第09讲：拓展二：构造函数法解决导数不等式问题（精讲）-【一轮复习·学霸之路】2026年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

第09讲：拓展二：构造函数法解决导数不等式问题 目录 类型一：构造或(，且)型 2 类型二：构造或(，且)型 4 类型三：构造或型 5 类型四：构造或型 6 类型五：根据不等式（求解目标）构造具体函数 7 1、两个基本还原 ① ② 2、类型一：构造可导积函数 ① 高频考点1： ② 高频考点1： 高频考点2 ③ 高频考点1： ④ 高频考点1： 高频考点2 ⑤ ⑥ 序号 条件 构造函数 1 2 3 4 5 6 7 8 3、类型二：构造可商函数 ① 高频考点1： ② 高频考点1： 高频考点2： ③ ⑥ 类型一：构造或(，且)型 典型例题 例题1．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2025·湖北武汉·三模）已知定义在上的函数，其导函数为，对任意的都有成立，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 例题3．（24-25高二下·广东·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 例题4．（24-25高二下·山西太原·期中）已知是定义在上的函数的导函数，且满足，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 例题5．（24-25高二下·湖南娄底·期中）设函数是R上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（   ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（24-25高二下·山东威海·期中）定义在上的奇函数的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A．B． C． D． 2．（24-25高二下·浙江·期中）设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·天津西青·期中）定义在上的奇函数满足时，成立，若，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·湖北·期中）已知是定义在区间上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 类型二：构造或(，且)型 典型例题 例题1．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知函数的定义域为，满足（为的导函数），设，，，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高三下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数在上可导，导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（2025·山西·模拟预测）已知函数在R上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为 ． 2．（24-25高三下·全国·课堂例题）已知为上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（多选）（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）定义在上的函数的导函数为，对于任意实数，都有，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．函数为偶函数 B． C．不等式的解集为 D．若方程有两个根，则 类型三：构造或型 典型例题 例题1．（24-25高三下·山东泰安·阶段练习）已知函数是奇函数，对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二下·重庆·阶段练习）定义在上的函数的导函数为，都有，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 例题3．（2024·云南·模拟预测）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为 ． 精练高频考点 1．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数的导函数为，对任意，有，设，，，则，，的大小关系为 . 2．（2024·河南信阳·一模）已知函数对均满足，其中是的导数，则下列不等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高二下·云南昆明·期中）已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（    ） A． B． C． D． 类型四：构造或型 典型例题 例题1．（24-25高三下·山东济南·阶段练习）定义在上的函数，是的导函数，且恒成立，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高三上·内蒙古通辽·期末）已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 例题3．（24-25高三上·福建南平·期中）定义在上的函数，是的导函数，且成立， ，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（多选）（23-24高三上·山东滨州·期末）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知函数对于任意的都有，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024广西柳州·一模）已知是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 类型五：根据不等式（求解目标）构造具体函数 典型例题 例题1．（2025·海南·模拟预测）定义在上的函数满足，当时，．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二下·黑龙江·期中）已知定义在上的函数的导函数满足，则（     ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知定义在上的函数的导函数，若，且，则不等式的解集是 . 精练高频考点 1．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数的定义域为，其导函数为，若对任意的，均有恒成立，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·辽宁大连·一模）设函数在R上存在导函数，对任意的实数都有，当时，.若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·山东德州·期中）已知定义在上的函数的导函数为，且，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二下·河南郑州·期中）定义在上的函数满足，，则关于x的不等式的解集为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲：拓展二：构造函数法解决导数不等式问题 目录 类型一：构造或(，且)型 2 类型二：构造或(，且)型 7 类型三：构造或型 11 类型四：构造或型 16 类型五：根据不等式（求解目标）构造具体函数 20 1、两个基本还原 ① ② 2、类型一：构造可导积函数 ① 高频考点1： ② 高频考点1： 高频考点2 ③ 高频考点1： ④ 高频考点1： 高频考点2 ⑤ ⑥ 序号 条件 构造函数 1 2 3 4 5 6 7 8 3、类型二：构造可商函数 ① 高频考点1： ② 高频考点1： 高频考点2： ③ ⑥ 类型一：构造或(，且)型 典型例题 例题1．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用已知条件求导分析单调性，再结合函数的奇偶性来求解不等式. 【详解】构造函数，则， 因为当时，有， 故当时，，单调递增； 又因为是定义在上的奇函数，， 故是偶函数， 则当时，是单调递减函数. 又因为，则， 不等式 等价于， 所以当时，，即； 当时，，即， 所以不等式的解集是. 故选：A. 例题2．（2025·湖北武汉·三模）已知定义在上的函数，其导函数为，对任意的都有成立，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过构造函数，利用已知条件判断函数的单调性，再根据函数单调性比较函数值的大小. 【详解】设，对求导，可得. 因为对任意的都有，即，且，所以，这表明在上单调递减. 逐一分析选项， 因为在上单调递减，所以，即，也就是，所以A选项错误. 仅根据已知条件无法得出，所以B选项错误. 因为在上单调递减，所以，即，也就是，所以C选项正确. 因为在上单调递减，所以，即，也就是，所以D选项错误. 不等式一定成立的是. 故选：C. 例题3．（24-25高二下·广东·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性，进而求出不等式的解集. 【详解】令，由，得，函数在上单调递增， 由，得，不等式化为， 则，解得，所以不等式的解集为． 故选：B 例题4．（24-25高二下·山西太原·期中）已知是定义在上的函数的导函数，且满足，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造并利用导数研究其单调性比较函数值大小，进而判断各项的正误. 【详解】令，则，即在R上单调递减， 所以，则，，，， 由，则， 所以，，，. 故选：D 例题5．（24-25高二下·湖南娄底·期中）设函数是R上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先构造函数，再利用函数单调性解不等式. 【详解】令， ∵函数在上是可导的偶函数， ∴在上也是偶函数 又当时，，∴， ∴， ∴在上是增函数 ∵， 由得 即不等式转化为， ∴x不为0时有， 而x为0时，不等式显然成立， ∴不等式的解集为. 故选：C. 精练高频考点 1．（24-25高二下·山东威海·期中）定义在上的奇函数的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，结合求导可判断单调性，从而求解原不等式. 【详解】根据题意可构造函数，则， 由题可知，所以在区间上为增函数， 又由于为偶函数，为奇函数，所以为奇函数， 又，即， 所以，解得. 故选：D. 2．（24-25高二下·浙江·期中）设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求导，得到在上单调递增，可直接判断B、C选项；举出反例，设，可判断A、D选项. 【详解】令，则， 所以在上单调递增， B选项，由，即，可得，故B错误； C选项，由，即，可得，故C正确； A选项，因为，不妨设（为常数）， 即（为常数），所以， 令，故，当时，为常数函数， 此时，即，所以，故A错误； D选项，根据上述分析，，（为常数）， 故，，令，， 当时，，在上单调递减， 所以，则，故D错误. 故选：C. 3．（24-25高二下·天津西青·期中）定义在上的奇函数满足时，成立，若，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，利用导数可求得在上单调递减，根据为偶函数可知其在上单调递增，再利用指数和对数函数单调性，可得到，即可求解. 【详解】令，当时，， 所以在上单调递减，又是奇函数， 则，所以为上的偶函数， 则在上单调递增，又， 所以，即， 故选：B. 4．（24-25高二下·湖北·期中）已知是定义在区间上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式可构造函数，判断出函数在上单调递减即可得出结论. 【详解】由可得， 令函数， 可得即在上单调递减， 因此可得，即，所以. 故选：B 类型二：构造或(，且)型 典型例题 例题1．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知函数的定义域为，满足（为的导函数），设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，判断函数单调性后即可求解. 【详解】令，则， 因为，所以， 所以函数在上单调递增， 因为，所以． 故选：B 例题2．（24-25高三下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数在上可导，导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，通过求导，结合条件判断函数单调性，利用为偶函数及，推出，即得，将所求不等式等价转化为，利用单调性即得. 【详解】设，则，故函数在上为增函数， 因，且为偶函数，故，故，则， 于是等价于，即，由函数的单调性可得， 即不等式的解集为. 故选：B. 精练高频考点 1．（2025·山西·模拟预测）已知函数在R上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】构造函数利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】设则， 故在R上单调递减， 且，即， 即， 故. 故不等式的解集为. 故答案为： 2．（24-25高三下·全国·课堂例题）已知为上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】构造函数，由得在上单调递增，由单调性可比较大小. 【详解】构造函数， 则 ， 所以函数在上单调递增， 故，即， 即． 同理，，即． 故选：A. 3．（多选）（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）定义在上的函数的导函数为，对于任意实数，都有，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．函数为偶函数 B． C．不等式的解集为 D．若方程有两个根，则 【答案】AB 【分析】由，有，结合函数奇偶性的定义即可判断；由，可得，求出的解析式即可判断B；当时，函数单调递增，有，可判断C；方程有两个根，等价于函数与函数的图象有两个交点，利用这两个函数的单调性和对称性，得结论判断D． 【详解】令，函数定义域为， 由，有，即， 所以函数为偶函数，故A选项正确； 由，得， 即，所以， 有，得， 所以， 得，，故选项B正确， ， 当时，函数单调递增，且，有， 即，不合题意，故选项C错误； 方程，即，方程有两个根， 等价于函数与函数的图象有两个交点，其中函数单调递减， 函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为，时函数单调递减， 若方程有两个根，则有， 此时，即， 若且，则有， ∴，∴，得，故选项D错误. 故选：AB． 类型三：构造或型 典型例题 例题1．（24-25高三下·山东泰安·阶段练习）已知函数是奇函数，对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，根据给定条件确定函数的奇偶性及单调性，再逐项判断即可. 【详解】令函数，由函数是奇函数， 得，函数是偶函数， 求导得，由任意，， 得任意，，函数在上单调递增，在上单调递减， 对于A，由，得，化简得，A错误； 对于B，由，得，化简得，B错误； 对于C，由，得，化简得，C正确； 对于D，由，得，化简得，D错误. 故选：C 例题2．（24-25高二下·重庆·阶段练习）定义在上的函数的导函数为，都有，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，再结合两角和差的正弦公式对各个选项进行大小比较即可. 【详解】因为，所以，. 由，得， 则，即， 设，则， 可得，则在定义域上单调递减， 对于A，可得，则， 得到，即，故A错误， 对于B，可得，则， 得到，即，故B错误， 对于C，可得，则， 而由两角和的正弦公式得， 得到，故C正确， 对于D，可得，则， 而由两角和的正弦公式得， 得到，故D错误. 故选：C 例题3．（2024·云南·模拟预测）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由已知，设，可得函数单调递减，则由，可得，即为不等式的解集. 【详解】设，， 所以函数在上单调递减， ， 即，得， 所以，所以不等式的解集为． 故答案为：． 精练高频考点 1．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数的导函数为，对任意，有，设，，，则，，的大小关系为 . 【答案】 【分析】构造函数，根据导数判断函数单调性，进而比较大小. 【详解】构造函数，，， 则时，， 所以函数在上单调递增， 于是， 即， 所以， 故答案为：. 2．（2024·河南信阳·一模）已知函数对均满足，其中是的导数，则下列不等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨函数单调性即可比较大小. 【详解】，令，求导得：， 当时，当时，因此函数在上递增，在上递减， 对于A，，则，即，A正确； 对于B，，则，即，B错误； 对于C，，则，即，C错误； 对于D，，则，即，D错误． 故选：A 3．（多选）（24-25高二下·云南昆明·期中）已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】构造函数，则，结合题意可得在上单调递减，逐一分析选项，即可得出答案. 【详解】由题意令， 则， 当时，恒有成立， ，即在上单调递减， ， ， 即， 即得 对于A，D，故A错误，D正确； 对于B，C，故B错误，C正确. 故选：CD. 类型四：构造或型 典型例题 例题1．（24-25高三下·山东济南·阶段练习）定义在上的函数，是的导函数，且恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可得，构造函数，利用导数判断函数的单调性，比较函数值的大小即可. 【详解】因为时，， 所以可化为， 设，， 则， 所以函数在上的单调递减， 因为，所以， 所以，即， 对于A：因为，A选项不一定成立； 对于B：因为，B选项不一定成立； 对于C：成立； 对于D：，D选项不成立； 故选：C. 例题2．（24-25高三上·内蒙古通辽·期末）已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造，利用导数研究单调性，再依次比较各项对应函数值大小即可. 【详解】设，，则， 在上单调递增， 对于A，，化简得，A正确； 对于B，，化简得，B错误； 对于C，，化简得，C错误； 对于D，，化简得，D错误. 故选：A 【点睛】关键点点睛：构造函数，利用导数探讨函数单调性是比较大小的关键. 例题3．（24-25高三上·福建南平·期中）定义在上的函数，是的导函数，且成立， ，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件可得，构造函数，利用导数判断函数的单调性，比较函数值的大小即可. 【详解】因为时，， 所以可化为， 设，， 则， 所以函数在上的单调递减， 因为，所以， 所以，即， 所以. 故选：B. 精练高频考点 1．（多选）（23-24高三上·山东滨州·期末）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，构造新函数，利用导数判断函数的单调性逐一检查每个选项是否正确. 【详解】设，则， 所以在上单调递减， 对于A，由，即，即，故A正确； 对于B，由，即，又，则，故B错误； 对于C，由，即，即，故C正确； 对于D，由，即，即，故D正确. 故选：ACD. 2．（多选）（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知函数对于任意的都有，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题设构造函数，利用导数运算得在上单调递增，从而利用单调性得，，，，即可比较四个选项式子的大小. 【详解】令， 对于任意的， 所以在上单调递增， 所以，A不对； ，B正确； ，C正确； ，D不对． 故选：BC 3．（2024广西柳州·一模）已知是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，构造函数，求导，可得在上的单调性，将a，b，c变形整理，结合单调性，即可得答案. 【详解】由于比较，，大小， 即比较，，大小即可. 设函数，则， 因为，所以， 所以在上是增函数，且， ，， 则，所以， 故选：A 类型五：根据不等式（求解目标）构造具体函数 典型例题 例题1．（2025·海南·模拟预测）定义在上的函数满足，当时，．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，然后判断的单调性和奇偶性，然后将不等式变形并求出不等式的解集即可. 【详解】令，则. 所以，所以是偶函数. 当时，，所以在上单调递增. 因为，所以. 即. 因为是偶函数，所以. 又在上单调递增，所以. 两边平方得，解得. 故选：A. 例题2．（24-25高二下·黑龙江·期中）已知定义在上的函数的导函数满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用导数分析函数在上的单调性，结合函数的单调性逐项判断即可. 【详解】设，则， 所以，函数在上为增函数， 对于AB选项，，即， 所以，AB无法判断； 对于CD选项，，即，可得，C错D对. 故选：D. 例题3．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知定义在上的函数的导函数，若，且，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据题意可构造函数，利用导数得出函数在上单调性，解不等式可得结论. 【详解】设，则， 因为，所以，所以在上单调递减； 不等式等价于，即， 因为，所以， 所以，即，解得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用题干信息构造函数，并利用导数得出函数单调性；将不等式转换为比较函数值大小问题，利用函数单调性解不等式即可得结果. 精练高频考点 1．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数的定义域为，其导函数为，若对任意的，均有恒成立，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件构造一个函数，再利用的单调性求解不等式即可. 【详解】由，可得， 即，令， 则. 令，， 所以在上是单调递减函数. 不等式， 等价于， 即，， 所求不等式即， 由于在上是单调递减函数， 所以，解得， 且，即， 故不等式的解集为. 故选：A. 2．（2024·辽宁大连·一模）设函数在R上存在导函数，对任意的实数都有，当时，.若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造，求导，得到在上为减函数，结合为奇函数，得到在上为减函数，分和两种情况，得到，由函数单调性得到不等式，求出答案. 【详解】令，，则， 函数在上为减函数， 因为，即， 故为奇函数，于是在上为减函数 而不等式， 若，则，即， 可化为， 即，则 解得，与前提条件相同，满足要求； 若，则无法比较与的大小关系， 故无法比较与的大小关系，故不合要求. 故选：A. 3．（24-25高二下·山东德州·期中）已知定义在上的函数的导函数为，且，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得到，再利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递减，即可求解. 【详解】由，得到， 令，则， 所以（为常数），又，则， 所以，得到，又，当时，， 所以在区间上单调递减，又，所以， 故选：B. 4．（22-23高二下·河南郑州·期中）定义在上的函数满足，，则关于x的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由已知不等式整理得到，设函数，得的单调性，再利用其单调性解待求不等式即得. 【详解】因时，，即，也即， 取，则，即在上单调递减， 又，则， 由可得，故得，，解得，. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$