精品解析：江西省南昌市南昌中学（三经路校区）2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试题

2024-2025学年度第二学期南昌中学三经路校区 高二数学期末试卷 命题人：刘昀璐 审题人： 杨红盟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 设全集，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用并集与补集的混合运算求解得答案． 【详解】全集，， ，又， 则． 故选：B． 2. 设是等差数列的前n项和，若，则（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求出，再根据等差数列前n项和公式即可得解. 【详解】由题意得，所以， 所以. 故选：C. 3. 曲线在处的切线方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对函数求导，根据导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式可写出直线方程. 【详解】，则，根据导数的几何意义，切线的斜率为：，又，即切线过点，根据点斜式方程，切线为：，即. 故选：D 4. 已知函数是定义在R上的增函数，且，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数单调性解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在R上的增函数，且， 所以， 故选：A 5. 若数列满足，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据通项确定数列的周期即可求解. 【详解】因且，则， 而，故数列为周期为的周期数列， . 故选：B 6. 若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可知在区间上有解，,等价于在区间上有解，结合存在性问题分析求解即可. 【详解】因为， 若在区间上存在单调递减区间， 则在区间上有解，可得在区间上有解， 又因为在区间上单调递增，则， 可得，所以实数的取值范围是. 故选：A． 7. 已知是定义在上且不恒为的连续函数，若，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 的周期为 D. 的值域为 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，B，C利用赋值法即可判断，对于D，令和，再结合函数的对称性即可判断. 【详解】令得，因为不恒为，所以，所以A错误； 令得，得，则为偶函数，所以B错误； 令得， 则， 则，得周期为，所以C错误； 令得，，即， 令得，即关于中心对称 ，即， 所以，所以D正确. 故选：D. 8. 已知定义在上的函数在上单调递减，且对任意的，总有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数单调性可得,得出在上的最值解不等式即可得结果. 【详解】因为函数对称轴为，函数在上单调递减，则， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 因为，即，则， 若对任意的，都有， 则只要即可，即， 解得，又因为，则. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的是（    ） A. 函数且的图象恒过定点 B. 命题：“”的否定是“” C. 函数既是偶函数，又在上单调递增 D. 若函数，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据指数函数的性质令即可求解A；根据全称命题的否定为存在量词命题即可求解B；根据二次函数及偶函数的性质可判断C；利用换元法即可求解D. 【详解】对于A， 令，则，则， 则且的图象恒过定点，故A正确； 对于B，命题：“”的否定是“” ，故B错误； 对于C，根据二次函数的性质可知，是偶函数且在上单调递增，故C正确； 对于D，令，则，则， 故，故D正确. 故选：ACD. 10. 几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且，利润率.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（ ） A. 此时获得最大利润率 B. 再投入6万元研发经费才能获得最大利润 C. 再投入1万元研发经费可获得最大利润率 D. 再投入1万元研发经费才能获得最大利润 【答案】BC 【解析】 【分析】结合题目中所给条件及自变量的实际意义，利用二次函数以及基本不等式进行求解. 【详解】当时，， 故当时，获得最大利润，为，故B正确，D错误； ， 当且仅当，即时取等号，此时研发利润率取得最大值2，故C正确，A错误. 故选：BC. 11. 关于函数，下列判断正确的是（ ） A. 是的极大值点 B. 函数有且只有1个零点 C. 对不等式在上恒成立 D. 对任意两个正实数，且，若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，直接对函数求导研究即可；对于B，构造函数，求导，利用单调性来判断即可；对于C，将问题转化为在上恒成立，构造函数，求其最大值即可；对于D，将问题转化为证明，，构造函数，利用导数求其最值可得答案. 详解】对于A，，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 为的极小值点，A错误； 对于B，， 则，所以函数在上单调递减， 又，所以函数有且只有1个零点，B正确； 对于C，若在上恒成立， 得在上恒成立， 则， 令，则， 令，， 当时，，单调递减， ，即， 在上单调递减， 故函数，则，C正确； 对于D， 令， ， 则 在上单调递减， 则，即， ， ，，结合A选项可得， ， ，函数在上单调递增， 则， 即对任意两个正实数，且，若，则，D正确 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题难点在选项D，将问题转化为证明，是关键，然后构造出函数来解决问题. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数 ，则函数的值域为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数以及根式可得，进而可得结果. 【详解】令，可得， 所以函数的定义域为 ， 因为，当且仅当时，等号成立， ，则， 所以函数的值域为. 故答案为：. 13. 已知的定义域为R，且，当时，，则_________． 【答案】1 【解析】 【分析】分析可知的一个周期为6，结合周期性运算求解即可. 【详解】因为，则， 可知的一个周期为6， 又因为当时，， 所以. 故答案为：1. 14. 已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由是函数的两个不同的极值点可得，进而得到，然后构造函数，求出函数的值域后可得所求范围． 【详解】由题意可知：定义域为，且． 因为函数有两个不同的极值点，， 则，是方程的两个实数根，且， 可得，解得， 又因为 ， 构建，则， 可知在上单调递增，则， 若不等式 恒成立，则， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，或． （1）当时，求； （2）若，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或．； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用交集运算即可求解； （2）利用充分不必要条件转化为，从而可得参数满足的不等式，即可求解. 【小问1详解】 当时，集合，又或． ∴或或．； 【小问2详解】 ∵若，且是的充分不必要条件，，， ∴，则， 解得:，故的取值范围是． 16. 设数列满足，． （1）证明：数列为等差数列； （2）若数列的前n项和为，证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用已知的递推关系两边取倒数，即可构造数列的递推关系，从而问题得证； （2）利用等差数列可求数列的通项公式，再由裂项法求和，利用单调性可证明不等式. 【小问1详解】 由可得：， 所以数列为等差数列，且首项为3，公差为3； 小问2详解】 由数列为等差数列，，可得, 所以，又因为， 所以， 因为，所以，故． 17. 已知曲线在点处的切线的斜率为0，且当时，函数取得极值． （1）求函数的极值； （2）若存在，使得不等式成立，求m的取值范围． 【答案】（1）极大值为，极小值为； （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，函数极值与导数值为0的关系，可求解参数，再利用单调性可求出极值; （2）利用存在性问题满足的条件是，则只需要利用单调性结合端点值可求最小值，即可得参数范围. 【小问1详解】 由题得：，结合题意可得: ，解得， 可得：，． 当，，所以在上单调递增， 当，，所以在上单调递减， 当，，所以在上单调递增， 所以当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值， 故函数取得极大值为，极小值为 【小问2详解】 由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以在时有最小值， 所以要使不等式能成立，则．所以 故取值范围是． 18. 已知幂函数满足． （1）求函数的解析式； （2）若函数，，且的最小值为0，求实数m的值； （3）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为?若存在，求出实数n的取值范围，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用幂函数的定义即可求解参数，再利用幂函数的性质，进行检验参数值即可得解； （2）利用分类讨论思想判断二次函数在闭区间上的最小值的取值情况，即可求解参数； （3）利用函数单调性由定义域和值域对应关系组成方程组，再利用消元思想，得到的函数关系，最后通过研究定义域，即可求出的值域. 【小问1详解】 ∵是幂函数，∴得，解得：或， 当时，，不满足， 当时，，满足， ∴故得，函数的解析式为； 【小问2详解】 由函数，即，令， ∵，∴，记，其对称轴在， ①当，即时，则， 解得：，此时满足，保留； ②当时，即， 则，解得：，此时不满足，舍去； ③当时，即时， 则，解得：，此时不满足，舍去； 综上所述，存在使得的最小值为0； 【小问3详解】 由函数在定义域内为单调递减函数， 若存在实数，使函数在上的值域为， 则， 由两式相减可得： ， 所以有，代入可得： ，令， 因为，， 即，， 所以，即，则， 而．故得实数的取值范围. 19. 已知函数有两个零点． （1）求a的取值范围； （2）设是的两个零点，证明：． 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）等价于有两个零点，设，求出函数的最小值利用零点存在性定理分析即得解； （2）不妨设，等价于证明，再利用极值点偏移的方法证明. 【小问1详解】 解：由，得， 设，则，， 因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 又因为，所以， ， ， 所以a的取值范围是． 【小问2详解】 证明：不妨设， 由（1）知，则，，， 又在上单调递增， 所以等价于，即． 设， 则． 设，则， 设，则，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，又因为，，， 所以存在，使得，当时，，即， 当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增． 又因为，， 所以当时，，当时，， 所以当时，，单调递减， 因为，所以， 所以，即原命题得证． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是掌握极值点偏移的解题方法，对于这些典型题型，学生要理解并灵活掌握. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期南昌中学三经路校区 高二数学期末试卷 命题人：刘昀璐 审题人： 杨红盟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 设全集，，，则等于（ ） A B. C. D. 2. 设是等差数列的前n项和，若，则（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 3. 曲线在处的切线方程为（　　） A. B. C. D. 4. 已知函数是定义在R上的增函数，且，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若数列满足，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 6. 若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 7. 已知是定义在上且不恒为的连续函数，若，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 的周期为 D. 的值域为 8. 已知定义在上的函数在上单调递减，且对任意的，总有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的是（    ） A. 函数且的图象恒过定点 B. 命题：“”的否定是“” C. 函数既偶函数，又在上单调递增 D. 若函数，则 10. 几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且，利润率.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（ ） A. 此时获得最大利润率 B. 再投入6万元研发经费才能获得最大利润 C. 再投入1万元研发经费可获得最大利润率 D. 再投入1万元研发经费才能获得最大利润 11. 关于函数，下列判断正确的是（ ） A. 是的极大值点 B. 函数有且只有1个零点 C. 对不等式在上恒成立 D. 对任意两个正实数，且，若，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数 ，则函数的值域为_________． 13. 已知的定义域为R，且，当时，，则_________． 14. 已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，或． （1）当时，求； （2）若，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 16 设数列满足，． （1）证明：数列为等差数列； （2）若数列的前n项和为，证明：． 17. 已知曲线在点处的切线的斜率为0，且当时，函数取得极值． （1）求函数极值； （2）若存在，使得不等式成立，求m的取值范围． 18. 已知幂函数满足． （1）求函数的解析式； （2）若函数，，且的最小值为0，求实数m的值； （3）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为?若存在，求出实数n的取值范围，若不存在，请说明理由． 19. 已知函数有两个零点． （1）求a的取值范围； （2）设是的两个零点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$