第1章 三角形能力提升测试卷-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版新教材）

第1章 三角形能力提升测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，点为内部一点，点到的距离为3，连接，过点作于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D．平分 3．如图，，若的面积为3，的面积为2，则的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 4．如图，，，下列结论一定正确的是（    ） A．平分 B．垂直平分 C．垂直平分 D．与互相垂直平分 5．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作，分别交于点E、F．若，则的周长是（   ） A．15 B．18 C．20 D．22 6．如图，将绕点逆时针旋转得到，点在上．已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 7．如图，和均为等边三角形，且点A、B、C在同一直线上，连接交于点，连接交于点，连接，点为与的交点，以下结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D．是等边三角形 8．如图，已知的面积为12，平分，且于点，则的面积是（  ） A．10 B．8 C．6 D．4 9．如图，和都是等边三角形且点，，在一条直线上，，相交于点，与相交于点，与相交于点，连接，则①；②；③；④平分．正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 10．如图，在中，，D为的中点，P为上一点，E为延长线上一点，且．则下列结论：①，②为等边三角形；③；④，其中正确的结论是(　　) A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④ 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11． 如图，在中，，分别以点C，B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交于点D，E，连接相交于点P．若，则的大小为 ． 12．如图，在中，，的垂直平分线交边于点，交边于点．若与的周长分别是、，则 ． 13．如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为 ． 14．如图，在中，边的垂直平分线分别与边，交于D，E两点，边的垂直平分线分别与边，交于F，G两点，连接，．若的周长为32，，则的长为 ． 15．如图，，且，且，，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是 ． 16．如图，，动点P从点A出发（不含点A），以2个单位长度/秒的速度沿射线运动，Q为射线上一动点，点P的运动时间为t秒，若以点P，Q，C为顶点的三角形与全等，则t的值为 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图，在中，于D，于C，且，求证：． 18．（8分）如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．（8分）（1）【阅读理解】 如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．老师给出一个方法：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；结合图1，根据老师提出的方法，添加辅助线并完成证明； （2）【问题解决】 如图2，在（1）的条件下，连接，当，时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 20．（8分）如图，为的角平分线，于点E，于点F，连接于点E，交于点O． (1)求证：垂直平分； (2)若，求的长度． 21．（10分）如图，在四边形中，平分，交的延长线于点M，于点N． (1)请说明的理由； (2)若，，，求的长． 22．（10分）如图所示，在中，，，点为的中点，交的平分线于点，于点， 交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的长． 23．（10分）中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．嘉淇在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点H，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，利用三角形三边的关系，可得中线的取值范围是 ． (2)如图2，中，，为角平分线，E为边的中点，过点E作的平行线，交于点F，交的延长线于点P． ①判断和的数量关系，并说明理由； ②若，，，则的长为 ． 24．（10分）如图1，在和中，．连接． (1)求证：； (2)将和绕点A向相反方向旋转，如图2，与交于点O，与交于点F． ①若，求的度数； ②连接，求证：平分； ③若G为上一点，，且，连接，直接写出与的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 三角形能力提升测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，点为内部一点，点到的距离为3，连接，过点作于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．过点作于点，结合含30度角的直角三角形的性质以及点到直线的距离定义，可得，利用“”证明，由全等三角形的性质即可获得答案． 【详解】解：如下图，过点作于点， ∵，，， ∴， ∵点到OA的距离为3， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故选：B． 2．在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】B 【分析】本题考查三线合一，根据三线合一，进行判断即可． 【详解】解：当时， ∵点在上， ∴， ∴， ∴；故选项A不符合题意； ∵， ∴，不能得到；故选项B符合题意； ∵， ∴当或平分时，；故选项C，D均不符合题意； 故选B 3．如图，，若的面积为3，的面积为2，则的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，三角形中线的性质，先计算出，再根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分得到接着根据全等三角形的性质得到，然后计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 4．如图，，，下列结论一定正确的是（    ） A．平分 B．垂直平分 C．垂直平分 D．与互相垂直平分 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线的判定定理，根据垂直平分线的判定定理直接可得结论 【详解】解：∵，， ∴点A、 B 在的垂直平分线上， ∴垂直平分， 故选：C 5．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作，分别交于点E、F．若，则的周长是（   ） A．15 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握相关知识是解题的关键．由平行线的性质得到，由角平分线的性质得到，得出，得到，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴的周长， 故选：C． 6．如图，将绕点逆时针旋转得到，点在上．已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握“旋转前后的对应角相等与等边对等角”是解本题的关键．先由旋转的性质证明，，再利用等边对等角证明，从而可得答案． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，点在上， ，， ， ， ，， ， 故选：C． 7．如图，和均为等边三角形，且点A、B、C在同一直线上，连接交于点，连接交于点，连接，点为与的交点，以下结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D．是等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质与全等三角形的判定及性质，解题的关键是利用等边三角形的边和角的特点，结合全等三角形的知识进行推理判断． 通过证明三角形全等，结合等边三角形的性质，对每个选项逐一分析判断． 【详解】∵为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， 故A正确； 故B正确； 仅根据已知条件和是等边三角形，以及，无法得出． ∵没有足够的角度或边的关系能推导出， 不一定垂直于，该选项不一定成立， 故C正确； ∵，均为等边三角形， 在和中， ∴为等边三角形， 故D正确． 8．如图，已知的面积为12，平分，且于点，则的面积是（  ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．延长交于，根据已知条件证得，根据全等三角形的性质得到，得出，，推出． 【详解】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 故选：． 9．如图，和都是等边三角形且点，，在一条直线上，，相交于点，与相交于点，与相交于点，连接，则①；②；③；④平分．正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形判定和的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 根据全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，结合角平分线依次判断即可． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ，故①正确； ． 又， ，故②正确； ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，故③正确； 过点分别作，于点，两点， 如图所示： ，， ， 在和中， ， ， ， 又在的内部， 平分， 故④错误； 故选：C． 10．如图，在中，，D为的中点，P为上一点，E为延长线上一点，且．则下列结论：①，②为等边三角形；③；④，其中正确的结论是(　　) A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④ 【答案】A 【分析】连接，由等腰三角形的性质和线段的中垂线性质即可判断①；由三角形内角和定理可求，可得，可判断②；过点作，在上截取，由“”可证，延长至H，使，则点关于的对称点，连接，根据对称性质即可判断③；过点A作，在上截取，由三角形的面积的和差关系可判断④． 【详解】解：如图，连接， ∵，点是的中点， ∴，，， ∴是的中垂线， ∴，而， ∴， ∴，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴而， ∴是等边三角形，故②正确； 如图，延长至，使，则点关于的对称点为，连接， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．故③正确； 过点A作，在上截取， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴．故④正确． 所以其中正确的结论是①②③④． 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质，垂直平分线的定义与性质，添加恰当辅助线是本题的关键． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11． 如图，在中，，分别以点C，B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交于点D，E，连接相交于点P．若，则的大小为 ． 【答案】/69度 【分析】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．由作图可知，可得，根据直角三角形斜边上中线的性质可得，然后由角的和差关系可得答案． 【详解】解：由作图可知是的垂直平分线， ， ， ， ，，， ∴， ， ， ， 故答案为：． 12．如图，在中，，的垂直平分线交边于点，交边于点．若与的周长分别是、，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得，，，进而由的周长是可得，再根据的周长是得到，进而即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∵的周长是， ∴， ∴， 即， 又∵的周长是， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，由此即可得． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 14．如图，在中，边的垂直平分线分别与边，交于D，E两点，边的垂直平分线分别与边，交于F，G两点，连接，．若的周长为32，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，，然后根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是边的垂直平分线，是边的垂直平分线， ，， 的周长为32， ， ，即， ， ． 故答案为：5． 15．如图，，且，且，，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是 ． 【答案】50 【分析】题主要考查全等三角形的判定与性质、三角形面积，解答本题的关键是根据三角形全等求出的长，本题比较简单，但是计算时要细心． 由，可以得到，而，由此可以证明，所以；同理证得，进而求出FH，然后利用面积的割补法和梯形、三角形面积公式即可求出图形的面积． 【详解】因为， 所以，，所以， 因为 ， 所以， 所以． 同理证得， 所以， 所以 ， 所以 ． 16．如图，，动点P从点A出发（不含点A），以2个单位长度/秒的速度沿射线运动，Q为射线上一动点，点P的运动时间为t秒，若以点P，Q，C为顶点的三角形与全等，则t的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查直角三角形全等的判定，关键是找到所有符合题意的情况．根据已知条件分，，两种情况，根据和列方程求出t值即可． 【详解】解：∵， ∵， ∴当时，，， ∴点重合，点在点右侧， 此时，， ∴， 解得：； 当时，， 当点在点左侧时， 此时，， ∴， 解得：； 当点在点右侧时， 此时，， ∴， 解得：； 综上：则t的值为或或时，与以点，，为顶点的三角形全等， 故答案为：或或． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图，在中，于D，于C，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和全等三角形的判定是解答的关键．先根据等腰三角形的三线合一性质得到，然后利用证明三角形全等即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴． 18．（8分）如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，根据平行线的性质证明是解题的关键． （1）由，得，而，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得，则，即可求得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中 ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 19．（8分）（1）【阅读理解】 如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．老师给出一个方法：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；结合图1，根据老师提出的方法，添加辅助线并完成证明； （2）【问题解决】 如图2，在（1）的条件下，连接，当，时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到点，得，连接，先证明，得到，，再证明，最后根据等腰三角形的判定，即可证明结论； （2）延长到点，使得，连接，先证明是等边三角形，然后证明为等边三角形，再证明，可得，即可进一步证明结论． 【详解】解：（1）延长到点，得，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2）．理由如下： 延长到点，使得，连接， 由（1）知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ． 20．（8分）如图，为的角平分线，于点E，于点F，连接于点E，交于点O． (1)求证：垂直平分； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）证明得，可证垂直平分； （2）根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质解答即可． 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键． 【详解】（1）证明：∵为的角平分线，于点E，于点F， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴点A、D都在的垂直平分线上， ∴垂直平分． （2）解：∵，为角平分线，， ∴，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．（10分）如图，在四边形中，平分，交的延长线于点M，于点N． (1)请说明的理由； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练运用全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，利用“”可得结论； （2）根据全等三角形的判定得出，得出，结合图形及线段间的数量关系即可求解 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， 由（1）得， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴． 22．（10分）如图所示，在中，，，点为的中点，交的平分线于点，于点， 交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）如图所示，连接，，先利用证明得到，再由角平分线的性质得到，即可利用证明则； （）证明，得到，由（）得，则，据此求出的长，即可求出的长； 【详解】（1）证明：如图所示，连接，， ∵是的中点，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：在和中， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 23．（10分）中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．嘉淇在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点H，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，利用三角形三边的关系，可得中线的取值范围是 ． (2)如图2，中，，为角平分线，E为边的中点，过点E作的平行线，交于点F，交的延长线于点P． ①判断和的数量关系，并说明理由； ②若，，，则的长为 ． 【答案】(1) (2)①．理由见解析；②2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线模型，平方差公式的计算； （1）证明，得到，即可求解； （2）①延长到点G，使，连接，先证明，得到，，再由平分和，得到，即可得到； ②由，得到，设，则，由①得，得到，最后由，求解方程即可． 【详解】（1）解：在和中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 故答案为：； （2）①．理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接． ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 由①得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 24．（10分）如图1，在和中，．连接． (1)求证：； (2)将和绕点A向相反方向旋转，如图2，与交于点O，与交于点F． ①若，求的度数； ②连接，求证：平分； ③若G为上一点，，且，连接，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析；③ 【分析】（1）根据，推出，结合证明，即可得出结论； （2）①根据，得出，根据，结合三角形内角和定理即可得出答案； ②过点A作于点M，于点N，根据，得出，证明，即可证明结论； ③连接， 证明，得出，证明，根据等腰三角形三线合一得出，根据垂直平分线的性质得出，再根据，即可求出结果． 【详解】（1）证明：， ， 即：， 在和中， ， ， ； （2）①解：根据解析（1）可知，， ， ， 又， ； ②证明：过点A作于点M，于点N，如图所示： ， ， ∴， ， 平分； ③解：；理由如下： 连接，如图3所示： ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，掌握全等三角形的判定与性质，熟悉“手拉手”模型的证明是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$