第06讲 等边三角形的性质和判定（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版新教材）

第06讲 等边三角形的性质和判定 知识点1：等边三角形的概念及性质 知识点2：等边三角形的判定 知识点3：含30°角的直角三角形的性质 知识点4：直角三角形斜边上的中线 1. 等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 【题型1：等边三角形的性质】 【典例1】如图，在等边中，为边上的中线，点E在边上，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，是等边三角形，点D是的中点，于点E，若，则的长为（    ） A．12 B．9 C．8 D．6 【变式2】若线段是等边的中线，则的度数是 ． 【变式3】如图，直线，等边的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为 ． 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 【题型2：等边三角形的判定】 【典例2】如图，已知点、、、在同一条直线上，与交于点，，，若，求证：是等边三角形． 【变式1】如图，中，D为边上一点，的延长线交的延长线于F，，且．求证：是等边三角形．    【变式2】如图，在中，，点D，E分别在的延长线上，且，．求证：是等边三角形． 【变式3】如图，已知和，点C在线段上，． (1)求证； (2)若，连接，求证是等边三角形． 【题型3：等边三角形的判定和性质】 【典例3】如图，在四边形中，，，点为上一点，连接，交于点，． (1)若为等边三角形，请判断的形状，并说明理由： (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【变式1】已知，如图，为等边三角形，点E在边上，点D在边上，并且，和相交于点M，于点N． (1)求证：； (2)若，则 ． 【变式2】如图，在等边中，与的平分线相交于点O，且交于点D，交于点． (1)试判定的形状，并说明你的理由； (2)若，求的周长． 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【题型4：含30度角的直角三角形】 【典例4】如图，在中，，平分，垂直平分，，则的长为 ． 【变式1】如图，在中，点A为外部一点，连接，点A、D、C在一条直线上，，若，则的长为 ． 【变式2】如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为点，连接，若平分，，则的长为 ． 【变式3】如图，在等边三角形中，，，，则的长度为（   ） A． B． C．2 D．4 性质：直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 【题型5：直角三角形斜边上的中线】 【典例4】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，且AD＝4，则BC＝（　　） A．6 B．8 C．9 D．10 【变式1】如图，在Rt△ABC中、点D是AB的中点，连接CD．若CD＝2，则AB的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】如图，在Rt△ABC中，点D是AB的中点，若∠B＝25°，则∠ADC的度数为（　　） A．50° B．48° C．55° D．25° 一．选择题 1．已知等边的一边长为4，则它的周长是（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 2．如图，过等边三角形的顶点A作直线．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，一棵树在一次强台风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（   ） A．3米 B．6米 C．9米 D．12米 4．由于木质衣架没有柔性，所以在挂置衣服的时候不太方便操作．嘉嘉设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆．若衣架收拢时，（如图2），则此时，两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 5．如图，将一个等边三角形剪去一个角后，等于（    ） A．240° B．120° C．170° D．360° 6．如图1，某温室屋顶结构外框为，其中，立柱，且与横梁垂直．冬季将至，为了增大向阳面面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为（点在的延长线上），立柱，如图2所示．若此时立柱，则向阳面斜梁增加部分的长度为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．若等边的周长为，则 ． 8．如图，在等边中，点、分别在边、上，，点在延长线上，且，若，，则线段的长为 ． 三、解答题 9．如图，，，，． (1)求的度数； (2)判断的形状，并说明理由． 10．在等边中，F为边上的点，作，延长与交于点D，截取，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)求证：是等边三角形． 11．如图，在等边三角形中，是边上的中线， (1)尺规作图：在边上求作一点，使得（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，求． 12．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由． 13．如图，是等边的中线，以D为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于E，连接． (1)求证：： (2)若的边长为6，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 等边三角形的性质和判定 知识点1：等边三角形的概念及性质 知识点2：等边三角形的判定 知识点3：含30°角的直角三角形的性质 知识点4：直角三角形斜边上的中线 1. 等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 【题型1：等边三角形的性质】 【典例1】如图，在等边中，为边上的中线，点E在边上，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质， 先根据等边三角形的性质得，再根据等腰三角形的性质求出，然后根据得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形，且是边上的中线， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式1】如图，是等边三角形，点D是的中点，于点E，若，则的长为（    ） A．12 B．9 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质是解题的关键． 由等边三角形的性质及中点的定义得，，再根据直角三角形两锐角互余得，最后根据含角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形，点是的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：A． 【变式2】若线段是等边的中线，则的度数是 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了等边三角形的性质，根据是等边三角形，得，再结合三线合一的性质得，即可作答． 【详解】解：∴是等边三角形， ∴， ∵线段是等边的中线， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，直线，等边的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为 ． 【答案】/82度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等边三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．利用平行线的性质和等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ， 故答案为：． 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 【题型2：等边三角形的判定】 【典例2】如图，已知点、、、在同一条直线上，与交于点，，，若，求证：是等边三角形． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，先根据三边分别相等的三角形是全等三角形，则，故，再结合有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【变式1】如图，中，D为边上一点，的延长线交的延长线于F，，且．求证：是等边三角形．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，三角形外角的性质等等．先根据等边对等角和三角形外角的性质证明，，再由垂线的定义和三角形内角和定理推出，由此即可证明是等边三角形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【变式2】如图，在中，，点D，E分别在的延长线上，且，．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定．利用证明，得到，推出，利用等角对等边求得，再根据等边三角形的判定定理即可得证． 【详解】证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形． 【变式3】如图，已知和，点C在线段上，． (1)求证； (2)若，连接，求证是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定． （1）由，，，根据证明； （2）由全等三角形的性质得，，则可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：由（1）得， ， 是等边三角形． 【题型3：等边三角形的判定和性质】 【典例3】如图，在四边形中，，，点为上一点，连接，交于点，． (1)若为等边三角形，请判断的形状，并说明理由： (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)等边三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的“三线合一”等知识点，熟记相关几何结论即可． （1）由题意得，根据推出，即可求证； （2）连接，可推出垂直平分得；进而得， ，，即可求解； 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵为等边三角形， ∴， ∵． ∴，即， ∴是等边三角形， （2）解：连接，如图所示： ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ， 【变式1】已知，如图，为等边三角形，点E在边上，点D在边上，并且，和相交于点M，于点N． (1)求证：； (2)若，则 ． 【答案】(1)证明见解析 (2)7 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，30度所对的直角边是斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据为等边三角形，得，证明，即可作答． （2）易得，进行角的等量代换得，因为，则，，即可作答． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 【变式2】如图，在等边中，与的平分线相交于点O，且交于点D，交于点． (1)试判定的形状，并说明你的理由； (2)若，求的周长． 【答案】(1)为等边三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合为等边三角形，以及平行线的性质得，，即可证明为等边三角形，进行作答． （2）结合角平分线的定义以及平行线的性质得，再由等角对等边，得，同理得，即可作答． 【详解】（1）解：为等边三角形， 理由如下： 为等边三角形， ， ，， ，， 为等边三角形； （2）解：平分，， ，， ， ， 同理， 的周长． 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【题型4：含30度角的直角三角形】 【典例4】如图，在中，，平分，垂直平分，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，由角平分线的定义可得，由线段垂直平分线的性质得到，则可得到，据此可得． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】如图，在中，点A为外部一点，连接，点A、D、C在一条直线上，，若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握这些知识是解题的关键；由得，从而求得，，利用三角形外角性质求得，进而求得，再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3． 【变式2】如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为点，连接，若平分，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角和角平分线的定义可得，再由三角形内角和定理可推出，则可得到，再由线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，垂足为点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式3】如图，在等边三角形中，，，，则的长度为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的性质、垂直的定义、平行线的性质、含的直角三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质求出，，结合垂直的定义、平行线的性质求出，，根据含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：在等边中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 性质：直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 【题型5：直角三角形斜边上的中线】 【典例4】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，且AD＝4，则BC＝（　　） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线， ∴BC＝2AD＝8． 故选：B． 【变式1】如图，在Rt△ABC中、点D是AB的中点，连接CD．若CD＝2，则AB的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解答】解：在Rt△ABC中、点D是AB的中点，CD＝2， ∴AB＝2CD＝4， 故选：C． 【变式2】如图，在Rt△ABC中，点D是AB的中点，若∠B＝25°，则∠ADC的度数为（　　） A．50° B．48° C．55° D．25° 【答案】A 【解答】解：∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点， ∴AD＝BD＝CD， ∵∠B＝25°， ∴∠B＝∠BCD＝25°， ∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝25°+25°＝50°． 故选：A． 一．选择题 1．已知等边的一边长为4，则它的周长是（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，根据等边三角形的三边相等可得答案． 【详解】解：等边的一边长为4，则它的周长是， 故选：C 2．如图，过等边三角形的顶点A作直线．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和平角的定义，先根据等边三角形的性质得出，再根据平角的定义即可得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故选：A 3．如图，一棵树在一次强台风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（   ） A．3米 B．6米 C．9米 D．12米 【答案】C 【分析】本题主要考查了含度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度． 【详解】解：如图，根据题意米， ∵，， ∴米， ∴（米）． 故选． 4．由于木质衣架没有柔性，所以在挂置衣服的时候不太方便操作．嘉嘉设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆．若衣架收拢时，（如图2），则此时，两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了的等边三角形的判定与性质的应用，掌握等边三角形的判定是解题的关键． 根据，可得为等边三角形，继而由等边三角形三边相等即可求解． 【详解】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， 故选：C． 5．如图，将一个等边三角形剪去一个角后，等于（    ） A．240° B．120° C．170° D．360° 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质．根据等边三角形的性质，得到，根据，进行求解即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴； 故选A． 6．如图1，某温室屋顶结构外框为，其中，立柱，且与横梁垂直．冬季将至，为了增大向阳面面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为（点在的延长线上），立柱，如图2所示．若此时立柱，则向阳面斜梁增加部分的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角的直角三角形的性质，掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵立柱垂直平分横梁，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选D 二、填空题 7．若等边的周长为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，牢记等边三角形的性质是解题的关键：等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个内角都等于． 根据等边三角形的性质及已知条件即可直接得出答案． 【详解】解：是等边三角形， ， 又等边的周长为， ， ， 故答案为：． 8．如图，在等边中，点、分别在边、上，，点在延长线上，且，若，，则线段的长为 ． 【答案】1 【分析】过点作，设，根据是等边三角形，，得到是等边三角形，已知，得到，，，在中，求得，表示出，根据是等腰三角形，，得到，即可求得线段的长． 【详解】过点作， 设， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴，，， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：1 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，含有角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 三、解答题 9．如图，，，，． (1)求的度数； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)等边三角形，见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等，等边三角形的判定方法． （1）由等腰三角形的性质推出，由三角形内角和定理即可求出； （2）由垂直的定义得到，由直角三角形三角形的性质求出，得到，判定是等边三角形． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：是等边三角形，理由如下： ，， ， 由（1）知， ， ， ， 是等边三角形． 10．在等边中，F为边上的点，作，延长与交于点D，截取，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边对等角，等边三角形的判定， 对于（1），根据“边角边”证明，再根据全等三角形的对应边相等得出答案； 对于（2），先根据全等三角形的性质得，，再根据“等边对等角”得，则答案可证； 对于（3），根据全等三角形的对应角相等得，进而得出， 再根据“有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形”得出答案. 【详解】（1）证明：在和中，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，. ∵， ∴， ∴， ∴平分； （3）证明：∵， ∴， ∴. 又∵， ∴为等边三角形． 11．如图，在等边三角形中，是边上的中线， (1)尺规作图：在边上求作一点，使得（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，尺规作图—作与已知角相等的角，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据尺规作图—作与已知角相等的角的方法作图即可； （2）先利用等边三角形的性质和已知条件得到的长和的度数，再证明是等边三角形，即可得到． 【详解】（1）解；如图所示，点E即为所求； （2）解：∵三角形是等边三角形， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 12．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质，通过已知条件和图形分析，逐步推导出各个角的度数是解题的关键． （1）通过，得到，再由，证明是等边三角形； （2）由（1）得到是等边三角形，，根据，得到，最后由得到是直角三角形； 【详解】（1）证明：∵， ， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 13．如图，是等边的中线，以D为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于E，连接． (1)求证：： (2)若的边长为6，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据是等边三角形，得，结合中线的定义得，即可证明； （2）结合等边三角形的性质得，，因为，得，再由等角对等边得，即可作答． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵是中线， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形，是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵D是中点， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$