第05讲 二次函数与一元二次方程（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

第05讲 二次函数与一元二次方程 【知识点1：二次函数与一元二次方程的关系】 【知识点2：利用二次函数求一元二次方程的近似解】 【知识点3：抛物线与不等式关系】 1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 注意： 　二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. (1) 当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； (3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根.． 【题型1：求抛物线与x轴交点坐标】 【典例1】（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）二次函数的图象与轴交点的坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（24-25九年级上·北京·期中）抛物线与x轴的交点坐标为 ． 【变式2】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）抛物线与x轴的一个交点坐标为，则 ． 【变式3】（24-25九年级上·广东汕头·期末）二次函数的图象与x轴的交点坐标是 ． 【题型2：求抛物线与y轴交点坐标】 【典例2】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式是1】（2025·广东清远·一模）抛物线与轴相交的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，抛物线与轴交于一点，则该点坐标是 ． 【题型3：求抛物线与x轴交点问题】 【典例3】（24-25八年级下·福建福州·期末）关于二次函数的图象与轴交点个数的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D．无法判断 【变式1】（2025·宁夏银川·三模）若二次函数的图象与x轴只有一个交点，则实数c的值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．64 【变式2】（2025·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 【变式3】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 用图象法解一元二次方程的步骤： 1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； 2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围； 3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值． 4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 注意： 　　求一元二次方程的近似解的方法（图象法）： 　(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根； 　(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； 　(3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根. 【题型4:图像法确定一元二次方程的根】 【典例4】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·河南周口·一模）已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的根为（    ） A．0，4 B．2，9 C．0 D．4 【变式2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线的图象与x轴的一个交点为，对称轴为直线，则一元二次方程的实数根是 ． 【变式3】（24-25九年级上·陕西延安·期末）函数与x轴的交点如图所示，则方程的实数根 ， ． 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 【题型5：利用图像法求一元二次不等式】 【典例5】（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知二次函数的图象过点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)画出这个函数的图象； (3)写出当时，函数值的取值范围． 【变式1】（24-25九年级上·浙江·期末）如图，已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的表达式． (2)利用函数图象，求当时，的取值范围． 【题型6：利用不等式求自变量或函数值的范围】 【典例6】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知二次函数，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知，当时，y的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·甘肃武威·期中）已知二次函数，当时，函数值y的取值范围 ． 【变式3】（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数． （1）若，则y的取值范围为 ； （2）若，则x的取值范围为 ． 【题型7：根据交点确定不等式的解集】 【典例7】（2025·山东滨州·二模）抛物线与直线相交于点和点.则当时，的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 【变式1】（2025·广东广州·一模）如图，抛物线与直线相交于点和点，点，的横坐标分别为和4，则当时的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【变式2】（24-25九年级上·云南昆明·期末）如图，直线与抛物线交于点，，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D．或 【变式3】（2025·广东惠州·一模）如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是 ． 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： ．．． ．．． ．．． ．．． 则根据以上信息可判断，关于的一元二次方程的一个根的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·云南昆明·期末）已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·广东中山·期中）抛物线的图象与x轴的交点个数是（    ） A．无交点 B．一个交点 C．两个交点 D．三个交点 5．（24-25九年级上·广西南宁·期中）若二次函数的图象与轴有两个交点，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 6．（2025·河北保定·二模）已知抛物线与x轴交于点A和B，则的值为（    ） A．－5 B．－1 C．3 D．7 二、填空题 7．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图抛物线与直线交于点，，则关于的不等式的解集是 ． 8．（2025·山东滨州·一模）将抛物线向右平移3个单位长度，所得抛物线与轴的交点的坐标是 ． 9．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）已知二次函数的图象与坐标轴恰有两个交点，则 ． 10．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）已知抛物线与x轴交于A，B两点，若A的坐标是，则B的坐标是 ． 11．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，直线和抛物线都经过点和点，当时，的取值范围是 ． 三、解答题 12．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标； (2)当时，求y的取值范围． 13．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知抛物线的顶点A在直线上 ， (1)抛物线的顶点坐标． (2)B，C是抛物线与x轴的两个交点（点B在点C的左侧），求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 二次函数与一元二次方程 【知识点1：二次函数与一元二次方程的关系】 【知识点2：利用二次函数求一元二次方程的近似解】 【知识点3：抛物线与不等式关系】 1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 注意： 　二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. (1) 当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； (3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根.． 【题型1：求抛物线与x轴交点坐标】 【典例1】（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）二次函数的图象与轴交点的坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 令，解方程求出x的值，即可得得答案． 【详解】解：令，则， 解得，， ∴二次函数的图象与轴交点的坐标是的图象与轴交点的坐标是，， 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·北京·期中）抛物线与x轴的交点坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，把，代入，求出或，即可得出答案． 【详解】解：当时，， 解得：或， ∴抛物线与x轴的交点坐标为或， 故答案为：或． 【变式2】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）抛物线与x轴的一个交点坐标为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图像与坐标轴交点的知识，熟练掌握二次函数图像与性质是解题关键．将点代入抛物线，求解即可获得答案． 【详解】解：将点代入抛物线， 可得，解得． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·广东汕头·期末）二次函数的图象与x轴的交点坐标是 ． 【答案】， 【分析】本题考查的是求解抛物线与x轴的交点坐标，依据题意，令，从而或，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，∵令 ∴或， ∴二次函数的图象与x轴的交点坐标是，． 故答案为：，． 【题型2：求抛物线与y轴交点坐标】 【典例2】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，令，求出的值即可，掌握轴上点的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：由得，当时，， ∴与轴的交点坐标是， 故选：． 【变式是1】（2025·广东清远·一模）抛物线与轴相交的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求抛物线与y轴的交点坐标，令，求出此时的函数值即可得到答案． 【详解】解：在中，令，则， ∴抛物线与轴相交的坐标为， 故选B． 【变式2】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，抛物线与轴交于一点，则该点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，二次函数与坐标轴交点的计算是解题的关键． 根据顶点坐标设二次函数解析式为，运用待定系数法得到解析式，令解得函数值即可． 【详解】解：抛物线与轴交于点，顶点坐标为， ∴设二次函数解析式为， 把点代入得，， 解得，， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴抛物线与轴交于一点，则该点坐标是， 故答案为： ． 【题型3：求抛物线与x轴交点问题】 【典例3】（24-25八年级下·福建福州·期末）关于二次函数的图象与轴交点个数的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与轴交点个数的情况，二次函数的性质，正确掌握方程的根的情况和抛物线与轴交点的个数间的关系是解题的关键． 二次函数与判断二次函数图象与x轴的交点个数，需计算对应的一元二次方程的判别式Δ．若，则有两个交点；，有一个交点；，无交点． 【详解】解：令，得方程．计算判别式． 因，方程有两个不相等的实数根， 故二次函数图象与x轴有两个交点． 故选A． 【变式1】（2025·宁夏银川·三模）若二次函数的图象与x轴只有一个交点，则实数c的值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质．二次函数的图象与x轴个数由判别式Δ决定．当时，图象与x轴有且仅有一个交点． 【详解】解：二次函数，其判别式为： ， 由题意，图象与x轴仅有一个交点，故，即： ， 解得： ， 因此，实数的值为4， 故选：A． 【变式2】（2025·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与x轴交点问题，根据的大小与抛物线与x轴交点个数的关系求解． 【详解】解：抛物线（是常数）与轴有两个交点，即方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，会运用根的判别式去求参数是解题的关键．运用根的判别式，代入系数，可直接求解． 【详解】解：∵的图象与x轴有两个不同的交点， ∴， ∴． 故选：D． 用图象法解一元二次方程的步骤： 1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； 2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围； 3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值． 4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 注意： 　　求一元二次方程的近似解的方法（图象法）： 　(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根； 　(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； 　(3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根. 【题型4:图像法确定一元二次方程的根】 【典例4】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，根据抛物线的对称性，求出抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为：， ∴对称轴为直线， 由图象可知，抛物线与轴负半轴的交点的横坐标的范围为：， ∴抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围为； ∴一元二次方程的正数解的范围是； 故选:D． 【变式1】（2025·河南周口·一模）已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的根为（    ） A．0，4 B．2，9 C．0 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据图象可得对称轴为直线，的一个根为，进而根据对称性求得的另一个根，即可求解． 【详解】解： 时， ∴的一个根是 ∵图象的对称轴为直线， ∴的另一个根是 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线的图象与x轴的一个交点为，对称轴为直线，则一元二次方程的实数根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，解题的关键是把求二次函数与轴的交点问题转化为解关于的一元二次方程,先利用二次函数的对称轴为直线，利用抛物线的对称性得到抛物线与轴另一个交点为，然后根据抛物线与轴的交点问题得到关于的一元二次方程的两个实数根． 【详解】解：∵抛物线的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线， ∴抛物线与轴另一个交点为， ∴关于的一元二次方程的两个实数根分别是，． 故答案为：，． 【点睛】解题的关键在于把求二次函数与轴的交点问题转化为解关于的一元二次方程，明确交点坐标与一元二次方程解的关系 【变式3】（24-25九年级上·陕西延安·期末）函数与x轴的交点如图所示，则方程的实数根 ， ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数图象与x轴的交点和一元二次方程的解的关系，根据函数与x轴的交点为即可求出答案． 【详解】解：∵函数与x轴的交点为， 即当或时，， ∴方程的实数根，， 故答案为：，， 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 【题型5：利用图像法求一元二次不等式】 【典例5】（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知二次函数的图象过点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)画出这个函数的图象； (3)写出当时，函数值的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，画二次函数图象，二次函数的性质，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求的函数解析式，画出对应的函数图象即可； （3）将函数化为顶点式，求出对称轴及顶点坐标，根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：把，代入中得：， ∴， ∴二次函数解析式为； （2）解：函数图象如下所示： （3）解： ， 二次函数的图象关于直线对称，顶点坐标为，且图象开口向上， 当时， 时，y有最小值，最小值为， ， 时，y有最大值，最大值为， ∴当时，函数值的取值范围为． 【变式1】（24-25九年级上·浙江·期末）如图，已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的表达式． (2)利用函数图象，求当时，的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，图象法求不等式的解集，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据题意，设二次函数为 （2）根据题意，代入得：，数形结合即可求解． 【详解】（1）解：已知抛物线经过点，， ∴设， ∴． （2）解：把代入得：， 由图象，得当时，． 【题型6：利用不等式求自变量或函数值的范围】 【典例6】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知二次函数，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以计算出当时，函数值的取值范围． 【详解】 ∴该函数图象开口向上，对称轴是直线，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大 ∴当时，；当时， ∴当时，自变量的取值范围是或 故答案选C 【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知，当时，y的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题是二次函数图象上的点的坐标特征，主要从图象上看到关键的信息，解本题的关键是自变量的范围内包括对称轴，要特别注意．根据和时的函数值，再确定出抛物线的最低点的函数值，即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 而抛物线的对称轴为时，， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·甘肃武威·期中）已知二次函数，当时，函数值y的取值范围 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，由二次函数可得，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，再根据函数图像特点求出最大值和最小值即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线，开口向下， ∴当时，函数有最大值； ∵， ∴当时，函数值， 当时，函数值， ∴当时，函数值y的取值范围是：， 故答案为：． 【变式3】（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数． （1）若，则y的取值范围为 ； （2）若，则x的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解一元二次方程； （1）先将一般式化为顶点式，判断出抛物线的对称轴和开口方向，再根据二次函数的性质进行求解即可； （2）先通过解方程求出函数值为时，函数值为时，进而结合抛物线图象即可求解． 【详解】解：（1）， 对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，有最大值为， 当时， ∵, ∴当时，取得最小值，最小值为， ∴当时，， 故答案为：． （2）， 当时，即， 解得：， 当时，即， 解得：， ∴当时，x的取值范围为或， 故答案为：或． 【题型7：根据交点确定不等式的解集】 【典例7】（2025·山东滨州·二模）抛物线与直线相交于点和点.则当时，的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】此题考查二次函数与不等式．先求得抛物线与直线的解析式，联立求得点的坐标，再根据时，即为抛物线在直线下方，根据图象得出取值范围即可． 【详解】解：∵直线经过点， ∴，解得， ∴直线， ∵抛物线经过点， ∴，解得， ∴抛物线， 联立得， 解得或， 当时，， ∴， ∴抛物线与直线相交于点和点两点， ∴当时，， 故选：B． 【变式1】（2025·广东广州·一模）如图，抛物线与直线相交于点和点，点，的横坐标分别为和4，则当时的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据抛物线图象在直线图象上方部分对应x的范围即为时的取值范围，利用交点坐标即可解答． 【详解】解：根据图象：当时的取值范围为， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·云南昆明·期末）如图，直线与抛物线交于点，，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与不等式（组），解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 结合图象可直接得出答案． 【详解】解：由图象可得，不等式的解集为． 故选：B． 【变式3】（2025·广东惠州·一模）如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，由图像可求得的解集，即可获得答案，解题关键是利用数形结合的思想分析问题． 【详解】解：∵抛物线 与直线相交于两点， ∴由图可知，当时，二次函数图象在一次函数图象上方，此时， ∴的解集为， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入抛物线的方程中求出y的值即可． 本题考查二次函数图象点的坐标特征，解题的关键将代入抛物线中，本题属于基础题型． 【详解】解：将代入， ∴， ∴抛物线与y轴的交点为， 故选：A． 2．（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： ．．． ．．． ．．． ．．． 则根据以上信息可判断，关于的一元二次方程的一个根的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数自变量与函数值的变化情况是解题的关键． 根据自变量与函数值的情况判定即可． 【详解】解：∵时，，时，， ∴关于的一元二次方程的一个根的取值范围是， 故选：B ． 3．（23-24八年级下·云南昆明·期末）已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． 将交点代入二次函数解析式，可得，将该式略作变形即可得出答案． 【详解】解：抛物线与轴的一个交点为， ， ， ， 故选：． 4．（23-24九年级上·广东中山·期中）抛物线的图象与x轴的交点个数是（    ） A．无交点 B．一个交点 C．两个交点 D．三个交点 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．令，根据判别式的符号求解即可． 【详解】解：令， 则， 故抛物线与x轴的交点个数为2， 故应选：C． 5．（24-25九年级上·广西南宁·期中）若二次函数的图象与轴有两个交点，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，解题的关键是明确题意，正确理解二次函数与一元二次方程的关系． 根据题意和二次函数与一元二次方程之间的关系可即可求解． 【详解】解：∵的图象与轴有两个交点， ∴当时，此时使得成立的的值有两个， ∴关于的一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故选：． 6．（2025·河北保定·二模）已知抛物线与x轴交于点A和B，则的值为（    ） A．－5 B．－1 C．3 D．7 【答案】A 【分析】根据韦达定理可知，，然后将其代入所求的代数式求值即可． 本题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题时，充分利用了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的根与系数的关系，难度不大． 【详解】解： 由抛物线与x轴交于点A和B， 知，． ∴． 故选：A． 二、填空题 7．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图抛物线与直线交于点，，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查利用图象解不等式，抛物线的性质，利用数形结合的思想是解题关键．根据题意可得出，设，即求抛物线位于一次函数的图象下方时，x的取值范围即可．根据抛物线的对称性，结合题意可得出抛物线与直线交于点，，进而即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 设， ∵抛物线与直线交于点，，直线与直线关于y轴对称，抛物线关于y轴对称， ∴抛物线与直线交于点，， ∴当或时，抛物线位于直线的下方，即此时， ∴不等式的解集是或． 故答案为：或． 8．（2025·山东滨州·一模）将抛物线向右平移3个单位长度，所得抛物线与轴的交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像与几何变换，掌握二次函数的平移规律是解题的关键．先根据二次函数的平移规律得到向右平移3个单位后的抛物线解析式，再令，即可求解． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位， 得到抛物线的解析式为：， 令，则， 平移后的抛物线与轴的交点的坐标是， 故答案为：． 9．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）已知二次函数的图象与坐标轴恰有两个交点，则 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 根据二次函数的图象与坐标轴恰有两个交点，存在种情况，分类讨论：①当时，可得二次函数与坐标轴有两个交点，符合题意；②当时，则，可得的值，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象与坐标轴恰有两个交点， ①当时，二次函数与轴有两个交点，即，，符合题意； ②当时，当时，，即二次函数的图象与轴交于点， 二次函数的图象与与轴必有一个交点， ， 解得． 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 10．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）已知抛物线与x轴交于A，B两点，若A的坐标是，则B的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是求出抛物线的对称轴方程．先求出抛物线的对称轴方程，然后根据点A和点B关于对称轴对称，即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴方程为， ∵点和点B关于对称轴对称， ∴点B的坐标为， 故答案为． 11．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，直线和抛物线都经过点和点，当时，的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了根据直线和抛物线交点确定不等式的解集．解题的关键在于对知识的熟练掌握与数形结合． 由题意知，当时，则的取值范围是抛物线图象在直线图象上方对应的所有的的取值，然后数形结合求解即可． 【详解】解：由题意知，当时，则的取值范围是抛物线图象在直线图象上方对应的所有的的取值， ∵图象交于点，点， ∴当时，或， 故答案为：或． 三、解答题 12．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标； (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1)抛物线解析式为，顶点坐标为 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，综合性较强，难度适中． （1）将，，两点代入求出、即可； （2）根据函数图象，结合，写出函数值取值范围即可． 【详解】（1）解：抛物线经过、两点， ，解得， 抛物线解析式为， ， 顶点坐标为； （2）， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当时，函数值，当时，函数值， 当时，有最大值为12，当时，有最小值为， 当时，． 13．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知抛物线的顶点A在直线上 ， (1)抛物线的顶点坐标． (2)B，C是抛物线与x轴的两个交点（点B在点C的左侧），求的面积． 【答案】(1) (2)27 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，熟练掌握运算法则、正确运用数形结合是解本题的关键． （1）由抛物线解析式求出顶点横坐标，代入直线中求出纵坐标，即可确定出顶点坐标； （2）由顶点坐标确定出c的值，进而确定出抛物线解析式，求出B、C坐标，画出函数图像，连接， ，得到，求出面积即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点横坐标为：， 将代入中， 得， 则顶点坐标为：； （2）解：将代入， 得， ， 抛物线的表达式为∶ ， 令，得， 解得， ， ， 连接， ，如图： ， 的高为9， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$