22.1.2二次函数y=ax²的图象和性质 举一反三 2025--2026学年人教版九年级数学上册

22.1.2二次函数y=ax²的图象和性质 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】二次函数y=ax²的图象和性质 4 【题型2】二次函数y=ax²的关系式及应用 6 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】二次函数的图象 （1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 1.（2024•八步区三模）一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于每个选项，先根据二次函数的图象确定a和b的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在． 【解答】解：A、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＞0，b＜0，则一次函数y=ax+b经过第一、三、四象限，且它们的交点为（1，0），所以A选项正确； B、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＞0，b＞0，则一次函数y=ax+b经过第一、二、三象限，所以B选项错误； C、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＜0，b＞0，则一次函数y=ax+b经过第一、二、四象限，所以C选项错误； D、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＜0，b＜0，则一次函数y=ax+b经过第二、三、四象限，所以D选项错误． 故选：A． 2.（2024秋•罗定市期末）二次函数y=mx2+mx（m＜0）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据m＜0函数图象开口向下，对称轴-小于零，可得函数图象． 【解答】解：A、因为二次函数y=mx2+mx（m＜0），所以，函数图象开口向下，对称轴-小于零，即：抛物线对称轴在y轴的左侧，所以，函数图象开口向下，对称轴在y轴左边，符合题意，故A正确； B、图象开口向下，故B错误； C、对称轴在y轴左边，故C错误； D、图象开口向下，故D错误； 故选：A． 【知识点2】二次函数的性质 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-，），对称轴直线x=-，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-时，y随x的增大而减小；x＞-时，y随x的增大而增大；x=-时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-时，y随x的增大而增大；x＞-时，y随x的增大而减小；x=-时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左平移|-|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 1.（2025•西安二模）已知二次函数y=ax2+4ax-a2+3（a是常数，且a≠0），当x＜-3时，y随x的增大而减小，当-1≤x≤1时，y的最小值是-1，则a的值为（　　） A．4 B．-4或1 C．-4 D．1 【答案】D 【分析】根据题意得出抛物线的对称轴为直线x=-2，再根据当x＜-3时，y随x的增大而减小，得a＞0，再根据抛物线的增减性得当x=-1时，y=-1，代入抛物线解析式求值即可． 【解答】解：y=ax2+4ax-a2+3=a（x+2）2-4a-a2+3， ∴二次函数y=ax2+4ax-a2+3的对称轴为直线x=-2， ∵当x＜-3时，y随x的增大而减小， ∴a＞0， ∵当-1≤x≤1时，y的最小值是-1，在对称轴的右边，此时y随x的增大而增大， ∴当x=-1时，y=-1， ∴a-4a-a2+3=-1， 解得a=1或a=-4（舍去）， 即a的值为1． 故选：D． 2.（2025•河北模拟）在平面直角坐标系xOy中，点M（m-4，p），N（m,p），Q（6，q）在抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）上，且抛物线的对称轴为直线x=t.若p＜q＜c,则t的取值范围为（　　） A．3＜t＜4 B．3＜t＜4或t＞8 C．t＜3或4＜t＜8 D．t＞8 【答案】B 【分析】根据抛物线的对称轴为直线x=t.得出（0，c）到x=t的距离为|t|，M（m-4，p），N（m,p）到x=t的距离为2，进而根据a＞0，p＜q＜c,得出2＜|6-t|＜t,即可求解． 【解答】解：由条件可知抛物线的对称轴为直线x=t. ∴， 由条件可知距离对称轴越远的点的纵坐标越大， ∵（0，c）到x=t的距离为|t|，M（m-4，p），N（m,p）到x=t的距离为2， ∴2＜|6-t|＜|t|， 解得：3＜t＜4或t＞8， 故选：B． 【题型1】二次函数y=ax²的图象和性质 【典型例题】设边长为x cm的正方形的面积为y cm2，y是x的函数，该函数的图象是如图中的（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：因为正方形的边长为非负数，所以x≥0，所以选项A、B、D不符合题意，只有选项C符合题意． 故选：C． 【举一反三1】如图，在同一直角坐标系中，作出函数①y=3x²；②y=x²；③y=x²的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（　　） A.①②③ B.①③② C.②③① D.③②① 【答案】B 【解析】①y=3x²， ②y=x²， ③y=x²中，二次项系数a分别为3，，1， ∵3＞1＞， ∴抛物线②y=x²的开口最宽，抛物线①y=3x²的开口最窄． 【举一反三2】如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y=x²与y=-x²的图象，则阴影部分的面积是______ . 【答案】8 【解析】∵函数y=x²与y=-x²的图象关于x轴对称， ∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， 而边长为4的正方形面积为16， 所以图中的阴影部分的面积是8． 【举一反三3】已知抛物线y=ax²的开口向下，且|a|=3，则a=_________． 【答案】-3 【解析】∵抛物线y=ax²的开口向下，∴a＜0，∵|a|=3，∴a=±3，∴a=-3． 【举一反三4】分别写出抛物线y=5x²与y=-x²的开口方向、对称轴和顶点. 【答案】解： 抛物线y=5x²的开口向上，对称轴是y轴，顶点原点； 抛物线y=-x²的开口向下，对称轴是y轴，顶点原点. 【题型2】二次函数y=ax²的关系式及应用 【典型例题】函数图象如图所示，则该函数关系式是（　　） A.y=x² B.y=x² C.y=x² D.y=x² 【答案】D 【解析】设抛物线解析式为y=ax²，把（2，3）代入得a•22=3，解得a=，所以y=x²． 【举一反三1】函数y=ax²（a≠0）的图象经过点（a，8），则a的值为（　　） A.±2 B.-2 C.2 D.3 【答案】C 【解析】把点（a，8）代入y=ax²，得a3=8，∴a=2． 【举一反三2】如图，抛物线y=x²上有两点A、B，A、B关于y轴对称，AB=4，则OB的长为（　　） A.2 B.2 C. D.4 【答案】B 【解析】∵AB=4，∴BC=2，则点B的横坐标为2，y=x²=2， ∴点B的坐标为（2，2），∴OC=2， 在Rt△OCB中，BC=2，OC=2，由勾股定理得OB=2． 【举一反三3】二次函数y=（k+2）x²的图象如图所示，则k的取值范围是    ． 【答案】k＞-2 【解析】解：如图，抛物线的开口方向向上，则k+2＞0， 解得k＞-2． 故答案为：k＞-2． 【举一反三4】一个二次函数，它的对称轴是y轴，顶点是原点，且经过点（-1，-4）． （1）写出这个二次函数的解析式； （2）画出这个函数的图象； （3）在对称轴左侧部分，y随x的增大而怎样变化？ 【答案】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²，把（-1，-4）代入得a=-4， 所以抛物线的解析式为y=-4x²； （2）如图： （3）在对称轴左侧部分，y随x的增大而增大． 【举一反三5】直线l过点A（4，0）和B（0，4）两点，它与二次函数y=ax²的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP=，求二次函数关系式． 【答案】解：设直线为y=kx+b， ∵直线l过点A（4，0）和B（0，4）两点， ∴4k+b=0，b=4 ∴y=-x+4， ∵S△AOP=，∴×4×yp=， ∴yp=，∴=-x+4，解得x=， 把点P的坐标（，）代入y=ax²，解得a=，∴y=x²． 学科网（北京）股份有限公司 $ 22.1.2二次函数y=ax²的图象和性质 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】二次函数y=ax²的图象和性质 3 【题型2】二次函数y=ax²的关系式及应用 4 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】二次函数的图象 （1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 1.（2024•八步区三模）一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（　　） A． B． C． D． 2.（2024秋•罗定市期末）二次函数y=mx2+mx（m＜0）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【知识点2】二次函数的性质 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-，），对称轴直线x=-，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-时，y随x的增大而减小；x＞-时，y随x的增大而增大；x=-时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-时，y随x的增大而增大；x＞-时，y随x的增大而减小；x=-时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左平移|-|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 1.（2025•西安二模）已知二次函数y=ax2+4ax-a2+3（a是常数，且a≠0），当x＜-3时，y随x的增大而减小，当-1≤x≤1时，y的最小值是-1，则a的值为（　　） A．4 B．-4或1 C．-4 D．1 2.（2025•河北模拟）在平面直角坐标系xOy中，点M（m-4，p），N（m,p），Q（6，q）在抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）上，且抛物线的对称轴为直线x=t.若p＜q＜c,则t的取值范围为（　　） A．3＜t＜4 B．3＜t＜4或t＞8 C．t＜3或4＜t＜8 D．t＞8 【题型1】二次函数y=ax²的图象和性质 【典型例题】设边长为x cm的正方形的面积为y cm2，y是x的函数，该函数的图象是如图中的（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，在同一直角坐标系中，作出函数①y=3x²；②y=x²；③y=x²的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（　　） A.①②③ B.①③② C.②③① D.③②① 【举一反三2】如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y=x²与y=-x²的图象，则阴影部分的面积是______ . 【举一反三3】已知抛物线y=ax²的开口向下，且|a|=3，则a=_________． 【举一反三4】分别写出抛物线y=5x²与y=-x²的开口方向、对称轴和顶点. 【题型2】二次函数y=ax²的关系式及应用 【典型例题】函数图象如图所示，则该函数关系式是（　　） A.y=x² B.y=x² C.y=x² D.y=x² 【举一反三1】函数y=ax²（a≠0）的图象经过点（a，8），则a的值为（　　） A.±2 B.-2 C.2 D.3 【举一反三2】如图，抛物线y=x²上有两点A、B，A、B关于y轴对称，AB=4，则OB的长为（　　） A.2 B.2 C. D.4 【举一反三3】二次函数y=（k+2）x²的图象如图所示，则k的取值范围是    ． 【举一反三4】一个二次函数，它的对称轴是y轴，顶点是原点，且经过点（-1，-4）． （1）写出这个二次函数的解析式； （2）画出这个函数的图象； （3）在对称轴左侧部分，y随x的增大而怎样变化？ 【举一反三5】直线l过点A（4，0）和B（0，4）两点，它与二次函数y=ax²的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP=，求二次函数关系式． 学科网（北京）股份有限公司 $