专题02 综合分析法解相似三角形初步（高效培优专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

专题02 综合分析法解相似三角形初步 题型一：比例线段性质的应用（基础） 题型二：综合分析法初步 题型三：给出条件—角度关系 题型四：给出条件—数量、角度关系 题型五：给出条件—位置关系 题型六：给出条件—特殊三角形、四边形等 题型七：在判定相似三角形条件的应用 题型一：比例线段性质的应用（基础） 1．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠ADE＝∠C，求证：AD·AB＝AE·AC 2．在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F．求证： 3．如图，在中，是边上的一点，若，求证：. 题型二：综合分析法初步 4．如图，是等边三角形，，求证． 5．如图，在中，平分，交于点，过点作，交于点．求证：． 6．如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE，交AC于点O，交AD于点F．求证：． 7．如图，已知，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于D，过B作BE∥CD交AC的延长线于点E. 求证：. 题型三：给出条件—角度关系 8．如图, ,. 求证： (1)； (2)． 9．如图，在中，是斜边上的高． 求证：（1）； （2）． 10．如图，已知：在中，点、分别在边、上，且．    (1)求证：； (2)如果，求证：． 11．如图，已知的顶点E在的边上，与相交于点F，，．    (1)求证：； (2)求证：． 题型四：给出条件—数量、角度关系 12．如图，中，，点D在边上，延长线于E，且．    (1)求证：； (2)求证：． 13．如图，在中，. (1)和相似吗？ (2)小明说：“”，你同意吗？ 14．已知：如图，在中，，D是中点，点E在延长线上，点F在边上，．求证： (1)； (2)． 题型五：给出条件—位置关系 15．已知，如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E． 求证：（1）△ADE∽△FDB； （2）CD2=DE•DF． 16．已知：如图，在中，平分交于，点在的延长线上，. （1）求证：； （2）过点作交于点，求证：. 17．已知：如图，在和中，是的角平分线，，边与相交于点F． (1)求证：； (2)如果，求证：． 18．如图，在四边形中，，，点，分别在线段，上，且，． (1)求证：； (2)若，求证：． 19．如图，在四边形中，对角线与交于点，． (1)求证：； (2)过点作交于点，求证：． 题型六：给出条件—特殊三角形、四边形等 20．如图所示，在矩形中，是上一点，于点． 求证：． 若，，求的长． 21．如图，等边三角形的边长为3，点P为上的一点，点D为上的一点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 22．已知：如图，在平行四边形中，点E为线段延长线上一点，连接交于点F，且． (1)求证； (2)连接，当时，求证：． 23．如图，在中，点D，E分别在边上，，分别交线段，于点F，G，且． (1)求证：平分； (2)求证：． 24．如图，等边，点E，F分别在AC，BC边上，，连接AF，BE，相交于点P． (1)求的度数； (2)求证：． 题型七：在判定相似三角形条件的应用 25．如图，在中，点分别在边上，下列条件中，不能确定的是（  ） A． B． C． D． 26．如图，点是上的一点，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 综合分析法解相似三角形初步 题型一：比例线段性质的应用（基础） 题型二：综合分析法初步 题型三：给出条件—角度关系 题型四：给出条件—数量、角度关系 题型五：给出条件—位置关系 题型六：给出条件—特殊三角形、四边形等 题型七：在判定相似三角形条件的应用 题型一：比例线段性质的应用（基础） 1．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠ADE＝∠C，求证：AD·AB＝AE·AC 【答案】证明见解析. 【详解】试题分析：先根据相似三角形的判定定理可求出△AED∽△ABC，再由相似三角形的对应边成比例即可解答． 试题解析：∵∠A=∠A，∠ADE=∠C，∴△AED∽△ABC，∴，∴AD•AB=AE•AC． 2．在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F．求证： 【答案】见解析 【分析】过D作交于G，证明和相似， 和相似，列出比例式变形，比较，即可解决问题． 【详解】证明：过D作交于G，则和相似， ∴， ∵， ∴， 由可得和相似， ∴即， ∴ 【点睛】本题考查了相似三角形的证明和性质的使用，熟知以上知识是解题的关键． 3．如图，在中，是边上的一点，若，求证：. 【答案】见解析 【分析】根据相似三角形的判定，由题意可得，进而根据相似三角形的性质，可得，推论即可得出结论. 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 即. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，灵活运用相关性质是解题的关键. 题型二：综合分析法初步 4．如图，是等边三角形，，求证． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，也利用了等边三角形的性质，首先利用等边三角形的性质构造相似条件，然后利用相似三角形的性质解决问题． 由是等边三角形得到，而，得到，由此可以证明，然后利用相似三角形的性质即可解决问题． 【详解】证明：是等边三角形， ． ， ． 又， ． ， ， ， 即． 5．如图，在中，平分，交于点，过点作，交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证得是解题关键． 【详解】证明：∵平分， ∴ ∵， ∴， ∴．． ∴． 6．如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE，交AC于点O，交AD于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】由ABCD得△AOB∽△COE，有OE：OB=OC：OA；由ADBC得△AOF∽△COB，有OB：OF=OC：OA，进而得出． 【详解】证明：∵ABCD， ∴△AOB∽△COE． ∴OE：OB=OC：OA； ∵ADBC， ∴△AOF∽△COB． ∴OB：OF=OC：OA． ∴OB：OF=OE：OB，即． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握证线段的乘积相等，通常转化为比例式形式，再证明所在的三角形相似，属于中考常考题型． 7．如图，已知，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于D，过B作BE∥CD交AC的延长线于点E. 求证：. 【答案】证明见解析. 【分析】根据CD平分∠ACB，可知∠ACD=∠BCD；由BE∥CD，可求出△BCE是等腰三角形，故BC=CE；根据平行线的性质及BC=CE可得出结论． 【详解】解：证明：∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD． 又∵BE∥CD， ∴∠CBE=∠BCD，∠CEB=∠ACD． ∵∠ACD=∠BCD， ∴∠CBE=∠CEB． ∴BC=CE． ∵BE∥CD， ∴， 又∵BC=CE， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定及性质和角平分线定理、平行线分线段成比例定理，关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理和平行线的性质． 题型三：给出条件—角度关系 8．如图, ,. 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． （1）根据两个角对应相等的两个三角形相似，得出答案即可； （2）根据相似三角形的性质，求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即：， ∵， ∴； （2）证明：由 (1) 可知， 则有， ∴． 9．如图，在中，是斜边上的高． 求证：（1）； （2）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）欲证明，只要证明△ACD∽△ABC即可． （2）欲证明．，只要证明△CDB∽△ADC即可． 【详解】证明：（1）∵∠A＝∠A，∠CDA＝∠ACB＝90°， ∴△ACD∽△ABC， ∴ ∴ （2）在与中 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型． 10．如图，已知：在中，点、分别在边、上，且．    (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两三角形相似的判定方法是解题的关键． （1）首先证明出，得到，然后结合，即可证明出； （2）由，得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 11．如图，已知的顶点E在的边上，与相交于点F，，．    (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质： （1）利用两个角相等证明，得，即可证明结论； （2）首先证明，得，，再证明，得，等量代换即可． 熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，（公共角）， ， ∴， （2），， ， ， ， ∴，， ， ， ∴， ∴， ∴． 题型四：给出条件—数量、角度关系 12．如图，中，，点D在边上，延长线于E，且．    (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点A作于点F，如图所示．由等腰三角形三线合一，得．可证，进一步证得． （2）由，得，进一步证得，于是，可得，等量代换即可得证结论． 【详解】（1）过点A作于点F，如图所示．   ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴ ∴． （2）∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴． ∵，， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质；由三角形全等、相似得出线段之间的数量关系是解题的关键． 13．如图，在中，. (1)和相似吗？ (2)小明说：“”，你同意吗？ 【答案】(1)和相似，理由见解析 (2)同意，理由见解析 【分析】（1）先由等边对等角得出，再根据三角形外角的性质及已知条件证明出，又是公共角，从而证明出和相似； （2）由可得，再化为乘积的形式即可得出． 【详解】（1）解：和相似．理由如下： ∵， ∴， 又∵． ∴． ∵在和中， ， ∴． （2）解：我同意小明的说法．理由如下： ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键． 14．已知：如图，在中，，D是中点，点E在延长线上，点F在边上，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明详见解析； (2)证明详见解析． 【分析】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，即可． （1）根据，则，根据，，则，再根据相似三角形的判定，即可； （2）根据相似三角形的性质，则，根据D是中点，则，再根据，相似三角形的判定即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵点D是的中点， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 题型五：给出条件—位置关系 15．已知，如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E． 求证：（1）△ADE∽△FDB； （2）CD2=DE•DF． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明； （2）利用相似三角形的性质以及直角三角形斜边中线的性质即可解决问题； 【详解】证明：（1）∵DE⊥AB， ∴∠ADE=∠BDF=90°， ∵∠ACB=∠ECF=∠FDB=90°， ∴∠E+∠CFE=90°，∠B+∠DFB=90°， ∵∠CFE=∠DFB， ∴∠E=∠B， ∴△ADE∽△FDB． （2）∵△ADE∽△FDB， ∴=， ∴AD•DB=DE•DF， ∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线， ∴AD=BD=CD， ∴CD2=DE•DF． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 16．已知：如图，在中，平分交于，点在的延长线上，. （1）求证：； （2）过点作交于点，求证：. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠CAD，根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠BDE，等量代换得到∠E＝∠ADC，根据相似三角形的判定定理即可得到结论； (2)根据得到，再得到，由证得，再根据得到，即可得到，整理即可求解. 【详解】解：（1）证明∵ ∴ ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ （2）∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 17．已知：如图，在和中，是的角平分线，，边与相交于点F． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，得，所以； （2）先由，得，则，而，则，得，由变形得，则，所以． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题重点考查三角形的角平分线的定义、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、相似三角形的判定与性质等知识，正确地找到相似三角形的对应边和对应角并且证明及是解题的关键． 18．如图，在四边形中，，，点，分别在线段，上，且，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据全等三角形的判定证明，即可得． （2）结合相似三角形的判定证明，则可得． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ， ， ． （2）证明：， ， ． ， ， ， ， ， 19．如图，在四边形中，对角线与交于点，． (1)求证：； (2)过点作交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先证明，再证明，即可求证； （2）先证明，再证明，即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴，即， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ 即． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键． 题型六：给出条件—特殊三角形、四边形等 20．如图所示，在矩形中，是上一点，于点． 求证：． 若，，求的长． 【答案】(1)详见解析;(2)3. 【分析】（1）根据四边形ABCD是矩形可得出∠ADC=∠C=90°，再根据相似三角形的判定定理可得出△ADF∽△DCE，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论； （2）由（1）可知DF：AF=CE：DC，再结合已知条件即可求出CE的长． 【详解】证明： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； ∴， 即； ∵； ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形与三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握矩形与三角形的性质. 21．如图，等边三角形的边长为3，点P为上的一点，点D为上的一点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出． （1）由等边三角形和得，，在中，，由此可得．因此，则； （2）由（1）的结论可得，从而可以求出线段的长． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵等边三角形边长为3，， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．已知：如图，在平行四边形中，点E为线段延长线上一点，连接交于点F，且． (1)求证； (2)连接，当时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，可证得，可得到，即可求证； （2）先证明，可得，再证明，可得，即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）证明：如图， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 23．如图，在中，点D，E分别在边上，，分别交线段，于点F，G，且． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据三角形内角和定理得出，再由相似三角形的判定和性质确定，即可证明； （2）根据相似三角形的判定得出，再由性质得出，利用等量代换即可证明． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， 又∵=， ∴， ∴， ∴平分． （2）∵， ∴， ∴． 由（1）知， ∴， ∴． 24．如图，等边，点E，F分别在AC，BC边上，，连接AF，BE，相交于点P． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】（1）根据证明，利用三角形的外角性质即可得解； （2）证明，利用对应边对应成比例列式即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．根据等边三角形的性质和已知条件证明三角形全等是解题的关键． 题型七：在判定相似三角形条件的应用 25．如图，在中，点分别在边上，下列条件中，不能确定的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活运用相似三角形判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．由，可判定，故A选项正确，不符合题意； B．由可判定，故B选项正确，不符合题意； C．由可得，但没有夹角相等，故C选项错误，符合题意； D． 由可得且，可判定，故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 26．如图，点是上的一点，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定．根据相似三角形的判定即可求出答案． 【详解】解：A、，， ，，故A能判定； B、，， ，故B能判定； C、， ． 且， 由已知条件无法判定两三角形相似，故C不能判定 D、， ． 且， 根据两边成比例夹角相等两三角形相似，故D能判定， 故选：C． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$