第四章 13 培优课8 解三角形中的证明及最值(范围)问题（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学高考复习讲义聚焦解三角形中的证明及最值（范围）核心考点，以正余弦定理、三角函数、基本不等式为工具，按“证明问题—最值问题（基本不等式、三角函数、函数转化）”逻辑架构知识点，通过考点梳理、方法总结、真题精讲（如2022全国乙卷、新高考Ⅰ卷）、分层对点练等环节，帮助学生构建解题框架。 讲义突出高考真题导向与分层突破策略，如证明题采用正余弦定理转化与三角恒等变换双路径推理，培养数学思维，最值问题通过“边角互化—函数建模”策略提升解题效率。设置基础巩固与能力提升练习，助力学生在有限时间内深化数学语言表达能力，为教师把控复习节奏提供精准指导。

培优课8　解三角形中的证明及最值(范围)问题 　　解三角形中的证明及最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系. 题型一　与三角形有关的证明问题 (2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A). (1)证明：2a2＝b2＋c2； (2)若a＝5，cos A＝，求△ABC的周长. 解：(1)证明：法一：由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)可得，sin Csin Acos B－sin Ccos Asin B＝sin Bsin Ccos A－sin Bcos Csin A， 结合正弦定理＝＝可得accos B－bccos A＝bccos A－abcos C， 即accos B＋abcos C＝2bccos A.(*) 由余弦定理可知accos B＝，abcos C＝，2bccos A＝b2＋c2－a2，代入(*)式整理得2a2＝b2＋c2. 法二：因为A＋B＋C＝π， 所以sin Csin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B， 同理有sin Bsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A， 所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A， 由正弦定理可得2a2＝b2＋c2. (2)由(1)及a2＝b2＋c2－2bccos A得， a2＝2bccos A，所以2bc＝31. 因为b2＋c2＝2a2＝50，所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝81，得b＋c＝9， 所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝14. 证明与三角形有关的等式(或不等式)的一般思路 1.利用正、余弦定理完成边角转化：把已知条件或待证等(不等)式转化为以角为研究对象的三角等(不等)式或以边为研究对象的代数等(不等)式. 2.充分利用三角形中隐含条件：(1)A＋B＋C＝π；(2)A＞B⇔sin A＞sin B；(3)a－b＜c＜a＋b及三角函数的性质、三角恒等变换公式等推导证明. 　　 对点练1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2(＋A)＋cos A＝. (1)求A； (2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形. 解：(1)由已知得sin 2A＋cos A＝， 即cos2A－cos A＋＝0. 所以(cos A－)2＝0，cos A＝. 由于0＜A＜π，故A＝. (2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin B－sin C＝sin A. 由(1)知B＋C＝， 所以sin B－sin(－B)＝sin ， 即sin B－cos B＝，sin(B－)＝. 由于0＜B＜，故B＝. 从而△ABC是直角三角形. 题型二　解三角形中的最值(范围)问题 角度1　利用基本不等式求最值(范围) (2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝. (1)若C＝，求B； (2)求的最小值. 解：(1)因为＝＝＝，即sin B＝cos Acos B－sin Asin B＝cos＝－cos C＝， 而0＜B＜，所以B＝. (2)由(1)知，sin B＝－cos C＞0， 所以＜C＜π，0＜B＜. 而sin B＝－cos C＝sin， 所以C＝＋B，即有A＝－2B，所以B∈，C∈， 所以＝＝ ＝＝4cos2B＋－5≥2－5＝4－5. 当且仅当cos2B＝时取等号，所以的最小值为4－5. 角度2　转化为三角函数求最值(范围) (2020·全国Ⅱ卷)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C. (1)求A； (2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值. 解：(1)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 由正弦定理和已知条件得a2－b2－c2＝bc. 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A ，得cos A＝－. 因为0＜A＜π，所以A＝. (2)由BC＝a＝3，A＝，得＝＝＝2， 从而b＝2sin B，c＝2sin(π－A－B)＝3cos B－sin B， 故a＋b＋c＝3＋sin B＋3cos B＝3＋2sin(B＋). 又0＜B＜，所以＜B＋＜， 故当B＝时，△ABC周长取得最大值3＋2. 角度3　转化为其他函数求最值(范围) 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为钝角，asin B＝bcos B. (1)若C＝，求A； (2)求cos A＋cos B＋cos C的取值范围. 解：(1)由asin B＝bcos B，根据正弦定理得sin Asin B＝sin Bcos B， 由于sin B≠0，可知sin A＝cos B，即sin A＝sin， 因为A为钝角，则B为锐角，即B∈，则＋B∈，则A＝＋B，C＝－2B. 由A＝＋B，C＝，A＋B＋C＝π，得A＝. (2)cos A＋cos B＋cos C＝cos＋cos B＋cos＝－sin B＋cos B＋sin 2B＝cos B－sin B＋2sin Bcos B. 因为C＝－2B为锐角，所以0＜－2B＜， 即0＜B＜，则B＋∈， 设t＝cos B－sin B＝cos∈， 则2sin Bcos B＝1－t2， 所以cos A＋cos B＋cos C＝t＋1－t2＝－＋. 因为t∈(0，1)，则∈， 从而－＋∈. 由此可知，cos A＋cos B＋cos C的取值范围是. 解三角形中最值(范围)问题的解题策略 1.利用基本不等式求最值时，要构造不等式成立的条件，即出现“b2＋c2”与“bc”，“b＋c”与“bc”之间的关系. 2.如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围. 3.利用正、余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；也可利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解. 　　 对点练2.(2024·湖南怀化二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c＝b(sin A＋cos A). (1)求角B的大小； (2)若a＋c＝2，求b的取值范围. 解：(1)由c＝b， 得sin C＝sin Bsin A＋sin Bcos A， 所以sin＝sin Bsin A＋sin Bcos A， 所以sin Acos B＋cos Asin B＝sin Bsin A＋sin Bcos A， 所以sin Acos B＝sin Asin B，又sin A≠0， 所以tan B＝.因为B∈，所以B＝. (2)因为a＋c＝2，B＝， 所以b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac ＝－3ac＝4－3ac≥4－3＝1(当且仅当a＝c时取等号)， 又b＜a＋c＝2， 所以b的取值范围为. 对点练3.(2025·四川德阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin C＝cos，b＝3. (1)求B； (2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围. 解：(1)因为sin C＝cos ，b＝3，所以sin Bsin C＝sin Ccos ， 因为sin C≠0，所以sin B＝cos ，则2sin cos ＝cos ，因为cos ≠0，所以sin ＝，又∈，则＝，所以B＝. (2)设△ABC的外接圆半径为R， 则2R＝＝2， 所以S△ABC＝acsin B＝2Rsin A2Rsin Csin B＝3sin Asin ＝3sin A ＝sin Acos A＋sin2A ＝sin 2A＋· ＝sin 2A－cos 2A＋ ＝sin＋. 因为△ABC为锐角三角形，所以 解得＜A＜. 则＜2A－＜，则＜sin ≤1， 所以＜S△ABC≤， 所以△ABC面积的取值范围为(，］. 学科网（北京）股份有限公司 $