专题22.1.1 二次函数的相关概念（五大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

专题22.1.1 二次函数的相关概念（五大题型） 【题型1：列二次函数关系式】.............................................................................................1 【题型2：二次函数的判断】.................................................................................................2 【题型3：利用二次函数的概念含参数取值范围】...............................................................3 【题型4：二次函数的一般形式】.........................................................................................3 【题型5：二次函数的函数值】............................................................................................4 【题型1：列二次函数关系式】 1．某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格（单位：元）随每次降价的百分率的变化而变化，与之间的关系为（    ） A． B． C． D． 2．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（    ） A．y＝100（1﹣x）B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2 3．在半径为4cm 的圆中，挖去了一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为（     ） A．B． C． D． 4．如图是一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙（旧墙的长度不小于）和总长为的篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形．设大矩形的垂直于旧墙的一边长为米，花圃总面积为平方米，求关于的函数解析式 ．（用二次函数一般式表示） 5．某广告公司设计一幅周长为20米的矩形广告牌，设矩形的一边长为x米，广告牌的面积为S平方米，则S与x 的函数关系式为 ． 6．已知三角形的一边长为x，这条边上的高为x的2倍少1，则三角形的面积y与x之间的关系为 ． 7．如图，用一段长为20米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的长方形菜园ABCD，设AB为x米，则菜园的面积y（平方米）与x（米）的关系式为 ．（不要求写出自变量x的取值范围）    【题型2：二次函数的判断】 1．下列函数中，不是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．下列关于的函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 4．下列函数中，y关于x的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 5．下列各式中，是的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 6．下列函数是关于x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 7．下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 8．下列函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【题型3：利用二次函数的概念含参数取值范围】 1．若函数是二次函数，则有（    ） A． B． C． D． 2．若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为（   ） A．1 B． C．2 D．2或 3．若函数是y关于x的二次函数时，则k的值为（     ） A．2 B． C． D． 4．当二次函数的解析式为时，的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 5．若函数表示是的二次函数，则的值为 ． 6．如果是二次函数，则的值为 ． 【题型4：二次函数的一般形式】 1．二次函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是(   ) A．，， B．，， C．，， D．，， 2．二次函数的常数项为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 3．设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（    ） A．a＝﹣1，b＝3，c＝0 B．a＝﹣1，b＝0，c＝3 C．a＝﹣1，b＝3，c＝3 D．a＝1，b＝0，c＝3 4．二次函数y=2x2-6x-9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．6，2，9 B．2，-6，9 C．2，6，9 D．2，-6，-9 5．已知二次函数，则其二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是（    ） A．B． C． D． 6．将二次函数化成一般形式，其中二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【题型5：二次函数的函数值】 1．当时，的函数值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知二次函数，当时， ． 3．二次函数中，当时，y的值是 ． 1．已知函数． (1)当m为何值时，这个函数是二次函数？ (2)当m为何值时，这个函数是一次函数？ 2．下列函数哪些是二次函数？并写出它们的二次项、一次项、常数项． ①； ②； ③； ④． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22.1.1 二次函数的相关概念（五大题型） 【题型1：列二次函数关系式】.............................................................................................1 【题型2：二次函数的判断】.................................................................................................4 【题型3：利用二次函数的概念含参数取值范围】...............................................................7 【题型4：二次函数的一般形式】.........................................................................................9 【题型5：二次函数的函数值】............................................................................................11 【题型1：列二次函数关系式】 1．某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格（单位：元）随每次降价的百分率的变化而变化，与之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格，列出函数关系式即可求解． 【详解】解：每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格，则， 故选：C． 【点睛】本题考查了列二次函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 2．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（    ） A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2 【答案】D 【分析】根据两年后机器价值＝机器原价值×（1﹣折旧百分比）2可得函数解析式． 【详解】解：根据题意知y＝100（1﹣x）2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图像要根据自变量的取值范围来确定． 3．在半径为4cm 的圆中，挖去了一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出原来的圆的面积，再用x表示挖去的圆的面积，相减得到圆环的面积． 【详解】解：圆的面积公式是， 原来的圆的面积=， 挖去的圆的面积=， ∴圆环面积． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的列式，解题的关键是根据题意用x表示各个量，然后列出函数关系式． 4．如图是一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙（旧墙的长度不小于）和总长为的篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形．设大矩形的垂直于旧墙的一边长为米，花圃总面积为平方米，求关于的函数解析式 ．（用二次函数一般式表示） 【答案】 【分析】根据矩形的面积公式，列出函数解析式，即可求解． 【详解】解：根据题意得： 关于的函数解析式为． 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 5．某广告公司设计一幅周长为20米的矩形广告牌，设矩形的一边长为x米，广告牌的面积为S平方米，则S与x 的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】广告牌的一边长是x米，根据周长再用x表示出另一边，矩形广告牌的面积等于长宽． 【详解】解：另一边长为米，． 故答案是：． 【点睛】本题考查二次函数的列式，解题的关键是找到题目中的等量关系，并用x表示变量来列式． 6．已知三角形的一边长为x，这条边上的高为x的2倍少1，则三角形的面积y与x之间的关系为 ． 【答案】y=x2﹣ x 【分析】根据已知得出三角形的高,进而利用三角形面积公式求出即可. 【详解】由题意得 . 故答案为. 【点睛】此题主要考查了根据几何问题列二次函数关系式，熟记三角形面积公式是解题关键. 7．如图，用一段长为20米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的长方形菜园ABCD，设AB为x米，则菜园的面积y（平方米）与x（米）的关系式为 ．（不要求写出自变量x的取值范围）    【答案】y＝﹣2x2+20x 【分析】根据AB的长为x米可以得出BC的长为（20﹣2x）米，然后根据矩形的面积公式即可求出函数关系式． 【详解】∵AB的边长为x米，而菜园ABCD是矩形菜园， ∴BC＝20﹣2x， ∵菜园的面积＝AB×BC＝x•（20﹣2x）， ∴y＝﹣2x2+20x． 故填空答案：y＝﹣2x2+20x． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，正确分析，找准各量间的数量关系列出函数关系式是解题的关键. 【题型2：二次函数的判断】 1．下列函数中，不是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握定义是关键．根据二次函数的定义，判断各选项是否为二次函数． 【分析】解：A：，整理为，符合二次函数形式． B：，直接为标准二次函数，二次项系数为2，符合二次函数形式．． C：，展开得，二次项系数为，符合二次函数形式．． D：，展开得，再减去后为，仅含一次项，故为一次函数，不符合二次函数形式．． 故选：D． 2．下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：不符合二次函数的定义，它们不是二次函数； 符合二次函数的定义，它是二次函数； 故选：B． 3．下列关于的函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的识别，根据形如，这样的函数叫做二次函数，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，不符合题意； B、，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，不是二次函数，不符合题意； 故选C． 4．下列函数中，y关于x的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 形如：，则是的二次函数，根据定义逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：不是的二次函数，故A错误； 不是的二次函数，故B错误； ，即是的二次函数，故C正确； ，当时，不是的二次函数，故D错误； 故选：C． 5．下列各式中，是的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、是反比例函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、自变量x最高次数是3，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 6．下列函数是关于x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据形如(为常数，）的函数是二次函数，判断即可． 【详解】解：A、自变量的次数最高是3次，不是关于的二次函数，故本选项不符合题意； B、，分母中含有自变量，不是关于的二次函数，故本选项不符合题意； C、，是关于的二次函数，故本选项符合题意； D、，当时不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：C． 7．下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，是解题的关键． 二次函数的定义：形如且为常数的函数，叫做二次函数，再根据定义逐一进行判断即可． 【详解】解：A项．中没有二次项，不是二次函数，不符题意； B项．中是次，不是二次项，所以不是二次函数，不符题意； C项．中的二次项没有排除的情况，所以不一定是二次函数，不符题意； D项．展开后得：，符合二次函数定义，符合题意 故答案为：D 8．下列函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义形如的函数叫做二次函数进行判断即可． 【详解】A、是二次函数，故本选项符合题意； B、是三次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； C、右边是分式，不是二次函数，故本选项不符合题意； D、是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 【题型3：利用二次函数的概念含参数取值范围】 1．若函数是二次函数，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据二次函数的定义解答即可．本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫做二次函数是解题的关键． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得． 故选：B． 2．若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为（   ） A．1 B． C．2 D．2或 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得， 故选：D． 3．若函数是y关于x的二次函数时，则k的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义得到且，然后解不等式和方程即可得到的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，解得或， ， ， ． 故选：B． 4．当二次函数的解析式为时，的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握二次函数的二次项系数不等于零是解题的关键． 先根据二次函数的定义列式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴且，解得：． 故选C． 5．若函数表示是的二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，由二次函数的定义得出，，计算即可得解，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵函数表示是的二次函数， ∴，， 解得：， 故答案为：． 6．如果是二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．根据二次函数中未知数的最高次数为2，二次项系数不能为0，可知，，由此可解． 【详解】解：函数是二次函数， ，， 解得：或， 解得：， ， 故答案为：． 【题型4：二次函数的一般形式】 1．二次函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是(   ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的一般式，解题的关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．二次函数的一般式为：（a、b、c是常数，）．其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，根据定义作答即可． 【详解】解：二次函数， ∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是，，． 故选：B． 2．二次函数的常数项为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，根据常数项是指不含字母的项，即可解答． 【详解】二次函数的常数项为， 故选：D． 3．设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（    ） A．a＝﹣1，b＝3，c＝0 B．a＝﹣1，b＝0，c＝3 C．a＝﹣1，b＝3，c＝3 D．a＝1，b＝0，c＝3 【答案】B 【分析】根据二次函数的一般形式可得答案． 【详解】解：二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数是a＝﹣1，一次项系数是b＝0，常数项是c＝3； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次函数的一般形式，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 4．二次函数y=2x2-6x-9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．6，2，9 B．2，-6，9 C．2，6，9 D．2，-6，-9 【答案】D 【分析】根据二次函数的标准形式即可得到答案． 【详解】二次函数y=2x2-6x-9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，-6，-9． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的一般形式，属于基础题，熟知二次函数的一般形式是解题的关键． 5．已知二次函数，则其二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】把函数化成的形式进行判断即可； 【详解】∵函数是二次函数， ∴，，． 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次函数一般式的人数，准确分析是解题的关键． 6．将二次函数化成一般形式，其中二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 【分析】通过去括号，移项，可以把方程化成二次函数的一般形式，然后确定二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】y=﹣2（x﹣2）2变形为：y=﹣2x2+8x﹣8，所以二次项系数为﹣2；一次项系数为8；常数项为﹣8． 故答案为﹣2，8，﹣8． 【点睛】本题考查的是二次函数的一般形式，通过去括号，移项，合并同类项，得到二次函数的一般形式，确定二次项系数，一次项系数，常数项的值． 【题型5：二次函数的函数值】 1．当时，的函数值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数值的求解，是基础题，准确计算是解题的关键．把代入函数解析式进行计算即可得解． 【详解】解：当时，的函数值为， 故选：B． 2．已知二次函数，当时， ． 【答案】10 【分析】把代入计算即可． 【详解】把代入，得 ， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了二次函数的函数值的计算，准确计算是解题的关键． 3．二次函数中，当时，y的值是 ． 【答案】0 【分析】把代入计算即可． 【详解】解：当时，， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了求二次函数的值，解题的关键是把代入计算． 1．已知函数． (1)当m为何值时，这个函数是二次函数？ (2)当m为何值时，这个函数是一次函数？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的概念，掌握一次函数和二次函数的结构特征是解题关键． （1）根据二次函数的二次项系数不为0列方程求解即可； （2）根据一次函数的自变量系数不为0，次数为1，列方程求解即可． 【详解】（1）解：当函数为二次函数时， 则， 即． （2）解：当函数为一次函数时， 则， 解得：． 32．下列函数哪些是二次函数？并写出它们的二次项、一次项、常数项． ①； ②； ③； ④． 【答案】见解析 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义． 根据形如是二次函数，可得答案． 【详解】解：①：化简得：，是二次函数，二次项是，一次项是，常数项是； ②：化简得：，是二次函数，二次项是，一次项是，常数项是2； ③：整理得：，是二次函数，二次项是，一次项是0，常数项是3； ④：化简得：，不是二次函数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$