解三角形：边角互化问题、三角形形状问题、周长与周长最值问题、面积与面积最值问题复习讲义-2026届高三数学一轮复习

解三角形：边角互化问题、三角形形状问题、周长与周长最值问题、面积与面积最值问题复习讲义 解三角形：边角互化问题、三角形形状问题、周长与周长最值问题、 面积与面积最值问题复习讲义 考点一 边角互化问题 【知识点解析】 1.边角互化的原理 （1）利用正弦定理进行边角互化：；；； （2）利用余弦定理进行边角互化：；；. 2.边角互化注意事项 （1）常见化简技巧 序号 化简技巧 ① 一般情况下，有余弦出现，则“边化角”，没有余弦出现，则“角化边”，前提：“齐次”. ② 有余弦出现也有可能“角化边”，但是利用余弦定理实现“角化边”过于复杂，一般不用. ③ 一个表达式一般只能处理一或两个角，如果出现三个角，则利用内角和定理与诱导公式进行化简. ④ 出现或这种形式，可利用和差公式公式进行化简. ⑤ 出现这种形式，可利用辅助角公式或同角三角关系进行化简. ⑥ 出现或或，可利用倍角公式进行化简. ⑦ 出现，可化为. ⑧ 要约分，需要先说明被约数不为0；要定角，需要先说明角度范围. ⑨ 若出现三角形的高，应利用三角函数的定义或等面积法. （2）常见结论（已知、） ①若，则或. ②若，则或. ③若，则将原式化为或，转化为（8）或者（9）. ④若，则. 【例题分析】 1．（24-25高一下·湖南怀化·期末）在锐角中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得到，又是锐角三角形， 所以，则，得到， 故选：A. 2．（24-25高一下·广东河源·期末）在中，内角所对的边分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得， 因为，所以， 代入得， 化简得， 化简得，得， 得， 因为，所以， 所以，解得. 故选：C. 3．（2025·山东青岛·模拟预测）已知三角形的三个内角A，，所对边为，，，若，且，，则三角形的面积为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】由正弦定理边角互化，， 得，又在三角形中，有，则. 又，由正弦定理，，则三角形面积为： . 故选：B 4．（24-25高一下·江西·期末）在中，角所对的边分别为，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 则， 所以， 化简得，即． 故选：. 5．（24-25高一下·山东潍坊·阶段练习·多选）记的内角，，的对边分别为，，，且，，边上的高为2，则（ ） A． B． C．的周长为 D．的面积为5 【答案】ABD 【详解】对A，因为，所以由正弦定理得， 因为， 代入上式可得：， 即，因为，所以，得到， 则，正确； 对B，由，且， 因为，，所以， 可得，又， 由正弦定理得，则，所以， 则， 因为，所以，边上的高为， 因为，，又，，则，，正确； 对C，因为，，根据勾股定理， 的周长为，错误； 对D，的面积，正确． 故选：ABD 6．（24-25高一下·江西赣州·期末·多选）在中，a，b，c为内角A，B，C的对边，，，点P满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的面积最大值为 D．线段的长度最大值 【答案】ACD 【详解】对于A，由及正弦定理得， 化简可得，即， 由余弦定理可得，因为，故，故A正确； 对于B，，故B错误；    对于C，的面积为, 由余弦定理有，等号成立当且仅当， 所以的面积最大值为，故C正确； 对于D，三角形外接圆的直径是，线段的长度最大值为三角形外接圆的直径，即，故D正确. 故选：ACD. 7．（24-25高一下·天津北辰·阶段练习）在中，若有，则角A的大小是 ． 【答案】/ 【详解】由，再根据正弦定理边角互化可知， ，即，且，则. 故答案为： 8．（24-25高一下·广东佛山·期中）已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若，，则 . 【答案】 【详解】由，结合正弦定理可得，又， 所以，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以. 故答案为：. 9．（2025·天津河西·模拟预测）在中，内角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，，． （ⅰ）求和的值； （ⅱ）求的值． 【答案】(1) (2)（ⅰ），；（ⅱ） 【详解】（1）由余弦定理，， 由，得， 由正弦定理，得， 则，又，所以， 又，所以． （2）（ⅰ）由（1）知，，得①． 由余弦定理，所以②． 由①②，得，解得， 由，解得，． （ⅱ）由正弦定理，所以， 为锐角，， ． 10．（24-25高一下·天津南开·期末）在中，角的对边分别是.已知. (1)求： (2)若. （i）求： （ii）求. 【答案】(1)或； (2)（i）；（ii）或. 【详解】（1）在中，由正弦定理及， 得， 故， 又，则，而， 所以或. （2）（i）由，得，则，由（1）得， 由正弦定理，得. （ii）， 由（i）知，， 当时，， 因此； 当时，， 因此， 所以或. 考点二 三角形形状问题 【知识点解析】 1. 判断三角形的形状有以下几种思路： （1）转化为三角形的边来判断，可简记为“化角为边”； （2）转化为角的三角函数（值）来判断，可简记为“化边为角”． 2.几类特殊的三角形： （1）等腰三角形 （2）直角三角形 （3）等腰直角三角形 （4）等边三角形 （5）锐角三角形 （6）钝角三角形 【例题分析】 1．（24-25高一下·安徽·阶段练习）在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【详解】， 则或，则是等腰或直角三角形. 故选：B. 2．（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状是（    ） A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【详解】由，， 所以， 由正弦定理有， 又由余弦定理有， 所以， 所以，即， 又，所以是直角三角形但不是等腰三角形. 故选：B. 3．（24-25高一下·重庆江津·阶段练习）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（   ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】因为，所以，整理得， 又，所以， 即，即， 又，所以，得， 因为，所以，所以，故为等腰非直角三角形. 故选：A 4．（24-25高一下·江西抚州·阶段练习）已知的内角所对的边分别为，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【详解】根据正弦定理可得：. 因为，所以. 所以或者. 即或者. 所以该三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 5．（24-25高一下·陕西·期中）在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【详解】由正弦定理，，则， 再由则 故，即， 故，所以为等边三角形. 故选：C. 6．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形 【答案】D 【详解】因为，则， 又因为射影定理：， 所以原式等价于 则，则或， 的形状为直角三角形或等腰三角形. 故选：D 7．（23-24高一下·江苏徐州·期中）在中，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以， 所以由正弦定理得， 因为，所以， 所以由余弦定理得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形. 故选：D 8．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）在中，已知，且，则的形状（    ） A．等腰且非等边三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】由. 所以，又，所以. 由， 所以, 又为三角形内角，所以，故，即. 综上可知：为等边三角形. 故选：C 考点三 周长与周长最值问题 【知识点解析】 1.周长定值问题的处理思路 （1）通过正余弦定理构造方程，直接求出、、三边的具体值，进而求周长； （2）通过正余弦定理构造方程，求出与的值，利用整体思想求出的值，进而求周长. 2.周长最值与范围问题的处理思路 在中，角、、所对的边分别为、 、. 若已知和，求周长的最值或范围，即求的最值或范围. 处理方法 求解步骤 利用基本不等式求最值 已知和，由余弦定理得①. 又由基本不等式得②. 联立①、②消元可得的范围，进而可以求的最值或范围. 利用三角函数的有界性求最值或范围 已知和，由正弦定理得 所以 展开之后用合一公式进行化简，进而利用三角函数的有界性求最值或范围. 【例题分析】 考向一 周长问题 1．（24-25高一下·安徽·阶段练习）记的内角的对边分别为，已知，的面积为，且，则的周长为（   ） A．15 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【详解】因为， 由正弦定理得， 因为，可得， 又因为，可得，所以， 因为，所以， 又因为，可得， 又由，可得，所以， 所以的周长为． 故选：C. 2．（24-25高三下·湖南·阶段练习）在中，角所对的边分别为，若，则的周长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【详解】由余弦定理，可得， 解得或， 因为，所以， 所以的周长为. 故选：D. 3．（24-25高二下·浙江·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，边上的高为2，且，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 作于，即， 所以， 又因为，所以. 因为，由正弦定理可得， ， 又因为， 所以， 即， 因为，所以， 所以，又因为， 又因为，所以，所以， 所以解得， 将代入可得. 在中，由余弦定理 可得，即， 解得或（舍）. 所以的周长为， 故选：D 4．（24-25高一下·重庆万州·期中）记的内角的对边分别为，已知为锐角，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 又，则，又为锐角，所以. 由，得，解得， 则的周长为. 故选：B 5．（2025·上海杨浦·模拟预测）在中，分别为角的对边.已知是一个面积为的锐角三角形，且，则的周长为 . 【答案】/ 【详解】由于三角形的面积为，所以, 因为，故（锐角三角形）， 当时：， 则的周长为. 故答案为：. 6．（24-25高一下·江苏扬州·期中）在中，已知角，，所对的边分别，，，已知，若，，则的周长为 . 【答案】 【详解】因为，则， 由余弦定理可得， 即，解得， 则，则， 所以的周长为. 故答案为： 7．（24-25高一下·湖南株洲·阶段练习）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A的大小； (2)若且的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意：， 由正弦定理有： ，即， 由余弦定理有：， 又，所以； （2）由，所以， 由余弦定理有：， 所以，即， 所以， 所以的周长为. 8．（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）的内角的对边分别为，已知为锐角. (1)求； (2)若，求的周长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，即， 由余弦定理得， 因为，所以， 又因为，所以， 因为为锐角，所以，. （2）由（1）知，又， 由正弦定理得， 由余弦定理， 则，即， 解得或（舍去）， 所以的周长为. 9．（24-25高一下·河南·期中）已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以， ， ， ， 因为，所以， 即，所以， 因为，所以，所以有，所以. （2）因为，且的面积为， 所以有， 所以，即，所以周长为. 10．（24-25高一下·广东·期中）已知在锐角中，内角的对边分别是． (1)求； (2)若外接圆半径，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由及正弦定理，可得， 又，所以，即， 又，所以. （2）由正弦定理，以及可得 ，，，， 又因为，所以. 由余弦定理得， 即，得， 故周长为. 考向二 周长最值问题 1．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）在中，已知，，则周长最大值为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【详解】在中，由及正弦定理， 得，整理得，而， 因此，解得，当且仅当时取等号， 所以当时，周长取得最大值6. 故选：B 2．（23-24高一下·福建莆田·期中）在锐角三角形中，已知，，分别是角，，的对边，且，，则三角形的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 根据正弦定理得，， 因为为锐角，所以， 所以，即，而A为锐角， 所以， 因为根据正弦定理， 所以， 因为三角形周长为， 又因为，所以， 所以， 因为，即， 所以， 即，， 所以. 故选：C. 3．（2025·福建厦门·三模）锐角中，角所对应的边分别为，满足，，则的周长的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为，，所以，故， 所以， 即， 因为，所以，， 所以，故或（舍），即， 由正弦定理可得， 所以 ， 因为是锐角三角形，所以，解得， 令，     则， 所以的周长的取值范围为. 故答案为：. 4．（2025·湖北·模拟预测）已知的三个内角，，的对边依次为，，，外接圆半径为1，且满足，则周长的最大值为 . 【答案】 【详解】由正弦定理及外接圆半径可得，. 因为，，所以. 所以， 即. 因为，所以，而为三角形内角，故， 所以，且， 即可得， 故，故，当且仅当时取等号， 所以周长的最大值为. 故答案为： 5．（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，，且． (1)求A； (2)若，求面积的最大值； (3)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意得， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 因为，所以. （2）由题意得， 则，得， 即， 得，等号成立时， 的面积为，则的面积取得最大值. （3）由正弦定理，得，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，得， 则，，所以， 故周长的取值范围为. 6．（24-25高一下·河南焦作·阶段练习）在锐角三角形中，，，分别为内角，，所对的边，且． (1)求角； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，， 所以， 即． 由正弦定理可得，即． 由余弦定理，得， 因为为锐角三角形的内角，所以． （2）由（1）知，．因为是锐角三角形， 所以，，解得． 由正弦定理，得， 所以，， 所以的周长． 因为，且， 所以． 因为，，所以， 所以， 即的周长的取值范围是. 7．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知钝角△ABC中，. (1)若，，求； (2)若，求△ABC的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设的所对的边为， 则依题意，，，， 由余弦定理得，即， 即，解得或， 当，最大，最大，此时， 所以为锐角，不合题意； 当，最大，最大，此时， 所以为钝角，符合题意， 所以. （2），，设外接圆半径为， 则，则， 则周长 因为钝角△ABC，所以， 所以， 所以， 所以， 所以△ABC的周长取值范围为. 8．（24-25高一下·上海静安·期末）在中，角对应的边分别为，已知，为中点，． (1)证明为等腰三角形； (2)若，求周长的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）解：在中，由正弦定理，可得， 又由，可得， 整理得，所以， 可得， 即， 因为，可得，所以， 即，可得，所以为等腰三角形. （2）解：设的周长为，由（1）知：， 因为为等腰三角形，为的中点，可得， 则，且， 所以， 因为，所以，由正切函数的性质，可得， 所以当时，即时，的周长取得最小值，最小值为. 考点四 面积与面积最值问题 【知识点解析】 1. 常见求面积的方法 已知条件 求面积方法 一边及其对应高 基本公式：. 两边及其夹角 核心公式：. 三边 海伦公式：，期中. 两角一边 正弦定理 + 两边夹角公式 涉及内切 、 外接圆半径 （为内切圆半径） （为外接圆半径） 2.面积最值与范围问题的处理思路 在中，角、、所对的边分别为、 、. 若已知和，求面积的最值或范围，即求的最值或范围. 处理方法 求解步骤 利用基本不等式求最值 已知和，由余弦定理得①. 又由基本不等式得②. 联立①、②消元可得的范围，进而可以求的最值或范围. 利用三角函数的有界性求最值或范围 已知和，由正弦定理得 所以 展开之后用合一公式进行化简，进而利用三角函数的有界性求最值或范围. 【例题分析】 考向一 面积问题 1．（24-25高一下·陕西西安·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角，且，． (1)求A； (2)若，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）在中，由，得， 由及正弦定理，得，而A为锐角， 所以. （2）由（1）知， 由正弦定理得， 所以 2．（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求B的值； (2)若外接圆的面积为，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，所以， 又，所以． （2）设外接圆的半径为，由，得， 由正弦定理得，所以， 由（1）知，所以， 因为，所以，所以， 所以． 3．（24-25高一下·重庆·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)证明：． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由正弦定理及，得， 所以，所以， 所以， 因为，所以或， 所以或（舍去），所以； （2）由正弦定理可得，即，所以， 解得，又，所以， 由余弦定理可得，则， 整理可得，分解因式可得，解得或， 当时，可得的面积． 当时，，则，此时，不合题意； 综上所述：的面积为． 4．（24-25高一下·广东惠州·期中）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知：. (1)求A； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因,故， 故，即， 又，故. （2）由正弦定理可得， 则,可得 即， 由（1） 根据余弦定理可得， 则， 即，可得， 所以的面积 考向二 面积最值问题 1．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）在中，角所对的边，已知． (1)求角； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 得， 即，又， 所以，所以，又，从而得； （2）由（1）得，又， 由余弦定理 ， 所以，当且仅当时取得等号， 故，当且仅当时取得等号， 所以面积的最大值为. 2．（24-25高一下·吉林长春·期中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，求的面积S的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 ， 所以，所以，因为为锐角三角形，所以； （2）因为，，所以， 由正弦定理得， 所以， 所以， 由可得，所以，所以， 所以，即. 3．（2025·安徽·模拟预测）在中，、、分别为内角、、的对边，且． (1)求； (2)若，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由及正弦定理得， 化简可得，即， 由余弦定理可得，因为，故. （2）因为，则，即， 所以， 即， 所以，当且仅当时， 即当，时，等号成立， 故， 即面积的最大值为. 4．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知的内角所对的边分别为，且． (1)求角； (2)若是锐角三角形，边长，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），即， 因为， 所以， 所以，即， 因为为三角形的内角， 所以，所以. （2）已知，， 所以 ， 因为，即， 解得， 所以， 所以，所以， . 课后综合练习 1．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定的 【答案】C 【详解】因为，，所以，， 所以，，易知，即， 设，则，，则， 可得，所以是锐角三角形. 故选：C. 2．（24-25高一下·河北·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，若，且，则的形状一定是（    ） A．等腰锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰钝角三角形 D．不确定的 【答案】B 【详解】因为，则， 整理可得，由正弦定理可得，故， 因为，由正弦定理可得， 因为、均为锐角，故，则，所以，故， 因此，为等腰直角三角形. 故选：B. 3．（24-25高一下·上海·期中）在中，，记的面积为，若，判断 的形状为（     ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】由，可得， 即，可得， 因为，可得， 又由余弦定理，可得， 因为，可得，所以， 整理得，即，所以，所以， 所以为等边三角形. 故选：B. 4．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）在中，角，，分别为，，三边所对的角，，则的形状是（    ） A．等腰三角形但一定不是直角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形但一定不是等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】C 【详解】由得：，且， ，且， ， ， 化简整理得：，即， 或，又， 是直角三角形但一定不是等腰三角形． 故选：． 5．（24-25高一下·山东青岛·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，当的周长取最大值时，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为，所以， 又因为，且，所以， 又因为，， 所以，即. （2）在中，由余弦定理， 得，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以周长的最大值为， 此时面积. 6．（2025·浙江·二模）已知的外接圆半径为1，内角，，的对边分别为，，. (1)若边上的高为1，求的面积的最大值； (2)若，求的周长的最大值. 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）因为若边上的高为1，所以， 正弦定理得，可得. 所以的面积. 又，所以当时，的面积有最大值，最大值为1. （2）由正弦定理知，可得，则或. 若，则的周长为 ， 当时，周长有最大值，最大值为. 若，则的周长为 ， 当时，周长有最大值，最大值为. 因为，所以的周长的最大值为. 7．（24-25高三上·四川宜宾·阶段练习）在锐角中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足． (1)求角B的大小； (2)若，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，则， 整理可得， 利用正弦定理可得， 又因为，则，可得，即， 且，所以. （2）由正弦定理， 可得， 由题意可知：，解得， 则，可得，即， 又因为面积， 所以面积的取值范围为. 8．（2024·重庆·模拟预测）已知的内角 所对应的边分别为，若. (1)求； (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），得到， 由余弦定理知，， 因为，所以． （2），得到，当且仅当取等， 所以，（当且仅当取等．）故面积的最大值为． 9．（24-25高三上·福建福州·开学考试）已知的三个内角的对边分别为，． (1)求a； (2)若，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又因为，可得，所以， 因为，可得，所以. （2）由（1）知，即， 如图所示，为边上的高，不妨设为锐角， 设， 当为锐角时，则，故， 当为钝角时，则，故， 因为，所以，整理得， 所以的面积为， 因为，可得， 当时，取得最大值，最大值为，且， 所以的面积的取值范围为. 10．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）锐角的内角，，的对边分别为，，.已知. (1)求； (2)若，求面积的最大值； (3)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【详解】（1）由， 可得， 又为锐角三角形，则， 所以， 所以，又，所以. （2）由余弦定理知，， 当且仅当时，等号成立. 因为，所以， 故的面积， 所以面积的最大值为. （3）由正弦定理知， 所以，，则的周长为. 因为， 所以. 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，则， 故周长的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$解三角形：边角互化问题、三角形形状问题、周长与周长最值问题、面积与面积最值问题复习讲义 解三角形：边角互化问题、三角形形状问题、周长与周长最值问题、 面积与面积最值问题复习讲义 考点一 边角互化问题 【知识点解析】 1.边角互化的原理 （1）利用正弦定理进行边角互化：；；； （2）利用余弦定理进行边角互化：；；. 2.边角互化注意事项 （1）常见化简技巧 序号 化简技巧 ① 一般情况下，有余弦出现，则“边化角”，没有余弦出现，则“角化边”，前提：“齐次”. ② 有余弦出现也有可能“角化边”，但是利用余弦定理实现“角化边”过于复杂，一般不用. ③ 一个表达式一般只能处理一或两个角，如果出现三个角，则利用内角和定理与诱导公式进行化简. ④ 出现或这种形式，可利用和差公式公式进行化简. ⑤ 出现这种形式，可利用辅助角公式或同角三角关系进行化简. ⑥ 出现或或，可利用倍角公式进行化简. ⑦ 出现，可化为. ⑧ 要约分，需要先说明被约数不为0；要定角，需要先说明角度范围. ⑨ 若出现三角形的高，应利用三角函数的定义或等面积法. （2）常见结论（已知、） ①若，则或. ②若，则或. ③若，则将原式化为或，转化为（8）或者（9）. ④若，则. 【例题分析】 1．（24-25高一下·湖南怀化·期末）在锐角中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东河源·期末）在中，内角所对的边分别为，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）已知三角形的三个内角A，，所对边为，，，若，且，，则三角形的面积为（   ） A． B． C． D．1 4．（24-25高一下·江西·期末）在中，角所对的边分别为，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·山东潍坊·阶段练习·多选）记的内角，，的对边分别为，，，且，，边上的高为2，则（ ） A． B． C．的周长为 D．的面积为5 6．（24-25高一下·江西赣州·期末·多选）在中，a，b，c为内角A，B，C的对边，，，点P满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的面积最大值为 D．线段的长度最大值 7．（24-25高一下·天津北辰·阶段练习）在中，若有，则角A的大小是 ． 8．（24-25高一下·广东佛山·期中）已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若，，则 . 9．（2025·天津河西·模拟预测）在中，内角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，，． （ⅰ）求和的值； （ⅱ）求的值． 10．（24-25高一下·天津南开·期末）在中，角的对边分别是.已知. (1)求： (2)若. （i）求： （ii）求. 考点二 三角形形状问题 【知识点解析】 1. 判断三角形的形状有以下几种思路： （1）转化为三角形的边来判断，可简记为“化角为边”； （2）转化为角的三角函数（值）来判断，可简记为“化边为角”． 2.几类特殊的三角形： （1）等腰三角形 （2）直角三角形 （3）等腰直角三角形 （4）等边三角形 （5）锐角三角形 （6）钝角三角形 【例题分析】 1．（24-25高一下·安徽·阶段练习）在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 2．（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状是（    ） A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 3．（24-25高一下·重庆江津·阶段练习）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（   ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 4．（24-25高一下·江西抚州·阶段练习）已知的内角所对的边分别为，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 5．（24-25高一下·陕西·期中）在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 6．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形 7．（23-24高一下·江苏徐州·期中）在中，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 8．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）在中，已知，且，则的形状（    ） A．等腰且非等边三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 考点三 周长与周长最值问题 【知识点解析】 1.周长定值问题的处理思路 （1）通过正余弦定理构造方程，直接求出、、三边的具体值，进而求周长； （2）通过正余弦定理构造方程，求出与的值，利用整体思想求出的值，进而求周长. 2.周长最值与范围问题的处理思路 在中，角、、所对的边分别为、 、. 若已知和，求周长的最值或范围，即求的最值或范围. 处理方法 求解步骤 利用基本不等式求最值 已知和，由余弦定理得①. 又由基本不等式得②. 联立①、②消元可得的范围，进而可以求的最值或范围. 利用三角函数的有界性求最值或范围 已知和，由正弦定理得 所以 展开之后用合一公式进行化简，进而利用三角函数的有界性求最值或范围. 【例题分析】 考向一 周长问题 1．（24-25高一下·安徽·阶段练习）记的内角的对边分别为，已知，的面积为，且，则的周长为（   ） A．15 B．16 C．18 D．20 2．（24-25高三下·湖南·阶段练习）在中，角所对的边分别为，若，则的周长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 3．（24-25高二下·浙江·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，边上的高为2，且，则的周长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·重庆万州·期中）记的内角的对边分别为，已知为锐角，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·上海杨浦·模拟预测）在中，分别为角的对边.已知是一个面积为的锐角三角形，且，则的周长为 . 6．（24-25高一下·江苏扬州·期中）在中，已知角，，所对的边分别，，，已知，若，，则的周长为 . 7．（24-25高一下·湖南株洲·阶段练习）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A的大小； (2)若且的面积为，求的周长. 8．（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）的内角的对边分别为，已知为锐角. (1)求； (2)若，求的周长. 9．（24-25高一下·河南·期中）已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长. 10．（24-25高一下·广东·期中）已知在锐角中，内角的对边分别是． (1)求； (2)若外接圆半径，求的周长． 考向二 周长最值问题 1．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）在中，已知，，则周长最大值为（   ） A．4 B．6 C． D． 2．（23-24高一下·福建莆田·期中）在锐角三角形中，已知，，分别是角，，的对边，且，，则三角形的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·福建厦门·三模）锐角中，角所对应的边分别为，满足，，则的周长的取值范围为 . 4．（2025·湖北·模拟预测）已知的三个内角，，的对边依次为，，，外接圆半径为1，且满足，则周长的最大值为 . 5．（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，，且． (1)求A； (2)若，求面积的最大值； (3)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 6．（24-25高一下·河南焦作·阶段练习）在锐角三角形中，，，分别为内角，，所对的边，且． (1)求角； (2)若，求周长的取值范围． 7．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知钝角△ABC中，. (1)若，，求； (2)若，求△ABC的周长的取值范围. 8．（24-25高一下·上海静安·期末）在中，角对应的边分别为，已知，为中点，． (1)证明为等腰三角形； (2)若，求周长的最小值． 考点四 面积与面积最值问题 【知识点解析】 1. 常见求面积的方法 已知条件 求面积方法 一边及其对应高 基本公式：. 两边及其夹角 核心公式：. 三边 海伦公式：，期中. 两角一边 正弦定理 + 两边夹角公式 涉及内切 、 外接圆半径 （为内切圆半径） （为外接圆半径） 2.面积最值与范围问题的处理思路 在中，角、、所对的边分别为、 、. 若已知和，求面积的最值或范围，即求的最值或范围. 处理方法 求解步骤 利用基本不等式求最值 已知和，由余弦定理得①. 又由基本不等式得②. 联立①、②消元可得的范围，进而可以求的最值或范围. 利用三角函数的有界性求最值或范围 已知和，由正弦定理得 所以 展开之后用合一公式进行化简，进而利用三角函数的有界性求最值或范围. 【例题分析】 考向一 面积问题 1．（24-25高一下·陕西西安·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角，且，． (1)求A； (2)若，求的面积． 2．（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求B的值； (2)若外接圆的面积为，且，求的面积． 3．（24-25高一下·重庆·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)证明：． (2)若，，求的面积． 4．（24-25高一下·广东惠州·期中）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知：. (1)求A； (2)若，，求的面积. 考向二 面积最值问题 1．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）在中，角所对的边，已知． (1)求角； (2)若，求面积的最大值． 2．（24-25高一下·吉林长春·期中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，求的面积S的取值范围． 3．（2025·安徽·模拟预测）在中，、、分别为内角、、的对边，且． (1)求； (2)若，，求面积的最大值． 4．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知的内角所对的边分别为，且． (1)求角； (2)若是锐角三角形，边长，求面积的取值范围． 课后综合练习 1．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定的 2．（24-25高一下·河北·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，若，且，则的形状一定是（    ） A．等腰锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰钝角三角形 D．不确定的 3．（24-25高一下·上海·期中）在中，，记的面积为，若，判断 的形状为（     ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 4．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）在中，角，，分别为，，三边所对的角，，则的形状是（    ） A．等腰三角形但一定不是直角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形但一定不是等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 5．（24-25高一下·山东青岛·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，当的周长取最大值时，求的面积. 6．（2025·浙江·二模）已知的外接圆半径为1，内角，，的对边分别为，，. (1)若边上的高为1，求的面积的最大值； (2)若，求的周长的最大值. 7．（24-25高三上·四川宜宾·阶段练习）在锐角中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足． (1)求角B的大小； (2)若，求面积的取值范围． 8．（2024·重庆·模拟预测）已知的内角 所对应的边分别为，若. (1)求； (2)求面积的最大值. 9．（24-25高三上·福建福州·开学考试）已知的三个内角的对边分别为，． (1)求a； (2)若，求面积的取值范围． 10．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）锐角的内角，，的对边分别为，，.已知. (1)求； (2)若，求面积的最大值； (3)若，求周长的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$