解三角形：正余弦定理的综合使用、外接圆问题与内切圆问题、面积问题、三角形个数存在性问题 讲义-2026届高三数学一轮复习

解三角形：正余弦定理的综合使用、外接圆问题与内切圆问题、面积问题、三角形个数存在性问题复习讲义 解三角形：正余弦定理的综合使用、外接圆问题与内切圆问题、面积问题、 三角形个数存在性问题复习讲义 考点一 正余弦定理的综合使用 【知识点解析】 1.正弦定理及其变形 知识点 具体内容 正弦定理 在三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 即.(为外接圆半径) 正弦定理的变形（边角互化） ； ； . 2.余弦定理及其变形 知识点 具体内容 余弦定理 三角形任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的乘积的两倍 ； ； . 余弦定理的变形 ；；. 3.正余弦定理的使用注意事项 （1）当知道“两角与一边”或“两边与其中一边的对角”时，可考虑使用正弦定理. （2）当知道“三边”或“两边与一角（任意一角）”时，可考虑使用余弦定理. （3）上述提及的边与角可以是具体值，也可以是对应的比例关系. 4..(为内切圆半径) 5.常见特殊角的正弦值： 角度 弧度 正弦值 余弦值 5.几个非特殊角的正弦值： ；；. 6.内角和定理：在中， （1）, , . （2）, , . （3）, , . 【例题分析】 考向一 正弦定理的使用 1．（24-25高一下·云南昭通·期末）在中，内角所对的边分别为，已知，则B的大小为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】由正弦定理得，即，解得， 又B为三角形内角，所以或，又因为，所以，即. 故选：C. 2．（24-25高二下·云南昭通·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】由正弦定理， 因为，所以或. 故选：D 3．（2025·天津红桥·模拟预测）在中，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正弦定理，得， 则，解得. 故选：C. 4．（24-25高一下·湖南怀化·期末）在锐角中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得到，又是锐角三角形， 所以，则，得到， 故选：A. 5．（24-25高一下·江苏镇江·期末）在中，角，，的对边分别为，，，，，，则的值为 . 【答案】 【详解】在中，由正弦定理可得， 又，，，， 所以，解得. 故答案为：. 6．（24-25高一下·重庆万州·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则 . 【答案】/ 【详解】在中，由，可得. 由及，，可得. 故答案为：. 7．（24-25高一下·江苏盐城·期中）在中，已知，，，则 . 【答案】 【详解】解：，, 由正弦定理得，故的值为 ． 故答案为：. 8．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）在中，，，，则 ， ． 【答案】 【详解】中，，，所以， ; 又， 所以，即， 解得:，. 故答案为: ；. 考向二 余弦定理的使用 1．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．120° B．90° C．60° D．30° 【答案】C 【详解】由，，及余弦定理得， 因为，所以. 故选：C. 2．（2025·天津红桥·模拟预测）在中，若，，，则的长度为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】由余弦定理得：， 所以， 故选：A. 3．（24-25高一下·湖北武汉·期末）已知锐角三角形边长分别为2，3，x，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【详解】设三角形为，且， 由三角形的几何性质，可得， 由三角形是锐角三角形，，所以只需要为锐角， 则，即，解得 ；，即，解得， 综上可得，，即的取值范围为. 故选：C. 4．（24-25高二下·浙江嘉兴·阶段练习）在中，，，，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】在中，，，， 则由余弦定理得，所以， 所以. 故选：C 5．（24-25高一下·云南楚雄·阶段练习）在中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】因为， 所以由余弦定理可得. 故答案为： 6．（24-25高一下·甘肃兰州·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且是方程的两个根，，则c的值是 ． 【答案】 【详解】因为是方程的两个根，所以，，又已知， 则由余弦定理得， 所以． 故答案为：． 7．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，，，则 . 【答案】或2 【详解】由余弦定理有，所以， 解得或2. 故答案为：或2. 8．（24-25高一下·安徽·阶段练习）顶角为36°的等腰三角形称作“黄金三角形”，其底边与腰长之比为黄金比，则的值为 . 【答案】 【详解】在等腰中，设，则， . 故答案为：. 考向三 正余弦定理的综合使用 1．（24-25高一下·安徽安庆·阶段练习）在中，内角、、所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由余弦定理得， 所以，所以，故． 由正弦定理，得， 故． 故选：B． 2．（24-25高一下·河南·阶段练习）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且则 sin A=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，，，， 所以，所以. 因为，，， 所以 故选：D. 3．（24-25高一下·天津滨海新·期中）在中，，，，点D在边上靠近B点的三等分点处，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 在中，， ，可得则， 因，则， 在中，由余弦定理得：，即， 在中，由正弦定理得：， 所以. 故选：D 4．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）在中，是边上的点，，，，，则的长为（   ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【详解】如图所示， 在中，由正弦定理得， 即， 因为，可得，且， 在中，由余弦定理得：， 所以. 故选：B. 5．（24-25高二下·天津河北·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，. (1)求b的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)1； (2)； (3). 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理得，整理得， 所以. （2）在中，由，得， 由正弦定理，得. （3）由（2）得，， 所以. 6．（24-25高一下·天津河北·期末）在中，内角所对的边分别为．已知，，． (1)求的值； (2)求c的值和的面积. 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）由题意，， 由，则，解得. （2）由， 解得或（舍去）， 则. 7．（2025·天津武清·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，. (1)求C的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由余弦定理， 得， 又因为，所以； （2）因为，由正弦定理，得； （3）因为，所以，所以， 所以, . 8．（24-25高一下·天津滨海新·期中）在三角形中，角，，的对边分别为，，，，，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由余弦定理， 即，解得或（舍去）. （2）由（1）可得， 因为，则，所以， 由正弦定理，即，解得； （3）由（2）可得， ， 显然，则， 所以 . 考点二 面积问题 【知识点解析】 常见求面积的方法 已知条件 求面积方法 一边及其对应高 基本公式：. 两边及其夹角 核心公式：. 三边 海伦公式：，期中. 两角一边 正弦定理 + 两边夹角公式 涉及内切 、 外接圆半径 （为内切圆半径） （为外接圆半径） 【例题分析】 1．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，则的面积是（    ） A． B．10 C． D．20 【答案】A 【详解】，，，， 则，的面积为， 故选：A． 2．（2025·山西·三模）在中，，，，则的面积是（   ） A． B． C．3 D．12 【答案】C 【详解】由余弦定理， 得，解得，则． 所以的面积为． 故选：C. 3．（24-25高三下·河北邢台·阶段练习）在中，的对边分别为，且满足，则的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由余弦定理， 即，， . 故选：C. 4．（24-25高一下·湖北·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，在中， 由正弦定理可得， 又B为的内角， ， 的面积， 故选：D． 5．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）在中，，，则的面积是 . 【答案】14 【详解】，， ， 因为， 所以， 故的面积为. 故答案为：14 6．（24-25高一下·江苏·阶段练习）在中，已知角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积是 . 【答案】 【详解】已知，由正弦定理可得. 对于，，已知，，，代入可得： ，解得. 因为，所以. 三角形面积公式为，代入可得： . 故答案为：. 7．（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）在中，分别是角A、 B、 C的对边，且 (1)求角B的大小； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得 ， 因为，所以， 所以，又因为，所以； （2）由（1）知，所以由余弦定理 可得， 因为，所以， 所以. 8．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，． (1)求B； (2)，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理得，                    因为，得，                          ∴，即，                                     又，， ∴． （2）由余弦定理可得，                 所以                                                    解得                                                         故． 9．（24-25高一下·辽宁·阶段练习）在中，角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，由，得，则， 由及正弦定理，得， 由，得，则，即． 又，即，解得，即， 所以. （2）由余弦定理得，解得， 所以的面积. 10．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）已知中角，，的对边分别是，，，且. (1)求； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 由余弦定理， 而为三角形内角，. （2），，， . 考点三 外接圆问题与内切圆问题 【知识点解析】 1.由正弦定理可知,其中为外接圆的半径. 2.由面积公式与内切圆的定义可知： 2.证明： 在中，角、、所对的边分别为、 、. 记点为外接圆的圆心，外接圆半径为，. 由圆周角定理得. 过作， 由垂径定理得，. 在中，由三角函数的定义得,即 化简得. 同理可得. 【知识点解析】 1．（24-25高一下·安徽·期中）在中，分别为角所对的边，且，若的外接圆直径为.则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】因为， 所以由正弦定理得， ， 又在中，，， ，， 的外接圆直径为， . 故选：B. 2．（24-25高一下·湖南娄底·期中）在中，角的对边分别为，则的外接圆面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设，则， 所以外接圆半径，故圆的面积为. 故选：D 3．（24-25高一下·云南昆明·阶段练习）在中，角所对的边分别为，已知，则的外接圆面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以由余弦定理可得， 所以， 设的外接圆半径为，由正弦定理可得，即， 则的外接圆面积为. 故选：C 4．（24-25高一下·广东东莞·阶段练习）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且，若，，则△ABC的外接圆直径为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得， ， 即：，可得. 又因为，可得． 又已知，， 由余弦定理得 ， 解得. 则外接圆直径. 故选：D. 5．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知梯形的外接圆直径为，，，，则梯形的内切圆半径为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】如图：    若梯形有外接圆，则梯形为等腰梯形. 设梯形的外接圆半径为， 则由正弦定理得，解得. 在中，由余弦定理可得： ，且， 解得， 则梯形的高为：；； . 设梯形的内切圆半径为， 根据等面积法，有，解得. 故选：B. 6．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为，已知且，则外接圆面积为 . 【答案】/ 【详解】在中，由及余弦定理可得： ， ∴. ，. 设外接圆半径为，则由正弦定理可知：，即. ∴外接圆面积为. 故答案为：. 7．（24-25高一下·福建福州·阶段练习）在中，，，，则外接圆面积为 . 【答案】/ 【详解】在中，已知，，，根据余弦定理可得： 因为为三角形的边长，所以. 由正弦定理可得：,则. 根据圆的面积公式，将代入可得：. 故答案为：. 8．（24-25高三下·上海虹口·期中）若的三条边的长分别为、、，则的外接圆面积为 .（结果保留） 【答案】 【详解】不妨设，，，由余弦定理可得， 所以，角为锐角，故， 设的外接圆半径为，则，所以，， 因此，的外接圆的面积为. 故答案为：. 9．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）在等腰直角三角形中，已知，则的外接圆半径的长为 ；内切圆半径的长为 ． 【答案】 / 【详解】在等腰直角三角形中，， 根据勾股定理，可得. 所以外接圆半径. 因为三角形面积. 根据三角形内切圆性质，， 所以，则. 故答案为：；. 10．（24-25高一下·四川自贡·阶段练习）在中，，，，则的内切圆半径为 . 【答案】/ 【详解】由余弦定理，即，解得， 又，所以为锐角，所以， 设内切圆的半径是， ∵，即， ∴． 故答案为： 考点四 三角形个数存在性问题 【知识点解析】 1.数形结合讨论三角形解的个数 正弦定理、余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素（三角形有三个角和三条边，三角形的边与角称为三角形的元素），如果其中三个元素是已知的（至少要有一个元素是边），那么这个三角形一定可解．斜三角形的解法可以归纳为以下四种类型： （1）已知两角及其中一角的对边，如已知【一解】 （2）已知两边及其夹角，如已知【一解】 （3）已知三边【一解】 （4）已知两边及其中一边的对角，如已知【两解、一解或五解】 ①若为锐角时： ②若A为直角或钝角时: 2.利用余弦定理讨论三角形解的个数 在中，已知、和，由余弦定理变形得. （1）若方程有两个不相等的实数根、 ①当，，则此三角形有两解； ②当，，则此三角形有一解； ③当，，则此三角形无解； （2）若方程有两个相等的实数根、 ①当，则此三角形有一解； ②当，则此三角形无解； （3）若方程没有实数根，则此三角形无解. 3.二次方程根的数量与根的正负 对于二次方程 （1）根的数量 ①当时，方程有两个不相等的实数根； ②当时，方程有两个相等的实数根； ③当时，方程没有实数根. （2）根的正负（当，记，） ①当且时，两根均为正数； ②当且时，两根均为负数； ③当 时，两根一正一负. 【知识点解析】 1．（2025·江西·二模）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】A：，，，为钝角且，有一解，故A错误； B：，，，为锐角，，则无解，故B错误； C：，，，为钝角且，则无解，故C错误； D：，，，为锐角，，因，故有两解，故D正确. 故选：D 2．（24-25高一下·江西南昌·期中）在中，，分别为内角，所对的边，，，若有两解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据正弦定理可得：， 所以，且. 因为，有两解， 所以. 所以. 故选：C. 3．（24-25高一下·浙江台州·期中）符合下列条件的三角形有2个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】对于A：因为，不符合两边之和大于第三边，所以无解，故A错误； 对于B：因为，所以，所以无解，故B错误； 对于C：由余弦定理得，所以，解得或，即有2个解，故C正确； 对于D：因为，所以,故，三角形只有一解，故D不正确. 故选：C. 4．（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）在中，角所对的边分别为，已知，若三角形有两解，则边的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在中，， 由正弦定理，可得， 因为，所以， 要使得三角形有两解，可得且，即， 即，解得. 故选：C. 5．（24-25高一下·福建福州·期中）在中，，，若恰有一解，则边长可以为 ．（只需写出一个满足条件的数） 【答案】（答案不唯一） 【详解】设，由正弦定理得， 即， 当时，即，因为三角形中大边对大角，此时有唯一解，三角形恰有一解， 当时，，即，三角形恰有一解， 故边长可以为，或. 故答案为：（答案不唯一）. 6．（24-25高一下·山东泰安·阶段练习）在中，角所对的边分别为，，，，若三角形有两解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由余弦定理可得，即， 整理可得， 构建，可知在内有2个零点， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 7．（24-25高一下·福建漳州·期中）已知的内角所对的边分别为，，，则使得有两组解的a的值为 ．（写出满足条件的一个整数值即可）． 【答案】（答案不唯一，或者均可） 【详解】要使有两组解，则即， 故正整数为或者. 故答案为： （答案不唯一，或者均可） 8．（24-25高一下·陕西榆林·期中）已知的内角的对边分别为，，，，，若有两解，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由正弦定理有：，所以， 又有两解，所以,即， 综上有， 故答案为：. 课后综合练习 1．（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 又，所以. 故选：A 2．（24-25高一下·江苏淮安·期末）在中，角，，对应的边分别为，，，，，，则为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】由余弦定理得，， 即，得. 故选：D 3．（24-25高一下·河南郑州·期末）在中，若，，，则（    ）． A． B． C．2 D．8 【答案】A 【详解】由余弦定理知. 故选：A 4．（24-25高一下·江西萍乡·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由，得，解得． 故选：A. 5．（24-25高一下·福建龙岩·期末）在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A中，由正弦定理，可得， 则这样的三角形不存在，所以A错误； 对于B中，由，可得， 又由，则这样的三角形是唯一的，所以B不符合题意； 对于C中，由余弦定理，可得， 所以，则这样的三角形是唯一的，所以C不符合题意； 对于D中，由正弦定理，可得， 因为，可得，所以或，则这样的三角形有两个，所以D符合题意. 故选：D. 6．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，若有两解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得， 即， 故选：D. 7．（24-25高一下·河北·阶段练习·多选）记的内角的对边分别为，若，则（   ） A． B． C．的周长为 D．外接圆的面积为 【答案】ACD 【详解】根据正弦定理可得：. 因为，所以. 所以，所以B错误. 根据正弦定理，得,所以A正确. 所以的周长为，所以C正确. 因为，所以外接圆的半径. 所以外接圆的面积为，所以D正确. 故选：ACD. 8．（24-25高一下·河南南阳·阶段练习·多选）在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是钝角三角形 B．若是锐角三角形，则 C．若，，，则满足这组条件的三角形有两个 D．若，则 【答案】ABD 【详解】设的外接圆半径为， 由正弦定理可得，，， 对于A，因为，所以， 由余弦定理可得，又， 所以为钝角，为钝角三角形，A正确， 对于B，因为是锐角三角形， 所以，，， 所以，，， 因为函数在上单调递增， 所以，B正确； 对于C， 由正弦定理可得， 又，，， 所以，化简可得， 所以满足条件的角不存在， 所以满足这组条件的三角形不存在，C错误， 对于D，由余弦定理可得，又， 所以，故， 所以，又， 所以， 所以， 所以，故， 所以或，， 即或，， 又，，故， 所以，所以，D正确； 故选：ABD. 9．（24-25高一下·上海·期末）在△中，已知，，当有两解时，的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由正弦定理可知，，即， 若有两解，则，且，所以， 所以. 故答案为： 10．（24-25高一下·广东佛山·期中）已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若，，则 . 【答案】 【详解】由，结合正弦定理可得，又， 所以，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以. 故答案为：. 11．（24-25高一下·四川绵阳·阶段练习）在中，分别是边的中点，已知，，则的面积为 【答案】12 【详解】连接，延长至，使得，连接， 由分别是边的中点，得， 则四边形为平行四边形，， 在中，，则， 所以的面积. 故答案为：12 12．（24-25高一下·江西九江·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则 . 【答案】 【详解】， 由正弦定理及，得，即， ， 即， .又，故， . 故答案为：. 13．（2025·天津·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，. (1)求边b的长； (2)求C的正切值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由余弦定理得 （2）过点作于点，在中， ， 在中，， （3）由（2）可知 因为，， 14．（2025·天津·一模）在中，角所对的边分别为，且． (1)求c的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）由题设及正弦边角关系得，又，则， 由余弦定理有，则； （2）由且，则， 由正弦定理，则； （3）由上，故为锐角，则， 所以，， 所以. 15．（24-25高一下·天津武清·阶段练习）在中，，，所对的边分别为，，，已知，． (1)求的值； (2)求的值，并求三角形的面积； (3)求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）根据正弦定理，， 且， 因此边长比例为． 已知，设比例系数为，则，解得． 因此． （2）由边长比例得，，． 利用余弦定理： ， 因此，． . （3） 利用和角公式 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$解三角形：正余弦定理的综合使用、外接圆问题与内切圆问题、面积问题、三角形个数存在性问题复习讲义 解三角形：正余弦定理的综合使用、外接圆问题与内切圆问题、面积问题、 三角形个数存在性问题复习讲义 考点一 正余弦定理的综合使用 【知识点解析】 1.正弦定理及其变形 知识点 具体内容 正弦定理 在三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 即.(为外接圆半径) 正弦定理的变形（边角互化） ； ； . 2.余弦定理及其变形 知识点 具体内容 余弦定理 三角形任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的乘积的两倍 ； ； . 余弦定理的变形 ；；. 3.正余弦定理的使用注意事项 （1）当知道“两角与一边”或“两边与其中一边的对角”时，可考虑使用正弦定理. （2）当知道“三边”或“两边与一角（任意一角）”时，可考虑使用余弦定理. （3）上述提及的边与角可以是具体值，也可以是对应的比例关系. 4..(为内切圆半径) 5.常见特殊角的正弦值： 角度 弧度 正弦值 余弦值 5.几个非特殊角的正弦值： ；；. 6.内角和定理：在中， （1）, , . （2）, , . （3）, , . 【例题分析】 考向一 正弦定理的使用 1．（24-25高一下·云南昭通·期末）在中，内角所对的边分别为，已知，则B的大小为（   ） A．或 B．或 C． D． 2．（24-25高二下·云南昭通·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 3．（2025·天津红桥·模拟预测）在中，若，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·湖南怀化·期末）在锐角中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏镇江·期末）在中，角，，的对边分别为，，，，，，则的值为 . 6．（24-25高一下·重庆万州·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则 . 7．（24-25高一下·江苏盐城·期中）在中，已知，，，则 . 8．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）在中，，，，则 ， ． 考向二 余弦定理的使用 1．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．120° B．90° C．60° D．30° 2．（2025·天津红桥·模拟预测）在中，若，，，则的长度为（    ） A．2 B．4 C． D． 3．（24-25高一下·湖北武汉·期末）已知锐角三角形边长分别为2，3，x，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．不确定 4．（24-25高二下·浙江嘉兴·阶段练习）在中，，，，则（    ） A．2 B． C．4 D． 5．（24-25高一下·云南楚雄·阶段练习）在中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若，则的值为 ． 6．（24-25高一下·甘肃兰州·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且是方程的两个根，，则c的值是 ． 7．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，，，则 . 8．（24-25高一下·安徽·阶段练习）顶角为36°的等腰三角形称作“黄金三角形”，其底边与腰长之比为黄金比，则的值为 . 考向三 正余弦定理的综合使用 1．（24-25高一下·安徽安庆·阶段练习）在中，内角、、所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河南·阶段练习）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且则 sin A=（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·天津滨海新·期中）在中，，，，点D在边上靠近B点的三等分点处，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）在中，是边上的点，，，，，则的长为（   ） A．5 B．7 C．9 D．11 5．（24-25高二下·天津河北·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，. (1)求b的值； (2)求的值； (3)求的值. 6．（24-25高一下·天津河北·期末）在中，内角所对的边分别为．已知，，． (1)求的值； (2)求c的值和的面积. 7．（2025·天津武清·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，. (1)求C的值； (2)求的值； (3)求的值. 8．（24-25高一下·天津滨海新·期中）在三角形中，角，，的对边分别为，，，，，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 考点二 面积问题 【知识点解析】 常见求面积的方法 已知条件 求面积方法 一边及其对应高 基本公式：. 两边及其夹角 核心公式：. 三边 海伦公式：，期中. 两角一边 正弦定理 + 两边夹角公式 涉及内切 、 外接圆半径 （为内切圆半径） （为外接圆半径） 【例题分析】 1．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，则的面积是（    ） A． B．10 C． D．20 2．（2025·山西·三模）在中，，，，则的面积是（   ） A． B． C．3 D．12 3．（24-25高三下·河北邢台·阶段练习）在中，的对边分别为，且满足，则的面积（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·湖北·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积（    ） A．1 B． C． D． 5．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）在中，，，则的面积是 . 6．（24-25高一下·江苏·阶段练习）在中，已知角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积是 . 7．（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）在中，分别是角A、 B、 C的对边，且 (1)求角B的大小； (2)若，，求的面积. 8．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，． (1)求B； (2)，求的面积． 9．（24-25高一下·辽宁·阶段练习）在中，角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若，求的面积． 10．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）已知中角，，的对边分别是，，，且. (1)求； (2)若，，求的面积. 考点三 外接圆问题与内切圆问题 【知识点解析】 1.由正弦定理可知,其中为外接圆的半径. 2.由面积公式与内切圆的定义可知： 2.证明： 在中，角、、所对的边分别为、 、. 记点为外接圆的圆心，外接圆半径为，. 由圆周角定理得. 过作， 由垂径定理得，. 在中，由三角函数的定义得,即 化简得. 同理可得. 【知识点解析】 1．（24-25高一下·安徽·期中）在中，分别为角所对的边，且，若的外接圆直径为.则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 2．（24-25高一下·湖南娄底·期中）在中，角的对边分别为，则的外接圆面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·云南昆明·阶段练习）在中，角所对的边分别为，已知，则的外接圆面积为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·广东东莞·阶段练习）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且，若，，则△ABC的外接圆直径为（　　） A． B． C． D． 5．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知梯形的外接圆直径为，，，，则梯形的内切圆半径为（    ） A． B． C．2 D． 6．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为，已知且，则外接圆面积为 . 7．（24-25高一下·福建福州·阶段练习）在中，，，，则外接圆面积为 . 8．（24-25高三下·上海虹口·期中）若的三条边的长分别为、、，则的外接圆面积为 .（结果保留） 9．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）在等腰直角三角形中，已知，则的外接圆半径的长为 ；内切圆半径的长为 ． 10．（24-25高一下·四川自贡·阶段练习）在中，，，，则的内切圆半径为 . 考点四 三角形个数存在性问题 【知识点解析】 1.数形结合讨论三角形解的个数 正弦定理、余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素（三角形有三个角和三条边，三角形的边与角称为三角形的元素），如果其中三个元素是已知的（至少要有一个元素是边），那么这个三角形一定可解．斜三角形的解法可以归纳为以下四种类型： （1）已知两角及其中一角的对边，如已知【一解】 （2）已知两边及其夹角，如已知【一解】 （3）已知三边【一解】 （4）已知两边及其中一边的对角，如已知【两解、一解或五解】 ①若为锐角时： ②若A为直角或钝角时: 2.利用余弦定理讨论三角形解的个数 在中，已知、和，由余弦定理变形得. （1）若方程有两个不相等的实数根、 ①当，，则此三角形有两解； ②当，，则此三角形有一解； ③当，，则此三角形无解； （2）若方程有两个相等的实数根、 ①当，则此三角形有一解； ②当，则此三角形无解； （3）若方程没有实数根，则此三角形无解. 3.二次方程根的数量与根的正负 对于二次方程 （1）根的数量 ①当时，方程有两个不相等的实数根； ②当时，方程有两个相等的实数根； ③当时，方程没有实数根. （2）根的正负（当，记，） ①当且时，两根均为正数； ②当且时，两根均为负数； ③当 时，两根一正一负. 【知识点解析】 1．（2025·江西·二模）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25高一下·江西南昌·期中）在中，，分别为内角，所对的边，，，若有两解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·浙江台州·期中）符合下列条件的三角形有2个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）在中，角所对的边分别为，已知，若三角形有两解，则边的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·福建福州·期中）在中，，，若恰有一解，则边长可以为 ．（只需写出一个满足条件的数） 6．（24-25高一下·山东泰安·阶段练习）在中，角所对的边分别为，，，，若三角形有两解，则实数的取值范围是 . 7．（24-25高一下·福建漳州·期中）已知的内角所对的边分别为，，，则使得有两组解的a的值为 ．（写出满足条件的一个整数值即可）． 8．（24-25高一下·陕西榆林·期中）已知的内角的对边分别为，，，，，若有两解，则的取值范围是 . 课后综合练习 1．（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏淮安·期末）在中，角，，对应的边分别为，，，，，，则为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（24-25高一下·河南郑州·期末）在中，若，，，则（    ）． A． B． C．2 D．8 4．（24-25高一下·江西萍乡·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C．2 D． 5．（24-25高一下·福建龙岩·期末）在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，若有两解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·河北·阶段练习·多选）记的内角的对边分别为，若，则（   ） A． B． C．的周长为 D．外接圆的面积为 8．（24-25高一下·河南南阳·阶段练习·多选）在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是钝角三角形 B．若是锐角三角形，则 C．若，，，则满足这组条件的三角形有两个 D．若，则 9．（24-25高一下·上海·期末）在△中，已知，，当有两解时，的取值范围为 ． 10．（24-25高一下·广东佛山·期中）已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若，，则 . 11．（24-25高一下·四川绵阳·阶段练习）在中，分别是边的中点，已知，，则的面积为 12．（24-25高一下·江西九江·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则 . 13．（2025·天津·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，. (1)求边b的长； (2)求C的正切值； (3)求的值. 14．（2025·天津·一模）在中，角所对的边分别为，且． (1)求c的值； (2)求的值； (3)求的值． 15．（24-25高一下·天津武清·阶段练习）在中，，，所对的边分别为，，，已知，． (1)求的值； (2)求的值，并求三角形的面积； (3)求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$