第01讲 三角形中的线段和角（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版新教材）

第01讲 三角形中的线段和角 知识点1：构成三角形的条件 知识点2：三角形的三种重要线段 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 【题型1 构成三角形的条件】 【典例1】在下列长度的三条线段中，首尾连接能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1】下列长度的三条线段，能组成三角形的是(   ) A．2、3、5 B．4、4、7 C．8、6、2 D．10、15、3 【变式2】将一根长度为10（单位：）的铁丝按下面的长度剪开，剪得的三段铁丝可以首尾顺次相接围成三角形的是（　　） A．6，2，2 B．5，3，2 C．5，4，1 D．4，3，3 【变式3】在中，厘米，那么的长度有可能是（    ） A．8厘米 B．7.2厘米 C．6厘米 D．5.4厘米 【题型2 确定第三边的取值范围】 【典例2】一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是 ． 【变式1】三角形的两边长为2和5，周长是偶数，则第三边长是 ． 【变式2】在中，，，并且的长为偶数，则的周长为 ． 【变式3】三角形的三边分别为5，，9，则a的取值范围是 ． 【题型3 三角形三边关系的应用】 【典例4】已知的三边长是． (1)若，且三角形的周长是小于的偶数，求的值； (2)化简． 【变式1】已知的三边分别为，化简： 【变式2】已知是的三边，则化简： ． 【变式3】（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）已知的三边长分别为1，4，a，化简：． 【题型4 画三角形的高】 【典例4】作的边上的高，下列作法中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】小涵求的面积时，作了边上的高，下列作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，边上的高是（    ） A． B． C． D． 【题型5 利用三角形的高求解】 【典例5】（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【变式1】如图，中，，是上任意一点，于点，于点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】如图，、是的两条高，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，中，为的高线，，，． (1)画出中边上的高线． (2)求的长． 【题型6 利用三角形的中线求长度】 【典例6】（24-25七年级下·重庆·期中）在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（   ） A．16 B．8 C．16或8 D．8或4 【变式1】（2025·甘肃平凉·二模）如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式2】（2025·陕西西安·一模）如图，在周长为的中，是边上的中线，已知，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图，在中，，是的中线，若的周长比的周长大，则 ． 【题型7 利用三角形的中线求面积】 【典例7】（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在中，分别是的中点，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积为12，则的面积为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式2】（2025·广东·二模）如图， 在中， D， E分别是的中点． 若的面积是1，则的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）如图，已知的面积为，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，则阴影部分的面积为 ． 一、单选题 1．如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 15．在中，过点的线段交边于点，若与的面积相等，则线段是的（   ） A．高 B．垂线 C．角平分线 D．中线 3．如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 4．如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 6．已知、、是的三边长，则(    ) A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，是的中线，，．若的周长为8，则的周长为 ． 8．如图，是中边上的中线，，分别是，的中点．若的面积为6，则的面积为 ． 9．如图，在中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为 ． 三、解答题 10．如图，在中，，为边上的中线，且，求的长． 11．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，请在图中作出平移后的． (2)点的坐标为______，的面积为______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 三角形中的线段和角 知识点1：构成三角形的条件 知识点2：三角形的三种重要线段 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 【题型1 构成三角形的条件】 【典例1】在下列长度的三条线段中，首尾连接能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟知：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；是解本题的关键． 根据三角形的三边关系进行判断即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，不能构成三角形，不符合题意； D、，可以构成三角形，符合题意； 故选：D． 【变式1】下列长度的三条线段，能组成三角形的是(   ) A．2、3、5 B．4、4、7 C．8、6、2 D．10、15、3 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．依次验证各选项是否满足该条件即可． 【详解】A．最大边为， ，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形． B．最大边为， ，满足条件； 另验证 和 均成立，因此能组成三角形． C．最大边为， ，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形． D．最大边为， ，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形． 故选：B． 【变式2】将一根长度为10（单位：）的铁丝按下面的长度剪开，剪得的三段铁丝可以首尾顺次相接围成三角形的是（　　） A．6，2，2 B．5，3，2 C．5，4，1 D．4，3，3 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边．只需验证各选项中最大边是否小于其余两边之和即可． 【详解】解：A最大边6，其余两边之和，，不满足三角形条件，故该选项不符合题意； B最大边5，其余两边之和，，无法构成三角形，故该选项不符合题意； C最大边5，其余两边之和，，无法构成三角形，故该选项不符合题意； D最大边4，其余两边之和．，满足三角形条件，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式3】在中，厘米，那么的长度有可能是（    ） A．8厘米 B．7.2厘米 C．6厘米 D．5.4厘米 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的边角关系， 根据三角形中“大角对大边”的性质，结合已知条件分析的可能长度． 【详解】解： 在中，，由大角对大边定理可知，的对边大于的对边，已知厘米，因此厘米， 所以只有D选项5.4厘米满足此条件． 故选：D． 【题型2 确定第三边的取值范围】 【典例2】一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，根据“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可解答． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为4、7、x， ∴，即． 故答案为：． 【变式1】三角形的两边长为2和5，周长是偶数，则第三边长是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查的是三角形的三边关系和特殊解，注意：偶数加偶数为偶数，奇数加奇数为偶数． 设第三边边长为，先求出第三边的取值范围．再根据周长是偶数，从而找出取值范围中的奇数，即为第三边的长． 【详解】设第三边边长为， 则， 解得． 又∵周长是偶数， ∴的结果是偶数， ∴是奇数． 综上，可以取5． 故答案为：5． 【变式2】在中，，，并且的长为偶数，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系．三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．根据“三角形的两边的和一定大于第三边，两边的差一定小于第三边”进行分析，解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴长是偶数， ∴为10， ∴的周长为：. 故答案为：21． 【变式3】三角形的三边分别为5，，9，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 即． 故答案为：． 【题型3 三角形三边关系的应用】 【典例4】已知的三边长是． (1)若，且三角形的周长是小于的偶数，求的值； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形三边关系、化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． （1）由三角形三边关系结合三角形的周长是小于16的偶数，得出，即可得出答案； （2）由三角形三边关系得，再利用绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）解： 的三边长是，， ，， ， 的周长是小于的偶数， ，即， ； （2）解：的三边三边长是a，b，c， ， 原式 ． 【变式1】已知的三边分别为，化简： 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系，整式的加减运算，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 首先根据三角三边的关系化简绝对值，然后再根据同类项的定义和合并同类项的方法进行化简即可． 【详解】解： 的三边分别为， ，， ， ， 故答案为：． 【变式2】已知是的三边，则化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系，整式化简，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值即可． 【详解】解： 是的三边， ， ， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）已知的三边长分别为1，4，a，化简：． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质．直接利用三角形三边关系进而得出a的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案． 【详解】解：因为的三边长分别为1，4，a． 所以． 解得． ∴，，， ∴ ． 【题型4 画三角形的高】 【典例4】作的边上的高，下列作法中，正确的是（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查画三角形的高线，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键 根据三角形的高线的定义，进行判断即可． 【详解】解：作边上的高，是从顶点出发，引对边的垂线段， 据此，符合题意的是； 故选：D． 【变式1】小涵求的面积时，作了边上的高，下列作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查画三角形的高，根据三角形的高线的定义，作边上的高即过点向边引垂线，垂足为即可． 【详解】解：由题意，作图正确的是： 故选D． 【变式2】如图，在中，边上的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义判断即可． 【详解】解：，交的延长线于， 为中边上的高． 故选：D． 【题型5 利用三角形的高求解】 【典例5】（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）10． 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 【变式1】如图，中，，是上任意一点，于点，于点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了三角形高的计算，掌握三角形面积的计算方法是关键． 根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ， ∴， 故选：A ． 【变式2】如图，、是的两条高，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的面积计算，熟记面积计算公式和认识三角形的底与高是解题的根本，关键是列出的方程． 根据三角形的面积公式列出的方程进行解答便可． 【详解】解：∵、是的两条高， ∴， 又∵，，， ∴ ∴， ∴， 故选：A． 【变式3】如图，中，为的高线，，，． (1)画出中边上的高线． (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了三角形高的定义，三角形面积公式，根据三角形的高求三角形面积是解决本题关键． （1）根据三角形高的定义，过点C作交延长线于点E即可； （2）根据三角形面积公式得到的面积，然后代数求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵为的高线，，，， ∴的面积， ∴， ∴． 【题型6 利用三角形的中线求长度】 【典例6】（24-25七年级下·重庆·期中）在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（   ） A．16 B．8 C．16或8 D．8或4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、中线的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，，则，再分且和且两种情况分别列出一元一次方程求解并运用三角形的三边关系判断即可解答． 【详解】解：设，则， 当且时，即，解得：， ∴，， ∵， ∴能组成三角形，即符合题意； 当且时，即，解得：； ∴，， ∵， ∴三边不能组成三角形，即不符合题意； 综上，的长是16． 故选A． 【变式1】（2025·甘肃平凉·二模）如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的有关计算，掌握三角形中线的定义是关键． 根据三角形的中线，周长的计算得到，，根据的周长为，的周长为，得到与的周长之差为，由此即可求解． 【详解】解：的周长为， ∴， ∵是边上的中线， ∴，则， ∴， ∵的周长为，的周长为， ∴， ∴与的周长之差为， 故选：A ． 【变式2】（2025·陕西西安·一模）如图，在周长为的中，是边上的中线，已知，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的周长公式和三角形中线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形中线的定义．利用三角形中线定义和周长公式即可求出答案． 【详解】解：∵是边上的中线， ， ∵周长为， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3】如图，在中，，是的中线，若的周长比的周长大，则 ． 【答案】/8厘米 【分析】本题考查了三角形中线以及周长，属于基础题，熟练掌握三角形中线性质是解题关键． 根据三角形中线得定义可得，根据三角形周长公式即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【题型7 利用三角形的中线求面积】 【典例7】（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在中，分别是的中点，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形． 根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得，得到，，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解： 分别是的中点，， ， ，， ， ， 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积为12，则的面积为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的性质．利用中线的性质“三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形”即可求解． 【详解】解：∵是的的中线，且的面积为12， ∴， 又∵是的的中线， ∴， 故选：A． 【变式2】（2025·广东·二模）如图， 在中， D， E分别是的中点． 若的面积是1，则的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，三角形中线平分三角形面积，据此可求出的面积，进而可得的面积． 【详解】解：∵E为的中点， ∴， ∵D为的中点， ∴， 故选；B． 【变式3】（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）如图，已知的面积为，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，连接，可得，即得，进而得到，同理可得，，再根据即可求解，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，，， ∴， 故答案为：． 一、单选题 1．如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，解题的关键是掌握三角形的角平分线将三角形的内角平均分为两份． 2．下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大数即可． 【详解】A． 1、2、3：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； B． 2、3、4：，满足条件，能构成三角形，符合题意； C． 3、5、8：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； D． 4、5、10：，不满足条件，不符合题意； 故选：B． 15．在中，过点的线段交边于点，若与的面积相等，则线段是的（   ） A．高 B．垂线 C．角平分线 D．中线 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中的线段，三角形中线的性质，当线段将分为面积相等的和时，必为的中点，此时为中线． 【详解】解：与的面积相等，则线段是的中线， 故选：D． 3．如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的高，根据高的定义，从三角形的一个顶点向对边引垂线，从顶点到垂足之间的线段是三角形的高． 【详解】解：由图可知，所对顶点为或， 在中，并没有由点向引垂线，所以排除点， 在中，由于为钝角三角形，所以边上的高在三角形外部，也就是过点向的延长线上引垂线，即线段． 故答案选：D． 4．如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中线、角平分线和中线的定义，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．分别根据三角形的中线意义和性质可判断B和D；根据三角形高的定义，直角三角形两锐角互余判断A；根据三角形角平分线的意义可判断C． 【详解】解：∵是中线， ∴，故D选项不正确，不符合题意； ∴，故B选项正确，符合题意； ∵是高， ∴， ∴，故A选项不正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，故C选项不正确，不符合题意； 故选：B． 5．如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是点到直线的距离，等面积法的应用，先求解，结合，从而可得答案. 【详解】解：在中，，根据三角形面积公式高， ． ，， ． ， ． ． 解得． 点到直线的距离是． 故选：A． 6．已知、、是的三边长，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形三边关系，绝对值，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．根据三角形的三边关系判断出，及的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】解：、、是的三边的长， ，，， 原式． 故选：A． 二、填空题 7．如图，是的中线，，．若的周长为8，则的周长为 ． 【答案】9 【分析】根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的中线， ， 的周长为8， ， ， ， ， ． 故答案为：9 【点睛】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 8．如图，是中边上的中线，，分别是，的中点．若的面积为6，则的面积为 ． 【答案】48 【分析】由于F是的中点，，那么和可看作等底同高的两个三角形，根据三角形的面积公式，得出和的面积相等，进而得出的面积等于的面积的2倍，同理由于E是的中点，得出的面等于面积2倍，由于是边上的中线，得出的面积等于面积的2倍，代入求解即可． 【详解】∵F是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， 同理， 故答案为：48． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键． 9．如图，在中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积，连接，利用即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 10．如图，在中，，为边上的中线，且，求的长． 【答案】． 【分析】本题考查了中线的性质，中线是三角形中从某边的中点连向对角的顶点的线段．由中线的性质得，则，根据列式，即可求解． 【详解】解：∵，D为中点， ∴，则， ∵， ∴， 即． 11．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，请在图中作出平移后的． (2)点的坐标为______，的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查利用平移性质作图，利用网格求三角形的面积，解题的关键是熟练掌握平移性质，属于中考常考题型． （1）分别作出，，的对应点，，，再顺次连接即可． （2）利用分割法求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作． （2）解：由图可得：点的坐标为， ． 故答案为：，3.5． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$