第04讲 二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

第04讲 二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 【知识点1：二次函数y=ax²+bx+c化成顶点式】 【知识点2：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】 【知识点3：二次函数y=ax²+bx+c图像的变换问题】 【知识点4：二次函数y=ax²+bx+c中a,b,c系数间的关系】 【知识点5：待定系数法求二次函数解析式】 1. 顶点式化成一般式 2. 从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 3. 一般式化成顶点式 ． 对照，可知，． ∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 【题型1：二次函数y=ax²+bx+c化成顶点式】 【典例1】（2025·江苏徐州·一模）将二次函数化为的形式，结果为(　　) A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·山东德州·期中）将二次函数化为的形式，则 ． 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）抛物线化成顶点式是 ． 【变式3】（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）用配方法将写成的形式是 ． 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 注意：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 3 .二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像和性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【题型2：二次函数y=ax²+bx+c的性质】 【典例2】（24-25八年级下·福建福州·期末）抛物线中，与的部分对应值如表： … 1 3 4 5 7 … … 4 5 … 下列结论中，不正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．的最大值为 【变式1】（2025·江苏南通·模拟预测）抛物线的对称轴为直线（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·四川泸州·期中）二次函数的图象的（   ） A．最高点在 B．最高点在 C．最低点在 D．最低点在 【变式3】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象的对称轴在轴的右侧 B．图象与轴的交点坐标为 C．当时，随的增大而减小 D．的最小值为 【题型3：二次函数y=ax²+bx+c的y值大小比较】 【典例3】（23-24九年级上·江苏镇江·期中）若函数的图象上有两点，，若，则（　　） A． B． C． D．，的大小不确定 【变式1】（23-24九年级上·江西赣州·期中）已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）已知点，，是抛物线上的点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）已知点都在二次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【题型4：二次函数y=ax²+bx+c的图像问题】 【典例4】（2025·湖南长沙·三模）已知一次函数图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（九年级上·山东济宁·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象可以为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图为一次函数的图象，则二次函数在平面直角坐标系中的图象大致为（   ） A．B．C． D． （1）上下平移 若原函数为 注：①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。 ②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。 （2）左右平移 若原函数为，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式然后再进行相应的变形 注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。 ②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。 【题型5：二次函数y=ax²+bx+c图像的变换问题】 【典例5】（24-25九年级上·山西阳泉·期中）将抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数解析式为（    ） A．B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·山东济宁·期中）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为 ． 【变式2】（2025·甘肃武威·二模）将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的表达式写成的形式为 ． 【变式3】（24-25九年级上·山东济宁·期中）将抛物线先向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ． 【题型6：二次函数y=ax²+bx+c中a,b,c系数间的关系】 【变式6】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象如图所示，则以下结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图是二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·云南昆明·期中）对称轴为直线的抛物线，，为常数，且如图所示，下列结论正确为（    ） A． B． C．当时，随的增大而增大 D． 【变式3】（24-25九年级上·广东湛江·期中）从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③：④．你认为其中正确信息的有 ．（填写序号） （1）一般式：y=ax²+bx+c(a、b、c是常数，a不等于0） 已知抛物线上任意三点的坐标可求函数解析式。 （2）顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)。顶点坐标为（h,k)；对称轴为直线x=h；顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。 （3）交点式：仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac≥0]。 已知抛物线与x轴即y=0有交点A(, 0)和B(, 0),我们可设y=a（x-)(x-),然后把第三点代入x、y中便可求出a。 【题型7： 待定系数法求二次函数解析式】 【典例7】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）某二次函数的图象经过原点，且顶点是． (1)求此二次函数解析式； (2)求此二次函数图象如何平移可以得到图象？ 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江大庆·期末）已知二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)求的面积． 【变式2】（24-25九年级上·四川南充·期末）已知二次函数的图象与经过，，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)指出它的对称轴和最值． 【变式2】（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）根据下列条件，分别确定抛物线对应的二次函数的表达式． (1)抛物线的顶点坐标是，且与x轴的一个交点坐标是； (2)抛物线过，两点，与轴的交点为． 【变式3】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图像经过点，． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)时，求的取值范围． 一、单选题 1．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）用配方法将二次函数化为的形式为（   ） A．B．C． D． 2．（24-25九年级上·山西临汾·期末）已知二次函数的x，y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 15 … 则该二次函数图象的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·福建漳州·期末）已知，，则二次函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 4．（2025·浙江杭州·模拟预测）二次函数的最小值是（   ） A． B．1 C． D．7 5．（2025·河南周口·三模）二次函数 在范围内有最大值，则的值为（   ） A． B． C． D．或 二、填空题 6．（23-24九年级上·广东江门·期中）以顶点坐标，且过点的抛物线的解析式： 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，函数的图象的开口向 ． 8．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）抛物线的对称轴是 ． 9．（24-25九年级上·重庆荣昌·期中）若点在抛物线上，则 ． 10．（24-25九年级上·新疆巴音郭楞·期末）若点在抛物线上，则 ．（填“＞”“＜”或“＝”） 11．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若二次函数的图象经过点，，则与的大小关系为 ． 12．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）若二次函数的图象经过原点，则的值为 ． 13．（2025·内蒙古·模拟预测）将抛物线向下平移3个单位长度后，经过点，则 ． 三、解答题 14．（24-25九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数． (1)在平面直角坐标系xOy中画出这个二次函数的图象； (2)认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题： ①函数时，的取值范围是____________； ②方程的根是_______________； ③试写出此函数的一条性质； ④已知点，，都在此二次函数的图象上，则的大小关系是_________（用“＜”连接）． 15．（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知抛物线经过点，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)写出这条抛物线的对称轴和顶点坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 【知识点1：二次函数y=ax²+bx+c化成顶点式】 【知识点2：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】 【知识点3：二次函数y=ax²+bx+c图像的变换问题】 【知识点4：二次函数y=ax²+bx+c中a,b,c系数间的关系】 【知识点5：待定系数法求二次函数解析式】 1. 顶点式化成一般式 2. 从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 3. 一般式化成顶点式 ． 对照，可知，． ∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 【题型1：二次函数y=ax²+bx+c化成顶点式】 【典例1】（2025·江苏徐州·一模）将二次函数化为的形式，结果为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的三种形式，依据题意，由二次函数为，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，∵二次函数为， ∴二次函数化为顶点式为． 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·山东德州·期中）将二次函数化为的形式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的三种形式的转化，熟练掌握配方法是解决本题的关键． 利用配方法对二次解析式进行变形即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）抛物线化成顶点式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查将抛物线化为顶点式，熟练掌握顶点式是解题的关键．根据顶点式进行配方即可得到答案． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）用配方法将写成的形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了将二次函数的一般式转化为顶点式，熟练掌握配方法，利用配方法加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式，即可得解 【详解】解：． 故答案为：． 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 注意：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 3 .二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像和性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【题型2：二次函数y=ax²+bx+c的性质】 【典例2】（24-25八年级下·福建福州·期末）抛物线中，与的部分对应值如表： … 1 3 4 5 7 … … 4 5 … 下列结论中，不正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．的最大值为 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据当时和当时的函数值相同，可得对称轴是直线，进而根据表格数据可得顶点坐标为，再由对称轴处的函数值大于其他位置的函数值可知抛物线开口向下，则当时，随的增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：∵当时和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴顶点坐标为， ∵， ∴该抛物线有最大值，即抛物线开口向下， ∴当时，随的增大而减小， ∴四个选项中，只有A选项说法错误，符合题意； 故选：A． 【变式1】（2025·江苏南通·模拟预测）抛物线的对称轴为直线（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数的性质是解题的关键．利用对称轴公式运算求解即可． 【详解】解∶∵， ∴对称轴为直线， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·四川泸州·期中）二次函数的图象的（   ） A．最高点在 B．最高点在 C．最低点在 D．最低点在 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据题意可把二次函数的解析式变成顶点式，然后问题可求解． 【详解】解：把二次函数变成顶点式得：， ∵，即开口向上， ∴该二次函数有最低点； 故选C． 【变式3】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象的对称轴在轴的右侧 B．图象与轴的交点坐标为 C．当时，随的增大而减小 D．的最小值为 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是把解析式化为顶点式，利用二次函数的性质判断即可． 【详解】解：， A. 图象的对称轴是直线，在轴的左侧，故不正确； B. 图象与轴的交点坐标为，故不正确； C. 当时，随的增大而增大，故不正确； D. 的最小值为，故正确； 故选D． 【题型3：二次函数y=ax²+bx+c的y值大小比较】 【典例3】（23-24九年级上·江苏镇江·期中）若函数的图象上有两点，，若，则（　　） A． B． C． D．，的大小不确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据函数解析式得抛物线的对称轴，再根据二次函数的增减性即可求解，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：抛物线的对称轴为：， ，且， ， 故选A． 【变式1】（23-24九年级上·江西赣州·期中）已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别计算出自变量为，和3时的函数值，然后比较函数值得大小即可．二次函数图象上点的坐标满足其解析式，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是本题的关键． 【详解】解：把，，分别代入得 故 故选：A． 【变式2】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）已知点，，是抛物线上的点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较二次函数值的大小．理解二次函数当时距离对称轴越远的点，函数值越大是解题关键．先判断函数的开口向上，对称轴为，从而得出距离对称轴越远，函数值越大，再结合三点坐标即可判断函数值之间的大小关系． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵，开口向上，离对称轴越远，函数值越大， 3离对称轴比0离对称轴远， ∴， 故选：D． 【变式3】（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）已知点都在二次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，把代入计算即可． 【详解】∵点都在二次函数的图象上， ∴当时，当时， ∴， 故选：B． 【题型4：二次函数y=ax²+bx+c的图像问题】 【典例4】（2025·湖南长沙·三模）已知一次函数图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的图象性质，熟练掌握一次函数图象与系数的关系、二次函数的开口方向、对称轴、与轴交点的判定方法是解题的关键．先根据一次函数图象确定、的符号，再据此分析二次函数的开口方向、对称轴位置和与轴交点情况，从而判断二次函数图象． 【详解】解：从一次函数的图象来看， 图象从左到右上升， ； 图象与轴交点在正半轴，即当时，， ． 对于二次函数： ， 二次函数图象开口向上，排除、选项； 对称轴为， ，， ，即对称轴在轴右侧； 当时，，即二次函数与轴交点在负半轴． 综上，符合条件的是选项． 故选： ． 【变式1】（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象的性质，根据、的符号根据一次函数与反比例函数的图象，逐项分析即可作出判断． 【详解】解：A．一次函数的图象经过一、二、四象限，则，，二次函数的图象开口向下，则，矛盾，故A错误； B．一次函数的图象经过一、二、三象限，则，，二次函数的图象开口向上，则，矛盾，故B错误； C．一次函数的图象经过一、二、三象限，则，，二次函数的图象开口向上，则，矛盾，故C错误； D．一次函数的图象经过一、二、三象限，则，，二次函数的图象开口向下，则，对称轴，则，故D正确； 故选：D． 【变式2】（九年级上·山东济宁·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查一次函数，二次函数系数及常数项与图象位置之间关系．本题形数结合，一次函数，可判断a、c的符号；根据二次函数的图象位置，可得a，c的符号，比较即可得解． 【详解】解：A、函数中，，，中，，，故本选项不符合题意； B、函数中，，，中，，，故选项不符合题意； C、函数中，，，中，，，故本选项不符合题意； D、函数中，，，中，，，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图为一次函数的图象，则二次函数在平面直角坐标系中的图象大致为（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像以及一次函数图像与系数的关系．根据一次函数通过的象限确定a、b的正负是解题的关键． 根据一次函数的位置确定出，再结合二次函数的图像与系数的关系逐选项去分析即可． 【详解】解：由图象可知，一次函数的图象经过一、二、三象限，可得， A． 由二次函数图象可知，，不符合题意； B． 由二次函数图象可知，，符合题意； C． 由二次函数图象可知，，不符合题意； D． 由二次函数图象可知，，不符合题意； 故答案为：B． （1）上下平移 若原函数为 注：①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。 ②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。 （2）左右平移 若原函数为，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式然后再进行相应的变形 注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。 ②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。 【题型5：二次函数y=ax²+bx+c图像的变换问题】 【典例5】（24-25九年级上·山西阳泉·期中）将抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数解析式为（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了次函数图象与几何变换，根据根据二次函数平移法则“左加右减，上加下减”法则解答即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为：． 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·山东济宁·期中）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答，再配成顶点式即可． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位后所得新抛物线的表达式为， 即． 故答案是：． 【变式2】（2025·甘肃武威·二模）将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的表达式写成的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，涉及二次函数的一般式化为顶点式，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．先将化为顶点式，再利用左加右减，上加下减即可得出平移后的表达式． 【详解】解：， ∵先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴平移后的抛物线的表达式为， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·山东济宁·期中）将抛物线先向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，二次函数图像平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 先把化成顶点式，然后确定顶点坐标为，再把顶点按照题干要求平移得到新的顶点坐标，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴把点向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为， ∴平移后得到的抛物线解析式为：． 故答案为． 【题型6：二次函数y=ax²+bx+c中a,b,c系数间的关系】 【变式6】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象如图所示，则以下结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴直线，与坐标轴交点的计算等知识是关键． 根据二次函数图象可得，结合题意判定即可． 【详解】解：根据二次函数图象可得图象开口向下，对称轴在轴右侧，与轴的交点在正半轴上，与轴由两个交点， ∴， ∴， ∴，故A选项错误，不符合题意； ∵图像与轴有两个交点， ∴，故B选项错误，不符合题意； 当时，，故C选项正确，符合题意； ∵对称轴为直线， ∴与时，值相等， ∴当时，，故D选项错误，不符合题意； 故选：C ． 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图是二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴直线，与坐标轴交点的计算是关键． 根据二次函数图象判定各项系数的符号，由此即可求解． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ∴， 对称轴直线为， ∴， 图象与轴交于正半轴，与轴有两个交点， ∴，， ∴，故A选项错误，不符合题意； 根据图示，当是，，故B选项错误，不符合题意； ∵， ∴，故C选项正确，符合题意； ∵， ∴，故D选项错误，不符合题意； 故选：C ． 【变式2】（24-25九年级上·云南昆明·期中）对称轴为直线的抛物线，，为常数，且如图所示，下列结论正确为（    ） A． B． C．当时，随的增大而增大 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟知二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定是解题的关键． 【详解】解：A∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ，故A正确； B.由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不同交点， ， ，故B错误； C.由图象可知，当时，y随x的增大而减小，故C错误， D.对称轴为直线， ∴当和时的函数值相等，且都小于0， ，故D错误； 故选：A． 【变式3】（24-25九年级上·广东湛江·期中）从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③：④．你认为其中正确信息的有 ．（填写序号） 【答案】①②③④ 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当与同号时，对称轴在轴左，当与异号时，对称轴在轴右，常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于，是解答本题的关键． 【详解】解：由图可知，二次函数图像开口向上，图像与轴的交点在负半轴， ，，故①正确； 二次函数图像的对称轴，， ， ，故②正确； 由图可知，当时，，故③正确； 由对称轴，可得， ∴ 故④正确， 综上所述，正确的有：①②③④； 故答案为：①②③④． （1）一般式：y=ax²+bx+c(a、b、c是常数，a不等于0） 已知抛物线上任意三点的坐标可求函数解析式。 （2）顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)。顶点坐标为（h,k)；对称轴为直线x=h；顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。 （3）交点式：仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac≥0]。 已知抛物线与x轴即y=0有交点A(, 0)和B(, 0),我们可设y=a（x-)(x-),然后把第三点代入x、y中便可求出a。 【题型7： 待定系数法求二次函数解析式】 【典例7】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）某二次函数的图象经过原点，且顶点是． (1)求此二次函数解析式； (2)求此二次函数图象如何平移可以得到图象？ 【答案】(1) (2)向左1个单位，向上2个单位 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，平移性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据某二次函数的图象经过原点，且顶点是，设，把代入，得，即可作答． （2）结合“左加右减、上加下减”进行作答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象的顶点是， ∴， 把代入， 解得， 解得， ∴； （2）解：由（1）得， 则二次函数图象向左1个单位，向上2个单位平移可以得到图象， 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江大庆·期末）已知二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)15 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． （1）设交点式，然后把C点坐标代入求出a，从而得到抛物线解析式； （2）直接根据三角形的面积公式求解． 【详解】（1）解：由题意得，设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， 即； （2）解：∵， ∴， ∴的面积． 【变式2】（24-25九年级上·四川南充·期末）已知二次函数的图象与经过，，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)指出它的对称轴和最值． 【答案】(1) (2)对称轴为直线，最小值为 【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及待定系数法确定函数关系式、将一般式化为顶点式得顶点坐标等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由题意，设二次函数表达式为，再将代入求即可得到答案； （2）由（1）中求得表达式化为顶点式即可得到答案． 【详解】（1）解：二次函数图象经过点，， 设二次函数表达式为， 二次函数图象经过点， ， 解得， 二次函数表达式为； （2）解：由（1）可知二次函数表达式为， 该抛物线的对称轴为直线， ∵，抛物线开口向上， ∴函数有最小值为． 【变式2】（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）根据下列条件，分别确定抛物线对应的二次函数的表达式． (1)抛物线的顶点坐标是，且与x轴的一个交点坐标是； (2)抛物线过，两点，与轴的交点为． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是根据已知条件选择恰当的表达形式． （1）已知抛物线的顶点坐标，可设表达式为顶点式，然后代入点即可求解； （2）已知抛物线与的两交点坐标，可设表达式为交点式，然后代入点即可求解； 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为． 抛物线与轴的一个交点坐标是， ， 解得：， （或）； （2）解：设抛物线的表达式为， 将代入得， 解得：， ∴抛物线的表达式为． 【变式3】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图像经过点，． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数值的取值范围： （1）利用待定系数法求解即可； （2）把解析式化为顶点式，从而得到在对称轴右侧，y随x增大而增大，在对称轴左侧，y随x增大而减小，再求出当时，，当时，，则当时，． 【详解】（1）解：把，代入中得：， ∴， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大，在对称轴左侧，y随x增大而减小， 当时，，当时，， ∴当时，． 一、单选题 1．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）用配方法将二次函数化为的形式为（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查将二次函数的一般式转化为顶点式，利用配方法进行求解即可． 【详解】解：； 故选D． 2．（24-25九年级上·山西临汾·期末）已知二次函数的x，y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 15 … 则该二次函数图象的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，根据点和点关于直线对称，即可得出顶点坐标，由表可知当时，，即可得出答案 【详解】解：由表可知，点和点关于直线对称， ∴当时，， ∴二次函数图象的顶点坐标为， 故选：B 3．（24-25九年级上·福建漳州·期末）已知，，则二次函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象开口方程，与坐标轴的交点等知识是解题的关键． 根据二次函数中，的正负决定图象的开口，表示图象与轴有两个不同的交点，由此即可求解． 【详解】解：在二次函数中，， ∴图象开口向上， ∵ ∴图象与轴有两个不同的交点， ∴符合题意的只有A选项， 故选：A ． 4．（2025·浙江杭州·模拟预测）二次函数的最小值是（   ） A． B．1 C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的性质，根据抛物线解析式得出开口方向，即可求解． 【详解】解：∵，开口向上， ∴当时，y有最小值为， 故答案为：A． 5．（2025·河南周口·三模）二次函数 在范围内有最大值，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得 ，抛物线开口向上，对称轴为直线，进而分类讨论，根据题意列出方程，解方程，即可得到答案． 【详解】解： ∵ ，抛物线开口向上，对称轴为直线 ①当时，即时， 当时，最大值 则 解得：（舍去） ②当时， 当时，最大值为 解得：（舍去）或 故选：B． 二、填空题 6．（23-24九年级上·广东江门·期中）以顶点坐标，且过点的抛物线的解析式： 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的顶点式和待定系数法是解题关键． 设抛物线的解析式为，再将点代入求解即可得． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得， ∴该抛物线的解析式为． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，函数的图象的开口向 ． 【答案】下 【分析】本题主要考查二次函数的性质，对于二次函数，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下． 根据二次函数的二次项系数即可判断抛物线的开口方向． 【详解】解：∵， ∴开口向下， 故答案为：下． 8．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）抛物线的对称轴是 ． 【答案】 【分析】此题考查抛物线对称轴的计算公式，掌握公式是解题的关键． 利用对称轴的计算公式解答． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故答案为：直线． 9．（24-25九年级上·重庆荣昌·期中）若点在抛物线上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征； 把代入即可求出m的值． 【详解】解：把代入得， ∴， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·新疆巴音郭楞·期末）若点在抛物线上，则 ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，增减性，熟知二次函数的对称性是解题的关键． 先求得抛物线的对称轴，然后根据二次函数的增减性即可判断． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为，开口向上， ∵在抛物线上， ∴关于直线的对称点在抛物线上， ∴． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若二次函数的图象经过点，，则与的大小关系为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．分别把和代入解析式，计算出对应的函数值，然后比较大小． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）若二次函数的图象经过原点，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由题意可得，，计算即可得解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象经过原点， ∴，， 解得：， 故答案为：． 13．（2025·内蒙古·模拟预测）将抛物线向下平移3个单位长度后，经过点，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的平移，根据平移规律得到函数解析式，把点的坐标代入得到，再整体代入变形后代数式即可． 【详解】解：抛物线向下平移3个单位长度后得到 ， 把点代入得到，， 得到， ∴， 故答案为：5 三、解答题 14．（24-25九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数． (1)在平面直角坐标系xOy中画出这个二次函数的图象； (2)认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题： ①函数时，的取值范围是____________； ②方程的根是_______________； ③试写出此函数的一条性质； ④已知点，，都在此二次函数的图象上，则的大小关系是_________（用“＜”连接）． 【答案】(1)见解析； (2)①；②；③当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；④． 【分析】此题考查了二次函数的图象及性质和画二次函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用画函数图象的步骤即可求解； （）根据二次函数的图象及性质逐一解答即可． 【详解】（1）解：列表： 0 1 2 3 4 描点，连线，如图， ； （2）解：①根据图象可知，函数时，的取值范围是； ②方程即的根是； ③根据图象可知，此函数的一条性质为：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； ④根据图象可知，抛物线的对称轴为直线，开口向上，离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴． 15．（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知抛物线经过点，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)写出这条抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2)抛物线的对称轴为直线；抛物线的顶点坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将点，代入，求出，即可得到二次函数的解析式； （2）将二次函数配成顶点式，求出对称轴和顶点坐标． 【详解】（1）解：将点，代入， 得：， ， ； （2）解：， 这条抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$