第02讲 圆-垂径定理（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

第02讲 圆-垂径定理 知识点1：垂径定理的定义 知识点2：垂径定理的应用 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 【题型1利用垂径定理求值】 【典例1】如图，在中，是的弦，，垂足为E．若，则的半径长为（   ） A．4 B．5 C． D． 【变式1】如图，点在上，点是中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图、已知为的直径，点为的中点．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，经过点，交y轴于点A，若，弦长为（   ） A．8 B．10 C．16 D．20 【题型2利用垂径定理求平行弦问题】 【典例2】在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是 ． 【变式1】设AB、CD是⊙O的两条弦，ABCD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离为 ． 【变式2】如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ． 【变式3】已知⊙O的直径为20， AB， CD分别是⊙O的两条弦，且AB//CD，AB=16，CD=10，则AB，CD之间的距离是 ． 【题型3利用垂径定理求同心圆问题】 【典例3】如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【变式1】如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 ． 【变式2】 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm 【变式3】如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 【题型4利用垂径定理求解其他问题】 【典例4】如图，是的弦．半径于点D，且．则的长是 ． 【变式1】如图，是的半径，弦于点，已知，，则弦 ． 【变式2】如图，为的直径，弦，垂足为，若的半径为，，则的长为 ． 【变式3】如图，为的弦，半径交于点，且为的中点，连接、、，若，则 ．    经常为未知数，结合方程于勾股定理解答 【题型5垂径定理的实际应用】 【典例5】圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．如图是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，C为中点，D为拱门最高点，圆心O在线段上，分米，求拱门所在圆的直径． 【变式1】“筒车”是一种以水流作动力，取水罐田的工具，点表示筒车的一个盛水桶，如图①．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图绘出了“筒车”的工作原理，如图②．当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的一个圆，且圆心始终在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，水面下盛水桶的最大深度（即水面下方圆上的点距离水面的最大距离）为2米． (1)求该圆的半径． (2)若水面下降导致圆被水面截得的弦的长度从原来的8米变为6米，则水面下盛水桶的最大深度为多少米？ 【变式2】苏州是一座拥有多年历史的文化名城，苏州古城坐落在水网之中，街道依河而建，水陆并行；建筑临水而造，前巷后河，形成“小桥、流水、人家”的独特风貌．如图，某座苏州古桥的桥拱可看作一段圆弧，现测得桥下水面宽度时，拱顶高出水平面． (1)求此圆弧形拱桥的半径； (2)若有一艘宽的船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形并高出水面，请通过计算判断，该船能否安全穿过桥洞，并说明理由． 【变式3】如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为水面截线，，为桌面截线，． (1)作于点C，求的长； (2)将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少？ 一、单选题 1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧），点是这段弧的圆心，是弧上一点，，垂足为．若这段弯路的半径是，，则两点的直线距离是（　　） A． B． C． D． 2．我们可用丁字尺来确定圆心位置，如图，点C是的中点，测量数据得，，则圆的半径长为（    ）． A． B． C． D． 3．壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感，如图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和劣弧围成的区域为种植区，已知种植区的深度为，圆形框架的半径为，则弦的长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的弓形，路面，隧道最高点到地面的距离，则该隧道所在圆的半径为（   ） A． B． C． D． 5．杭温高铁的开通，进一步完善了区域铁路网布局，便利沿线人民群众出行，带动旅游资源开发，有力地服务长三角一体化高质量发展．如图是其中一个隧道的横截面示意图，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，若是弦的中点，经过圆心交优弧于点，且，则的半径为（　） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图所示，在中，直径弦，垂足为，已知，则直径 ． 7．如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底都是圆球形．球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为 ． 8．的半径是13，弦，，则与的距离是 ． 9．在数学活动课上，老师让同学们测一个残缺圆形工件（如图所示）的半径，实践小组给出了解决方案：在工件圆弧上任取两点，连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，交于点，交弦于点，经测量，，则圆形工件的半径为 ． 10．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点，寸，寸，则半径长为 寸． 三、解答题 11．如图，等腰的底边交⊙O于点、．求证：． 12．如图，的弦，是的中点，且，求的半径． 13．如图，P是的直径延长线上的一点，与分别相交于点E和点C，过点C作，交于点F，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若的长等于的半径，，求的度数． 14．某隧道口是圆弧形拱顶，如图，圆心为O，隧道口的水平宽为，离地面的高度为，连接，拱顶最高处C离地面的高度为．在拱顶的M，N处安装照明灯． (1)求的半径的长； (2)若安装的两组照明灯M，N离地面的高度均为，求M，N之间的水平距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 圆-垂径定理 知识点1：垂径定理的定义 知识点2：垂径定理的应用 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 【题型1利用垂径定理求值】 【典例1】如图，在中，是的弦，，垂足为E．若，则的半径长为（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，由垂径定理可得的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在中，是的弦，， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴的半径长为5， 故选：B． 【变式1】如图，点在上，点是中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形性质，由点是中点，可得，进而可得，根据，即可得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵点是中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】如图、已知为的直径，点为的中点．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，根据垂径定理中“知二推三”进行推理论证，即可解题． 【详解】解： 为的直径，点为的中点． ， 故选：B． 3 【变式3】如图，经过点，交y轴于点A，若，弦长为（   ） A．8 B．10 C．16 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，关键是熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 过P点作于H点，根据垂径定理得，然后利用P点坐标得到，从而得到． 【详解】解：过P点作于H点，如图， 则， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【题型2利用垂径定理求平行弦问题】 【典例2】在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是 ． 【答案】2或14 【分析】由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦与在圆心同侧；②弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦与在圆心同侧时，如图①，    过点O作，垂足为F，交于点E，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：，， ∴； ②当弦与在圆心异侧时，如图，    过点O作于点E，反向延长交于点F，连接， 同理，， ， 所以与之间的距离是2或14． 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 【变式1】设AB、CD是⊙O的两条弦，ABCD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离为 ． 【答案】17或7/7或17 【分析】根据题意画出图形，由于AB、CD在圆心的同侧或异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】解：①当AB、CD如图（一）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC， ∵ABCD，OE⊥CD， ∴OF⊥AB， 由垂径定理可知AF=AB=×24=12，CE=CD=×10=5， 在Rt△CEO中，OE==12； 同理，OF==5， 故EF=OE﹣OF=12﹣5=7； ②当AB、CD如图（二）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC， 同（一）可得OE=12，OF=5，EF=OE+OF=12+5=17； 故答案为：17或7． 【点睛】本题考查的是垂径定理，勾股定理，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解． 【变式2】如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ． 【答案】 【分析】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在△OHF中，勾股定理计算． 【详解】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H， 则EH=FH=EF=2， ∵GB=5， ∴OF=OB=， 在△OHF中，勾股定理，得 OH=， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形OADH也是矩形， ∴AD=OH=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键． 【变式3】已知⊙O的直径为20， AB， CD分别是⊙O的两条弦，且AB//CD，AB=16，CD=10，则AB，CD之间的距离是 ． 【答案】或 【分析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，过O作，交CD于点E，交AB于点F，连接OA，OC，由，得到，利用垂径定理得到E与F分别为CD与AB的中点，在直角三角形AOF中，利用勾股定理求出OF的长，在三角形COE中，利用勾股定理求出OE的长，由即可求出EF的长；当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理由求出EF的长即可． 【详解】解：分两种情况考虑： 当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示， 过O作，交CD于点E，交AB于点F，连接OA，OC， ，， ∴F、分别为AB、CD的中点， ，， 在中，，， 根据勾股定理得：， 在中，，， 根据勾股定理得：， 则；    当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理可得， 综上，弦AB与CD的距离为或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键． 【题型3利用垂径定理求同心圆问题】 【典例3】如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【答案】(1)见解析 (2)大圆的半径为 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理； （1）作于E，根据垂径定理得到即可得到； （2）连接，在和中根据勾股定理得到，代入求值计算即可． 【详解】（1）证明：如图：作于E， 由垂径定理，得： 即； （2）解：如图，连接， ， ， 在和中，由勾股定理，得： ， ， 即， 解得： 大圆的半径为． 【变式1】如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 ． 【答案】 【分析】过O点作于H点，连接、，如图，根据垂径定理得到，，设，则，再利用双勾股得到，然后解方程求出r即可． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 【详解】解：过O点作于H点，连接，如图，则 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或r（舍去）， 即小圆半径是， 故答案为：． 【变式2】 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm 【答案】134 【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32， ∵OE⊥AB， ∴AE=EB=100cm， 在RT△OAE中， 在RT△OCE中，， 则 解得：r=134． 故答案为：134． 【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【变式3】如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 【答案】(1)证明见解析 (2)小圆的半径r为 【分析】（1）过O作于点E，由垂径定理可知E为和的中点，则可证得结论； （2）连接，由条件可求得的长，则可求得和的长，在中，利用勾股定理可求得的长，在中可求得的长； 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图1， 由垂径定理可得 ∴ ∴ （2）解：连接，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 在中，由勾股定理可得 ∴，即小圆的半径r为． 【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 【题型4利用垂径定理求解其他问题】 【典例4】如图，是的弦．半径于点D，且．则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 先根据垂径定理得到，在中，由勾股定理求解，再由即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：2． 【变式1】如图，是的半径，弦于点，已知，，则弦 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理．利用垂径定理得出，利用勾股定理得出长度，即可得到答案． 【详解】解： 如图所示，根据垂径定理可得： ， 在中，由勾股定理得： ， 故答案为：8． 【变式2】如图，为的直径，弦，垂足为，若的半径为，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接，由垂径定理得，由勾股定理即可得，进而即可求解，掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，为的弦，半径交于点，且为的中点，连接、、，若，则 ．    【答案】 【分析】连接，可求，可证，从而可求，即可求解． 【详解】解：如图，连接，    ， ， 为的中点， ， ， ， ． 故答案：． 【点睛】本题考查了圆的基本概念的理解，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握相关的性质是解题的关键． 经常为未知数，结合方程于勾股定理解答 【题型5垂径定理的实际应用】 【典例5】圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．如图是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，C为中点，D为拱门最高点，圆心O在线段上，分米，求拱门所在圆的直径． 【答案】30分米 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理．连接，根据垂径定理求得分米，设圆的半径为分米，则分米，米，根据勾股定理即可求得，进而可得答案． 【详解】解：连接， ∵过圆心，为的中点， ∴， ∵分米，C为的中点， ∴分米， 设圆的半径为x分米，则分米， ∵分米， ∴分米， 在中，由勾股定理， ∴， ∴， 即拱门所在圆的半径是15分米， ∴拱门所在圆的直径是分米． 【变式1】“筒车”是一种以水流作动力，取水罐田的工具，点表示筒车的一个盛水桶，如图①．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图绘出了“筒车”的工作原理，如图②．当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的一个圆，且圆心始终在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，水面下盛水桶的最大深度（即水面下方圆上的点距离水面的最大距离）为2米． (1)求该圆的半径． (2)若水面下降导致圆被水面截得的弦的长度从原来的8米变为6米，则水面下盛水桶的最大深度为多少米？ 【答案】(1)该圆的半径为米 (2)1米 【分析】此题考查勾股定理，垂径定理． （1）过作于点，交于点，根据垂径定理有米，设圆的半径为米，则米，（米）， 在中，根据勾股定理即可构造方程，求解即可； （2）如图所示，设水面下降至，过点O作于点，交于点，根据垂径定理有米，在中，根据勾股定理求得米，则米，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 过作于点，交于点，则， ∴（米） 设圆的半径为r米，则米，（米）， 在中，， 即， 解得， ∴该圆的半径为5米； （2）如图所示，设水面下降至，过点O作于点，交于点， ∴（米）， ∵的半径为5米， ∴米 ∴在中，（米）， ∴（米）， ∴水面下盛水桶的最大深度为（米）． 【变式2】苏州是一座拥有多年历史的文化名城，苏州古城坐落在水网之中，街道依河而建，水陆并行；建筑临水而造，前巷后河，形成“小桥、流水、人家”的独特风貌．如图，某座苏州古桥的桥拱可看作一段圆弧，现测得桥下水面宽度时，拱顶高出水平面． (1)求此圆弧形拱桥的半径； (2)若有一艘宽的船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形并高出水面，请通过计算判断，该船能否安全穿过桥洞，并说明理由． 【答案】(1)此圆弧形拱桥的半径为 (2)该船不能安全穿过桥洞，理由见解析 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识并理解题意． （1）连接，设与交于点，由题意可得：，，，根据垂径定理求出，设半径为，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可； （2）根据垂径定理和勾股定理求出当船宽时允许通过的最大高度，再与比较即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接，设与交于点， 由题意可得：，，， ， 设半径为，则， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， 即此圆弧形拱桥的半径为； （2）该船不能安全穿过桥洞，理由如下： 如图，在矩形中，、交于点，，连接， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ， 该船不能安全穿过桥洞． 【变式3】如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为水面截线，，为桌面截线，． (1)作于点C，求的长； (2)将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少？ 【答案】(1)的长 (2)此时水面截线减少了 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用、勾股定理的应用等知识点，理解垂径定理是解题的关键． （1）如图1：连接，由圆的性质可得，再利用垂径定理得出，再运用勾股定理计算即可解答； （2）如图2：过点O作，垂足为点D，连接，利用勾股定理求出，再利用垂径定理得出，最后与相减即可解答． 【详解】（1）解：如图1：连接， ∵， ∴                  ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴，解得：， ∴的长． （2）解：如图2：过点O作，垂足为点D，连接，   ∴ 由题意可知： 在中，根据勾股定理得：， ∴ ，解得：， ∴，   ∴， ∴此时水面截线减少了． 一、单选题 1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧），点是这段弧的圆心，是弧上一点，，垂足为．若这段弯路的半径是，，则两点的直线距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，利用勾股定理求出，再根据垂径定理解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵弯路的半径是， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 2．我们可用丁字尺来确定圆心位置，如图，点C是的中点，测量数据得，，则圆的半径长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧，勾股定理，利用垂径定理的推论得到圆心在上，设圆心为O点，连接，如图，设圆的半径为，则，，利用勾股定理得到，然后解方程即可． 【详解】解：，点C是的中点， 即垂直平分，， 圆心在上， 设圆心为O点，连接，如图， 设圆的半径为，则，， 在中，， 解得， 即圆的半径为． 故选：D． 3．壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感，如图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和劣弧围成的区域为种植区，已知种植区的深度为，圆形框架的半径为，则弦的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的相关知识以及垂径定理，如图，作交于点，交于点，连接，利用垂径定理得出，利用勾股定理求出，进而了得出．根据垂径定理正确的利用辅助线构造出直角三角形解决问题是关键． 【详解】解：如图，作交于点，交于点，连接 在中， ∴ ∵，， ， ∴， ∴ 故选：． 4．如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的弓形，路面，隧道最高点到地面的距离，则该隧道所在圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，由垂径定理得到，且，设的半径为，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案，熟记圆的性质、垂径定理与勾股定理在圆中求线段长的方法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的弓形，隧道最高点，到地面的距离为， 由圆的对称性可知，延长，必过圆心，如图所示： 由垂径定理可知，且， 设的半径为， 在中，，，，，由勾股定理可得， 解得， 故选：B． 5．杭温高铁的开通，进一步完善了区域铁路网布局，便利沿线人民群众出行，带动旅游资源开发，有力地服务长三角一体化高质量发展．如图是其中一个隧道的横截面示意图，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，若是弦的中点，经过圆心交优弧于点，且，则的半径为（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理的运用，掌握垂径定理是关键，根据题意设圆的半径为，则，，，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 设此圆的半径为，则， ∵是弦的中点，经过圆心， ∴， ∵， ∴，， 在中，， 即， 解得：， 即的半径长为． 故选：A． 二、填空题 6．如图所示，在中，直径弦，垂足为，已知，则直径 ． 【答案】 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、勾股定理等知识，连接，如图所示，由垂径定理得到，在中，由勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 在中，直径弦，垂足为， , 在中，,，， 则由勾股定理可得, ， 故答案为：． 7．如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底都是圆球形．球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了垂径定理（垂直于弦的直径平分弦）和勾股定理的应用，解题的关键是利用垂径定理得到直角三角形，通过半径和已知深度求出直角边的长度，再计算弦长． 确定；在中用勾股定理求；由垂径定理得． 【详解】由题意知，的半径，且于点C，根据垂径定理，平分弦，即． 已知液体最大深度，则． 在中，由勾股定理： 代入数据：，解得． 因此，弦． 故答案为：24． 8．的半径是13，弦，，则与的距离是 ． 【答案】17或7 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理等知识点，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形． 作于E，于F，利用勾股定理求出相关线段的长度，然后分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是17或7． 故答案为：17或7． 9．在数学活动课上，老师让同学们测一个残缺圆形工件（如图所示）的半径，实践小组给出了解决方案：在工件圆弧上任取两点，连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，交于点，交弦于点，经测量，，则圆形工件的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、勾股定理等知识，在上取一点作为圆心，连接，如图所示，根据题意表示出相关线段长度，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案．熟记垂径定理构造直角三角形，勾股定理求线段长的组合是解决问题的关键． 【详解】解：在上取一点作为圆心，连接，如图所示： ， ， 设， ， ， 在中，，，，，则由勾股定理可得， 解得， 故答案为：． 10．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点，寸，寸，则半径长为 寸． 【答案】13 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．设寸，利用垂径定理得到，利用勾股定理得到，根据其建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设寸， 弦于点，寸，寸， 寸， ， ， 解得， 半径长为寸． 故答案为：13． 三、解答题 11．如图，等腰的底边交⊙O于点、．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了垂径定理和等腰三角形的性质三线合一，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 过点O点作，垂足为M，根据垂径定理可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，进而可求证． 【详解】证明：过点O点作，垂足为M． ∵， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 12．如图，的弦，是的中点，且，求的半径． 【答案】半径为 【分析】本题考查了垂径定理，以及勾股定理；结合垂径定理的推论可证得是直角三角形，根据垂径定理即可求得，根据勾股定理求得的长即可． 【详解】解：如图所示： 是的中点， ，且， 在中， 即的半径为． 13．如图，P是的直径延长线上的一点，与分别相交于点E和点C，过点C作，交于点F，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若的长等于的半径，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，三角形外角的性质等； （1）由垂径定理得，由线段垂直平分线的判定及性质，即可得证； （2）连接，由圆的定义得，由等腰三角形的性质得，由三角形的外角性质得，，即可求解； 掌握垂径定理，线段垂直平分线的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，三角形外角的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明： 是直径，， ， 是的垂直平分线， ； （2）解：如图，连接， ， 的长等于的半径， ， ， ， ， ． 14．某隧道口是圆弧形拱顶，如图，圆心为O，隧道口的水平宽为，离地面的高度为，连接，拱顶最高处C离地面的高度为．在拱顶的M，N处安装照明灯． (1)求的半径的长； (2)若安装的两组照明灯M，N离地面的高度均为，求M，N之间的水平距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． （1）设、交于点G，、交于点，设的半径的长为，根据垂径定理求出，用含r的代数式将表示出来，在中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可； （2）连接，求出，在中利用勾股定理求出，再根据垂径定理求出即可． 【详解】（1）解：如图，设、交于点G，、交于点， 设的半径的长为， ，， ， ， ， ， ， ， 在中利用勾股定理，得：， 即， 解得， 的半径的长是． （2）解：连接， ， ， ， ， 在中利用勾股定理，得： ， ， ，N之间的水平距离是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$