第01讲 二次函数（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

第01讲 二次函数 知识点1：二次函数的概念 知识点2：二次函数的值 1. 二次函数的概念: 一般地，形如y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数， 叫做二次函数. 其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项． 注意：二次函数的判断方法： ①函数关系式是整式； ②化简后自变量的最高次数是2； ③二次项系数不为0． 2. 二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项 注意：二次函数除了一般式y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）外， 还有y=ax²，y=ax²+bx，y=ax²+c。 【题型1：列二次函数关系式】 【典例1】（2025九年级上·全国·专题练习）在中，已知边BC的长为，BC边上的高比它的2倍多1，则三角形的面积y与x之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式。根据已知得出三角形的高，再利用三角形的面积公式列式即可． 【详解】解：∵BC边长为x(x>0)，BC边上的高比它的2倍多1， ∴这条边上的高为：2x+1， 根据题意得出：. 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据题意可得今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为，即可求解． 【详解】解：根据题意，今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为， ∴该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）若正方形的边长为6，边长增加，面积增加，则关于的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据正方形的面积公式正确列出函数解析式是解题的关键． 根据x和y表示的含义，利用正方形的面积公式列出函数关系式即可． 【详解】解：∵原正方形的边长是6，面积是， ∴增加后的边长是，面积是， ∴增加的面积， 故选：C． 【变式3】（24-25九年级下·全国·假期作业）已知正方体的棱长为，它的表面积为，体积为 (1)分别写出与、与之间的函数表达式； (2)这两个函数中，哪一个是关于的二次函数？ 【答案】(1)， (2)是关于的二次函数 【分析】此题主要考查了正方体的表面积和体积公式以及二次函数的定义，正确记忆二次函数的定义是解题关键． （1）直接利用正方体的表面积和体积公式分别求出即可； （2）利用二次函数的定义得出答案． 【详解】（1）解：正方体的棱长为，它的表面积为，体积为 ，； （2）解：依题意，是关于的二次函数． 【题型2：二次函数的判断】 【典例2】（24-25九年级上·重庆永川·期中）下列函数表达式中，是二次函数的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键． 根据二次函数的定义判断，形如的函数为二次函数即可判定． 【详解】解：A．是分式函数，分母含，属于反比例函数，不符合二次函数定义，故该选项不符合题意； B．是形如一次函数，次数为1，不是二次函数，故该选项不符合题意； C．符合的形式，是二次函数，故该选项符合题意； D．化简后为，属于一次函数，次数为1，不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·河南周口·期末）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数定义，根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数，逐项进行分析． 【详解】解：A、是一次函数，故此选项不符合题意； B、，含有分式，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项正确； D、是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：符合二次函数的定义，它是二次函数； 不符合二次函数的定义，它们不是二次函数， 故选：A. 【变式3】（24-25九年级下·福建泉州·开学考试）下列关于的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义“形如（为常数，）的函数叫做二次函数”进行判断即可． 【详解】解：A、是二次函数，故本选项符合题意； B、当时，是二次函数，故本选项不符合题意； C、右边是分式，不是二次函数，故本选项不符合题意； D、是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 【题型3：利用二次函数的概念含参数取值范围】 【典例3】（24-25九年级上·广西河池·期中）若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般式的表示，掌握二次函数的定义是关键． 二次函数的一般式为，由此判定即可． 【详解】解：关于的函数是二次函数， ∴， 解得，， 故选：D ． 【变式1】（23-24九年级上·广西河池·期中）若函数为二次函数，则实数 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟知二次函数的一般式为（，为常数）是解本题的关键． 根据二次函数的定义即可得出答案． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴． 故答案为：2． 【变式2】（24-25九年级上·广东江门·期中）当 时，函数是二次函数． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数． 【详解】解：由题意可知：， 解得 又∵，即， 综上所述： 故答案为． 【题型4：二次函数的一般形式】 【典例4】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数． (1)将该函数表达式化为二次函数的一般形式； (2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】(1) (2)二次项系数是，一次项系数是，常数项是4． 【分析】本题考查了二次函数的一般形式和二次项、一次项系数及常数项的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．把方程化为二次函数的一般形式，根据定义即可得到答案． 【详解】（1）解： 该二次函数的一般形式是； （2）解：由（1）可得，该函数的二次项系数是，一次项系数是，常数项是4． 【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（   ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的一般式，根据二次函数的一般式（，为常数）即可求解，掌握二次函数的一般式是解题的关键． 【详解】解：二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为， 故选：． 【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数中，二次项系数是 ，一次项系数是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了二次函数的定义，对于二次函数（a、b，c是常数且），其中a，b，c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项． 根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴该函数解析式的二次项系数是3，一次项系数是，常数项是5． 故答案是：3，． 【变式3】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）将二次函数化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】，二次项系数是－2、一次项系数是－7、常数项是4 【分析】此题考查了二次函数的一般形式，把化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：； 其中二次项系数是、一次项系数是、常数项是4． 根据题意把x值代入函数解析式，求出y值即可。 【题型5：二次函数的函数值】 【典例5】（24-25九年级上·山西吕梁·期中）当时，的函数值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数值的求解，是基础题，准确计算是解题的关键．把代入函数解析式进行计算即可得解． 【详解】解：当时，的函数值为， 故选：B． 【变式1】（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数，当时，函数值等于，则下列关于的关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入计算即可． 【详解】解：由题意得： 把代入得： 等号两边同除以得： 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数，熟练掌握代入法转化为关于的关系式是解决本题的关键． 【变式2】（22-23九年级上·广东广州·期末）已知函数，时，记函数值为()，则() ()（填写“”“”或“”）． 【答案】 【分析】分别当，时，求出()，()的值比较即可． 【详解】解：由题意得 () ， () ， ， () ()， 故答案：． 【点睛】本题主要考查了求函数值，掌握求法是解题的关键． 一、单选题 1．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）下列的函数解析式中，一定为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的识别，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；因此此题可根据“形如的函数”进行排除选项即可． 【详解】解：A、当时，则就不是二次函数，故不符合题意； B、不是二次函数，故不符合题意； C、不是二次函数，故不符合题意； D、是二次函数，故符合题意； 故选D． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）二次函数的一次项系数是（   ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数，其中分别为二次项系数，一次项系数，常数项．据此分析，即可求解． 【详解】解：二次函数的一次项系数是 故选：A． 3．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）若关于的函数的图象是抛物线，则的值为（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握形如（为常数，且）的函数叫做二次函数，其图象为抛物线是解题关键．根据据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：∵关于的函数的图象是抛物线， ∴，， ∴． 故选A． 4．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）下列函数关系中，是二次函数的是（    ）． A．生产100吨钢材，工作效率和工作时间之间的关系 B．当速度为时，汽车行驶的距离与时间之间的关系 C．长方形的周长一定时，长方形的长与宽之间的关系 D．圆的面积与半径之间的关系 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． A．根据题意得到工作效率和工作时间之间的关系为，利用二次函数的定义来判断． B．根据题意得到汽车行驶的距离与时间之间的关系为，利用二次函数的定义来判断． C．根据题意得到长方形的长与宽之间的关系为，利用二次函数的定义来判断． D．根据题意得到圆的面积与半径之间的关系为，利用二次函数的定义来判断． 【详解】解：A．生产100吨钢材，工作效率和工作时间之间的关系为，它不是二次函数，故此项不符合题意． B．当速度为时，汽车行驶的距离与时间之间的关系为，它不是二次函数，故此项不符合题意． C．长方形的周长一定时，长方形的长与宽之间的关系为，它不是二次函数，故此项不符合题意． D．圆的面积与半径之间的关系为，它是二次函数，故此符合题意． 故选：D． 5．（24-25九年级上·新疆巴音郭楞·期末）二次函数的常数项是（    ） A． B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的一般形式，直接利用中为常数项即可得到答案． 【详解】解：二次函数的常数项是； 故选：C 二、填空题 6．（2025九年级上·全国·专题练习）若是二次函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义。由定义得出自变量的最高指数是2，且二次项的系数不为0列出方程求解即可。 【详解】解：由题意得，， 解得. 故答案为：±2 ． 7．（2025·上海长宁·一模）已知抛物线的开口向下，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的图象，根据题意，抛物线的开口向下，可得，求出，即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， 解得：． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，设平均每月降价的百分率为x，则9月份的楼盘出售均价为元，则10月份的楼盘出售均价为元，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）二次函数的图象经过原点，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，直接把原点坐标代入二次函数解析式中得到关于k的方程，然后解方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：0． 三、解答题 10．（2025九年级下·全国·专题练习）已知关于的函数． (1)若该函数为二次函数，求的值； (2)若该函数为一次函数，求的值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的概念，熟练掌握其概念并能正确分类讨论是解决此题的关键． （1）根据二次函数的概念得，且，求解即可； （2）根据一次函数的概念得且，，求解即可． 【详解】（1）解：依题意，得，且， 解得 ∴时，该函数为二次函数； （2）解：依题意，当首项次数为1，且合并同类项后一次项系数不为零时， 且， 解得， 当首项系数为零时，， 解得和， 综上，，和时，该函数为一次函数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 二次函数 知识点1：二次函数的概念 知识点2：二次函数的值 1. 二次函数的概念: 一般地，形如y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数， 叫做二次函数. 其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项． 注意：二次函数的判断方法： ①函数关系式是整式； ②化简后自变量的最高次数是2； ③二次项系数不为0． 2. 二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项 注意：二次函数除了一般式y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）外， 还有y=ax²，y=ax²+bx，y=ax²+c。 【题型1：列二次函数关系式】 【典例1】（2025九年级上·全国·专题练习）在中，已知边BC的长为，BC边上的高比它的2倍多1，则三角形的面积y与x之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）若正方形的边长为6，边长增加，面积增加，则关于的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级下·全国·假期作业）已知正方体的棱长为，它的表面积为，体积为 (1)分别写出与、与之间的函数表达式； (2)这两个函数中，哪一个是关于的二次函数？ 【题型2：二次函数的判断】 【典例2】（24-25九年级上·重庆永川·期中）下列函数表达式中，是二次函数的是（） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·河南周口·期末）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级下·福建泉州·开学考试）下列关于的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【题型3：利用二次函数的概念含参数取值范围】 【典例3】（24-25九年级上·广西河池·期中）若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24九年级上·广西河池·期中）若函数为二次函数，则实数 ． 【变式2】（24-25九年级上·广东江门·期中）当 时，函数是二次函数． 【题型4：二次函数的一般形式】 【典例4】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数． (1)将该函数表达式化为二次函数的一般形式； (2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（   ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数中，二次项系数是 ，一次项系数是 ． 【变式3】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）将二次函数化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项． 根据题意把x值代入函数解析式，求出y值即可。 【题型5：二次函数的函数值】 【典例5】（24-25九年级上·山西吕梁·期中）当时，的函数值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数，当时，函数值等于，则下列关于的关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23九年级上·广东广州·期末）已知函数，时，记函数值为()，则() ()（填写“”“”或“”）． 一、单选题 1．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）下列的函数解析式中，一定为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）二次函数的一次项系数是（   ） A． B．1 C．3 D．5 3．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）若关于的函数的图象是抛物线，则的值为（    ） A． B． C．1 D．0 4．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）下列函数关系中，是二次函数的是（    ）． A．生产100吨钢材，工作效率和工作时间之间的关系 B．当速度为时，汽车行驶的距离与时间之间的关系 C．长方形的周长一定时，长方形的长与宽之间的关系 D．圆的面积与半径之间的关系 5．（24-25九年级上·新疆巴音郭楞·期末）二次函数的常数项是（    ） A． B．3 C．5 D．6 二、填空题 6．（2025九年级上·全国·专题练习）若是二次函数，则 ． 7．（2025·上海长宁·一模）已知抛物线的开口向下，那么的取值范围是 ． 8．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式 ． 9．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）二次函数的图象经过原点，则的值是 ． 三、解答题 10．（2025九年级下·全国·专题练习）已知关于的函数． (1)若该函数为二次函数，求的值； (2)若该函数为一次函数，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$