第03讲 角平分线（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版新教材）

第03讲 角平分线 知识点1：尺规作图-作角平分线 知识点2：角平分线的性质定理 知识点3：角平分线的判定定理 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 【题型1：角平分线的性质定理的应用】 【典例1】（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，平分，于点C，点D在上．若，的面积为9，则的长为（   ） A．3 B．6 C．8 D．9 【变式1】（24-25八年级下·河南·期末）如图，中，，平分交于点D，点E为的中点，若，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，点是的三个内角平分线的交点，若面积为，点到边的距离是，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【变式3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，则 ． 【题型2：角平分线的性质在实际中的应用】 【典例2】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，直线 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【变式1】（24-25八年级上·重庆大足·期中）如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪（    ） A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．以上都不对 【变式2】（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）纵横交错的公路和铁路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域.若建一个到三条道路的距离相等的物流仓储基地，则这个基地应该建在（    ） A．的三条高线的交点 B．的三条中线的交点 C．的三条角平分线的交点 D．的三边垂直平分线的交点 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上。 重要拓展： 1、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。 2、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，它们的面积比等于另外两边的长度的比。 ∵AD是∠BAC的角平分线； ∴DF=DE； ∵；； ∴ = ； 【题型3：角平分线的性质的判定】 【典例3】（22-23八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是E，F，．试说明：AD是的角平分线． 【变式1】（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，的外角，的平分线交于点D，过点D作，，垂足分别为E，F． (1)若，，求及的度数； (2)连接，判断是否平分？并说明理由． 【变式2】（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，在中，分别是外角和的平分线，它们交于点． (1)求证：为的平分线． (2)求证：． 【变式3】（八年级上·湖北武汉·期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，于点E，点F在AC上，BE＝FC，BD＝DF，求证：AD平分∠CAB． 【题型4：角平分线的性质的判定和性质综合】 【典例4】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知分别是的外角和的平分线，连接， (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是和，求的周长． 【变式1】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，、的角平分线相交于点E．    (1)求证：点E在的平分线上； (2)过点E作于点D，，的面积为36，则的周长为__________． 【变式2】（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，于E，于F，若，，    (1)求证：平分； (2)已知，，，求四边形的面积． （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 【题型5：尺规作图-角平分线】 【典例5】（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，在中，． (1)请用无刻度直尺和圆规作的平分线，与边交于点（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的作图下，若的面积是24，，求的长． 【变式1】（24-25七年级下·河南驻马店·期末）如图，在中，，，， (1)求作：的角平分线；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求与的度数． 【变式2】（24-25九年级下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在中. (1)尺规作图：作的平分线交于点D.（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，的面积为12，求的面积 【变式3】（23-24八年级上·广东潮州·期中）如图，在四边形中，． (1)利用尺规作的平分线，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，求证：平分． 一、单选题 1．（2025·云南文山·模拟预测）如图，在中，，，，平分，则点到的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．1．5 2．（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，，则点到边的距离是（   ） A．2 B．3 C． D．4 3．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）用两把完全相同的长方形直尺作出的角平分线的方法：如图所示，直尺①边缘压住射线，直尺②边缘压住射线并且与直尺①交于点P，射线就是的角平分线．其理论依据是（   ） A．等腰三角形两底角相等 B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C．角平分线上的点到角的两边距离相等 D．三线合一 4．（22-23八年级上·辽宁大连·期中）到三角形三条边的距离都相等的点是（    ） A．两条中线的交点 B．两条高的交点 C．两条角平线的交点 D．两条边的垂直平分线的交点 5．（22-23八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在四边形中，，，，对角线平分，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（22-23八年级上·福建福州·开学考试）三条公路围成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（   ） A．三角形的三条角平分线的交点处 B．三角形的三条中线的交点处 C．三角形的三条高的交点处 D．以上位置都不对 7．（21-22七年级下·山东济南·期末）如图，按以下方法作一个角的平分线：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点M、N．（2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC，射线OC即为所求．这种作图方法的依据是（   ） A．AAS B．SAS C．SSS D．ASA 8．（21-22八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝2，BC＝7，则△BDC的面积是（    ） A．2 B．7 C．9 D．14 9．（24-25九年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在中，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长，交于点D，则的度数是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，点是内一点，平分，于点，连接，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 11．（2024八年级上·北京·专题练习）如图，在中，于点D，平分，与交于点E，若，的面积为5，则的长为（　　）    A． B．1 C．2 D．5 12．（2015·广东广州·一模）如图所示，在中，平分，上于点，，，，则的长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 13．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则的度数是 ． 14．（21-22八年级上·甘肃武威·阶段练习）在直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝8，则点D到斜边AB的距离等于 ． 15．（2025·河南商丘·二模）如图，在中，，是的角平分线，于点，，，则的面积是 ． 16．（24-25七年级下·上海长宁·期末）在小学，我们学习过“三角形的内角和为”．如图，在中，，根据作图痕迹推断的度数为 ． 17．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，平分交于点D，于点E，若，，则的长为 ． 三、解答题 18．（24-25八年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，在中， (1)尺规作图，求作的平分线，交于点D (2)若，直接写出的面积． 19.（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，平分，于点E，于点F，且． (1)求证：． (2)若．求的值． 20．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，是的角平分线，于点E，，，，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 角平分线 知识点1：尺规作图-作角平分线 知识点2：角平分线的性质定理 知识点3：角平分线的判定定理 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 【题型1：角平分线的性质定理的应用】 【典例1】（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，平分，于点C，点D在上．若，的面积为9，则的长为（   ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的性质，过点作于，根据三角形面积公式求出，再根据角平分线的性质求出得到答案．熟知角平分线的性质定理是关键． 【详解】解：如图，过点作于， 平分，，， ， ，， ， ， ． 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·河南·期末）如图，中，，平分交于点D，点E为的中点，若，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．过点作于点，由角平分线的性质可得，由线段中点可得，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 平分，， ， 点E为的中点，， ， 的面积， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，点是的三个内角平分线的交点，若面积为，点到边的距离是，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是角平分线的性质，解题关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 作，，，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式计算，即可得解． 【详解】解：作，，， 点是的三个内角平分线的交点， ， 点到边的距离是， 面积为， 即， ， ， 即的周长为． 故选：． 【变式3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了尺规作图-作已知角的平分线，角平分线的性质，根据作图步骤可判断平分，根据角平分线的性质可得出，结合已知即可求解． 【详解】解∶由作图知∶ 平分， ∵，，， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为∶9． 【题型2：角平分线的性质在实际中的应用】 【典例2】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，直线 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握其概念，作图分析是关键． 根据角平分线上点到角两边的距离相等，作图分析即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据角平分线的性质定理“角平分线上点到角两边的距离相等”得到点到三条公里的距离相等， ∴可供选择的地址有4个， 故选：D ． 【变式1】（24-25八年级上·重庆大足·期中）如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪（    ） A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：因为角平分线上的点到角两边的距离相等， 所以凉亭的位置应为三角形的三条角平分线的交点． 故选：A． 【变式2】（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）纵横交错的公路和铁路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域.若建一个到三条道路的距离相等的物流仓储基地，则这个基地应该建在（    ） A．的三条高线的交点 B．的三条中线的交点 C．的三条角平分线的交点 D．的三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到答案． 【详解】解：到三条道路的距离相等的物流仓储基地， 这个基地应该建在的三条角平分线的交点， 故选：C． 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上。 重要拓展： 1、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。 2、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，它们的面积比等于另外两边的长度的比。 ∵AD是∠BAC的角平分线； ∴DF=DE； ∵；； ∴ = ； 【题型3：角平分线的性质的判定】 【典例3】（22-23八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是E，F，．试说明：AD是的角平分线． 【答案】见解析 【分析】根据是的中点得，根据，得，利用AAS可证明，即可得， 根据，，即可得． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴（AAS）， ∴， ∵，， ∴AD是的角平分线． 【点睛】本题考查了角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意掌握角平分线的判定，全等三角形的判定与性质． 【变式1】（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，的外角，的平分线交于点D，过点D作，，垂足分别为E，F． (1)若，，求及的度数； (2)连接，判断是否平分？并说明理由． 【答案】(1)， (2)平分，理由见解析 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的判定和性质，掌握角平分线的判定和性质是解题的关键． （1）根据三角形的外角可以得到和的度数，然后根据角平分线的定义得到，然后计算解题； （2）过点作，垂足为，根据角平分线的性质得到，再根据角平分线的判定即可得到结论． 【详解】（1）∵，， ∴，. ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）平分； 理由：如图，过点作，垂足为， ∵平分，，， ∴. ∵平分，，， ∴， ∴， ∴平分. 【变式2】（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，在中，分别是外角和的平分线，它们交于点． (1)求证：为的平分线． (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质性质，三角形外角的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键． （1）过点作，，，根据角平分线的性质，得出，即可证明结论； （2）由三角形外角的性质和角平分线的定义，得到，，进而得到，再结合，即可证明结论． 【详解】（1）证明：如图，过点作，，， 分别是外角和的平分线， ，， ， ，， 为的平分线； （2）解：是的外角，是的外角， ，， 分别是外角和的平分线， ，， ， 为的平分线， ， ． 【变式3】（八年级上·湖北武汉·期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，于点E，点F在AC上，BE＝FC，BD＝DF，求证：AD平分∠CAB． 【答案】见解析 【分析】利用HL证明Rt△BDE≌Rt△FDC，得到DE=DC，即可得到AD平分∠CAB． 【详解】证明：∵， ∴∠BED=∠C＝90°， 在Rt△BDE和Rt△FDC中 ， ∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL）， ∴DE=DC， ∵，DC⊥AC， ∴AD平分∠CAB． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是熟记全等三角形的判定定理． 【题型4：角平分线的性质的判定和性质综合】 【典例4】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知分别是的外角和的平分线，连接， (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是和，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）如图，过点分别作，，，由角平分线的性质可得，，进而得，再根据角平分线的判定即可求证； （）由的面积为可得，再根据可得，进而即可求解； 本题考查了角平分线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，过点分别作，，，垂足分别为点， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， 即平分； （2）解：∵的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴的周长． 【变式1】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，、的角平分线相交于点E．    (1)求证：点E在的平分线上； (2)过点E作于点D，，的面积为36，则的周长为__________． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和判定， 对于（1），先作辅助线，根据角平分线的性质得，再根据角平分线的判定定理得出答案； 对于（2），结合（1）图，根据大三角形的面积等于3个小三角形的面积列出算式，可得答案． 【详解】（1）证明：过E作于D，于F，于G，   、的角平分线相交于点E， ， 点E在的平分线上； （2）解：、的角平分线相交于点E，点E在的平分线上， 于D，于F，于G， . ，的面积为36， ， . 故答案为：18． 【变式2】（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，于E，于F，若，，    (1)求证：平分； (2)已知，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)52 【分析】（1）先根据证明，则可得，再根据角平分线的判定方法即可证明平分． （2）先根据证明，则可得，由此得，即可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明： ∵，，     ， 在和中 ， ， ， ∴平分． （2）∵在和中 ， ， ， ． ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，定理及用割补法求四边形的面积．熟练掌握以上知识是解题的关键． （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 【题型5：尺规作图-角平分线】 【典例5】（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，在中，． (1)请用无刻度直尺和圆规作的平分线，与边交于点（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的作图下，若的面积是24，，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，角平分线的性质，等积法求出线段的长，熟练掌握角平分线的性质，是解题的关键： （1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可； （2）根据角平分线的性质，得到到的距离等于的长，分割法求三角形的面积，进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）∵平分，， ∴点到的距离相等，均为的长， ∵，， ∴. 【变式1】（24-25七年级下·河南驻马店·期末）如图，在中，，，， (1)求作：的角平分线；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求与的度数． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题考查作图—作角平分线、三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握作角平分线的方法是解题的关键． （1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）由三角形内角和定理可得的度数，由角平分线可得，进而可求得的度数． 【详解】（1）解：为即为所求： （2），， ， 是角平分线， ， ， ， ． 【变式2】（24-25九年级下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在中. (1)尺规作图：作的平分线交于点D.（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，的面积为12，求的面积 【答案】(1)见解析 (2)21 【分析】本题考查了作图——角平分线，角平分线的性质，三角形面积，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键． （1）根据角平分线的作法作图即可； （2）过点作、，根据角平分线的性质，得到，再根据三角形面积公式，求得，再由，即可求解． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求： （2）解：如图，过点作交与点，作交与点， 平分， ， 的面积为12， ∴， ∴， ，， ． 【变式3】（23-24八年级上·广东潮州·期中）如图，在四边形中，． (1)利用尺规作的平分线，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质与判定． （1）根据题意作的平分线，交于点，连接； （2）过点作交于点，根据角平分线的性质可得，结合已知可得，即可证明平分．即可得证． 【详解】（1） （2）证明：如图，过点作交于点， ∵是的平分线， ∴， ∵ ∴ 又∵，即 ∴平分 一、单选题 1．（2025·云南文山·模拟预测）如图，在中，，，，平分，则点到的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．1．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 过点D作于点E，根据角平分线的性质，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即点到的距离为2． 故选：A 2．（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，，则点到边的距离是（   ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， ∵平分，，， ∴， ∴点到边的距离是3， 故选：B． 3．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）用两把完全相同的长方形直尺作出的角平分线的方法：如图所示，直尺①边缘压住射线，直尺②边缘压住射线并且与直尺①交于点P，射线就是的角平分线．其理论依据是（   ） A．等腰三角形两底角相等 B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C．角平分线上的点到角的两边距离相等 D．三线合一 【答案】B 【分析】此题考查了角平分线的判定定理．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，据此解答即可． 【详解】解：由题意可知，点P到射线的距离是直尺的宽度，点P到射线的距离也是直尺的宽度， ∴点P到射线，的距离相等， ∴点P在的平分线上（在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上）． 故选：B． 4．（22-23八年级上·辽宁大连·期中）到三角形三条边的距离都相等的点是（    ） A．两条中线的交点 B．两条高的交点 C．两条角平线的交点 D．两条边的垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等． 根据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，解答即可． 【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴到三角形三条边的距离都相等的点是两条角平分线的交点． 故选：C 5．（22-23八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在四边形中，，，，对角线平分，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】过D作于E，根据角平分线的性质得出，再根据三角形的面积公式求出答案即可． 【详解】解：过D作于E， ∵，对角线平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键． 6．（22-23八年级上·福建福州·开学考试）三条公路围成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（   ） A．三角形的三条角平分线的交点处 B．三角形的三条中线的交点处 C．三角形的三条高的交点处 D．以上位置都不对 【答案】A 【分析】根据角平分线的性质即可解答． 【详解】解：根据角平分线的性质可知：集贸市场应建在三个角的角平分线的交点处． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，掌握将平分线上的点到两边距离相等是解答本题的关键． 7．（21-22七年级下·山东济南·期末）如图，按以下方法作一个角的平分线：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点M、N．（2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC，射线OC即为所求．这种作图方法的依据是（   ） A．AAS B．SAS C．SSS D．ASA 【答案】C 【分析】利用基本作图得到，，又因为为公共边，根据全等三角形的判定方法可证明． 【详解】解：由作法得，， 而又为公共边， 所以根据“”可判定， 所以，即平分． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了作图复杂作图，全等三角形的判定，角平分线，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 8．（21-22八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝2，BC＝7，则△BDC的面积是（    ） A．2 B．7 C．9 D．14 【答案】B 【分析】过点D作DE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=AD，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，过点D作DE⊥BC于E， ∵∠A=90°，BD是∠ABC的平分线， ∴DE=AD=2， ∴△BDC的面积=BC•DE=×7×2=7． 故选B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积，熟知角平分线的性质是解题的关键． 9．（24-25九年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在中，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长，交于点D，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图---角平分线，直角三角形的两个锐角互余，三角形的外角定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．根据直角三角形的两个锐角互余得到，再根据角平分线以及三角形的外角性质得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 由作图可得平分， ∴， ∴， 故选：B． 10．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，点是内一点，平分，于点，连接，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过O作于点E，根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：过O作于点E， ∵平分，， ∴， ∴的面积， 故选：C． 11．（2024八年级上·北京·专题练习）如图，在中，于点D，平分，与交于点E，若，的面积为5，则的长为（　　）    A． B．1 C．2 D．5 【答案】C 【分析】本题考查的是角平分线的性质，作，根据三角形的面积公式求出，根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：过点作于，    ∵的面积为5， ，即， 解得，， 平分，，， ， 故选：C． 12．（2015·广东广州·一模）如图所示，在中，平分，上于点，，，，则的长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得边上的高，再由，即可得解． 【详解】解：作于F，如图： ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题 13．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角性质，角平分线性质的应用，延长，过点作于点，作于点，作于点，然后证明是的平分线，进而可得的度数，再求出的度数，从而可得答案，关键是掌握角平分线的性质． 【详解】解：延长，过点作于点，作于点，作于点， ，的外角的平分线与内角平分线交于点， ，， ， 是的平分线， ∵， ∴， ∴， 平分，平分， ，， ，， ， ； 故答案为：． 14．（21-22八年级上·甘肃武威·阶段练习）在直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝8，则点D到斜边AB的距离等于 ． 【答案】8 【分析】利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知点D到斜边AB的距离等于8． 【详解】解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D， CD＝8， ∴点D到斜边AB的距离等于CD ∴D到斜边AB的距离为8． 故答案为∶8． 【点睛】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质．本题直接运用角平分线的性质即可，比较简单，属于基础题． 15．（2025·河南商丘·二模）如图，在中，，是的角平分线，于点，，，则的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：6． 16．（24-25七年级下·上海长宁·期末）在小学，我们学习过“三角形的内角和为”．如图，在中，，根据作图痕迹推断的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是作角平分线，三角形的内角和定理的应用，证明，，可得. 【详解】解：由作法得平分，平分， ∴，． ∵ ∵， ∴． 故答案为： 17．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，平分交于点D，于点E，若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于H，先由三角形面积计算公式求出的长，再由角平分线的性质可得，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于H， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， 故答案为：2． 三、解答题 18．（24-25八年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，在中， (1)尺规作图，求作的平分线，交于点D (2)若，直接写出的面积． 【答案】(1)见详解 (2)30 【分析】此题主要考查了角平分线的作法与性质，正确掌握角平分线的性质是解题关键． （1）直接利用角平分线的尺规作法得出答案； （2）过点作于点，利用角平分线的性质结合三角形面积求法得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：过点作于点，如图2所示： ∵平分， ∴， ∴的面积． 19.（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，平分，于点E，于点F，且． (1)求证：． (2)若．求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定定理与性质、角平分线的性质等知识点，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题关键． （1）先根据角平分线的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据线段的和差即可得． 【详解】（1）证明： 平分，，， ． 在和中， ∵ ． （2）解：由（1），得， ． ，， ． 在和中， ∵ ， ， ， ． 20．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，是的角平分线，于点E，，，，求的面积． 【答案】10 【分析】本题考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 如图，作于，则，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，作于， ∵平分，，， ∴， ，， ∴， ∴的面积为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$