第06讲 二次函数的实际应用（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

第06讲 二次函数的实际应用 【知识点：二次函数的应用】 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 【注意】自变量的取决范围。 利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在． 【题型1：图形问题】 【典例1】（八年级下·浙江宁波·期中）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为x米． (1)长为________米（包含门宽，用含x的代数式表示）； (2)若苗圃的面积为，求x的值； (3)当x为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少？ 【答案】(1)（36-3x） (2)8 (3)当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米 【分析】（1）根据木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为x米，即得BC的长为（36-3x）米；（2）根据题意得，，即可解得x的值；（3）设苗圃的面积为w，，由二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为x米， BC的长为32-3x+4=（36-3x）米， 故答案为：（36-3x）； （2）根据题意得，， 解得，x=4或x=8， ∵当x=4时，36-3x=24>14， ∴x=4舍去， ∴x的值为8； （3）设苗圃的面积为w， ， ∵4<36-3x14， ∴， ∵-3<0，图象开口向下， ∴当时，w取得最大值，w最大为； 答：当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式． 【变式1】（24-25九年级下·江苏徐州·开学考试）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙，墙的长度为13m，另外三面用棚栏围成，中间再用棚栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为m（如图）． (1)若矩形养殖场的总面积为，求此时x的值； (2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1)此时x的值为2 (2)当时，矩形养殖场的总面积最大，最大面积为 【分析】（1）根据题意知：较大矩形的宽为，长为，可得，解方程取符合题意的解，即可得x的值为2； （2）设矩形养殖场的总面积是，根据墙的长度为13m，可得，而，由二次函数性质即得当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【详解】（1）解：根据题意知：较大矩形的宽为，长为， ， 解得或， 经检验，时，，不符合题意，舍去， ， 答：此时x的值为2； （2）设矩形养殖场的总面积是， 墙的长度为13m， ， 根据题意得：， ， 当时，y取最大值，最大值为48， 答：当时，矩形养殖场的总面积最大，最大面积为 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·期中）为了深入推进劳动教育，开展劳动实践活动，某校打算建一个如图所示的矩形菜地．菜地的一面利用学校边墙（墙长），其他三面用栅栏围住，但要开一扇宽的进出口（不需要栅栏），已知栅栏的总长度为，求矩形菜地的面积最大为多少平方米（栅栏的宽度忽略不计） 【答案】矩形菜地的面积最大为平方米 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出二次函数表达式．设菜地垂直于墙的一边长是x米，则平行于墙的一边是米，面积，再利用二次函数的性质解答即可． 【详解】解：设菜地垂直于墙的一边长是米，则平行于墙的一边是米， 面积， ∵ 解得：， ，对称轴， 当时，最大（平方米）， 答：矩形菜地的面积最大为平方米． 【变式3】（23-24九年级下·广东江门·阶段练习）一块三角形材料如图所示，，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点分别在上．设，取何值时，使剪出的矩形的面积最大，并求出矩形的最大面积． 【答案】当时，矩形的面积最大，矩形的最大面积是． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，矩形的性质，二次函数的性质．利用含的直角三角形的性质可得，，再求解，再利用矩形的面积公式列二次函数关系式，再利用二次函数的性质可得答案． 【详解】解：∵矩形， ∴，，则， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴． 由题意，矩形的面积 ． ∵， 当时，S取得最大值． 答：当时，矩形的面积最大，矩形的最大面积是． 【题型2：图形运动问题】 【典例2】（23-24九年级下·河南三门峡·期中）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，运动时间为，的面积为. (1)求随变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围. (2)当为时，的值时多少？ (3)当取何值时，面积最大，最大是多少？ 【答案】(1)； (2)或； (3)当时，面积最大，最大值为． 【分析】（1）根据题意得出，，则即可； （2）当时，列出方程，求出方程的解即可； （3）先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可； 本题考查了列函数关系式，解一元二次方程，二次函数的最值等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）根据题意得：，，则， ∴； （2）当时， ∴，解得，， ∴的值为或； （3）， ∴当时，面积最大，最大值为． 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为厘米，与在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y（平方厘米）与时间t（秒）之间的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题抽象二次函数解析式的知识．根据是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ，， ∴重叠部分也是等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（22-23九年级上·广东广州·阶段练习）如图，矩形的两边长，，点、分别从A、B同时出发，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动．当到达点时，、停止运动．设运动时间为秒，的面积为． (1)填空： ， （用含的代数式表示）； (2)求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当为何值时，的面积的最大，最大值是多少？ 【答案】(1)， (2)； (3)的最大面积是． 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的最值问题，根据题意表示出、的长度是解题的关键． （1）根据题意表示出、的长即可； （2）根据三角形的面积公式列式整理即可得解； （3）把函数关系式整理成顶点式解析式，然后根据二次函数的最值问题解答． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：，； （2）解：∵，，， ∴， 即； （3）解：由（2）知，， ∴， ∵，当时，随的增大而增大， 而， ∴当时，， 即的最大面积是． 【变式3】（23-24九年级上·江西南昌·期中）如图1，在面积为的等腰直角中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点C开始沿边向点A以的速度移动，且P，Q两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设点P运动的时间为．    (1)当t为何值时，为等腰直角三角形? (2)若的面积为． ①求出S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围，在图2中画出其草图； ②直接写出S的最大值． 【答案】(1) (2)①，，画图见解析；②16 【分析】（1）首先求出，再根据等腰直角三角形的性质得到，可得方程，解之即可； （2）①利用三角形面积公式列出关系式，再根据运动路程和速度求出时间限制，可得自变量取值范围，再画出相应图象；②利用二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：∵等腰直角的面积为， ∴， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， 解得：； （2）①， ∵， ∴， 则； 画图如下：    ②当时，S取得最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，等腰直角三角形的判定和性质，二次函数的最值，画二次函数的图象，解题的关键是正确列出函数解析式． 【题型3：拱桥问题】 【典例3】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线的一部分，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)若有一艘船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形，船比水面高出，当船的宽度小于多少米时，船能安全穿过桥洞．（船舱顶部矩形的宽所在的边始终与平行） 【答案】(1) (2)6米 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式等知识，解题的关键是： （1）根据待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中解析式，求出x的值即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为 （2）解：当时，， 解得，， ∴当船的宽度小于米时，船能安全穿过桥洞． 【变式1】（2025·陕西渭南·一模）某数学兴趣小组在学习了抛物线的知识后，决定利用抛物线的知识进行课外实践活动，下面是此次课外实践活动的调查报告： 活动题目 抛物线的课外实践活动 活动过程 如图是一扇抛物线型拱门的示意图，首先测量抛物线型拱门的底部跨度，然后将高度为的标杆垂直于所在地面，水平方向移动标杆使标杆顶部恰好与拱门的内壁接触，底部始终在上，再测量出、两点间的距离 拱门示意图 说明：以所在直线为轴，经过中点的垂线为轴建立平面直角坐标系，抛物线型拱门的最高点到地面的距离为． 测量数据 ，， 任务（1） 求该抛物线型拱门的最高点到地面的距离； 任务（2） 要在该抛物线型拱门内壁距离地面高的两侧各安装一盏夜晚照明灯（大小忽略不计），求两盏灯的水平距离． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法解抛物线的解析式，熟练掌握二次函数的相关知识是解题关键． （1）由题意可设该抛物线表达式为，、、对称轴为轴，分别代入，解二元一次方程组，求得抛物线的解析式为，即可求解； （2）将代入抛物线的解析式，解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：任务（1）：由题意可得：点的坐标为，点的坐标为，抛物线的对称轴为轴． 设该抛物线型拱门的函数表达式为（、为常数，）， 将，代入，得， 解得， 该抛物线型拱门的函数表达式为， 当时，， 该抛物线型拱门的最高点到地面的距离为． 任务（2）：令，得， 解得，， ， 两盏灯的水平距离为． 【变式2】（2025·陕西榆林·三模）乡村振兴关键在产业．近年来，某县区通过建设标准化大棚，种植圣女果、普罗旺斯西红柿、草莓等，让大棚产业照亮农业转型升级致富路，实现村民稳定增收．如图2，某农户的大棚截面上半部分可近似看作抛物线，下半部分可看作矩形，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面的距离为7米，米，棚宽米． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为了加固棚顶，现需在上方的抛物线部分加装一根横梁（点P、Q均在抛物线上），且，若横梁与地面的距离是米，则横梁的长度是多少米？ 【答案】(1) (2)横梁PQ的长度是9米 【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式，已知函数值求自变量， 对于（1），根据矩形的性质及已知条件得顶点E的坐标，可设抛物线的函数表达式为，再将点代入函数表达式可得答案； 对于（2），令，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，米， ∴点（米）. 根据题意得，顶点E的坐标为， ∴可设抛物线的函数表达式为：， 把点代入函数表达式可得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：由题意知，点P的纵坐标为， 当时，， 解得，， ∴， ∴横梁的长度是9米． 【变式3】（2024·广东·模拟预测）素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱券结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件．如图（1）是位于某市中心的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形．在正常水位时测得桥拱处水面宽度为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米． 素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽为16米，露出水面的高为7米．四边形为矩形，．现以点O为原点，以所在直线为x轴建立如图（2）所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线． (1)求此抛物线的解析式． (2)这艘货船能否安全过桥？ (3)受天气影响，水位上升0.5米，若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？ 【答案】(1) (2)该船能安全通过 (3)此时该货船能安全过桥 【分析】本题考查了二次函数的应用，平移的性质，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据经过，设抛物线的解析式为，再把代入进行计算，即可作答． （2）先求出点D的横坐标，再代入，得出，即可作答． （3）依题意，得平移后抛物线的解析式为，把代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）由题易知，，抛物线的顶点为点 设抛物线的解析式为， 将分别代入， 得 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）由题易知，点D的横坐标为， 把代入， 得 ∵， ∴该船能安全通过． （3）由题易知，水位上升米，相当于将抛物线向下平移个单位长度， ∴平移后抛物线的解析式为 把代入， 得． ∵， ∴此时该货船能安全过桥 【题型4：销售问题】 【典例4】（24-25九年级下·广东中山·开学考试）中山市沙岗墟正在举办“贺新春”活动吴老板租了一个摊位，销唐“文创雪糕”与 “牌甜筒”，其中一个“文创雪糕”的进货价比一个“牌甜筒”的进货价多元，用元购进“牌甜筒”的数量与用元购进“文创雪糕”的数量相同． (1)求：每个“文创雪糕”“牌甜筒”的进价各为多少元？ (2)根据销售经验，吴老板发现“牌甜筒”的销量(个)与售价(元/个)之间 满足一次函数关系：，且所有进货均能全部售出，问：“牌甜筒”销售单价为多少元时，每天销售“牌甜筒”的总利润(元)最大？ 【答案】(1)“文创雪糕”的进价为元，“牌甜筒”的进价为元 (2)当售价时，总利润达到最大值为元 【分析】本题主要考查分式方程，二次函数求最大利润的计算，理解数量关系，正确列式求解即可． （1）设“牌甜筒”的进价为元，则“文创雪糕”的进价为元，根据数量关系列分式方程求解即可； （2）现今售价为元，则单个的利润为元，可得利润，结合二次函数最值的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：设“牌甜筒”的进价为元，则“文创雪糕”的进价为元， 依题意，可列出方程为：， 解得， 检验，当时，原分式方程有意义， ， 答：“文创雪糕”的进价为元，“牌甜筒”的进价为元． （2）解：由（1）可知，“牌甜筒”的进价为每个元， 现今售价为元，则单个的利润为元， 设总利润为， ∴， 当售价时，总利润达到最大值为元． 答：当售价时，总利润达到最大值为元． 【变式1】（2025九年级上·全国·专题练习）某化工材料经售公司购进了一种化工原料，进货价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元．市场调查发现：单价每千克70元时日均销售；单价每千克降低1元，日均多售．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元．当销售单价定为多少时，每天可获得最大利润？最大利润为多少？ 【答案】当销售单价定为65元时，每天可获得最大利润，最大利润为1950元． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意并掌握配方法的应用是解题的关键．本题设销售单价为x元，每天可获得利润为y元列出，并配方得到，即可得出当时，． 【详解】解：设销售单价为x元，每天可获得利润为y元． 由题意，得 ． ， 当时，． 答：当销售单价定为65元时，每天可获得最大利润，最大利润为1950元． 【变式2】（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．设该种品牌玩具的实际销售单价为元，实际销售量为y件，销售该品牌玩具获得的利润为元． (1)分别求出y与x、 w与x之间的函数表达式； (2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【答案】(1)y与x之间的函数表达式为，w与x之间的函数表达式为 (2)10000元 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及利用二次函数最值求解． （1）根据用600减去减少的销售量可得y与x之间的函数表达式；根据一件的利润与销售数量的积，即可表示出w与x函数关系式； （2）由题意列出不等式组，可求得x的范围，再由二次函数的性质即可求得最大利润． 【详解】（1）解∶ y与x之间的函数表达式为， w与x之间的函数表达式为； （2）解∶根据题意得：， 解得：； ∵，且， ∴当时，w取得最大值，最大值为10000， 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是10000元． 【变式3】（2025·湖北随州·二模）某商店销售一种新型智能水杯，进价为每个40元，若售价为每个60元时，每天可售出200个．经市场调研发现：售价每上涨1元，每天销售量减少5个；售价每下降1元，每天销售量增加10个．设售价为每个x元，每天的销售利润为y元． (1)求售价定为多少时，每天的销售利润最大； (2)若商店希望每天的利润不低于4000元，直接写出售价x的取值范围． 【答案】(1)售价定为每个70元时，每天的销售利润最大 (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．得到利润的关系式是解题的关键． （1）依据题中的相等关系列出函数解析式，分涨价、降价两种情况，再依据二次函数的性质求解可得． （2）根据题意列不等式，分两种情况，即可求解． 【详解】（1）解：当时：售价上涨，销量减少，销量为， 利润为：； 当时，； 当时：售价下降，销量增加，销量为：， 利润为：； 当时，不在取值范围内，； 综上所述，当时，利润最大； （2）解： 当时： ； 解得：； 当时： ；无解； 综上所述，每天的利润不低于4000元，售价x的取值范围是． 【题型5：投球问题】 【典例5】（2025·河南开封·二模）某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），小明站在原点，将乒乓球从距离水平地面1.5米高的处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离小明1米时，达到最大高度2米． (1)求抛物线的解析式； (2)小明抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明． 【答案】(1) (2)能，见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数中坐标问题，然后利用坐标数值关系反推实际问题． （1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，利用待定系数法求解即可； （2）只要判断出乒乓球在运行中，高于，并落在之间即可； 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为，即 （2）解：能，理由如下： 当时，， 当时，， 解得（舍去），， ∴乒乓球在运行中，高于，并落在的中点处， ∴小明抛出的乒乓球能投入箱子； 【变式1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）再一次校运会上，一名男同学仍铅球时，其运动轨迹为如图所示的一条抛物线，已知仍出铅球时，铅球距离男同学的水平距离长为x（单位：m），距离地面高度为y（单位：m）满足下表关系：. x 0 1 2 3 4 y 1.4 1.9 2.2 2.3 2.2 (1)求出铅球的运动轨迹的解析式； (2)若铅球落地的沙坑低于水平面，沙坑边缘与男同学的距离，计算裁判员测量的铅球落地位置G到F的距离； (3)为了使铅球抛出距离更远，该男同学计划让铅球扔出后，达到的最大高度在B的下方米处，试计算说明，该男同学的抛出的铅球距离是增大还是减少？增大（或减少）多少． 【答案】(1) (2)所以G到F的距离 (3)增大，该男同学成绩增大 【分析】（1）设抛物线的表达式为，将点代入得：解答即可； （2）当时，，解方程求解即可； （3）设变化后的二次函数表达式为，将点代入得：；解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的平移，抛物线与一元二次方程的关系，熟练掌握待定系数法，解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：由表可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 将点代入得：； 解得：， ∴， （2）解：当时， ， 解得：， ， 所以G到F的距离 （3）由题意，变化后的二次函数表达式为， 将点代入得：； 解得：， ∴， 当时，， 解得：， ， 所以该男同学成绩增加. 【变式2】（2025·河南信阳·三模）掷沙包是一种传统儿童游戏，投掷者用内装谷粒或者沙子的布包向远处的目标进行投掷，以投中目标为胜，沙包的飞行轨迹近似抛物线．设沙包飞行的水平距离为（单位：m），相对应的飞行高度为（单位：m）．李华在处以跪蹲姿势向远处的布幔投掷沙包，沙包飞行轨迹的相关数据如图所示，为抛物线的顶点，已知布幔垂直于轴，且，布幔上的目标与的距离为0.26米． (1)求沙包飞行轨迹抛物线的解析式 （无需写出自变量的取值范围）； (2)为了击中目标，应将布幔向前或后移动多少米？ 【答案】(1) (2)前移动 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）由顶点式，可设抛物线的解析式为，再把代入求出a的值即可； （2）求出时，即可解得． 【详解】（1）解：由题意可知抛物线顶点为． 故可设抛物线的解析式为， 又抛物线过， ， ， 解析式为； （2）当时， 即 （舍），， ， 应将布幔向前移动． 【变式3】（2025·湖北随州·模拟预测）如图，以40m/s速度将小球沿着地面成的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间满足二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如表所示，根据相关信息解答下列问题． 飞行时间 飞行高度 (1)直接写出小球的飞行高度关于飞行时间的二次函数关系式（不写自变量取值范围）； (2)若小球飞行时间不超过，则小球飞行高度能否达到？若能，求出此时的值，若不能，说明理由； (3)当值为多少时，小球飞行的高度最大？最大高度是多少？ 【答案】(1) (2)小球飞行高度能达到，此时秒． (3)当值为秒时，小球飞行的高度最大，最大高度是． 【分析】此题主要考查一元二次方程与二次函数的实际应用，解题的关键是根据题意求出函数解析式，再根据题意进行解答． （1）利用待定系数法即可求解； （2）令，解一元二次方程，即可求解； （3）将解析式配方成顶点式，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可设关于的二次函数关系式为， 将代入得 ∴， 解得：． ∴关于的二次函数关系式为． （2）当，， 解得：，（舍去）． ∴小球飞行高度能达到，此时秒． （3）解： ∵ ∴当值为秒时，小球飞行的高度最大，最大高度是． 【题型6：喷水问题】 【典例6】（24-25九年级下·全国·假期作业）【问题情境】如图是喷水管从点A向四周喷出水花的喷泉截面示意图，喷出的水花是形状相同的抛物线．以点O为原点，水平方向为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点C，D为水花的落水点且在x轴上，其中右侧抛物线的解析式为，喷水管的高度为． 【问题解决】 (1)求a的值； (2)现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为9m，求喷水管要降低的高度． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确二次函数平移的特点，利用二次函数的性质解答． （1）将代入，求出相应的a的值即可； （2）先设喷水管要降低的高度，然后将代入，再求出相应的降低的高度即可； 【详解】（1）解：由题意得：； ∵将代入中可得，， 解得， ∴a的值为． （2）解：设喷水管要降低的高度为，则降低高度后的右侧抛物线的解析式为， 将代入，可得， 解得； 答：喷水管要降低的高度为米； 【变式1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，公园的花坛正中间有一个喷灌嘴，将开关开至最大时，喷出的水流形状接近于抛物线．当水流距离地面时，距喷灌嘴的水平距离为，水流落地点距喷灌嘴的水平距离． (1)求水流所在抛物线的函数表达式； (2)为了给公园增添艺术氛围，园林部门计划在水流下方放置一些雕塑． ①若雕塑的高度为，求与喷灌嘴的水平距离在多大范围内时，雕塑不会被水流直接喷到； ②若在距喷灌嘴水平距离为处有一高度为的雕塑，请判断该雕塑是否会被水流直接喷到？ 【答案】(1) (2)①高度为的雕塑，其与喷灌嘴的水平距离在时，才不会被水流直接喷到；②不会． 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）利用待定系数法，将点，代入抛物线解析式求解即可； （2）①令，求出对应的自变量取值，即可求解；②令，求出对应的函数值，再进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知，水流所在抛物线经过点，， 将其分别代入得： ，解得， 水流所在抛物线的函数表达式为：； （2）解：①令，则， 解得，， 高度为的雕塑，其与喷灌嘴的水平距离在时，才不会被水流直接喷到； ②令，则， ， 不会被水流直接喷到． 【变式2】（24-25九年级上·河南南阳·期末）某小区有一个喷水池，喷水池的中心有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心处达到最大高度，水柱落地点到水池中心的水平距离为，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)点，点的坐标分别为________、__________； (2)求水柱所在抛物线对应的函数表达式； (3)王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为的地方，通过计算说明身高的王师傅是否会被淋湿？ 【答案】(1)， (2) (3)王师傅不会被淋湿，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）由图可得点C、D的坐标； （2）根据抛物线的顶点设出其顶点式，再将点C坐标代入计算即可； （3）求出时y的值，与1.85比较大小即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知抛物线顶点D坐标为，点C坐标为， 故答案为：，； （2）解：由题意，可设抛物线的表达式为， 将点C的坐标代入得， 解得， 抛物线的表达式为：； （3）解：当时，， ． 答：王师傅不会被淋湿． 【变式3】（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）如图，护林员在一个斜坡上的点处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．以所在的水平方向为x轴，所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，如图所示，经过测量，可知斜坡的函数表达式为． (1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，求此时喷到处的水柱距出水口的水平距离． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质及其应用、一次函数的图象与性质，解一元二次方程，熟练掌握与灵活运用相关知识，运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． （1）利用顶点坐标设抛物线解析式为，求出，将代入抛物线解析式求解即可； （2）对于抛物线，令，求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 则， 根据题意可知，抛物线的顶点坐标为， 则设抛物线解析式为， 将代入， 可得：， 解得：， ∴水柱所在抛物线的函数表达式为； （2）解：对于抛物线， 令，得：， 整理可得：， 解得：，（舍去）， ∴此时喷到处的水柱距出水口的水平距离米． 【题型7：其他问题】 【典例7】（2025·贵州遵义·二模）汽车行驶在高速公路上遇到意外情况时，紧急停车需要经历反应（反应时间为秒）和制动两个过程，反应距离和制动距离分别记为和（单位：），停车距离为．（参考数据：） 汽车在反应过程保持原速度匀速运动，制动过程中的路程与行驶速度关系如下表所示： 原速度x（） 0 20 40 60 80 … 制动距离（） 0 2 8 18 32 … (1)将表格中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，并求出与x的函数关系式； (2)当行驶速度为时，求刹车距离S； (3)疲劳驾驶会导致司机制动反应时间增加，反应时间为正常时间的3倍，当疲劳驾驶停车距离比正常情况下增加时，求汽车原速度为多少． 【答案】(1)图见解析； (2)刹车距离为 (3)汽车原速度为 【分析】此题考查了画函数图象，待定系数法求函数解析式，求自变量的值，正确掌握函数知识是解题的关键． （1）根据表格，描点、连线即可得出相应图象；然后设，利用待定系数法即可确定函数解析式； （2）根据题意确定，然后代入求解即可； （3）根据题意得出疲劳驾驶下反应距离，确定，求解即可． 【详解】（1）解：图象如图所示： ∴设，将点，代入得： ， 解得 故． （2）由题意：， 则 当时，． 故刹车距离为． （3）疲劳驾驶下反应距离 由题意：， 解得 故汽车原速度为． 【变式1】（2025·陕西榆林·二模）如图1是我们生活中常见的一只碗，图2是从正面看到的碗的形状示意图，碗壁近似呈抛物线形，该抛物线关于碗口的垂直平分线对称，且碗底与碗口平行，、均在抛物线上，，，已知，，，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，碗壁抛物线满足关系式（、为常数）．    (1)求、的值和点的坐标； (2)若碗中装入一定量的水，水面，且与之间的距离为，求水面的宽度． 【答案】(1)，，点的坐标为 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据题意可得抛物线的对称轴为直线，则由对称轴计算公式可得，再求出，利用待定系数法求出c的值，进而求出点B的坐标即可； （2）求出点E和点F的纵坐标，进而求出点E和点F的横坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ， 解得．     ，，，， ∴ ∴．     将点代入，得，    ∴抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴点的坐标为． （2）解：与之间的距离为， 点与点的纵坐标为．     令，得，解得，，    ， 即水面的宽度为． 【变式2】（2025·湖北襄阳·模拟预测）某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考查刹车距离． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离（如图所示）． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 4 刹车后行驶的距离 0 27 48 72 发现：①开始刹车后行驶的距离单位（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系； ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求关于的函数解析式，不要求写出自变量的取值范围； (2)当汽车刹车后行驶了时，求的值； (3)当汽车司机发现正前方处有一辆抛锚车停在路面时立刻刹车，若刹车时汽车距离抛锚车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚车？试说明理由． 【答案】(1) (2)当汽车刹车后行驶了时， (3)该车在不变道的情况下不会撞到抛锚车，详见解析 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，求函数值，自变量的值的计算是关键． （1）根据表格信息，运用待定系数法求解即可； （2）根据函数值求自变量的值即可； （3）根据二次函数最值的计算即可求解． 【详解】（1）解：由表格中数据可设， 则， 解得，， ∴． （2）解：由题意可得，， 解得， ∵， ∴， ∴． 答：当汽车刹车后行驶了时，． （3）解：∵，由二次函数图象性质可知，有最大值， 当时，， ∵， ∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚车． 【变式3】（24-25九年级上·浙江·阶段练习）“立定跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以近似地看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系（起跳点为原点，地面所在直线为轴，起跳点所在的竖直方向为轴），从起跳到落地的过程中，设运动员距离地面的竖直高度为，距离起跳点的水平距离为．已知，运动员跳到最高处时距离地面的竖直高度为，距离起跳点的水平距离为． (1)求该运动员腾空路线的解析式； (2)求该运动员落地时距离起跳点的水平距离． 【答案】(1) (2)该运动员落地时距离起跳点的水平距离为． 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数与轴的交点问题． （1）由表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为，得，将时，，代入其中，利用待定系数法即可求解； （2）令，求出的值，即可得解． 【详解】（1）解：由表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为， ∴设该运动员腾空路线的解析式为， 当时，，代入得， 解得， ∴函数关系式为； （2）解：令， 即， 解得，， ∴该运动员落地时距离起跳点的水平距离为． 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间t（单位：）具有函数关系为，则小球从飞出到落地的所用时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的运用，掌握二次函数图象的性质，理解小球从飞出到落地的含义是解题的关键． 根据题意，小球从飞出到落地，则高度，代入计算，结合题意即可求解． 【详解】解：小球从飞出到落地， ∴高度， ∴，即， ∴（不符合题意，舍去），， ∴小球从飞出到落地的所用时间为， 故选：A ． 2．（24-25九年级上·云南昆明·期中）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1500个，9月份销售个，设7月份到9月份销售量的月增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用．设增长率为，根据“7月份销售1500个，9月份销售个”列得函数关系式即可求解． 【详解】解：设增长率为， 根据题意得：， 故选：A． 3．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度h（单位：米）与经过的时间t（单位：秒）满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所经过的时间t是（    ） A．1秒 B．2秒 C．2.4秒 D．3秒 【答案】D 【分析】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了已知函数值求自变量的值，根据题意可知当时符合题意，进而求出答案即可． 【详解】当时，， 解得或， 所以球弹起后又回到地面所经过的时间是3秒． 故选：D． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）若一种服装销售盈利y（万元）与销售数量x（万元）满足函数关系式，则盈利（   ） A．最大值为5万元 B．最大值为7万元 C．最小值为5万元 D．最大值为6万元 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，求二次函数的最值；将二次函数化为，由二次函数的性质，即可求解；掌握二次函数最值的求法是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， （万元）； 故选：B． 5．（2022九年级上·全国·专题练习）如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6，则水柱的最大高度是（　　） A．2 B．4 C．6 D．2+ 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，在顶点处取最值即可． 【详解】解：∵抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6， ∵a=-1＜0 ∴当x=2时，水柱的最大高度是：6． 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用—喷水问题．根据二次函数的解析式得到抛物线顶点坐标是解决此类问题的关键． 二、填空题 6．（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）如图1是小峡水电站黄河公路大桥，它的一个桥拱可以近似看作抛物线，一个桥拱在水面的跨度约为40米，若按如图2所示方式建立平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线可以表示为，则此时桥拱最高点P离水面的高度是 米． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的运用，根据桥拱在水面的跨度约为40米，则，且桥拱所在抛物线可以表示为，代入计算即可求解k的值，根据顶点坐标，即可求出此时桥拱最高点P离水面的高度． 【详解】解：桥拱所在抛物线可以表示为，桥拱在水面的跨度约为40米，则， ∴， 解得，， ∴， 即此时桥拱最高点P离水面的高度是米， 故答案为：． 7．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可， 【详解】解：由题意，， 得， 将代入， 得：， 解得：， ∴， 令，得， 解得：，， ∴为， 故答案为：． 8．（2025·山东济南·二模）湖西桥是济南大明湖景区一座抛物线形拱桥，按图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键，根据二次函数的图象可得当水位上升时，此时，进而可求得此时的的值，进而可求解． 【详解】解：依题意得： 当，， 当水位上升 时，则此时， 则：， 解得：或， ∴水面宽为：， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的解析式可得出汽车刹车时时间，将其代入二次函数解析式中即可得出的值. 【详解】解：根据二次函数解析式 可知，汽车的刹车时间为， 当时， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数性质的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 三、解答题 10．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，要搭建一个矩形的自行车棚，一边靠墙，墙长25m，另外三边围栏总长60m，平行于墙的一边的长为xm，自行车棚的面积为Sm2 (1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)求车棚的面积S的最大值及此时x的值． 【答案】(1)， (2)当时， 【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式，求二次函数的最大值， 对于（1），根据长乘以宽得出面积即可； 对于（2），将关系式配成顶点式，再讨论最值即可. 【详解】（1）解：，； （2）解：, ∵抛物线开口向下，对称轴是， ∴当时，函数值y随着x的增大而增大， ∴当时. 11．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个． (1)设该吉祥物毛线玩具每个售价定为元，求该商品销售量y与x之间的函数关系式； (2)若获利不得高于进价的，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当每个毛绒玩具的售价定为54元，每天最大利润是1248元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用， 对于（1），先表示出上涨的价格，进而得出销售量与售价的关系式； 对于（2），根据单件利润乘以销售量等于总利润列出关系式，再根据自变量取值范围讨论极值即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：设总利润为w，根据题意，得，且， ∵，， ∴抛物线的开口向下， 当时，函数值y随着x的增大而增大， 当时，（元）． 所以每个毛绒玩具售价定为54元，每天销售玩具所获得利润最大，最大利润是1248元． 12．（24-25九年级上·河北邢台·期中）小宇同学是足球社团的一名成员，同时喜欢运用数学知识对足球训练进行技术分析，下面是他对某次足球射门路线的分析．在如图所示的平面直角坐标系中，点O是原点，小宇从球门正前方的点A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球离球门的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面． ． (1)求抛物线（足球的飞行路线）的函数表达式； (2)已知球门高为，通过计算判断球能否被射进球门（不考虑其他因素）． 【答案】(1) (2)球不能被射进球门 【分析】此题考查了二次函数的应用，求出抛物线（足球的飞行路线）的函数表达式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出当时的函数值，进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意，得，抛物线顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 点在抛物线上， ，解得 抛物线的函数表达式为； （2）当时， 球不能被射进球门． 13．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）周末，小明跟父母去宁强网红打卡地玩耍，小明的爸爸在树荫下将吊床绑在距离为米的树与树之间（米），两边拴绳的地方、距地面的高度均为米（米），吊床形状近似呈抛物线形，此时吊床最低点离地面的高度为米．已知，，图中所有的点都在同一平面内．以树与地面的交点为原点，地面上所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当吊床上某处离地面高度为米时，求吊床上该处离右边树的距离． 【答案】(1) (2)米或米 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，根据函数值求自变量的值的方法是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）将代入解得，，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入， 得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：将代入得， 解得，， 当时，（米）， 当时，（米）， ∴吊床上该处离右边树的距离为米或米． 14．（24-25九年级上·广西钦州·期中）露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． 【建立模型】如图2，该款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式； 【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入该款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿AB方向摆放一排此款椅子，最多可摆放多少张椅子？ 【答案】[建立模型]；[运用模型]张 【分析】本题考查了二次函数的应用． [建立模型]以的中点为平面直角坐标系的原点，此时，且经过，代入抛物线函数关系式，即可作答． [运用模型]在[建立模型]的基础上，令，解出的值，根据宽度建立不等式，即可作答． 【详解】解：[建立模型] 以的中点为平面直角坐标系的原点，如图所示： ∵款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度 ∴ 设抛物线函数关系式为 ∵抛物线经过点 ∴ 解得 即； [运用模型]∵，且椅子高度，宽度 ∴ 解得 则的距离为2； ∵椅子数量为正整数 ∴最多可摆放的椅子数量为张． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 二次函数的实际应用 【知识点：二次函数的应用】 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 【注意】自变量的取决范围。 利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在． 【题型1：图形问题】 【典例1】（八年级下·浙江宁波·期中）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为x米． (1)长为________米（包含门宽，用含x的代数式表示）； (2)若苗圃的面积为，求x的值； (3)当x为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少？ 【变式1】（24-25九年级下·江苏徐州·开学考试）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙，墙的长度为13m，另外三面用棚栏围成，中间再用棚栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为m（如图）． (1)若矩形养殖场的总面积为，求此时x的值； (2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·期中）为了深入推进劳动教育，开展劳动实践活动，某校打算建一个如图所示的矩形菜地．菜地的一面利用学校边墙（墙长），其他三面用栅栏围住，但要开一扇宽的进出口（不需要栅栏），已知栅栏的总长度为，求矩形菜地的面积最大为多少平方米（栅栏的宽度忽略不计） 【变式3】（23-24九年级下·广东江门·阶段练习）一块三角形材料如图所示，，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点分别在上．设，取何值时，使剪出的矩形的面积最大，并求出矩形的最大面积． 【题型2：图形运动问题】 【典例2】（23-24九年级下·河南三门峡·期中）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，运动时间为，的面积为. (1)求随变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围. (2)当为时，的值时多少？ (3)当取何值时，面积最大，最大是多少？ 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为厘米，与在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y（平方厘米）与时间t（秒）之间的函数关系式． 【变式2】（22-23九年级上·广东广州·阶段练习）如图，矩形的两边长，，点、分别从A、B同时出发，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动．当到达点时，、停止运动．设运动时间为秒，的面积为． (1)填空： ， （用含的代数式表示）； (2)求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当为何值时，的面积的最大，最大值是多少？ 【变式3】（23-24九年级上·江西南昌·期中）如图1，在面积为的等腰直角中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点C开始沿边向点A以的速度移动，且P，Q两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设点P运动的时间为．    (1)当t为何值时，为等腰直角三角形? (2)若的面积为． ①求出S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围，在图2中画出其草图； ②直接写出S的最大值． 【题型3：拱桥问题】 【典例3】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线的一部分，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)若有一艘船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形，船比水面高出，当船的宽度小于多少米时，船能安全穿过桥洞．（船舱顶部矩形的宽所在的边始终与平行） 【变式1】（2025·陕西渭南·一模）某数学兴趣小组在学习了抛物线的知识后，决定利用抛物线的知识进行课外实践活动，下面是此次课外实践活动的调查报告： 活动题目 抛物线的课外实践活动 活动过程 如图是一扇抛物线型拱门的示意图，首先测量抛物线型拱门的底部跨度，然后将高度为的标杆垂直于所在地面，水平方向移动标杆使标杆顶部恰好与拱门的内壁接触，底部始终在上，再测量出、两点间的距离 拱门示意图 说明：以所在直线为轴，经过中点的垂线为轴建立平面直角坐标系，抛物线型拱门的最高点到地面的距离为． 测量数据 ，， 任务（1） 求该抛物线型拱门的最高点到地面的距离； 任务（2） 要在该抛物线型拱门内壁距离地面高的两侧各安装一盏夜晚照明灯（大小忽略不计），求两盏灯的水平距离． 【变式2】（2025·陕西榆林·三模）乡村振兴关键在产业．近年来，某县区通过建设标准化大棚，种植圣女果、普罗旺斯西红柿、草莓等，让大棚产业照亮农业转型升级致富路，实现村民稳定增收．如图2，某农户的大棚截面上半部分可近似看作抛物线，下半部分可看作矩形，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面的距离为7米，米，棚宽米． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为了加固棚顶，现需在上方的抛物线部分加装一根横梁（点P、Q均在抛物线上），且，若横梁与地面的距离是米，则横梁的长度是多少米？ 【变式3】（2024·广东·模拟预测）素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱券结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件．如图（1）是位于某市中心的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形．在正常水位时测得桥拱处水面宽度为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米． 素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽为16米，露出水面的高为7米．四边形为矩形，．现以点O为原点，以所在直线为x轴建立如图（2）所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线． (1)求此抛物线的解析式． (2)这艘货船能否安全过桥？ (3)受天气影响，水位上升0.5米，若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？ 【题型4：销售问题】 【典例4】（24-25九年级下·广东中山·开学考试）中山市沙岗墟正在举办“贺新春”活动吴老板租了一个摊位，销唐“文创雪糕”与 “牌甜筒”，其中一个“文创雪糕”的进货价比一个“牌甜筒”的进货价多元，用元购进“牌甜筒”的数量与用元购进“文创雪糕”的数量相同． (1)求：每个“文创雪糕”“牌甜筒”的进价各为多少元？ (2)根据销售经验，吴老板发现“牌甜筒”的销量(个)与售价(元/个)之间 满足一次函数关系：，且所有进货均能全部售出，问：“牌甜筒”销售单价为多少元时，每天销售“牌甜筒”的总利润(元)最大？ 【变式1】（2025九年级上·全国·专题练习）某化工材料经售公司购进了一种化工原料，进货价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元．市场调查发现：单价每千克70元时日均销售；单价每千克降低1元，日均多售．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元．当销售单价定为多少时，每天可获得最大利润？最大利润为多少？ 【变式2】（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．设该种品牌玩具的实际销售单价为元，实际销售量为y件，销售该品牌玩具获得的利润为元． (1)分别求出y与x、 w与x之间的函数表达式； (2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【变式3】（2025·湖北随州·二模）某商店销售一种新型智能水杯，进价为每个40元，若售价为每个60元时，每天可售出200个．经市场调研发现：售价每上涨1元，每天销售量减少5个；售价每下降1元，每天销售量增加10个．设售价为每个x元，每天的销售利润为y元． (1)求售价定为多少时，每天的销售利润最大； (2)若商店希望每天的利润不低于4000元，直接写出售价x的取值范围． 【题型5：投球问题】 【典例5】（2025·河南开封·二模）某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），小明站在原点，将乒乓球从距离水平地面1.5米高的处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离小明1米时，达到最大高度2米． (1)求抛物线的解析式； (2)小明抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明． 【变式1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）再一次校运会上，一名男同学仍铅球时，其运动轨迹为如图所示的一条抛物线，已知仍出铅球时，铅球距离男同学的水平距离长为x（单位：m），距离地面高度为y（单位：m）满足下表关系：. x 0 1 2 3 4 y 1.4 1.9 2.2 2.3 2.2 (1)求出铅球的运动轨迹的解析式； (2)若铅球落地的沙坑低于水平面，沙坑边缘与男同学的距离，计算裁判员测量的铅球落地位置G到F的距离； (3)为了使铅球抛出距离更远，该男同学计划让铅球扔出后，达到的最大高度在B的下方米处，试计算说明，该男同学的抛出的铅球距离是增大还是减少？增大（或减少）多少． 【变式2】（2025·河南信阳·三模）掷沙包是一种传统儿童游戏，投掷者用内装谷粒或者沙子的布包向远处的目标进行投掷，以投中目标为胜，沙包的飞行轨迹近似抛物线．设沙包飞行的水平距离为（单位：m），相对应的飞行高度为（单位：m）．李华在处以跪蹲姿势向远处的布幔投掷沙包，沙包飞行轨迹的相关数据如图所示，为抛物线的顶点，已知布幔垂直于轴，且，布幔上的目标与的距离为0.26米． (1)求沙包飞行轨迹抛物线的解析式 （无需写出自变量的取值范围）； (2)为了击中目标，应将布幔向前或后移动多少米？ 【变式3】（2025·湖北随州·模拟预测）如图，以40m/s速度将小球沿着地面成的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间满足二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如表所示，根据相关信息解答下列问题． 飞行时间 飞行高度 (1)直接写出小球的飞行高度关于飞行时间的二次函数关系式（不写自变量取值范围）； (2)若小球飞行时间不超过，则小球飞行高度能否达到？若能，求出此时的值，若不能，说明理由； (3)当值为多少时，小球飞行的高度最大？最大高度是多少？ 【题型6：喷水问题】 【典例6】（24-25九年级下·全国·假期作业）【问题情境】如图是喷水管从点A向四周喷出水花的喷泉截面示意图，喷出的水花是形状相同的抛物线．以点O为原点，水平方向为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点C，D为水花的落水点且在x轴上，其中右侧抛物线的解析式为，喷水管的高度为． 【问题解决】 (1)求a的值； (2)现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为9m，求喷水管要降低的高度． 【变式1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，公园的花坛正中间有一个喷灌嘴，将开关开至最大时，喷出的水流形状接近于抛物线．当水流距离地面时，距喷灌嘴的水平距离为，水流落地点距喷灌嘴的水平距离． (1)求水流所在抛物线的函数表达式； (2)为了给公园增添艺术氛围，园林部门计划在水流下方放置一些雕塑． ①若雕塑的高度为，求与喷灌嘴的水平距离在多大范围内时，雕塑不会被水流直接喷到； ②若在距喷灌嘴水平距离为处有一高度为的雕塑，请判断该雕塑是否会被水流直接喷到？ 【变式2】（24-25九年级上·河南南阳·期末）某小区有一个喷水池，喷水池的中心有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心处达到最大高度，水柱落地点到水池中心的水平距离为，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)点，点的坐标分别为________、__________； (2)求水柱所在抛物线对应的函数表达式； (3)王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为的地方，通过计算说明身高的王师傅是否会被淋湿？ 【变式3】（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）如图，护林员在一个斜坡上的点处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．以所在的水平方向为x轴，所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，如图所示，经过测量，可知斜坡的函数表达式为． (1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，求此时喷到处的水柱距出水口的水平距离． 【题型7：其他问题】 【典例7】（2025·贵州遵义·二模）汽车行驶在高速公路上遇到意外情况时，紧急停车需要经历反应（反应时间为秒）和制动两个过程，反应距离和制动距离分别记为和（单位：），停车距离为．（参考数据：） 汽车在反应过程保持原速度匀速运动，制动过程中的路程与行驶速度关系如下表所示： 原速度x（） 0 20 40 60 80 … 制动距离（） 0 2 8 18 32 … (1)将表格中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，并求出与x的函数关系式； (2)当行驶速度为时，求刹车距离S； (3)疲劳驾驶会导致司机制动反应时间增加，反应时间为正常时间的3倍，当疲劳驾驶停车距离比正常情况下增加时，求汽车原速度为多少． 【变式1】（2025·陕西榆林·二模）如图1是我们生活中常见的一只碗，图2是从正面看到的碗的形状示意图，碗壁近似呈抛物线形，该抛物线关于碗口的垂直平分线对称，且碗底与碗口平行，、均在抛物线上，，，已知，，，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，碗壁抛物线满足关系式（、为常数）．    (1)求、的值和点的坐标； (2)若碗中装入一定量的水，水面，且与之间的距离为，求水面的宽度． 【变式2】（2025·湖北襄阳·模拟预测）某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考查刹车距离． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离（如图所示）． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 4 刹车后行驶的距离 0 27 48 72 发现：①开始刹车后行驶的距离单位（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系； ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求关于的函数解析式，不要求写出自变量的取值范围； (2)当汽车刹车后行驶了时，求的值； (3)当汽车司机发现正前方处有一辆抛锚车停在路面时立刻刹车，若刹车时汽车距离抛锚车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚车？试说明理由． 【变式3】（24-25九年级上·浙江·阶段练习）“立定跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以近似地看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系（起跳点为原点，地面所在直线为轴，起跳点所在的竖直方向为轴），从起跳到落地的过程中，设运动员距离地面的竖直高度为，距离起跳点的水平距离为．已知，运动员跳到最高处时距离地面的竖直高度为，距离起跳点的水平距离为． (1)求该运动员腾空路线的解析式； (2)求该运动员落地时距离起跳点的水平距离． 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间t（单位：）具有函数关系为，则小球从飞出到落地的所用时间为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·云南昆明·期中）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1500个，9月份销售个，设7月份到9月份销售量的月增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度h（单位：米）与经过的时间t（单位：秒）满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所经过的时间t是（    ） A．1秒 B．2秒 C．2.4秒 D．3秒 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）若一种服装销售盈利y（万元）与销售数量x（万元）满足函数关系式，则盈利（   ） A．最大值为5万元 B．最大值为7万元 C．最小值为5万元 D．最大值为6万元 5．（2022九年级上·全国·专题练习）如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6，则水柱的最大高度是（　　） A．2 B．4 C．6 D．2+ 二、填空题 6．（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）如图1是小峡水电站黄河公路大桥，它的一个桥拱可以近似看作抛物线，一个桥拱在水面的跨度约为40米，若按如图2所示方式建立平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线可以表示为，则此时桥拱最高点P离水面的高度是 米． 7．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为 ． 8．（2025·山东济南·二模）湖西桥是济南大明湖景区一座抛物线形拱桥，按图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为 ． 9．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了 ． 三、解答题 10．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，要搭建一个矩形的自行车棚，一边靠墙，墙长25m，另外三边围栏总长60m，平行于墙的一边的长为xm，自行车棚的面积为Sm2 (1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)求车棚的面积S的最大值及此时x的值． 11．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个． (1)设该吉祥物毛线玩具每个售价定为元，求该商品销售量y与x之间的函数关系式； (2)若获利不得高于进价的，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？ 12．（24-25九年级上·河北邢台·期中）小宇同学是足球社团的一名成员，同时喜欢运用数学知识对足球训练进行技术分析，下面是他对某次足球射门路线的分析．在如图所示的平面直角坐标系中，点O是原点，小宇从球门正前方的点A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球离球门的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面． ． (1)求抛物线（足球的飞行路线）的函数表达式； (2)已知球门高为，通过计算判断球能否被射进球门（不考虑其他因素）． 13．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）周末，小明跟父母去宁强网红打卡地玩耍，小明的爸爸在树荫下将吊床绑在距离为米的树与树之间（米），两边拴绳的地方、距地面的高度均为米（米），吊床形状近似呈抛物线形，此时吊床最低点离地面的高度为米．已知，，图中所有的点都在同一平面内．以树与地面的交点为原点，地面上所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当吊床上某处离地面高度为米时，求吊床上该处离右边树的距离． 14．（24-25九年级上·广西钦州·期中）露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． 【建立模型】如图2，该款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式； 【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入该款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿AB方向摆放一排此款椅子，最多可摆放多少张椅子？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$