专题1.4 垂直平分线和角平分线（六大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版新教材）

专题1.4 垂直平分线和角平分线（六大题型） 【题型1线段垂直平分线的性质】......................................................................1 【题型2线段垂直平分线的判定】......................................................................6 【题型3角平分线的性质定理】.........................................................................11 【题型4角平分线的判定定理】..........................................................................19 【题型5角平分线性质的实际应用】....................................................................23 【题型6 尺规作图-角平分线和垂直平分线】.....................................................25 【题型1线段垂直平分线的性质】 1．在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于50，则的长是（   ）    A．22 B．23 C．32 D．33 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得到，再由三角形周长计算公式可得，进而可得，据此可得答案． 【详解】解；∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∵的周长等于50， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．如图，是的边的垂直平分线，为垂足，交于点，且，，，则的周长是（   ） A．13.5 B．16 C．10 D．9.6 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理及线段垂直平分线的性质，先利用勾股定理求得，再利用线段垂直平分线的性质得出，进而得出答案．正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 【详解】解：，，， ， 是的边的垂直平分线， ， ，， 的周长是：． 故选：B． 3．如图，在中，，边的垂直平分线交于点E，交于点D，，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点．根据线段垂直平分线的性质得出，求出，根据含角的直角三角形的性质得出，求出即可得到答案． 【详解】解：∵边的垂直平分线交于点E，交于点D ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图，中，，、的垂直平分线分别交于点E、F，连接、，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，结合图形计算即可． 【详解】解：， ， 、的垂直平分线分别交于点、， ，， ，， ， ． 故选：B． 5．如图，等腰中，，边的垂直平分线交于点，交于点，连接，若的周长为，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的定义，由垂直平分，则，由的周长为，，则，最后由等腰三角形的定义即可求解，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∵， ∴， ∴， 故选：． 6．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E．若的周长为23，，则的周长为（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，进而求出的长，根据的周长求出的长，推出的周长为，即可得出结果． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为； 故选B． 7．如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交的两侧于点、，连接，交于点，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．分别求出，的大小，可得结论． 【详解】解：，， ， 由作图可知垂直平分线段， ， ， ， 故选：C 【题型2线段垂直平分线的判定】 1．如图，在中，边的垂直平分线交于点P，求证：点P在线段的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；线段垂直平分线的判定：到线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上． 先由线段垂直平分线的性质得到，则，再由线段垂直平分线的判定即可证明． 【详解】证明：∵边的垂直平分线交于点P， ∴． ∴． ∴点P必在的垂直平分线上． 2．如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，掌握该知识点是解题的关键．由“到线段两端点距离相等的点在该线段垂直平分线上”，可判断是的垂直平分线，即可解得． 【详解】证明：∵，， ∴点A、C在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴． 3．已知，如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．求证： (1)； (2)是的垂直平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形判定与性质、线段垂直平分线的判定、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质和线段垂直平分线的判定是解答的关键． （1）先根据角平分线的性质得到，再证明，利用全等三角形的对应边相等即可证得结论； （2）利用线段垂直平分线的判定可得结论． 【详解】（1）证明：∵是平分线上的一点，，， ∴，，又， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴点O、P在线段的垂直平分线上， 即是的垂直平分线； 4．如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)求证：垂直平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，掌握以上知识的综合运用是关键． （1）先利用角平分线的性质得，利用“”证明得到，然后根据线段垂直平分线的判定方法即可得到结论． （2）先利用三角形的面积和可求得的长，根据（1）中的全等可得，可得的长． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 而， ∴垂直平分． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．如图，在中，，是的角平分线， (1)尺规作图：求作的高线； (2)在（）的条件下，连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了经过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，掌握以上知识点是解题的关键． （）过点作的垂线即可； （）证明，得到，，再根据线段垂直平分线的判定即可求证； 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）证明：由（）得是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴, ∵是的角平分线， ∴, 在和中, ， ∴， ∴，， ∴点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 6．如图，在中，平分，，于点，点在上，． (1)求证：． (2)连接，求证垂直平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质， （1）利用角平分线的性质可得，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）证明，可得，所以点在的垂直平分线上，根据，可得点在的垂直平分线上，即可得证； 在图形中找到正确的全等三角形以及熟悉以上性质与判定是关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵平分，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【题型3角平分线的性质定理】 1．如图，在中，平分交于点D，于点E，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，过点D作于F，由角平分线的性质得到，再由三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于F， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（   ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作交于点，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：作交于点，   ， 由基本尺规作图可知，是的平分线， ， ， ， ， ， 故选：B． 3．如图，在中，，平分，交于点，，垂足为．若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质， 先根据角平分线的性质得，再根据得出答案． 【详解】解：∵平分，， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 4．如图，是的角平分线，，垂足为，点E、G分别在上且，和的面积分别为50和40，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，直角三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质． 过点作交于点，得到和，然后利用三角形面积的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵是的角平分线，， 又∵， ∴ ． 故选：B． 5．如图，中，，的平分线交于点，过点作于点，若的周长为24，的周长为12，则（    ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【答案】C 【分析】本题考查了角平分的性质，理解角平分线的性质是解答关键． 根据角平分线的性质得到，，再利用三角形周长来求解． 【详解】解： 中，，的平分线交于点，过点作于点， ，， ∴． 的周长为12， ， 即． 的周长为24， ， 即， ， ． 故选：C． 6．如图，的外角和的平分线相交于点，点到的距离为．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质及三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．如图，过点作于，于，于，连接，根据角平分线的性质得出，根据，结合三角形面积公式即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于，于，于，连接， ∵的外角和的平分线相交于点，点到的距离为， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为： 7．如图，是的角平分线，于，的面积是，，，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”．过点作，垂足为，根据角平分线性质可得，根据三角形的面积，即可求出的长度． 【详解】解：过点作，垂足为，   是的角平分线，， ， 的面积是，，， ， 即， ， 故答案为：． 8．如图，在中，，的平分线交于点，若，，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，能根据角平分线性质得出是解此题的关键； 过作于，由，，即可求得的长，然后由角平分线的性质，求得的长，继而求得答案． 【详解】解：过作于， 平分，， ， ，， ， ∵在中，，的平分线交于， ， ， 的面积是：． 故答案为： 9．如图，在中，，．以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了作图-基本作图，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键． 由作图可知是的角平分线，利用角平分线的性质和三角形内角和定理，然后即可求解； 【详解】解：在中，，， ∴， ∵由题可得：是的角平分线， ∴， 故答案为：； 10．如图，中，，平分，交于点，，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积．过点D作，交于点E，再根据角平分线的性质定理得出，然后根据求出，即可得出答案． 【详解】解：过点D作，交于点E， 平分，， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：3． 【题型4角平分线的判定定理】 1．如图，在中，平分，过点作于点，作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据角平分线的性质得，然后证明，即可解决问题； （2）根据三角形的面积公式即可解决问题． 本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是得到． 【详解】（1）证明：平分，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，，，，， ， ， ． 2．如图，在中，，是上一点，过作，，垂足分别为、，且．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边对等角，全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，先证明，进而可得，根据角平分线的判定定理，即可得证． 【详解】证明：， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 又，， 平分． 3．【定理】如图1．因为于于，所以___________． 【运用】如图2，在四边形中，，求证：平分． 【答案】【定理】平分；【运用】证明见解析 【分析】本题考查角平分线的判定定理、全等三角形的判定及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用角平分线的判定定理，通过于于，即可判定平分； （2）通过作垂线构造全等三角形，得，进而利用角平分线的判定定理，即可完成证明． 【详解】解：定理：于于， 平分， 故答案为：平分； 运用：如图所示，过点作于点，过点作交的延长线于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 平分． 4．如图，是内部的一条射线，点在上，连接、，，过点作，，，分别是垂足，且，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解题关键； 先由角平分线的性质定理得到，再证明，得到，即可证明结论． 【详解】证明： ，，， 为的角平分线， ， ， 在和中， ， ， 平分． 5．如图，在中，，，于点，点在上，． 求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理，首先根据可证，根据全等三角形的性质可证，根据到角两边距离相等的点在角的平分线上可证结论成立． 【详解】证明： 于点， ， ， ， 在和中， ， ， 平分． 【题型5角平分线性质的实际应用】 1．如图所示，A、B、C表示重庆市南岸区黄桷垭三个生活区，、、表示三条公路，现想在内设置一个快递点，若要使快递点到三条公路的距离相等，则这个快递点应修在（     ） A．三条高所在直线的交点处 B．三条边的垂直平分线的交点处 C．三个角的角平分线的交点处 D．三条中线的交点处 【答案】C 【分析】本题考查的角平分线的性质，根据三角形三条角平分线的交点到三角形各边的距离相等的特点解答即可． 【详解】解：三角形三条角平分线的交点到三角形各边的距离相等， 要使快递点到三条公路的距离相等，则这个快递点应修在三条角平分线的交点处． 故选：C． 2．如图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理的运用，掌握角平分线的点到角两边距离相等是解题的关键．根据题意，分别作角的平分线，角平分线的交点即为所求点的位置． 【详解】解：如图所示，    分别作直线交点处的角平分线，根据角平分线的性质，可得点共个点， 故选：． 3．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在三条 的交点处． 【答案】角平分线 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴凉亭的位置应为三条角平分线的交点， 故答案为：角平分线． 【题型6 尺规作图-角平分线和垂直平分线】 1．尺规作图：求作点P，使点P到点M，N的距离相等，同时到的两边的距离也相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，垂直平分线的判定应用，作线段的垂直平分线，作角平分线．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 由点P到点M和点N的距离相等，可知点P在线段的垂直平分线上，由点P到两边的距离相等，可知点P在的平分线上，即点P为线段的垂直平分线与的平分线的交点，如图作线段的垂直平分线与角平分线即可． 【详解】解：如图：点P即为所求． 2．“西气东输”是造福子孙后代的创世纪工程．现有两条高速公路和A，B两个城镇（如图），准备建立一个燃气中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等． (1)请你画出中心站P的位置（不写做法，保留作图痕迹）． (2)请你运用所学知识，简要说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的判定和线段垂直平分线的判定，正确理解题意是解题的关键． （1）作出两条公路相交形成夹角的平分线与线段的垂直平分线，交点即为点； （2）点到两条公路距离相等，说明点在两条公路相交形成夹角的平分线上，两个城镇距离相等，则点在线段的垂直平分线上，那么交点即为点的位置． 【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求： （2）解：由题意得，点到两条公路距离相等，说明点在两条公路相交形成夹角的平分线上，两个城镇距离相等，则点在线段的垂直平分线上，那么交点即为点的位置． 3．如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线交于点D，连接（要求：保留作图痕迹，不必写作法和证明）； (2)在（1）作出的图形中，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查线段垂直平分线的作法和性质，解题的关键是正确画出图形． （1）根据垂直平分线的作法，作出的垂直平分线； （2）根据垂直平分线的性质得出，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图， （2）解：∵的垂直平分线交于点D ∴ 4．如图，在中，． (1)作的垂直平分线，交于点M，交于点N；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若的周长是6.5，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】本题主要考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据垂直平分线的作法作图：分别以点A、B为圆心，大于的一半为半径画弧，相交于两点，过这两点做直线，即为的垂直平分线； （2）利用线段垂直平分线的性质得，然后根据三角形的周长公式即可解答； 【详解】（1）解：如图所示即为所求： （2）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长是， ∴， ∵， ∴． 答：的长为． 5．电信部门要修建一座电视信号发射塔，如图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路，的距离也必须相等，发射塔P应修建在什么位置？ 【答案】画图见解析 【分析】本题考查了作角平分线、线段垂直平分线，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，作出线段的垂直平分线与的平分线交于点，点即为所求，熟练掌握角平分线的性质与线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，点即为所求； ． 6．如图，已知中，于D． (1)尺规作图，作的角平分线交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角的平分线的基本作图解答即可． （2）根据角的平分线，高线，三角形内角和定理解答即可． 【详解】（1）解：根据角的平分线的基本作图，画图如下： 则即为所求． （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角的平分线的基本作图，高线，三角形内角和定理，角的平分线的应用，熟练掌握定理，基本作图是解题的关键． 2．如图，在中，分别以点A，C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点：作直线，分别交于D，E两点．若，的周长为，则的周长为（   ）    A．15cm B．16cm C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了线段垂直平分线的作图，线段垂直平分线的性质，根据题中作图得到垂直平分，得到，，由的周长为，得到，利用周长公式求出的周长． 【详解】解：由题意得，垂直平分， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长为； 故选：D． 3．如图，在中，，． (1)请用尺规作出的平分线，交于点D； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和角平分线的尺规作图，熟知角平分线上的点到该角两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）过点D作于E，由角平分线的性质得到，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解；如图所示，线段和点D即为所求； （2）解：如图所示，过点D作于E， ∵平分，且，， ∴， ∴． 4．在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用角的和差可得，结合，，即可由证得； （2）过点作，，由（1）可知，推出，，然后利用面积公式进而得到，根据角平线的判定定理即可判定． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ． （2）证明：过点作，，如图， 由（1）可知， ，， ， ， 又，， 平分． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 垂直平分线和角平分线（六大题型） 【题型1线段垂直平分线的性质】......................................................................1 【题型2线段垂直平分线的判定】......................................................................3 【题型3角平分线的性质定理】.........................................................................5 【题型4角平分线的判定定理】..........................................................................7 【题型5角平分线性质的实际应用】....................................................................9 【题型6 尺规作图-角平分线和垂直平分线】.....................................................10 【题型1线段垂直平分线的性质】 1．在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于50，则的长是（   ）    A．22 B．23 C．32 D．33 2．如图，是的边的垂直平分线，为垂足，交于点，且，，，则的周长是（   ） A．13.5 B．16 C．10 D．9.6 3．如图，在中，，边的垂直平分线交于点E，交于点D，，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．如图，中，，、的垂直平分线分别交于点E、F，连接、，则的度数是（　　） A． B． C． D． 5．如图，等腰中，，边的垂直平分线交于点，交于点，连接，若的周长为，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E．若的周长为23，，则的周长为（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 7．如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交的两侧于点、，连接，交于点，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【题型2线段垂直平分线的判定】 1．如图，在中，边的垂直平分线交于点P，求证：点P在线段的垂直平分线上． 2．如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．求证：． 3．已知，如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．求证： (1)； (2)是的垂直平分线． 4．如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)求证：垂直平分； (2)若，求的长． 5．如图，在中，，是的角平分线， (1)尺规作图：求作的高线； (2)在（）的条件下，连接，求证：垂直平分． 6．如图，在中，平分，，于点，点在上，． (1)求证：． (2)连接，求证垂直平分． 【题型3角平分线的性质定理】 1．如图，在中，平分交于点D，于点E，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．1 2．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（   ） A．15 B．30 C．45 D．60 3．如图，在中，，平分，交于点，，垂足为．若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．如图，是的角平分线，，垂足为，点E、G分别在上且，和的面积分别为50和40，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．如图，中，，的平分线交于点，过点作于点，若的周长为24，的周长为12，则（    ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 6．如图，的外角和的平分线相交于点，点到的距离为．若，，则四边形的面积为 ． 7．如图，是的角平分线，于，的面积是，，，则 ．    8．如图，在中，，的平分线交于点，若，，，则的面积是 ． 9．如图，在中，，．以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则 度． 10．如图，中，，平分，交于点，，，则的长为 ． 【题型4角平分线的判定定理】 1．如图，在中，平分，过点作于点，作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 2．如图，在中，，是上一点，过作，，垂足分别为、，且．求证：平分． 3．【定理】如图1．因为于于，所以___________． 【运用】如图2，在四边形中，，求证：平分． 4．如图，是内部的一条射线，点在上，连接、，，过点作，，，分别是垂足，且，求证：平分． 5．如图，在中，，，于点，点在上，． 求证：平分． 【题型5角平分线性质的实际应用】 1．如图所示，A、B、C表示重庆市南岸区黄桷垭三个生活区，、、表示三条公路，现想在内设置一个快递点，若要使快递点到三条公路的距离相等，则这个快递点应修在（     ） A．三条高所在直线的交点处 B．三条边的垂直平分线的交点处 C．三个角的角平分线的交点处 D．三条中线的交点处 2．如图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 3．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在三条 的交点处． 【题型6 尺规作图-角平分线和垂直平分线】 1．尺规作图：求作点P，使点P到点M，N的距离相等，同时到的两边的距离也相等． 2．“西气东输”是造福子孙后代的创世纪工程．现有两条高速公路和A，B两个城镇（如图），准备建立一个燃气中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等． (1)请你画出中心站P的位置（不写做法，保留作图痕迹）． (2)请你运用所学知识，简要说明理由． 3．如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线交于点D，连接（要求：保留作图痕迹，不必写作法和证明）； (2)在（1）作出的图形中，求的周长． 4．如图，在中，． (1)作的垂直平分线，交于点M，交于点N；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若的周长是6.5，求的长． 5．电信部门要修建一座电视信号发射塔，如图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路，的距离也必须相等，发射塔P应修建在什么位置？ 6．如图，已知中，于D． (1)尺规作图，作的角平分线交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 1．如图，在中，分别以点A，C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点：作直线，分别交于D，E两点．若，的周长为，则的周长为（   ）    A．15cm B．16cm C． D． 2．如图，在中，，． (1)请用尺规作出的平分线，交于点D； (2)若，求的面积． 3．在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：平分． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$