2）先根据三角形的外角性质得到，然后即可证明． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）证明：，即， 而， ， 在和中， ， ． 【变式1】如图，已知和相交于点O且，分别连接，，，已知，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，先证明，得出，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：在与中， ， ， ， ， ． 【变式2】如图，点在的边上，经过边的中点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）利用全等三角形的判定即可证明； （2）利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：点是边的中点， ， 在和中， ， ． （2）解：由（1）得，， ， ， ． 的长为1． 【变式3】如图，点A，D，B，E在同一条直线上，，，． (1)试说明； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，三角形内角和定理，熟知三角形内角和定理和全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，再证明，即可利用，证明； （2）先求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 一、单选题 1．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在与中，若，，要使这两个三角形全等，还需具备的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 根据所给条件可知，应加已知边的夹角或第三组边相等才可证明这两个三角形全等． 【详解】解：A、加上，不能证明这两个三角形全等，故此选项不符合题意； B、加上，不能证明这两个三角形全等，故此选项不符合题意； C、加上，不能证明这两个三角形全等，故此选项不符合题意． D、加上可得，即，根据能证明这两个三角形全等，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图，在四边形中，连接，已知，那么添加下列条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴当时，；故A选项不符合题意； 当时，；故B选项不符合题意； 当时，；故C选项不符合题意； 当，无法得到；故D选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（   ） A．平分 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“”）．由于斜边为公共边，则添加一组直角边对应相等即可． 【详解】解：∵， ∴当添加或时，． 故选：C． 4．（24-25八年级上·河南商丘·期中）小刚把一块三角形玻璃打碎成了如图所示的三块，现要到玻璃店取配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（    ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解． 【详解】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的； 第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃．应带③去． 故选C． 5．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知与（），分别以点，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以点为圆心，以长为半径画弧，在的内部交弧于点．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图—作一个角等于已知角，熟练掌握尺规作一个角等于已知角的步骤是解题的关键．根据尺规作图的步骤即可解答． 【详解】解：根据作图可知，． 故选：D． 6．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在和中，，，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定定理得出，根据全等三角形的性质得出，代入求出即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 7．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）如图，分别是的中点，连接交于点．不添加辅助线，判断的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 由线段中点的意义结合得到，而夹角相等，故由可证明． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 8．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，在由4个相同的小正方形组成的网格中，与的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据网格可推出，据此即可求解； 【详解】解：由网格可知： ∴ ∴ ∴ 故选：C 9．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，用尺规作图作一个角等于已知角，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的判别方法是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图−作角．利用作图痕迹得到，，则根据“”可判断，从而得到． 【详解】解：由作法得，， 所以根据“”可判断， ∴． 故选：A． 二、填空题 10．（24-25八年级下·甘肃酒泉·期中）如图，在中，是边上的高，是边上一点，且，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题重点考查三角形的高的定义、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 由是边上的高，推导出 ，即可证明，则，于是得到问题的答案． 【详解】∵在中，是边上的高，是边上一点， ∴于点， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：4． 三、解答题 11．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，，，点在边上，，和相交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先利用三角形内角和定理得出，再证明，即可得．最后利用“角边角”即可判定． 【详解】证明：∵和相交于点， ∴． 在和中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 在和中， ， ∴． 12．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，是的中线，，于，于．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，先利用证明，得到，再利用即可证明，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 13．（2025·四川内江·中考真题）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)11 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得到，再由“”直接证明即可； （2）由，，再由线段和差即可得到，最后由即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$