第11章 整式的乘除（高效培优单元测试·提升卷）数学沪教版五四制2024七年级上册

第11章 整式的乘除 单元测试卷·提升卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的.） 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若是关于的完全平方式，则常数的值为（   ） A． B．或7 C．7 D．9 5．已知，则m和n的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 6．有下列计算：①；②；③；④；⑤.其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．小明作业本发下来时，不小心被同学沾了墨水：，你帮小明还原一下被墨水污染的地方应该是（ ） A． B． C． D． 8．如图，大正方形与小正方形的面积之差是16，则阴影部分的面积是（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 9．若，，则M，N的大小关系是（   ） A． B． C． D． 10．若乘积中不含项和项，则、的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．计算：（xy）2＝ ．（﹣m2）3＝ ．2a•（﹣3b）＝ ．（a6﹣2a3）÷a3＝ ． 12．计算： ． 13．若，则 ． 14．计算 ． 15．已知一个长方形公园的面积为，若长方形公园的长为，则宽为 ． 16．若，，则代数式的值为 ． 17．已知，，则的值为 ． 18．如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”，他的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（为非负整数）的展开式中按次数从大到小排列的项的系数，例如：展开式中的系数1，2，1恰好对应图中第三行的数字；展开式中的系数1，3，3，1恰好对应图中第四行的数字……．请认真观察此图，根据前面各式的规律，写出的展开式： ． 三、解答题：（本大题共11题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．计算： (1)（结果用幂的形式表示） (2) (3) (4) 20．计算： (1) (2) (3) (4) 21．利用整式乘法公式计算 (1)； (2)． 22．先化简，再求值：，其中，． 23．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 24．已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 25．已知，，求的值． 26．如图，长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）． (1)用含的代数式表示“T”型图形的面积并化简； (2)若米，米，“T”型区域铺上价格为每平方米20元的草坪，请计算草坪的造价． 27．在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为． (1)试求出式子中，的值； (2)请你计算出这道整式乘法的正确结果． 28．综合与实践 【观察】如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图②的长方形. 【总结】 （1）请你分别表示出这两个图形中的阴影部分的面积： 图①：_______________； 图②：_______________； （2）比较两图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式：_________； 【应用】请应用这个公式计算：； 【拓展】计算的结果的个位数字为________. 29．结合图形我们可以通过两种不同的方法计算面积，从而可以得到一个数学等式．    (1)如图1，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______； (2)我们可以利用（1）中的关系进行求值，例如，若x满足，可设，，则，．则______． (3)若x满足，则的值为______； (4)小玲想利用图2中x张A纸片，y张B纸片，z张C纸片拼出一个面积为的大长方形，则______； (5)如图3，已知正方形的边长为x，E，F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 整式的乘除 单元测试卷·提升卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的.） 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，根据单项式的运算法则进行计算，即可求解． 【详解】解： 故选：D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，除法，熟练掌握运算方法是解答本题的关键．根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，除法运算法则，进行计算即可． 【详解】解：A、，本选项错误，不符合题意； B、，本选项正确，符合题意； C、，本选项错误，不符合题意； D、，本选项错误，不符合题意， 故选：B． 3．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式．根据完全平方公式一验证即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：C． 4．若是关于的完全平方式，则常数的值为（   ） A． B．或7 C．7 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据，进行作答即可． 【详解】解：∵是关于x的完全平方式， ∴， ∴， 解得：或． 故选：B． 5．已知，则m和n的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式法则可得，进而得到，，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解得：，， 故选：D． 6．有下列计算：①；②；③；④；⑤.其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，利用单项式乘单项式法则、单项式乘多项式法则、多项式乘多项式法则、多项式除单项式法则、积的乘方法则、完全平方公式等知识点逐个计算得结论． 【详解】解：，故①运算错误； ，故②运算错误； ，故③运算正确； ，故④运算正确； ，故⑤运算错误； 综上所述，正确的有③④，一共2个． 故选：B． 7．小明作业本发下来时，不小心被同学沾了墨水：，你帮小明还原一下被墨水污染的地方应该是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是整式的除法和乘法，掌握法则是解题的关键． 利用多项式乘单项式的运算法则计算即可求解． 【详解】解：， ． 故选：B． 8．如图，大正方形与小正方形的面积之差是16，则阴影部分的面积是（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，由题意得，根据，，，即可求解； 【详解】解析：大正方形与小正方形的面积之差是， ， ∵，， 由图可得： ． 故选：B 9．若，，则M，N的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，利用作差法，将计算的结果进行因式分解，即可解答，熟练进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：， ， 故选：B． 10．若乘积中不含项和项，则、的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的法则，问题的关键是注意各项符号的处理． 把式子展开，找到所有和项的系数，令它们的系数分别为，列式求解即可． 【详解】解：， ， ， 展开式中不含项和项， ， ， 故选：A． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．计算：（xy）2＝ ．（﹣m2）3＝ ．2a•（﹣3b）＝ ．（a6﹣2a3）÷a3＝ ． 【答案】 x2y2 ﹣m6 -6ab a3﹣2/－2+a3 【分析】根据单项式的乘法，积的乘方、幂的乘方的性质，多项式除以单项式分别计算求解即可． 【详解】解：（xy）2＝x2y2； （﹣m2）3＝﹣m6； 2a•（﹣3b）＝-6ab； （a6﹣2a3）÷a3＝a6÷a3﹣2a3÷a3= a3﹣2． 故答案为：x2y2；﹣m6；-6ab；a3﹣2． 【点睛】本题考查了单项式的乘法，积的乘方、幂的乘方，多项式除以单项式，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键． 12．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了，掌握整式的乘除法法则和乘法公式是解决本题的关键，把102、98、99分别变形为、、，再套用平方差和完全平方公式计算比较简便． 【详解】原式 ． 故答案为： 13．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键．先利用多项式乘多项式法则计算等号的左边，再根据等式的性质确定p、q，然后再求解即可． 【详解】解：， 又， ，， ， 故答案为：8． 14．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，逆用积的乘方的法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 15．已知一个长方形公园的面积为，若长方形公园的长为，则宽为 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵长方形的面积为，一边长为， ∴另一边长为：． 故答案为：． 16．若，，则代数式的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查利用完全平方公式的变形求值．根据完全平方公式可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， ∴． 故答案为：10 17．已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了同底数幂的除法以及幂的乘方的逆用，根据同底数幂的除法法则和幂的乘方的运算法则求解即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 18．如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”，他的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（为非负整数）的展开式中按次数从大到小排列的项的系数，例如：展开式中的系数1，2，1恰好对应图中第三行的数字；展开式中的系数1，3，3，1恰好对应图中第四行的数字……．请认真观察此图，根据前面各式的规律，写出的展开式： ． 【答案】a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 【分析】利用已知各项系数变化规律进而得出答案． 【详解】解：可得：（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4； 则（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5． 故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5． 【点睛】本题考查了数字的规律变化，要求学生通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键． 三、解答题：（本大题共11题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．计算： (1)（结果用幂的形式表示） (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据幂的乘方公式计算； （2）用单项式乘法法则计算即可； （3）先算单项式乘多项式和单项式乘单项式，再合并同类项即可； （4）根据多项式除单项式法则计算． 【详解】（1）； （2）； （3） ； （4） . 【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式乘除的相关运算的法则． 20．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了单项式乘单项式，多项式乘多项式，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据单项式乘单项式法则求解即可； （2）根据平方差公式求解即可； （3）根据同底数幂的乘法法则求解即可； （4）根据完全平方公式和平方差公式展开，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4）． 21．利用整式乘法公式计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，正确计算是解题的关键； （1）将变形为，再根据完全平方公式计算即可； （2）将式子变形为，再根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，整式的化简求值等知识点，掌握这两个公式是解题的关键．本题先利用完全平方公式和平方差公式化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式 当，时，原式． 23．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)44 (2)24 (3)18 【分析】本题主要考查了幂的运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂乘除法和幂的乘方运算以及逆运算法则． （1）根据幂的乘方运算及逆运算法则进行计算即可； （2）根据同底数幂乘法和幂的乘方运算及逆运算法则进行计算即可； （3）根据同底数幂除法和幂的乘方运算及逆运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 24．已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)7 (2)6 (3)5 【分析】本题考查完全平方公式： （1）利用完全平方公式变形计算即可； （2）利用完全平方公式变形计算即可； （3）利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）由（1）知：， 又∵， ∴； （3）∵，， ∴． 25．已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂除法计算，根据幂的乘方计算方程和同底数幂除法计算法则可得，，则，，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 26．如图，长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）． (1)用含的代数式表示“T”型图形的面积并化简； (2)若米，米，“T”型区域铺上价格为每平方米20元的草坪，请计算草坪的造价． 【答案】(1)“T”型图形的面积为 (2)5440元 【分析】本题主要考查多项式乘多项式的几何应用，熟练掌握多项式乘多项式的几何应用是解题的关键． （1）根据图形可用割补法进行求解； （2）把米，米代入（1）中式子进行求解面积，然后再根据草坪的造价“T”型区域的面积单价，进而问题可解． 【详解】（1）解：由题意得：“T”型图形的面积为； （2）解：当米，米时， （平方米）， ∴造价为（元）． 27．在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为． (1)试求出式子中，的值； (2)请你计算出这道整式乘法的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式、二元一次方程组的应用等知识点，根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，求出与的值是解题的关键． （1）根据题意将错就错，分别列出两个等式，整理后根据多项式相等的条件列出关于、的二元一次方程，再求出与的值； （2）把与的值代入原式，进而确定出正确的算式及结果即可． 【详解】（1）解：由题意得 ， ， 所以，① ② 由②得，代入①得， 所以 所以 所以 （2）解：当时，由得 28．综合与实践 【观察】如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图②的长方形. 【总结】 （1）请你分别表示出这两个图形中的阴影部分的面积： 图①：_______________； 图②：_______________； （2）比较两图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式：_________； 【应用】请应用这个公式计算：； 【拓展】计算的结果的个位数字为________. 【答案】总结：（1），；（2）；应用：；拓展： 【分析】本题考查了利用平方差公式计算，平方差公式与几何图形，数字类规律探索，解题关键是掌握题意根据面积相等得出平方差公式，利用平方差公式求解． （1）根据图写出阴影部分的面积即可； （2）利用两个面积相等列式即可；利用探究中的公式计算即可；算式乘以，再利用探究中的公式计算即可． 【详解】（1）解：图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即；图②的阴影部分为长为，宽为的矩形，其面积为． 故答案为：，； （2）由图①与图②的面积相等，可以得到乘法公式，， 故答案为：； [应用] [拓展] ∵，，，，，… 以2，4，8，6，四个为一个循环， ， ∴与的末位数相同，即为6． 故答案为：6． 29．结合图形我们可以通过两种不同的方法计算面积，从而可以得到一个数学等式．    (1)如图1，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______； (2)我们可以利用（1）中的关系进行求值，例如，若x满足，可设，，则，．则______． (3)若x满足，则的值为______； (4)小玲想利用图2中x张A纸片，y张B纸片，z张C纸片拼出一个面积为的大长方形，则______； (5)如图3，已知正方形的边长为x，E，F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）方法一是直接将两个正方形的面积相加，方法二是用大的正方形面积减去两个长方形的面积，即可得到等式； （2）根据（1）中得到的关系式直接代入即可得到结果； （3）根据（2）中的方法可得到结果； （4）根据得到的大长方形的面积展开，可以得到一个关系式，由关系式中可知道用的纸张分别是多少，计算其和即可； （5）先根据阴影部分构造出来等式，然后根据两次完全平方公式得到结果． 【详解】（1）解：方法一：阴影部分是两个正方形的面积和，即； 方法二：阴影部分也可以看作边长为的面积减去两个长为，宽为的长方形面积，即， 两种方法可得出：； （2）解：由（1）可得， ∵，， ∴； （3）解：设，， ∵x满足， ∴， ∵， ∴， ∴的值为； （4）解：， A纸片的面积为，B纸片面积为，C纸片面积为， 根据可知要拼出一个面积为的大长方形，需要3张A纸片，1张B纸片，4张C纸片， 则； （5）解：由图知，， ∴， ∵长方形的面积是24， ∴， 设，， 则，， 由，得， ∴， ∴， 即， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用、多项式乘多项式、完全平方公式的变形适用，熟练掌握完全平方公式以及能够用换元法解题是解题的关键． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$