解三角形：利用三角函数、基本不等式、二次函数、导数求最值与范围问题 讲义-2026届高三数学一轮复习

解三角形：利用三角函数、基本不等式、二次函数、导数求最值与范围问题复习讲义 解三角形：利用三角函数、基本不等式、二次函数、导数求最值与范围问题复习讲义 考点一 利用三角函数有界性求最值与范围问题 【知识点解析】 1.利用三角函数的有界性求最值与范围的处理步骤 （1）利用正弦定理或余弦定理实现“边”化“角”. （2）利用实现统一角，将函数自变量边长只有一个. （3）利用和差公式、倍角公式、辅助角公式等对表达式进行化简. （4）讨论角度范围，进而得到三角函数的值域或最值. 2.常见的边角互化的方法 （1）在中，已知和 ①若求的范围，可先求,从而. ②若求的范围，可先求,从而. ③若求的范围，从而. （2）在中，已知和 ①若求的范围，由正弦定理，化简可得. ②若求的范围，由正弦定理，化简可得. 3.常见讨论角度范围的方法 （1）若已知，则. （2）若已知且为锐角三角形，则，联立可求出所需角度范围. （3）若已知且为钝角三角形，则或，联立可求出所需角度范围. （4）若已知且为锐角三角形，则，联立可求出所需角度范围. 【例题分析】 1．（2024·江苏连云港·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）已知是锐角三角形，角所对的边分别为为的面积，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·重庆万州·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·山东枣庄·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知分别为锐角三个内角的对边，且. (1)求； (2)若；求周长的取值范围. 6．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 7．（24-25高二下·浙江金华·期末）已知为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且， (1)求； (2)若，求面积的取值范围. 8．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知钝角△ABC中，. (1)若，，求； (2)若，求△ABC的周长的取值范围. 9．（24-25高一下·安徽六安·期末）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且. (1)求C； (2)若G为内一点且，求长度的最大值； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 10．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，， (1)若以，，为边长的三个正三角形的面积分别为，，并满足，，求. (2)设是角的平分线，与边交于，若，，求，； (3)若，求面积的取值范围. 考点二 利用基本不等式求最值与范围问题 【知识点解析】 1. 基本不等式一般形式（均值不等式） （1）原型：若，则； （2）常见变形：；； （3）使用步骤：一正、二定、三相等. 总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值. 2. 余弦定理联立基本不等式求最值 若已知和，由余弦定理得① 由基本不等式得② 联立①、②可解得与的范围. 【例题分析】 1．（24-25高二上·河北张家口·开学考试）在中，角所对的边分别为，若，且，则周长的最大值为（    ） A． B． C．6 D．9 2．（24-25高三上·广东湛江·期末）在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 3．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）在中，已知，，则周长最大值为（   ） A．4 B．6 C． D． 4．（24-25高一下·广东广州·期中·多选）在中，角，，所对的边分别为，，，，，则（    ） A．外接圆的面积为 B．若，则 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 5．（24-25高一下·广东深圳·期中·多选）在中，角的对边分别是，若，，则（    ） A．面积的最大值为 B．周长的最大值为6 C．的取值范围为 D．的最大值为 6．（23-24高一下·浙江·阶段练习）在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. (1)求角； (2)若点M在边上BC满足，且，求面积的最大值. 7．（24-25高二上·湖北·阶段练习）的内角的对边分别为，已知 (1)求； (2)若点在上，且满足，求面积的最大值. 8．（24-25高一下·山西吕梁·期中）在中，内角、、所对的边分别为、、，满足. (1)求角的大小； (2)若，边上的中线的长为，求的面积； (3)若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值． 9．（24-25高一下·湖北荆门·期末）在中，内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若的面积，求面积的最小值. 10．（24-25高一下·重庆·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，， (1)求角A的大小； (2)求周长的最大值； (3)若BC中点为D，求AD的最小值. 考点三 利用二次函数求最值与范围问题 【知识点解析】 对于二次函数，，若，则二次函数开口向上，对称轴为 （1）若，则在上单调递增.当时，；当时，. （2）若，则在上单调递减.当时，；当时，. （3）若，则在上单调递减，在上单调递增. 当时，； 若，则； 若，则； ※若开口向下，依旧根据开口方向、对称轴与定义域的关系进行讨论 【例题分析】 1．（2024·四川成都·模拟预测）设锐角的三个内角的对边分别为，且，则的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）在三角形中，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，且，求的取值范围. 3．（24-25高三上·湖南湘潭·开学考试）设的内角的对边分别为，为钝角，且． (1)探究与的关系并证明你的结论； (2)求的取值范围． 4．（24-25高三上·重庆·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，满足 (1)求证：； (2)若为锐角三角形，求的最大值． 5．（2025·广东广州·模拟预测）已知，，为的内角，且，为锐角． （1）求角的大小； （2）求的取值范围． 考点四 利用导数求最值与范围问题 【知识点解析】 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值． 步骤1：确定函数的定义域. 步骤2：求导，令导数，求根. 步骤3：根据的根将定义域分为多个区间，分别讨论每个子区间导数的正负. 步骤4：根据导数的正负写出单调区间. 步骤5：根据单调区间确定极值点和极值. 步骤6：比较极值点与、的大小，确定最值. 【例题分析】 1．（2024·山西·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足． (1)试判断的形状； (2)若的外接圆半径为2，求周长的最大值． 2．（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知． (1)证明：． (2)求的取值范围． 3．（2024·贵州贵阳·三模）已知的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且满足.请回答下列问题: (1)证明:为等腰三角形; (2)若的外接圆直径为1，试求周长的取值范围. 4．（2024·山东泰安·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，且. (1)若，，求； (2)求的最大值. 5．（2024·山西吕梁·二模）已知，其图象相邻对称轴间的距离为，若将其图象向左平移个单位得到函数的图象. (1)求函数的解析式； (2)在钝角中，内角的对边分别是，若，求的取值范围. 6．（2025·山西·三模）设的内角，，的对边分别为，，，且满足． (1)证明：； (2)已知，求取得最小值时的值． 课后综合练习 1．（23-24高三下·浙江·开学考试）已知的内角的对边分别是，且. (1)判断的形状； (2)若的外接圆半径为1，求周长的最大值. 2．（23-24高一下·湖北黄冈·期中）已知三个内角，，的对边分别为，，，向量，，且. (1)求角； (2)若，求的面积的最大值； (3)若，求的周长的取值范围. 3．（24-25高一下·江西赣州·期末）如图，在平而四边形中，，，，. (1)若，，求的大小； (2)若，求四边形面积的最大值. 4．（24-25高一下·广东惠州·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角； (2)若的角平分线交于点，且，，求边的长度； (3)若为锐角三角形，，求周长的取值范围. 5．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题. 已知是的三个内角的对边，且__________. (1)求； (2)若，求锐角的周长的取值范围. 6．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知中，角，，所对的边分别为，，， (1)求证：； (2)若，求周长的取值范围． 7．（24-25高一下·天津·期中）已知的内角所对的边分别为，其中. (1)若. ①求角； ②若为锐角三角形，求周长的取值范围； (2)若，求内切圆面积的最大值. 8．（2025·广东广州·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$解三角形：利用三角函数、基本不等式、二次函数、导数求最值与范围问题复习讲义 解三角形：利用三角函数、基本不等式、二次函数、导数求最值与范围问题复习讲义 考点一 利用三角函数有界性求最值与范围问题 【知识点解析】 1.利用三角函数的有界性求最值与范围的处理步骤 （1）利用正弦定理或余弦定理实现“边”化“角”. （2）利用实现统一角，将函数自变量边长只有一个. （3）利用和差公式、倍角公式、辅助角公式等对表达式进行化简. （4）讨论角度范围，进而得到三角函数的值域或最值. 2.常见的边角互化的方法 （1）在中，已知和 ①若求的范围，可先求,从而. ②若求的范围，可先求,从而. ③若求的范围，从而. （2）在中，已知和 ①若求的范围，由正弦定理，化简可得. ②若求的范围，由正弦定理，化简可得. 3.常见讨论角度范围的方法 （1）若已知，则. （2）若已知且为锐角三角形，则，联立可求出所需角度范围. （3）若已知且为钝角三角形，则或，联立可求出所需角度范围. （4）若已知且为锐角三角形，则，联立可求出所需角度范围. 【例题分析】 1．（2024·江苏连云港·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，， 由正弦定理可得，即， 所以，所以或（舍去），所以， 由正弦定理得,， 而，，所以， 所以，所以，所以的取值范围为. 故选：B 2．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）已知是锐角三角形，角所对的边分别为为的面积，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， 得，所以， 所以，又，所以， 由正弦定理得， 由，得， 所以，所以， 所以. 故选：B. 3．（24-25高一下·重庆万州·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，由余弦定理得，且的面积， 由，得，化简得， 又，，联立解得，， 所以， 为锐角三角形，有，，得， 则有，可得，所以. 故选：C 4．（24-25高一下·山东枣庄·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则由正弦定理得， 又， 所以， 则， 又，，则 所以或，即或（舍去）， 所以，解得，则， 所以 因为， 所以 因为，所以，所以， 即的取值范围是． 故选：D． 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知分别为锐角三个内角的对边，且. (1)求； (2)若；求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. 由正弦定理得 在中， 代入上式化简得： 因为，所以，即 为锐角，. （2）由正弦定理得 所以 ， 是锐角三角形，， ， 即， 所以周长的取值范围为. 6．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 所以， 所以，所以， 因为，所以， 又，所以； （2）由（1）可知， 所以， 由正弦定理， 所以， 因为为锐角三角形， 所以，所以， 所以，即， 又， 所以，所以面积的取值范围为. 7．（24-25高二下·浙江金华·期末）已知为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且， (1)求； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由余弦定理，， 结合题意得，即. （2）由题意，为锐角三角形，,则，. 由正弦定理得，即， .. 8．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知钝角△ABC中，. (1)若，，求； (2)若，求△ABC的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设的所对的边为， 则依题意，，，， 由余弦定理得，即， 即，解得或， 当，最大，最大，此时， 所以为锐角，不合题意； 当，最大，最大，此时， 所以为钝角，符合题意， 所以. （2），，设外接圆半径为， 则，则， 则周长 因为钝角△ABC，所以， 所以， 所以， 所以， 所以△ABC的周长取值范围为. 9．（24-25高一下·安徽六安·期末）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且. (1)求C； (2)若G为内一点且，求长度的最大值； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）因为，所以根据正弦定理得， 即，得，所以， 又，所以． （2）如图，设是的中点，因为， 所以， 所以是的中点． 因为， 所以． 由余弦定理得，当且仅当时取等号，所以，所以，得， 所以，即长度的最大值为．    （3）因为，所以， 由正弦定理知 . 又为锐角三角形，所以得， 所以，所以， 所以， 所以， 即的周长的取值范围为． 10．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，， (1)若以，，为边长的三个正三角形的面积分别为，，并满足，，求. (2)设是角的平分线，与边交于，若，，求，； (3)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2)，； (3) 【详解】（1）因为，所以， 即，即，又，则， 所以，则，所以，则； 因为， 所以，所以，解得， 由正弦定理，所以，则， 所以. （2）在中，由正弦定理有， 在中，由正弦定理有， 因为是角的平分线，故， 又，故， 所以， 设，， 在中由余弦定理，有， 解得，所以（负值舍去）， 所以，. （3）因为， 由正弦定理，得， 在锐角中，，，， 即，可得， 则有，，，， 即，得， 所以面积的取值范围为. 考点二 利用基本不等式求最值与范围问题 【知识点解析】 1. 基本不等式一般形式（均值不等式） （1）原型：若，则； （2）常见变形：；； （3）使用步骤：一正、二定、三相等. 总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值. 2. 余弦定理联立基本不等式求最值 若已知和，由余弦定理得① 由基本不等式得② 联立①、②可解得与的范围. 【例题分析】 1．（24-25高二上·河北张家口·开学考试）在中，角所对的边分别为，若，且，则周长的最大值为（    ） A． B． C．6 D．9 【答案】D 【详解】在中，由及正弦定理， 得， 而， 则， 而，整理得， 又，解得， 由余弦定理，得 ， 解得，当且仅当时取等号， 所以周长的最大值为9. 故选：D 2．（24-25高三上·广东湛江·期末）在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】因为， 由正弦定理，得． 因为， 所以， 所以， 所以. 因为，所以，则． 由余弦定理，得， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为. 故选：B. 3．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）在中，已知，，则周长最大值为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【详解】在中，由及正弦定理， 得，整理得，而， 因此，解得，当且仅当时取等号， 所以当时，周长取得最大值6. 故选：B 4．（24-25高一下·广东广州·期中·多选）在中，角，，所对的边分别为，，，，，则（    ） A．外接圆的面积为 B．若，则 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 【答案】ABC 【详解】对于A，由题意知，故设外接圆的半径为， 则，即得，则外接圆的面积为，故A正确； 对于B，若，则由正弦定理可得，可得， 又，可得，故B正确； 对于C，由题意可得，当且仅当时等号成立， 则，故面积的最大值为，故C正确； 对于D，由余弦定理可得， 则，当且仅当时等号成立， 即得，故周长的最大值为，故D错误. 故选：ABC． 5．（24-25高一下·广东深圳·期中·多选）在中，角的对边分别是，若，，则（    ） A．面积的最大值为 B．周长的最大值为6 C．的取值范围为 D．的最大值为 【答案】ABC 【详解】由余弦定理可得，， 因，则，等号成立时， 则，故A正确； 因，则， 结合可得，，等号成立时， 又，即，则，故B正确； 因，，则，故C正确； 令，则，代入中得， 此关于的一元二次方程有解，则，解得， 等号成立时，，故D错误. 故选：ABC 6．（23-24高一下·浙江·阶段练习）在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. (1)求角； (2)若点M在边上BC满足，且，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由， 由正弦定理得， 即，所以， 又，所以； （2）法一：由M在边BC上满足，可得， 两边平方可得， 所以，所以， 当且仅当时取“”， 所以，所以， 即面积的最大值为. 法二：由，则， 由余弦定理可得， 即， 可得， 又因为， 所以， 当且仅当时取“＝”， 所以，所以， 即面积的最大值为. 7．（24-25高二上·湖北·阶段练习）的内角的对边分别为，已知 (1)求； (2)若点在上，且满足，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 由正弦定理得， ， ， ， ， ， ， ， . （2）， ， ， 又， ， ， ，当且仅当时，等号成立， 的面积， 即面积的最大值为.    8．（24-25高一下·山西吕梁·期中）在中，内角、、所对的边分别为、、，满足. (1)求角的大小； (2)若，边上的中线的长为，求的面积； (3)若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）由及正弦定理得： ， 因为、，所以，则，故. （2）解法一：因为，为中点，则， 由余弦定理得，得， 在中，， 在中，， 因为，所以， 所以，，解得：， 故的面积为； 解法二：因为为的中点，则， 所以，， 即， 由余弦定理可得，即， 所以，故的面积为. （3）因为，平分，所以， 又，则由，得， 所以， 由基本不等式可得，则，得， 当且仅当时，等号成立， 所以，故面积的最小值为. 9．（24-25高一下·湖北荆门·期末）在中，内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若的面积，求面积的最小值. 【答案】(1). (2). 【详解】（1）中，，由正弦定理得 ， 即， 故，又，则， 即， 又，可得； （2），则， 由余弦定理得， 即，即当且仅当时，等号成立， 故面积的最小值为. 10．（24-25高一下·重庆·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，， (1)求角A的大小； (2)求周长的最大值； (3)若BC中点为D，求AD的最小值. 【答案】(1); (2); (3). 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得，即 ， 因为，所以. （2）由（1）得，且 由正弦定理得：， . ∴当时，的最大值为， ∴周长的最大值是. （3）因为，所以 所以，当且仅当时，等号成立. 即 因为D为的中点，所以, 所以， 即. 所以. 故AD的最小值为. 考点三 利用二次函数求最值与范围问题 【知识点解析】 对于二次函数，，若，则二次函数开口向上，对称轴为 （1）若，则在上单调递增.当时，；当时，. （2）若，则在上单调递减.当时，；当时，. （3）若，则在上单调递减，在上单调递增. 当时，； 若，则； 若，则； ※若开口向下，依旧根据开口方向、对称轴与定义域的关系进行讨论 【例题分析】 1．（2024·四川成都·模拟预测）设锐角的三个内角的对边分别为，且，则的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，由可得， 由正弦定理得： 又为锐角三角形，所以，解得， 令，则， 因为在时单调递增， 所以，则. 故选：C 2．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）在三角形中，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据正弦定理可知：， 因为，所以，所以. （2）由余弦定理可知：，因为，所以，，， 因为，所以，， 由正弦定理得：， 所以 ， 因为，所以，所以， 所以时，取得最小值， 并且， 所以的范围是. 3．（24-25高三上·湖南湘潭·开学考试）设的内角的对边分别为，为钝角，且． (1)探究与的关系并证明你的结论； (2)求的取值范围． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【详解】（1）解：因为，由正弦定理得， 所以，即， 又因为，所以， 于是，所以. （2）解：由（1）知，，所以，所以， 所以， 令，则且， 所以， 当时，取得最大值，最大值为， 当或时，函数值为， 所以的取值范围是． 4．（24-25高三上·重庆·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，满足 (1)求证：； (2)若为锐角三角形，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题， 由正弦定理：， 所以， 整理， 所以， 或（舍）, . （2）为锐角三角形, 解得：,所以， 且 由（1）问，， 令， 则， 所以 因为, 当时，所求的最大值为. 5．（2025·广东广州·模拟预测）已知，，为的内角，且，为锐角． （1）求角的大小； （2）求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）∵， ∴，即，而， ∴，又为锐角，即． （2）， 令，则，， ∴，即的取值范围为. 考点四 利用导数求最值与范围问题 【知识点解析】 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值． 步骤1：确定函数的定义域. 步骤2：求导，令导数，求根. 步骤3：根据的根将定义域分为多个区间，分别讨论每个子区间导数的正负. 步骤4：根据导数的正负写出单调区间. 步骤5：根据单调区间确定极值点和极值. 步骤6：比较极值点与、的大小，确定最值. 【例题分析】 1．（2024·山西·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足． (1)试判断的形状； (2)若的外接圆半径为2，求周长的最大值． 【答案】(1)为等腰三角形 (2) 【详解】（1）由题意可知： ， 整理得， 且，则，可知，即， 所以为等腰三角形. （2）由正弦定理，可得， 则周长， 由（1）可知：， 可得， 构建函数， 则， 因为，则， 当时，，则； 当时，，则； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则， 所以当且仅当为等边三角形时，周长取到最大值. 2．（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知． (1)证明：． (2)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明如下： 由， 则有，所以， 因为，所以，则B为锐角． 所以，所以或， 则或， 由题意知，所以， 所以． （2）由（1）知，且， 由正弦定理，有 即 令，记， ．在上单调递增． 即． 故的取值范围为． 3．（2024·贵州贵阳·三模）已知的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且满足.请回答下列问题: (1)证明:为等腰三角形; (2)若的外接圆直径为1，试求周长的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为，由正弦定理可得， 即， 在三角形中，， 所以，又因为均为三角形的内角，即， 即证得为等腰三角形； （2）由（1）可得， 由正弦定理可得，而， 所，，， 所以， 设，， 则， 当时，，在定义域内单调递增， 当时，，在定义域内单调递减． 所以， ，，所以． 所以，周长的取值范围是． 4．（2024·山东泰安·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，且. (1)若，，求； (2)求的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得，所以， 又， 整理可得，解得或（舍）， 由正弦定理可得. （2）由，即， 所以或（舍）， 所以，所以， 所以， 由， 令， 则， 因为，令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即的最大值. 5．（2024·山西吕梁·二模）已知，其图象相邻对称轴间的距离为，若将其图象向左平移个单位得到函数的图象. (1)求函数的解析式； (2)在钝角中，内角的对边分别是，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知的图象相邻对称轴间的距离为，则. 由周期公式得，， 所以， （2）由题意得，，， 所以. 所以或（舍），所以. 因为在钝角中，所以， 所以，则 令，， 当时，；当时，； 可得在单调递减，在单调递增. 所以当，即时，有最小值； ，所以 故. 6．（2025·山西·三模）设的内角，，的对边分别为，，，且满足． (1)证明：； (2)已知，求取得最小值时的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由， 由正弦定理可得， 所以， 所以， 所以， 因为、为三角形的内角，所以、不可能同时为直角， 若、中有一个直角，不妨令为直角，则，，显然， 则等式不成立， 所以、均不是直角， 所以； （2）依题意不是直角， 所以， 故， 因为且，所以， 令， 设，， 有， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上所述，取得最小值时，， 即取得最小值时，为． 课后综合练习 1．（23-24高三下·浙江·开学考试）已知的内角的对边分别是，且. (1)判断的形状； (2)若的外接圆半径为1，求周长的最大值. 【答案】(1)等腰三角形 (2) 【详解】（1）因为，所以， 所以， 所以， 所以，即， 因为，所以； 所以为等腰三角形； （2）由题意可知， 所以的周长为： ， 设， 则， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以当时，取到最大值， 所以周长的最大值为. 2．（23-24高一下·湖北黄冈·期中）已知三个内角，，的对边分别为，，，向量，，且. (1)求角； (2)若，求的面积的最大值； (3)若，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，，且， 所以， 由正弦定理可得， 又，所以，所以，则， 又，所以； （2）因为，， 由余弦定理，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 即的面积的最大值为； （3）由（2）可知， 则，又， 所以，即，显然， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 即的周长的取值范围为. 3．（24-25高一下·江西赣州·期末）如图，在平而四边形中，，，，.    (1)若，，求的大小； (2)若，求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知，，得， 所以，得. 在中，因为，，所以， 又，由正弦定理得， 得， 因为，所以，所以， 所以. （2）由已知得，所以， 在中 所以， 又因为，得， 所以四边形面积 所以， 因为，所以， 当时，即时，. 4．（24-25高一下·广东惠州·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角； (2)若的角平分线交于点，且，，求边的长度； (3)若为锐角三角形，，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 由正弦定理可知，即， 又由余弦定理可知， 又，则； （2）由已知的角平分线交于点， 则， 又在中，， 即， 即， 解得； （3）由正弦定理可知， 则，， 又在中，， 则周长， 因为为锐角三角形， 则，即， 则， 所以， 故周长. 5．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题. 已知是的三个内角的对边，且__________. (1)求； (2)若，求锐角的周长的取值范围. 【答案】(1)选①②③，答案均为 (2) 【详解】（1）选①，由， 可得， 因为及正弦定理，可得， 所以，整理得， 则，因为，所以； 选②，由，可得， 即， 因为，可得，所以，即； 选③，由，由正弦定理得， 即， 即， 整理得， 因为，可得， 即，因为，所以. （2）由，可得， 故， 所以周长， 又由，可得， ， 又因为是锐角三角形，所以， 即，解得， 可得，所以， 所以， 所以的周长的取值范围为. 6．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知中，角，，所对的边分别为，，， (1)求证：； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由得， 从而， 得， 由余弦定理得，即， 由正弦定理得， 又在三角形中，， 所以． 所以，即． 所以或， 即或． 因为，，所以． （2）由得， 所以， 即，解得， 因为，由正弦定理得，所以， 由正弦定理得 ， 故的周长． 令，由（1）知，所以． 因为函数在上单调递增， 所以周长的取值范围为． 7．（24-25高一下·天津·期中）已知的内角所对的边分别为，其中. (1)若. ①求角； ②若为锐角三角形，求周长的取值范围； (2)若，求内切圆面积的最大值. 【答案】(1)①；② (2) 【详解】（1）①因，则， 即， 则由正弦定理可得，则， 因，则 ②由正弦定理，得， 则周长 ， 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以周长范围是. （2）因为，则， 由正弦定理得， 即， 即， 化简得， 因为，所以，则， 所以，则， 设内切圆半径为，则， 又， 当且仅当时，即当时等号成立， 所以， 的内切圆面积， 即的内切圆面积的最大值是. 8．（2025·广东广州·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）方法一：直接法 可得， 则，即， 注意到，于是， 展开可得，则， 又，. 方法二：二倍角公式处理+直接法 因为， 即， 而，所以； 方法三：导数同构法 根据可知，， 设，， 则在上单调递减，， 故，结合，解得. 方法四：恒等变换化简 ， 结合正切函数的单调性，，则， 结合，解得. （2）由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$