22.1.1 二次函数-【鹰击长空】2025-2026学年九年级全一册数学课堂小结（人教版）

第二十二章二次函数 22.1二次函数的图象和性质 22.1.1二次函数 5.下列函数哪些是二次函数？并写出它们的二 知识梳理ZHISHI SHUU 次项系数、一次项系数和常数项. 1.一般地，形如 (a,b,c是常 (1)y=(x-1)2+3; 数，a≠0)的函数，叫做二次函数.其中，x是 ,a,b,c分别是函数解析式的 (2)s=3-2t; 和 (3)y=2x(x2+3x-1); 2.二次函数的三个特征： (1)函数解析式等号两边必须是 (2)化简后自变量的最高次数必须是 (3)二次项系数必须不为 对点练习DUIDIAN LIANXI 知识点一二次函数的定义 1.下列函数是二次函数的是() A.y=x(x+1) B.x2y=1 知识点二建立二次函数模型 Cy=2x2-2x-102D.y-2+2 6.（天津北辰区月考)某种商品原价为a元，经 过两次降价后为y元，假设每次降价的百分 2.二次函数y=3x2十2x十1中，自变量的取值 率均为x,则y与x的函数解析式为( ) 范围为( A.y=ax2+a B.y=x2+a A.x>0 B.x为一切实数 C.y=ax2-2ax+a D.y=a-2x C.y>2 D.y为一切实数 7.已知正三角形的边长为xcm,面积为ycm,则 3.关于函数y=(500一10x)(40+x),下列说法 y与x之间的函数解析式为 不正确的是( (填“是”或“不是”)x的二次 A.y是x的二次函数 函数. B.二次项系数是一10 C.一次项是100 课后作业KEHOU ZUOYE D.常数项是20000 1.函数y=mx2十n.x十p是y关于x的二次函 4.若关于x的函数y=(2一a)x2一x是二次函 数的条件是( 数，则a的取值范围是 A.m=0 B.m≠0 C.mnp≠0 D.m+n+=0 24 22.1二次函数的图象和性质 2.下列函数不一定是二次函数的是() 7.已知函数y=(m十2)xm+m4十2x十6是关于 A.y=6x2-5x2+3x+2 x的二次函数，求满足条件的m的值. B.y=(m2十1)x2-5x一10(m为常数) C.y=(m2-1)x2+2x-1(m为常数) D.y=x3-x(x2+x-1) 3.下列函数关系中，可以看作是二次函数y= ax2十bx十c模型的是() A.在一定距离内，汽车行驶的速度和行驶时间 的关系 B.某地区人口自然增长率为1%，这个地区 人口总数随年份的变化关系 C.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地 面，信号弹的高度与时间的关系（不计空 气阻力) 8.某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的 D.圆的周长与圆的半径的关系 销售单价x(元/件)与日销售量y(件)之间的 4.（天津河东区月考)已知二次函数y=1一3x 关系如下表. +5x2,则二次项系数a= ,一次项 x(元/件) 15 18 20 22 系数b= ,常数项c= y(件) 250 220 200 180 5.已知函数y=(m2-m)x2十(m-1)x+m 按照这样的规律， +1. (1)写出日销售利润w(元)与销售单价 (1)若这个函数是y关于x的一次函数，则 x(元/件)之间的函数解析式； m- (2)写出自变量x可以取值的范围. (2)若这个函数是y关于x的二次函数，则 ,且m. 6.如图所示，矩形ABCD中，AB=6cm,BC= 12cm,点P从A出发，沿AB边向点B以 1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿 BC边向点C以2cm/s的速度移动(P,Q到 达B,C两点后就停止运动).若设运动第t秒 时五边形APQCD的面积为Scm,则S与t 的函数解析式为 ,自变量t的取 值范围是 257.解(1)由题意，可得当售价为22万元/辆时， 故日销售利润心（元）与销售单价x(元/件)之间的函数 平均每网的错得量：2502×1+8=14（辆）。 解析式为：=(x-10)y=(x-10)(-10x+400)= -10x2+500x-4000. 平均每周的销售利润：(22一15)×14=98（万元）. 1x>0, (2)设每辆汽车降价x万元， (2)由 -10x+400≥0， 根据题意得(25-x-15)(8+2x)=90, 解得0<x≤40， 解得x1=1,x2=5, ,.自变量x可以取值的范围是0<x≤40 当x=1时，销售数量为8十2×1=10（辆）； 当x=5时，销售数量为8十2×5=18（辆）. 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 为了尽快减少库存，则x=5, 知识梳理 此时每辆汽车的售价为25一5=20（万元）. 1.y轴原点向上低高小 答：每辆汽车的售价为20万元. 2.(1)减小增大最小0 第二十二章二次函数 (2)增大减小最大0 对点练习 22.1二次函数的图象和性质 1.C2.A 3.列表如下： 22.1.1二次函数 x 3 知识梳理 y=- 4 3 -3 33 0 3 1.y=ax2十bx十c自变景二次项系数 一次项系数 常数项 0 2 2.(1)整式 (2)2(3)0 y=3x2 6 对点练习 描点、连线，画图如下： 1.A2.B3.C4.a≠2 5解(1y=(x-1+号是二次函数，二次项系数是1， =3x2 一次项系数是一2，常数项是 3 (2)s=3一2t2是二次函数，二次项系数是一2，一次项系 数是0，常数项是3 -4-3-2 234 (3)y=2x(x2十3x-1)不是二次函数. 6C-9是 4.C5.m<26.(2,-20) 课后作业 7.解(1)：抛物线y=ax2经过点A(-2,-8), 1.B2.C3.C4.5-31 .a·(-2)2=-8. 5.(1)0(2)≠0≠1 .a=-2. 6.S=t2-6t+720<t<6 ,此抛物线对应的函数解析式为y=一2x2 7.解根据题意可得m2十m一4=2，且m十2≠0， (2)顶点坐标为(0,0)，对称轴为y轴，开口向下. 解得m=一3或m=2. (3)把x=-1代入y=-2x2, 故满足条件的m的值为一3或2. 得y=-2×(-1)2=-2. 能力提升 -2≠-4，.点B(-1,-4)不在此抛物线上. 8.解(1)由图表中数据得出y与x是一次函数关系，设 (4)把y=-6代入y=-2x2,得-6=一2x2, 解析式为：y=x十b, 115k+b=250, 1k=一10， 解得x1=√3，x2=-√3. 则 解得 18k+b=220, b=400, ∴抛物线上纵坐标为一6的点的坐标分别为（√3，一6）， .y与x之间的函数解析式为：y=一10x+400. (-√3，-6)」 课后作业 6.解因为抛物线y=ax2十k与y=一5x2的形状相同、开 1.C2.C3.C4.A5.D 口方向也相同，所以a=一5. 6.-27.m>2 又因为抛物线的顶，点坐标为(0,3)，所以=3. 8.解法一由题意知，y1=4a,y2=9a,y3=a. 所以其解析式为y=一5x2+3.它是由抛物线y=一5x2 又a>0,故y2>y1>y3. 向上平移3个单位长度得到的 解法二因为抛物线y=ax2(a>0)的对称轴是y轴，点 课后作业 C(-1,ya)在函数y=ax2(a>0)的图象上，所以点 1.B2.B3.C4.D5.2-46.67.④ (1,y)也在该抛物线上. 8.解(1)因为点(2，b)在直线y=2x上，所以b=4. 因为a>0,所以当x>0时，y随x的增大而增大. 又因为(2，b)即(2,4)在抛物线y=ax2十3上， 又因为3>2>1，所以y2>y>y: 所以4如十3=4.所以a=子 能力提升 9.解：四边形ABCD是平行四边形， (2)在y=2x中，令y=2,则x=1,所以A(1,2). ∴.DC∥AB,DC=AB. 又因为抛物线y=是+3的项点B为0,3。 又点A,B的坐标分别为（一5,0），(3,0)， ∴.DC=AB=|-5|+3=8. 所以5am=0B14=号×3X1=2 ,y=ax2图象的对称轴是y轴， 能力提升 CE-DE-CD-4. 9解（①）设P点的坐标为(e,子+1)， 又，点E的坐标为(0,6)， 点F的坐标为(0,2)， ∴.，点C的坐标为(4,6). .OF=2, 把x=4,y=6代入y=ax2, “当△P0F的西积为4时，号×2Xz=4 得6=42a, 解得a=是 解得x=士4， y=}×(士40+1=5， 22.1.3二次函数y=a(x- ∴.点P的坐标为（一4,5）或(4,5). h)2十k的图象和性质 (2)如图，过，点M作ME⊥x轴于点E,交抛物线y= 第1课时二次函数y=a.x2+k 子+1于点P,比时△PMF的周长取最小值， 的图象和性质 F(0,2),M(W3,3), 知识梳理 ,∴.ME=3,FM=√/(W3-0)2+(3一2)2=2， 1.(0,k)y轴上低减小增大下高增大 ,.△PMF周长的最小值为ME+FM=3+2=5. 减小 2.相同上下 对点练习 1.C2.y<y2<y1 a+k=-1, (a=1, 3.解(1)根据题意，得{ 解得 第2课时二次函数y=a(x一h)的图象和性质 4a+k=2. k=-2. ∴二次函数的解析式为y=x2一2. 知识梳理 ∴这个二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点1.形状位置向左或向右h 坐标为(0，一2). 2.向上直线x=h(h,0)增大减小向下 (2)点（一3,7）在这个二次函数的图象上 直线x=h(h,0)减小增大 理由：当x=一3时，y=x2-2=(-3)2-2=7, 对点练习 点（一3,7）在这个二次函数的图象上. 1.D 4.C5.D 2.(-1,0)>-1-1大大0 42