第02讲 二次函数y=ax²与y=ax²+c的图像和性质（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

第02讲 二次函数y=ax²与y=ax²+c的图像和性质 知识点1：二次函数y=ax²的图像和性质 知识点2：二次函数y=ax²+c的图像和性质 1. y=ax²的图像画法： （1） 应先列表，（2）再描点，（3）最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。 【问题1】在平面直角坐标系中画出y＝x2的图象并简单描述其性质。 【解答】解：（1）列表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 4 1 0 1 4 … （2）描点、连线： ． 二次函数y＝x2 的性质：（1）y＝-x2 图像是一条抛物线（2）关于y轴对称（3）开口向上（4）顶点（0，0）（5）当x＜0时，y随x的增大而减少，当x＞0时，y随x的增大而增大；（6）有最低点. 【问题2】在平面直角坐标系中画出y＝﹣x2函数的图象． 【解答】解：列表得： ﹣2 ﹣1 0 1 2 y＝﹣x2 ﹣4 ﹣1 0 ﹣1 ﹣4 描点、连线可得图象为： ． 二次函数y＝-x2 的性质：（1）y＝-x2图像是一条抛物线（2）关于y轴对称（3）开口向下（4）顶点（0，0）（5）当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减少；（6）有最高点. 2. y=ax²的图像的性质 小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线 y = ax²来说， 越大，抛物线的开口越小 【题型1：二次函数y=ax²的性质】 【典例1】（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）已知抛物线，则以下说法中，错误的是（  ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．当时，y有最大值为0 【变式1】（24-25九年级上·湖北恩施·期末）下列关于抛物线的说法正确的是（   ） A．图象开口向下 B．对称轴是轴 C．有最高点 D．随的增大而增大 【变式2】（24-25九年级下·浙江温州·期末）已知二次函数，则该函数图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·山东淄博·期末）抛物线的顶点坐标为 ． 【题型2：二次函数y=ax²的图像】 【典例2】（24-25九年级上·河南周口·期末）已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，杜老师在黑板上画出了二次函数的图象，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（九年级·安徽滁州·阶段练习）如图，各抛物线所对应的函数解析式为：①；②；③；④，比较的大小，用“>”连接为（   ）． A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·贵州黔南·期中）二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【题型3：二次函数y=ax²的中的y值大小比较】 【典例3】（24-25九年级上·河南郑州·期中）点都在二次函数的图象上，则的大小（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·河北保定·期末）已知，且点，，都在函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·山东淄博·期末）若点，，都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·贵州·阶段练习）已知抛物线（）过点，两点，则下列关系式一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型4：二次函数y=ax²图像及性质的实际应用】 【典例4】（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，菱形的顶点O，A，C在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且．则菱形的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·广东清远·模拟预测）如图，正方形与抛物线相交于点，则正方形面积为（    ） A．1 B． C． D．3 【变式2】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，A，B为抛物线上两点，且线段轴．若，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，已知抛物线，正方形的顶点在抛物线上，顶点在轴上，求点的坐标． 【问题1】画出函数y＝x2﹣1的图象． 【解答】解：∵次函数y＝x2﹣1的顶点坐标为：（0，﹣1），当y＝0时x＝1或x＝﹣1， ∴此图象与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣1，0）， ∴其图象如图所示： 二次函数y＝x2﹣1的性质：（1）y=x2﹣1 图像是一条抛物线（2）关于y轴对称（3）开口向上（4）顶点（0，-1）（5）当x＜0时，y随x的增大而减少，当x＞0时，y随x的增大而增大；（6）有最低点. 【问题2】画出函数y＝﹣x2+1的图象． 【解答】解：列表如下： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣8 ﹣3 0 1 0 ﹣3 ﹣8 … 描点、连线如图． 二次函数y＝-x2+1的性质：（1）y=-x2+1 图像是一条抛物线（2）关于y轴对称（3）开口向下（4）顶点（0，1）（5）当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减少；（6）有最高点. 总结： 1.y=ax²+c的图像的性质 【题型5：二次函数y=ax²+c的性质】 【典例5】（24-25九年级上·吉林·期中）对于抛物线 ，下列说法不正确的是（    ） A．图象开口向下 B．最小值是1 C．顶点坐标为 D．对称轴为y轴 【变式1】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·广东湛江·阶段练习）下列关于抛物线的说法，正确的是（   ） A．抛物线开口向上 B．向右平移3个单位得到 C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线的顶点坐标为 【变式3】（2025·广东潮州·模拟预测）关于二次函数，下列说法错误的是（         ） A．y的最大值为1 B．图象与y轴的交点坐标为 C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．图象的对称轴是y轴 【题型6：二次函数y=ax²+c的图像】 【典例6】（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数（，）的图象可能是下图中的（   ）． A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（   ） A．D点 B．C点 C．B点 D．A点 【变式6-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的大致图象如图所示，则的大致图象为（   ） A．B．C．D． 【题型7：二次函数y=ax²+c中y值大小比较】 【典例7】（2025·广东珠海·三模）若点都在二次函数图象上，则（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025·河南驻马店·二模）点 是抛物线 上的点，且 ，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】（24-25九年级上·河南郑州·期末）二次函数的图象经过点，，则 ．（填“>”、“<”或“=”） 【变式3】（24-25九年级上·广东阳江·期末）点，都在二次函数的图象上，则 ．（填“”、“”或“”）． 一、单选题 1．（2025八年级下·全国·专题练习）下列函数中，y随x增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广西梧州·期末）二次函数的图象是（   ） A．直线 B．双曲线 C．抛物线 D．不确定 3．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．轴 D．轴 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）抛物线开口方向是（   ） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 6．（24-25九年级上·北京·期中）抛物线不具有的性质是（   ） A．开口向上 B．与轴不相交 C．对称轴是轴 D．最低点是坐标原点 7．（24-25九年级上·山东临沂·期末）若点，，都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，二次函数的图象是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·北京通州·期末）关于函数，，，的图象的共同点，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．都有最低点 C．y随x增大而增大 D．对称轴是y轴 10．（23-24九年级上·河北·阶段练习）当时，函数的最大值与最小值的和为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25九年级上·广西南宁·期中）拋物线的对称轴是 轴． 12．（24-25九年级上·山东淄博·期末）抛物线的顶点坐标为 ． 13．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）若抛物线与形状相同，开口方向相反，则抛物线的解析式为 ． 14．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知二次函数的图象经过点，则 ． 15．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）对于二次函数，当时，的取值范围是 ． 16．（24-25九年级上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，已知点和点，若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围是 ． 三、解答题 17．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）已知抛物线经过点，． (1)求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： (2)求m的值； 18．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）已知抛物线经过点． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)判断点是否在此抛物线上． 19．（24-25九年级上·河南三门峡·阶段练习）如图，已知点在抛物线上，过点A且平行于x轴的直线交抛物线于点B． (1)求a的值和点B的坐标； (2)若点P是抛物线上一点，当以点A，B，P为顶点构成的的面积为2时，求点P的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 二次函数y=ax²与y=ax²+c的图像和性质 知识点1：二次函数y=ax²的图像和性质 知识点2：二次函数y=ax²+c的图像和性质 1. y=ax²的图像画法： （1） 应先列表，（2）再描点，（3）最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。 【问题1】在平面直角坐标系中画出y＝x2的图象并简单描述其性质。 【解答】解：（1）列表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 4 1 0 1 4 … （2）描点、连线： ． 二次函数y＝x2 的性质：（1）y＝-x2 图像是一条抛物线（2）关于y轴对称（3）开口向上（4）顶点（0，0）（5）当x＜0时，y随x的增大而减少，当x＞0时，y随x的增大而增大；（6）有最低点. 【问题2】在平面直角坐标系中画出y＝﹣x2函数的图象． 【解答】解：列表得： ﹣2 ﹣1 0 1 2 y＝﹣x2 ﹣4 ﹣1 0 ﹣1 ﹣4 描点、连线可得图象为： ． 二次函数y＝-x2 的性质：（1）y＝-x2图像是一条抛物线（2）关于y轴对称（3）开口向下（4）顶点（0，0）（5）当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减少；（6）有最高点. 2. y=ax²的图像的性质 小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线 y = ax²来说， 越大，抛物线的开口越小 【题型1：二次函数y=ax²的性质】 【典例1】（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）已知抛物线，则以下说法中，错误的是（  ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．当时，y有最大值为0 【答案】D 【分析】本题考查了基本二次函数的性质，根据抛物线的开口方向，顶点坐标，结合图象进行判断． 【详解】解：由抛物线可知， A.，抛物线开口向上，故选项A正确，不符合题意； B.顶点坐标为，故选项B正确，不符合题意； C.对称轴为直线，故选项C正确，不符合题意； D.当时，y有最小值0，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·湖北恩施·期末）下列关于抛物线的说法正确的是（   ） A．图象开口向下 B．对称轴是轴 C．有最高点 D．随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，解题的关键是：熟练掌握二次函数的图象及性质． 由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、最值及增减性，则可判断四个选项，可求得答案． 【详解】解：抛物线的开口向上，有最低点，对称轴为y轴， 当时，函数值随x的增大而减小， ∴四个选项中只有B选项的说法正确， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级下·浙江温州·期末）已知二次函数，则该函数图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象上点的特征，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．把，，分别代入计算即可判断． 【详解】解：当时，， 二次函数的图象经过点不经过点， 当时，， 二次函数的图象不经过点， 故选：C． 【变式3】（24-25九年级上·山东淄博·期末）抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数顶点坐标的计算，掌握顶点坐标的计算方法是解题的关键． 根据二次函数的性质求顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故答案为： ． 【题型2：二次函数y=ax²的图像】 【典例2】（24-25九年级上·河南周口·期末）已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的开口大小的规律和开口方向，的绝对值越大，开口越小，根据此规律判断即可． 【详解】解：∵由图像可知，开口向上，并且开口小于的开口， ∴ ∵由图像可知，开口向下，并且开口小于的开口， ∴ 又 ∴ ∴， 故选项A，B，D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意； 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，杜老师在黑板上画出了二次函数的图象，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟悉抛物线的开口方向和的关系是解题的关键．由题意得，，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】（九年级·安徽滁州·阶段练习）如图，各抛物线所对应的函数解析式为：①；②；③；④，比较的大小，用“>”连接为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据中决定开口方向和开口大小，越大，开口越小，进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：， ∴； 故选A． 【变式3】（24-25九年级上·贵州黔南·期中）二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象．熟练正确二次函数的图象是解题的关键． 根据图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴图象为， 故选：D． 【题型3：二次函数y=ax²的中的y值大小比较】 【典例3】（24-25九年级上·河南郑州·期中）点都在二次函数的图象上，则的大小（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性判断即可． 【详解】解：∵二次函数为 ∴对称轴为轴，抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴水平距离越远，函数值越小， ∵ ∴ 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·河北保定·期末）已知，且点，，都在函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的开口方向和对称轴，可得当时，随的增大而减小，由得到，最后结合函数图象上点的特征即可解答． 【详解】解：二次函数中二次项系数， 函数的图象开口向下， 函数的图象对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， ， ， 又点，，都在函数的图象上， ． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·山东淄博·期末）若点，，都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性．先求得抛物线开口方向和对称轴．再根据二次函数的增减性即可判断． 【详解】解：∵二次函数， ∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为y轴． ∴当时，y随x的增大而增大，关于y轴的对称点是， ∵， ∴， 故选：A． 【变式3】（24-25九年级上·贵州·阶段练习）已知抛物线（）过点，两点，则下列关系式一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键． 根据抛物线的对称性得关于y轴对称点的坐标为，然后依据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴关于y轴对称点的坐标为， ∵抛物线图象开口向下， ∴当时，y的值随着x的值增大而增大， ∵， ∴， 故选：C． 【题型4：二次函数y=ax²图像及性质的实际应用】 【典例4】（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，菱形的顶点O，A，C在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且．则菱形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，二次函数的图象与性质，根据菱形的性质求得点A的横坐标是解题的关键．连接交于点D，则由菱形性质知，从而得；由知，点纵坐标为1，由此可求得A点横坐标，即得的长，从而得长，由菱形面积公式即可求得其面积． 【详解】解：如图，连接交于点D； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴； ∵， ∴点纵坐标为1； ∵点A在抛物线上， ∴， 解得：， 即A点横坐标为， 即的长， ∴， ∴菱形面积为． 故选：C． 【变式1】（2024·广东清远·模拟预测）如图，正方形与抛物线相交于点，则正方形面积为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，求出B点坐标是解题的关键．根据点在抛物线上求出m的值，求出的长，再根据正方形的性质求出正方形的面积． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴正方形面积为∶ ． 故选C． 【变式2】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，A，B为抛物线上两点，且线段轴．若，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据对称性求出点横坐标为，代入解析式进行求解即可． 【详解】解：∵关于y轴对称，线段轴， ∴线段关于y轴对称， ∵且点A在第二象限， ∴点A的横坐标为， 把代入，得， ∴点A的坐标为． 故选D． 【变式3】（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，已知抛物线，正方形的顶点在抛物线上，顶点在轴上，求点的坐标． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，表示出正方形各个点的坐标是解题的关键．设正方形的边长为，则根据抛物线对称性可得，代入抛物线的解析式即可求得，得到； 【详解】解：设正方形的边长为， 则，， ∵点在抛物线上， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 【问题1】画出函数y＝x2﹣1的图象． 【解答】解：∵次函数y＝x2﹣1的顶点坐标为：（0，﹣1），当y＝0时x＝1或x＝﹣1， ∴此图象与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣1，0）， ∴其图象如图所示： 二次函数y＝x2﹣1的性质：（1）y=x2﹣1 图像是一条抛物线（2）关于y轴对称（3）开口向上（4）顶点（0，-1）（5）当x＜0时，y随x的增大而减少，当x＞0时，y随x的增大而增大；（6）有最低点. 【问题2】画出函数y＝﹣x2+1的图象． 【解答】解：列表如下： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣8 ﹣3 0 1 0 ﹣3 ﹣8 … 描点、连线如图． 二次函数y＝-x2+1的性质：（1）y=-x2+1 图像是一条抛物线（2）关于y轴对称（3）开口向下（4）顶点（0，1）（5）当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减少；（6）有最高点. 总结： 1.y=ax²+c的图像的性质 【题型5：二次函数y=ax²+c的性质】 【典例5】（24-25九年级上·吉林·期中）对于抛物线 ，下列说法不正确的是（    ） A．图象开口向下 B．最小值是1 C．顶点坐标为 D．对称轴为y轴 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的相关性质逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴该抛物线开口向下，故A正确，不符合题意； ∵， ∴对称轴为y轴，顶点坐标为，故C、D正确，不符合题意； ∴当时，函数的最大值为，故B不正确，符合题意； 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数，其顶点坐标为，据此可得答案．熟练掌握二次函数解析式特征是关键． 【详解】解：抛物线顶点坐标是， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级下·广东湛江·阶段练习）下列关于抛物线的说法，正确的是（   ） A．抛物线开口向上 B．向右平移3个单位得到 C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线的顶点坐标为 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象及性质及二次函数的平移．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵抛物线， ，即开口向下，故A选项错误； ∵将抛物线向右平移3个单位得到，故B选项错误； ∵， ∴对称轴是直线，故C选项正确； 线的顶点坐标为，故D选项错误． 故选：C． 【变式3】（2025·广东潮州·模拟预测）关于二次函数，下列说法错误的是（         ） A．y的最大值为1 B．图象与y轴的交点坐标为 C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．图象的对称轴是y轴 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，由表达式得到二次函数开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，进而得到当时，y随x增大而减小，由此即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，最小值为， ∴A选项错误，符合题意； 当时，，则图象与y轴的交点坐标为，故B选项正确； ∴当时，y随x增大而减小，故C选项正确； ∵对称轴为轴，故D选项正确． 故选：A． 【题型6：二次函数y=ax²+c的图像】 【典例6】（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数（，）的图象可能是下图中的（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数（，）的顶点坐标为，即可判断C、D它的开口方向向下，即可判断A、B，即可解答． 本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的开口方向． 【详解】解：二次函数（，）的顶点坐标为，选项C、D错误 对称轴为y轴，它的开口方向向下，选项B错误． 故选：A． 【变式6-1】（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（   ） A．D点 B．C点 C．B点 D．A点 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据解析式可得对称轴为轴，进而结合选项，即可求解． 【详解】解：∵ ∴对称轴为直线，即轴， ∴坐标原点可能是点， 故选：B． 【变式6-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的大致图象如图所示，则的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由原图可知，抛物线图象开口向上， ∴ 抛物线图象交于轴负半轴， ∴ ∴的图象开口向下，交于轴的正半轴 故答案选A 【题型7：二次函数y=ax²+c中y值大小比较】 【典例7】（2025·广东珠海·三模）若点都在二次函数图象上，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数解析式可得在轴右侧，随的增大而增大，即可得到答案． 【详解】解：二次函数， 二次函数图象开口向上，对称轴为轴， 在轴右侧，随的增大而增大， ， ， 故选：A． 【变式1】（2025·河南驻马店·二模）点 是抛物线 上的点，且 ，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查的图象和性质，先判断出抛物线开口方向及对称轴，再根据点到对称轴的距离判断函数值的大小． 【详解】解： 中 抛物线开口向下，对称轴为y轴，抛物线上离对称轴越远的点，函数值越小， ， ， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·河南郑州·期末）二次函数的图象经过点，，则 ．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题考查了二次函数的性质，把把，分别代入，进行计算，得，即可作答． 【详解】解：依题意，把，分别代入， 得， ∵， ∴， 故答案为：>． 【变式3】（24-25九年级上·广东阳江·期末）点，都在二次函数的图象上，则 ．（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数增减性是关键．根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向上，对称轴是y轴，当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为： 一、单选题 1．（2025八年级下·全国·专题练习）下列函数中，y随x增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数以及二次函数的性质，熟知相关函数的性质是解答的关键． 根据一次函数以及二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； B、∵，对称轴为y轴， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； C、，y随x的增大而减小，故该选项符合题意； D、∵， ∴y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·广西梧州·期末）二次函数的图象是（   ） A．直线 B．双曲线 C．抛物线 D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象特征，理解特征是解题的关键． 根据二次函数的图象特征进行判断即可求解． 【详解】解：由题意得，二次函数的图象是抛物线． 故选：C． 3．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．轴 D．轴 【答案】D 【分析】本题考查抛物线的的性质，根据抛物线的对称轴为即可得出答案 【详解】解：抛物线的对称轴是，即为轴， 故选：D 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数解析式特征是关键． 对于二次函数，其顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：D． 5．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）抛物线开口方向是（   ） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质． 利用二次函数的性质判定即可． 【详解】解：∵抛物线 ∴ ∴抛物线的图象开口向下， 故选：B． 6．（24-25九年级上·北京·期中）抛物线不具有的性质是（   ） A．开口向上 B．与轴不相交 C．对称轴是轴 D．最低点是坐标原点 【答案】B 【分析】本题考査二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意．根据题目中的抛物线的解析式可以判断各个选项中的说法是否正确即可． 【详解】解：∵， ∴开口向上， ∴顶点坐标为，对称轴是y轴，有最低点为原点，与x轴交于点， 故选B． 7．（24-25九年级上·山东临沂·期末）若点，，都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的对称性质和增减性，是解题的关键． 根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴，图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点为， ∴当时，y随x增大而增大， ∵，，都在二次函数的图象上，且, ∴． 故选：B． 8．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，二次函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，当时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值．其顶点坐标是，对称轴为y轴． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为． 故选A． 9．（24-25九年级上·北京通州·期末）关于函数，，，的图象的共同点，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．都有最低点 C．y随x增大而增大 D．对称轴是y轴 【答案】D 【分析】本题考查函数图象性质，熟练掌握函数的图象性质是解题的关键． 根据值得函数图象的开口方向，从而判定A；根据值得函数图象的开口方向，即可得出函数有最高点或最低点，从而判定B；根据函数的增减性判定C；根据函数的对称轴判定D． 【详解】解：A．函数与的开口向下，函数与开口向上，故此选项不符合题意； B．函数与的开口向下，有最高点；函数与开口向上，有最低点，故此选项不符合题意； C．函数与，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小；函数与，当时，随增大而减小，当时，随增大而增大；故此选项不符合题意； D．函数的对称轴都是轴，故此选项符合题意； 故选：D． 10．（23-24九年级上·河北·阶段练习）当时，函数的最大值与最小值的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据函数解析式得出抛物线的对称轴，抛物线开口向下，对称轴为直线，即轴，函数有最大值，距离对称轴越远，函数值越小，由此可解，能够根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向、对称轴是解题的关键． 【详解】解：由二次函数可知，对称轴为直线，即轴，， ∴当时，二次函数有最大值， 由，根据距离对称轴越远，函数值越小， ∴当时，有最小值， ∴当时，函数的取值范围为， ∴最大值与最小值的和为， 故选：． 二、填空题 11．（24-25九年级上·广西南宁·期中）拋物线的对称轴是 轴． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，掌握的图象及性质是解题的关键．根据二次函数的图象及性质，即可求得． 【详解】解：∵抛物线顶点为， ∴该抛物线的对称轴是直线，即轴， 故答案为： 12．（24-25九年级上·山东淄博·期末）抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数顶点坐标的计算，掌握顶点坐标的计算方法是解题的关键． 根据二次函数的性质求顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故答案为： ． 13．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）若抛物线与形状相同，开口方向相反，则抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，掌握二次函数中形状相同，开口方向的性质是解决本题的关键．由形状和开口方向即可得出的值 【详解】抛物线与形状相同，开口方向相反 则， ∴的解析式为 故答案为： 14．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知二次函数的图象经过点，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，把点直接代入函数解析式求出b的值即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴ 故答案为：4． 15．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）对于二次函数，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数，得出开口方向向下，对称轴是轴，结合，得出的取值范围是，即可作答． 【详解】解：∵二次函数， ∴开口方向向下，对称轴为直线，即对称轴是轴， 此时在时，有最大值，且， ∵，且， ∴在时，有最小值，且， ∴的取值范围是， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，已知点和点，若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．分别把A、B点的坐标代入得a的值，根据二次函数的性质得到a的取值范围． 【详解】解：把代入得； 把代入得， ∴a的取值范围为． 故答案为：． 三、解答题 17．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）已知抛物线经过点，． (1)求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： (2)求m的值； 【答案】(1)函数图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为 (2)8 【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数的图象性质，找出抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出m； （1）先把代入，求出函数解析式，再根据函数的解析式，，可得出抛物线开口向上，并找出抛物线的对称轴及顶点坐标． （2）把代入（1）中所求的解析式计算即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得 解得： ∴ ∵ ∴函数图象的开口向上、对称轴为y轴，顶点坐标为． （2）解：把代入，得 ． 18．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）已知抛物线经过点． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【答案】(1) (2)不在 【分析】本题考查二次函数的性质： （1）把代入线求出a的值即可； （2）在中，令，求出对应的y值，即可判断． 【详解】（1）解：把代入线得：， 解得， ； （2）解：在中，令，得， 点不在此抛物线上． 19．（24-25九年级上·河南三门峡·阶段练习）如图，已知点在抛物线上，过点A且平行于x轴的直线交抛物线于点B． (1)求a的值和点B的坐标； (2)若点P是抛物线上一点，当以点A，B，P为顶点构成的的面积为2时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数的对称性等等： （1）先把点A坐标代入解析式中求出a的值，即求出抛物线解析式，再根据对称性即可求出点B的坐标； （2）先求出，再根据题意可得，据此求出点P的纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为y轴， ∵轴，且点B在抛物线上， ∴点A和点B关于抛物线对称轴对称，即关于y轴对称， ∴ （2）解：∵，， ∴， ∵的面积为2，轴， ∴， ∴， ∴或， 在中，当时，，当时，， ∴点P的坐标为或或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$