第03讲 二次函数y=a（x-h）²与y=a（x-h）²+k的图像和性质（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

第03讲 二次函数y=a(x-h)²与y=a(x-h)²+k的图像和性质 知识点1：二次函数y=a(x-h)²的图像和性质 知识点2：二次函数y=a(x-h)²+k的图像和性质 【问题1】在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象. 先列表： 描点、连线，画出这两个函数的图象: 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 开口向上 y轴 （0,0） 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大。 开口向上 x=2 （2,0） 当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大。 根据所画图象，填写下表： 【问题2】在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象． 先列表： 描点、连线，画出这两个函数的图象: 根据所画图象，填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 开口向下 y轴 （0,0） 当x＜0时，y随x的增大而减大； 当x＞0时，y随x的增大而增小。 开口向下 x=－1 （－1,0） 当x＜－1时，y随x的增大而减大； 当x＞－1时，y随x的增大而增小。 开口向下 x=1 （1,0） 当x＜1时，y随x的增大而减大； 当x＞1时，y随x的增大而增小。 总结：由【问题1】【问题2】总结二次函数 y=a(x-h)2(a ≠ 0)的性质 y=a(x-h)2 a>0 a<0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，0） （h，0） 最值 当x= h时，y取最小值0 当x= h时，y取最大值0 对称轴 直线x=h 直线x=h 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。 注意： y=ax²（a≠0）与 y=a(x-h）²（a≠0）之间的关系 二次函数y=a(x-h)2的图象可以由y=ax2的图象平移得到： 当h > 0 时,向右平移h个单位长度得到.当h < 0 时,向左平移-h个单位长度得到. 左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变 【题型1二次函数y=a(x-h)²的性质】 【典例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）对于函数，下列说法不正确的是（   ） A．图象的开口向下 B．图象的对称轴是直线 C．最大值为0 D．图象与y轴不相交 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，直接按照性质进行判断即可 【详解】解：∵ ∴图象开口向下，A选项正确，不符合题意 由题意，该二次函数的顶点坐标为 ∴图象的对称轴是直线，最大值=0，B选项和C选项正确，不符合题意 ∵当时， ∴函数图象与y轴相交，交点坐标为，D选项不正确，符合题意 故选：D ． 【变式1】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（  ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标为 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握抛物线顶点式的性质． 根据抛物线的性质由得到图象开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为，对称轴为直线，时随增大而增大，当时，随的增大而减小，判定即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴抛物线开口向下，故A选项不符合题意； ∴对称轴为直线，故B选项符合题意； ∴顶点坐标为，故D选项不符合题意； ∴时随增大而增大，时随增大而减小．故C选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·吉林松原·期末）抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据的顶点坐标为，进行作答即可． 【详解】解：依题意，的顶点坐标是， 故答案为： 【变式3】（24-25九年级上·陕西商洛·期末）已知二次函数（a为常数），当时，y随x的增大而减小，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，能够将增减性与对称轴及开口方向联系起来是解题关键．根据二次函数的图象和性质即可得解． 【详解】二次函数开口向下，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小， 当时，y随x的增大而减小， ， 故答案为：． 【题型2：二次函数y=a(x-h)²的y值大小比较】 【典例2】（2025·广东肇庆·二模）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上， 则图象上的点离对称轴越远则的值越大， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，当时，函数图象的点到对称轴的距离越远，函数值越大，当时，函数图象的点到对称轴的距离越远，函数值越小． 先求得函数图象的开口方向和对称轴，再根据各点离对称轴的距离大小即可判断． 【详解】解：由得，该函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∵点，，都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知点均在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．分别计算自变量为、2对应的函数值，然后对各选项进行判断． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴． 故选：C． 【变式3】（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）若抛物线的解析式为 ，点，，都在该抛物线上， 则的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据，，三点与对称轴的距离大小关系求解． 【详解】解：由可知，抛物线的对称轴为直线，图象开口方向向上，离对称轴越远函数值越大， ， ， 故答案为：． 【题型3：二次函数y=a(x-h)²的图像】 【典例3】（25-26九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，利用性质直接判断图象即可 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，顶点坐标为，顶点坐标位于轴上 故选：D ． 【变式1】（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，结合图象判断即可得解． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，故C符合题意； 故选：C． 【变式2】（22-23九年级上·河南南阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的顶点坐标为，它的顶点坐标在x轴上，即可解答． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为，它的顶点坐标在x轴上 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是求得二次函数的顶点坐标． 【变式3】（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）已知二次函数，那么它的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， ∵， ∴开口向上，故B正确． 故选：B． 【问题1】画出函数y＝－(x+1)2－1的图象, 指出它的开口方向、顶点坐标、对称轴 先列表 再描点、连线. 由函数y＝－(x+1)2－1的图象，观察其特点是：开口方向向下；顶点坐标是(-1,-1)；对称轴是直线x=-1。 【问题2】画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点. 通过列表、描点、连线得到如下图像 图像特点是：开口方向向上； 对称轴是直线x=-1；顶点坐标是(-1,-2)。 由【问题1】【问题2】概括二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质是： y=a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，k） （h，k） 最值 当x=h时，y取最小值k 当x=h时，y取最大值k 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。 图象形状 抛物线形状 开口大小 a的绝对值越大，开口越小 【题型4：二次函数y=a(x-h)²+k的性质】 【典例4】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、对称轴为，故此选项说法错误，不符合题意； B、顶点坐标为，故此选项说法错误，不符合题意； C、函数的最大值是，故此选项说法正确，符合题意； D、当时，随的增大而减小，故此选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的顶点式形式，通过将给定的抛物线方程与顶点式对比，即可直接得出顶点坐标． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴顶点坐标为． 故选B． 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）对于二次函数的图象，下列叙述正确的是（   ） A．顶点坐标为 B．与轴有两个交点 C．函数有最大值2 D．当时，随增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质逐项判断即可． 【详解】解：A、二次函数的图象的顶点为，故本选项说法错误； B、令，则，该方程没有实数解 ， ∴二次函数的图象与x轴没有交点，故本选项说法错误； C、∵二次函数的图象开口向上，顶点为， ∴函数y有最小值，为，本选项说法错误； D、∵二次函数的图象开口向上，故对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y随x的增大而减小，故本选项说法正确． 故选：D 【题型5：二次函数y=a(x-h)²+k的y值大小比较】 【典例5】（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）已知点，，在抛物线上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是先得到抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质，比较函数值的大小即可． 【详解】解：由抛物线可知对称轴为直线，开口向上， ∴离对称轴越远函数值越大． ， ∴． 故选B． 【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·期末）若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意可把，，三点分别代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：由题意得： ，，， ∴； 故选A． 【变式2】（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：由二次函数，得它的对称轴为，开口向下， 则图象上的点离对称轴越远则的值越小， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 【变式3】（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越近，函数值越大， 点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为． ∵， ∴， 故选C． 【题型6：二次函数y=a(x-h)²+k的图像】 【典例7】（23-24九年级下·全国·课后作业）二次函数 的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，的顶点坐标为，，开口方向向下；，开口方向向上；据此即可作答． 【详解】解：二次函数的图象开口向下，对称轴是，顶点坐标为， 故选B． 【变式1】（2023·陕西宝鸡·三模）二次函数的图像如图所示，则点所在的象限是（　　）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据函数解析式得出顶点为，根据图像可得，即可得出，则所在的象限即可判定． 【详解】解：二次函数， 顶点为， 由函数图像可知，抛物线的顶点在第四象限， ， ， 在第三象限． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的性质，先分析信息，再进行判断是解题的关键． 【变式2】（22-23九年级上·山东临沂·阶段练习）二次函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别根据抛物线的开口方向、对称轴的位置及抛物线与y轴的交点位置逐一分析判断即可． 【详解】解：在中由可知抛物线的开口向上，故选项A错误； 其对称轴为直线，在y轴的左侧，故选项B错误； 二次函数，当时，，即该抛物线与y轴的交点坐标为（0，-2），在y轴负半轴上，故选项D错误； 该抛物线开口向上，对称轴为直线，与y轴的交点在y轴负半轴上，符合以上条件的只有选项C． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了对二次函数的图像和性质的应用，运用数形结合思想的分析问题是解题关键． 【变式3】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，关于抛物线，下列说法错误的是（  ） A．顶点坐标为 B．对称轴是直线 C．开口方向向上 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线， ∴时，随的增大而增大． 故A、B、C说法正确，D说法错误． 故选：D． 【题型7：二次函数y=a(x-h)²+k图像变换问题】 【典例7】（24-25八年级下·福建福州·期末）若将抛物线向左平移1个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数与几何变换问题，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据图象的平移规律，可得答案． 【详解】解：原抛物线为，其顶点为；向左平移1个单位后，顶点变为，平移后的函数解析式为：对应选项B； 选项A为向右平移的结果，C和D改变了常数项，属于上下平移，与题意不符． 故选：B． 【变式1】（2025·黑龙江绥化·模拟预测）将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为， 故选：C． 【变式2】（2025·贵州遵义·二模）将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规则是关键． 根据二次函数图象的平移规则“左加右减，上加下减”计算即可． 【详解】解：将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位， ∴平移后的解析为， 故选：A ． 【变式3】（2025·云南临沧·模拟预测）抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（　　） A．先向左平移个单位，再向上平移个单位 B．先向右平移个单位，再向上平移个单位 C．先向左平移个单位，再向下平移个单位 D．先向右平移个单位，再向下平移个单位 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数平移问题，解题的关键是掌握“左加右减，”，“上加下减”的方法，直接根据通过向左平移个单位，再向上平移个单位得到即可求解． 【详解】解：由题知，将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位可得抛物线， 所以只有选项符合题意． 故选：． 一、单选题 1．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）对于抛物线，下列判断不正确的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．当时，有最大值1 C．对称轴为直线 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 根据解析式，可判定抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，有最大值1，当时，随的增大而增大，解答即可． 【详解】解：∵中， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值1，当时，随的增大而增大， 故A，B，D正确，C错误， 故选：C． 2．（2025·安徽阜阳·二模）已知抛物线，当时，函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，首先把二次函数的解析式整理成顶点坐标式，从而可得抛物线开口向上，对称轴是，根据二次函数的性质可知当时，函数的最大值为. 【详解】解：整理：， 可得：， 抛物线开口向上，对称轴是， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， 当时，函数的最大值为. 故选：A． 3.（25-26九年级上·全国·课后作业）如果将抛物线向右平移1个单位长度，那么所得新抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意可得，平移后的新抛物线的解析式为： 故选：D ． 4．（23-24九年级上·广东惠州·期中）对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④时，随的增大而减小；⑤函数的最大值为3；其中正确结论的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由二次函数的图象与系数的关系即可判断结论①；由的图象与性质即可判断结论②、③、④；由二次函数的最值即可判断结论⑤． 【详解】解：对于抛物线， ， 抛物线开口向下， 故结论①正确； 对称轴为直线， 故结论②错误； 其顶点坐标为， 故结论③正确； 当时，随的增大而减小， 故结论④正确； 当时，函数取得最大值，最大值为3， 故结论⑤正确； 综上所述，正确的结论有：，共个， 故选：． 二、填空题 5．（24-25九年级上·河南漯河·阶段练习）已知二次函数，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式得到顶点坐标和函数的增减性，进而确定函数值的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，函数有最小值，在对称轴右侧y随x增大而增大，在对称轴左侧y随x增大而减小，且离对称轴越远，函数值越大， ∵，且当时，， ∴， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·山东聊城·期末）若二次函数的图象过，，，三点，则，，的大小关系是 （用“＜”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的对称性；确定抛物线的对称轴，利用对称性把点C变为关于对称轴对称的另一点，利用函数的增减性即可求解． 【详解】解：二次函数的图象的对称轴为直线， 而点C关于对称轴对称的另一点， ∵二次项系数为负，抛物线开口向下， ∴当时，函数值随自变量的增大而增大， ∵， ∴； 故答案为：． 7．（23-24九年级上·广东江门·期中）二次函数的顶点坐标是 ．对称轴是 【答案】 直线 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标为是解题的关键．根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴顶点坐标为，对称轴为直线． 故答案为：，直线． 8．（2025·江苏徐州·模拟预测）把二次函数先向右平移1个单位，再向下平移3个单位后解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的图象的平移，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 根据函数图象平移的规律解答即可． 【详解】解：二次函数先向右平移1个单位，再向下平移3个单位后解析式为：， 即． 故答案为：． 9．（2025·广东广州·一模）已知点在抛物线上，且，则 ．（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，依据题意，求出抛物线的对称轴，根据抛物线开口向上，故当时，y随x的增大而减小，进而判断得解． 【详解】解：由题意得抛物线的对称轴， 又∵， ∴抛物线开口向上． ∴当时y随x的增大而减小． ∴对于A、B当时，． 故答案为：． 10．（2025·广东广州·一模）定义运算：，例如，，则函数的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数对称轴，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求对称轴． 【详解】解： ， ， 即， 对称轴为直线， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）已知函数． (1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； (2)当取何值时，随的增大而增大？ (3)当取何值时，函数取得最值？求出这个最值． 【答案】(1)开口方向向上，对称轴，顶点坐标为； (2)当时，随的增大而增大； (3)当时，有最小值为． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （）依据题意，根据所给解析式可以得解； （）依据题意，根据二次函数的增减性可以判断得解； （）依据题意，由开口向上，函数有最小值，进而可以得解． 【详解】（1）解：由抛物线的解析式为， ∴开口方向向上，对称轴，顶点坐标为； （2）解：∵抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而增大； （3）解：∵抛物线开口向上， ∴当时，有最小值为． 12．（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）已知二次函数． (1)指出函数的开口方向是__________，对称轴是__________； (2)当x__________时，y随x增大而减小； (3)若点，是函数图象上的两点，则__________．（填“”“”或“”） 【答案】(1)抛物线开口向下，对称轴为直线 (2) (3) 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟记性质是解本题的关键； （1）利用确定出开口方向，结合可得对称轴； （2）由对称轴和开口方向得出增减性即可； （3）分别计算，再比较大小即可． 【详解】（1）解：∵二次函数，， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：∵对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小． （3） 解：∵点，是函数图象上的两点， ∴，， ∴． 13．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 【答案】(1) (2)抛物线的开口向下，顶点为． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质等知识点，利用待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键． （1）由对称轴可求得h的值，再把代入可求得a的值即可求得抛物线解析式； （2）直接根据抛物线的顶点式写出抛物线的开口方向和顶点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线过， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：∵抛物线为，， ∴抛物线的开口向下，顶点为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 二次函数y=a(x-h)²与y=a(x-h)²+k的图像和性质 知识点1：二次函数y=a(x-h)²的图像和性质 知识点2：二次函数y=a(x-h)²+k的图像和性质 【问题1】在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象. 先列表： 描点、连线，画出这两个函数的图象: 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 开口向上 y轴 （0,0） 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大。 开口向上 x=2 （2,0） 当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大。 根据所画图象，填写下表： 【问题2】在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象． 先列表： 描点、连线，画出这两个函数的图象: 根据所画图象，填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 开口向下 y轴 （0,0） 当x＜0时，y随x的增大而减大； 当x＞0时，y随x的增大而增小。 开口向下 x=－1 （－1,0） 当x＜－1时，y随x的增大而减大； 当x＞－1时，y随x的增大而增小。 开口向下 x=1 （1,0） 当x＜1时，y随x的增大而减大； 当x＞1时，y随x的增大而增小。 总结：由【问题1】【问题2】总结二次函数 y=a(x-h)2(a ≠ 0)的性质 y=a(x-h)2 a>0 a<0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，0） （h，0） 最值 当x= h时，y取最小值0 当x= h时，y取最大值0 对称轴 直线x=h 直线x=h 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。 注意： y=ax²（a≠0）与 y=a(x-h）²（a≠0）之间的关系 二次函数y=a(x-h)2的图象可以由y=ax2的图象平移得到： 当h > 0 时,向右平移h个单位长度得到.当h < 0 时,向左平移-h个单位长度得到. 左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变 【题型1二次函数y=a(x-h)²的性质】 【典例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）对于函数，下列说法不正确的是（   ） A．图象的开口向下 B．图象的对称轴是直线 C．最大值为0 D．图象与y轴不相交 【变式1】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（  ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标为 【变式2】（24-25九年级上·吉林松原·期末）抛物线的顶点坐标是 ． 【变式3】（24-25九年级上·陕西商洛·期末）已知二次函数（a为常数），当时，y随x的增大而减小，则a的取值范围是 ． 【题型2：二次函数y=a(x-h)²的y值大小比较】 【典例2】（2025·广东肇庆·二模）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 【变式1】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知点均在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）若抛物线的解析式为 ，点，，都在该抛物线上， 则的大小关系是 ．（用“”连接） 【题型3：二次函数y=a(x-h)²的图像】 【典例3】（25-26九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23九年级上·河南南阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【变式3】（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）已知二次函数，那么它的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【问题1】画出函数y＝－(x+1)2－1的图象, 指出它的开口方向、顶点坐标、对称轴 先列表 再描点、连线. 由函数y＝－(x+1)2－1的图象，观察其特点是：开口方向向下；顶点坐标是(-1,-1)；对称轴是直线x=-1。 【问题2】画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点. 通过列表、描点、连线得到如下图像 图像特点是：开口方向向上； 对称轴是直线x=-1；顶点坐标是(-1,-2)。 由【问题1】【问题2】概括二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质是： y=a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，k） （h，k） 最值 当x=h时，y取最小值k 当x=h时，y取最大值k 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。 图象形状 抛物线形状 开口大小 a的绝对值越大，开口越小 【题型4：二次函数y=a(x-h)²+k的性质】 【典例4】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是 D．当时，随的增大而减小 【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）对于二次函数的图象，下列叙述正确的是（   ） A．顶点坐标为 B．与轴有两个交点 C．函数有最大值2 D．当时，随增大而减小 【题型5：二次函数y=a(x-h)²+k的y值大小比较】 【典例5】（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）已知点，，在抛物线上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·期末）若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【题型6：二次函数y=a(x-h)²+k的图像】 【典例7】（23-24九年级下·全国·课后作业）二次函数 的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2023·陕西宝鸡·三模）二次函数的图像如图所示，则点所在的象限是（　　）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（22-23九年级上·山东临沂·阶段练习）二次函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，关于抛物线，下列说法错误的是（  ） A．顶点坐标为 B．对称轴是直线 C．开口方向向上 D．当时，随的增大而减小 【题型7：二次函数y=a(x-h)²+k图像变换问题】 【典例7】（24-25八年级下·福建福州·期末）若将抛物线向左平移1个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·黑龙江绥化·模拟预测）将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A．B．C． D． 【变式2】（2025·贵州遵义·二模）将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为（    ） A．B． C． D． 【变式3】（2025·云南临沧·模拟预测）抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（　　） A．先向左平移个单位，再向上平移个单位 B．先向右平移个单位，再向上平移个单位 C．先向左平移个单位，再向下平移个单位 D．先向右平移个单位，再向下平移个单位 一、单选题 1．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）对于抛物线，下列判断不正确的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．当时，有最大值1 C．对称轴为直线 D．当时，随的增大而增大 2．（2025·安徽阜阳·二模）已知抛物线，当时，函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26九年级上·全国·课后作业）如果将抛物线向右平移1个单位长度，那么所得新抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·广东惠州·期中）对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④时，随的增大而减小；⑤函数的最大值为3；其中正确结论的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 5．（24-25九年级上·河南漯河·阶段练习）已知二次函数，当时，的取值范围是 ． 6．（24-25九年级上·山东聊城·期末）若二次函数的图象过，，，三点，则，，的大小关系是 （用“＜”连接）． 7．（23-24九年级上·广东江门·期中）二次函数的顶点坐标是 ．对称轴是 8．（2025·江苏徐州·模拟预测）把二次函数先向右平移1个单位，再向下平移3个单位后解析式为 ． 9．（2025·广东广州·一模）已知点在抛物线上，且，则 ．（填“”或“”或“”） 10．（2025·广东广州·一模）定义运算：，例如，，则函数的对称轴为直线 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）已知函数． (1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； (2)当取何值时，随的增大而增大？ (3)当取何值时，函数取得最值？求出这个最值． 12．（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）已知二次函数． (1)指出函数的开口方向是__________，对称轴是__________； (2)当x__________时，y随x增大而减小； (3)若点，是函数图象上的两点，则__________．（填“”“”或“”） 13．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$