第08讲：拓展一：分离变量法解决导数问题（精讲）-【一轮复习·学霸之路】2026年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

第08讲：拓展一：分离变量法解决导数问题 目录 类型一：恒成立（存在问题）求解参数范围 1 角度1：完全分离参数法 1 角度2：部分分离参数法 3 类型二：已知零点个数求解参数范围 5 角度1：完全分离参数法 5 角度2：部分分离参数法 7 类型一：恒成立（存在问题）求解参数范围 角度1：完全分离参数法 典型例题 例题1．（云南省2025届高三下学期5月新高考自主命题冲刺金卷数学试卷）已知函数． (1)求的解析式； (2)若在内有两个零点，求m的取值范围； (3)若对任意的，不等式恒成立，求整数k的值组成的集合． 例题2．（24-25高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，求的极值； (3)当时，，求的取值范围. 精练高频考点 1．（24-25高三下·广西河池·阶段练习）已知函数. (1)讨论函数的极值点个数； (2)当时，若的图象在图象的下方，求整数的最大值（）. 2．（2025·陕西延安·模拟预测）已知函数． (1)证明：； (2)证明：在其定义域内为减函数； (3)若在的定义域内，恒成立，求实数的取值范围． 角度2：部分分离参数法 典型例题 例题1．（24-25高二下·内蒙古包头·阶段练习）已知不等式恰有1个整数解，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二下·北京·期中）设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：在区间内单调递增； (3)若关于x的不等式在区间内恰有一个整数解，直接写出k的取值范围． 精练高频考点 1．（24-25高三上·福建龙岩·阶段练习）不等式解集中有且仅含有两个整数，则实数a的取值范围是 ． 2．（2024高三上·江苏·专题练习）设函数，其中，若存在唯一负整数，使得，则实数的取值范围是 3．（24-25高三下·江苏苏州·阶段练习）已知函数. (1)若只有2个正整数解，求a的取值范围； 类型二：已知零点个数求解参数范围 角度1：完全分离参数法 典型型例题 例题1.（24-25高二下·浙江·期中）已知定义在上的函数. (1)若，判断的单调性； (2)若存在两个零点，求m的取值范围. 例题2．（24-25高二下·重庆·期中）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)若函数有3个不同的零点，求实数的取值范围. 精练高频考点 1．（24-25高二下·福建三明·期中）已知函数，e是自然对数的底数. (1)讨论函数的单调性； (2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围. 2．（24-25高二下·重庆·期中）已知． (1)讨论的单调性； (2)若，且函数有三个零点，求的取值范围． 3．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知函数 (1)若，求的最小值 (2)讨论的单调性； (3)若有两个不同的零点，求的取值范围． 角度2：部分分离参数法 典型例题 例题1．（24-25高三上·山东·开学考试）已知函数有4个不同的零点，则的取值可以为（ ） A． B． C． D．0 例题2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数有且仅有3个零点，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河北保定·期末）已知函数，若方程在上有且仅有一个实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲：拓展一：分离变量法解决导数问题 目录 类型一：恒成立（存在问题）求解参数范围 1 角度1：完全分离参数法 1 角度2：部分分离参数法 7 类型二：已知零点个数求解参数范围 12 角度1：完全分离参数法 12 角度2：部分分离参数法 18 类型一：恒成立（存在问题）求解参数范围 角度1：完全分离参数法 典型例题 例题1．（云南省2025届高三下学期5月新高考自主命题冲刺金卷数学试卷）已知函数． (1)求的解析式； (2)若在内有两个零点，求m的取值范围； (3)若对任意的，不等式恒成立，求整数k的值组成的集合． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）求出导数并赋值求出，进而求出解析式. （2）求出及其导数，利用导数研究在上的单调性和最值，列出关于m的不等式组，即可得出答案. （3）利用分离变量法，分类讨论，构造函数，利用导数研究分别在x＜0，x＞0的单调性和最值，即可得出答案. 【详解】（1）函数，求导得， 则， 解得，所以的解析式为. （2）由（1）得，则， 求导得，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值， 要使在内有两个零点，当且仅当，即， 解得， 所以实数的取值范围为. （3）对任意的，不等式恒成立，转化为对任意的，恒成立， ①当时，，显然成立，此时； ②当时，恒成立，令， 求导得，而当时，恒成立， 由得；由得，在上单调递减，在上单调递增， 因此当时，取得最小值，则； ③当时， 恒成立，令，此时， 求导得，令，求导得， 函数在上单调递增，又， 由零点存在定理得存在，使得，即， 由，得，由，得，在上递增，在上递减， 当时，取得最大值，且，则， 于是实数k的取值范围为，所以整数k的值组成的集合为. 例题2．（24-25高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，求的极值； (3)当时，，求的取值范围. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2)极小值为，无极大值 (3) 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间； （2）利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极值； （3）当时，不等式等价于，然后利用导数求出右边的最大值即可. 【详解】（1）当时，定义域为，又， 当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）当时，，定义域为， ，显然， 令，则， 所以在上单调递增， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故在时，取得极小值为，无极大值； （3）由题意得，不等式为在上恒成立， ①当时，不等式为，显然成立，符合题意，此时； ②当时，不等式等价于， 令， 则.         令，则，令， 而，所以，所以在上单调递减， 所以，即. 从而在上单调递减， 所以，即在上恒成立. 所以当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 所以在处取得极大值，也是最大值，. 因此. 综上可得，实数的取值范围是. 精练高频考点 1．（24-25高三下·广西河池·阶段练习）已知函数. (1)讨论函数的极值点个数； (2)当时，若的图象在图象的下方，求整数的最大值（）. 【答案】(1)答案见解析； (2)1. 【分析】（1）直接求导得，再分和讨论即可； （2）转化为，再设新函数，求导后再次设分母为新函数，再次求导并利用隐零点法即可求出最值. 【详解】（1）函数定义域为， ． 当时，在上是增函数，无极值点； 当时，由，解得，由，解得． 函数在上是单调递增，在上是单调递减，有一个极值点， 综上，当时，无极值点； 当时，有一个极值点. （2）由题意当时，，整理得． 令函数， 则． 令，则． 当时，恒成立， 所以在单调递增． 又，， 所以，使得， 即． 故时，；时，． 因此在单调递减，在单调递增， 所以， 令函数，则， 所以在单调递增，因此． 又，， . 因此整数的最大值为1． 2．（2025·陕西延安·模拟预测）已知函数． (1)证明：； (2)证明：在其定义域内为减函数； (3)若在的定义域内，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）令，利用导数与函数的单调性间的关系，求出的单调区间，进可求得的最小值，即可求解； （2）对求导，得到，利用（1）中结果可得恒成立，即可求解； （3）根据条件得到，令，利用导数求出的单调区间，进而求出的最大值，即可求解. 【详解】（1）令，则， 当时，，当时，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，故. （2）因为，易知，则， 令，由（1）知， 则在区间上恒成立，又， 所以恒成立，故在其定义域内为减函数. （3）易知，由，得到，即， 令，则 ， 由（1）知，当且仅当时取等号， 所以当时，，当时，， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，故，得到， 所以实数的取值范围为. 角度2：部分分离参数法 典型例题 例题1．（24-25高二下·内蒙古包头·阶段练习）已知不等式恰有1个整数解，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不等式可转化为，设，，作出与的图象，结合图象分类讨论即可得解. 【详解】由不等式，，可得， 设，，则， 当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 当时，取极大值1； 又，且时，，时，， 直线恒过点， 当时，作出与的图象如下所示， 恰有1个整数解，只需要满足，解得， 当时，显然有无穷多个整数解，不满足条件， 所以，a的取值范围为. 故选：D. 例题2．（24-25高二下·北京·期中）设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：在区间内单调递增； (3)若关于x的不等式在区间内恰有一个整数解，直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）先求导数代入切点横坐标可得切线斜率，然后利用点斜式可得切线方程； （2）只需证明在上恒成立，根据和，依次判断即可得出结果； （3）设，，当时满足不等式，时不满足不等式，计算即可得出结果. 【详解】（1）因为，， 所以，又，所以切线方程为； （2），， 当时，，，所以， 当时，，又，所以， 所以，所以在区间内单调递增； （3）由洛必达法则可知，， 由（2）可知，在区间内单调递增，因为恒过点，画出的草图，如图所示， 设，， ，， 要使得在区间内恰有一个整数解. 只需满足 由得；由得. 所以的取值范围是 . 精练高频考点 1．（24-25高三上·福建龙岩·阶段练习）不等式解集中有且仅含有两个整数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】构造，，求导，研究的单调性，的图象恒过点，在同一坐标系内作出的图象，数形结合得到2和1为符合要求的整数，从而得到. 【详解】，设，， ， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 其中，，，， 的图象恒过点，在同一坐标系内作出的图象，如下：    要想不等式解集中有且仅含有两个整数，显然2为一个符合要求的整数， 当经过点时，，解得， 故，此时，1为另一个符合要求的整数， 故， 故答案为： 2．（2024高三上·江苏·专题练习）设函数，其中，若存在唯一负整数，使得，则实数的取值范围是 【答案】， 【分析】由已知可得解集中只有一个负整数，结合不等式特点构造函数，然后结合导数分析的性质，结合两函数图象可求． 【详解】由可得， 所以解集中只有一个负整数， 令，则， 易得，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，当时，，只有一个零点， 图象为直线，过定点，其大致图象如图所示， 结合图像可知，， 解得，． 故答案为：． 3．（24-25高三下·江苏苏州·阶段练习）已知函数. (1)若只有2个正整数解，求a的取值范围； 【答案】(1) 【详解】（1）当时，，不等式恒成立； 在同一平面直角坐标系下画出函数与直线的图象，如下图所示. 由于不等式只有2个正整数解， 结合图象可知：当时，时函数的图象恒在直线上方， 即与不等式有无数个正整数解，不符合题意，舍去； 当时，，，此时不等式恒成立， 故要使原不等式只有2个正整数解，结合图象可知，即. 综上，若只有2个正整数解，则a的取值范围为. 类型二：已知零点个数求解参数范围 角度1：完全分离参数法 典型型例题 例题1.（24-25高二下·浙江·期中）已知定义在上的函数. (1)若，判断的单调性； (2)若存在两个零点，求m的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增. (2) 【分析】（1）根据题意，求导可得，然后令，再对函数求导，即可判断单调性； （2）参变分离得到，问题转换成与恰有两个交点，对求导确定单调性，极值，即可求解； 【详解】（1）若，则，则，， 令，则， 因为，则，所以，即函数在上单调递增， 则， 即在上恒成立， 所以在上单调递增. （2）令，可得， 所以与恰有两个交点， 设，则， 令可得， 当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ， 当时，；当时，，的取值范围是. 例题2．（24-25高二下·重庆·期中）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)若函数有3个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过求导，利用导数的几何意义可得结果. （2）问题转化为函数图象与直线交点个数问题，分析函数的单调性，画出函数大致图象数形结合可得结果. 【详解】（1）由题意得，函数的定义域为，，， ∴， ∴切点坐标为，切线斜率为， ∴在处的切线方程为. （2）若函数有3个不同的零点，则函数的图象与直线有3个不同的交点. 由（1）得，， 由，得或，由，得， ∴在和上单调递增，在上单调递减， ∴在时取得极大值，在时取得极小值. ∵当时，，，故， 当时，， ∴函数的大致图象如下： 根据图象可得实数的取值范围为. 精练高频考点 1．（24-25高二下·福建三明·期中）已知函数，e是自然对数的底数. (1)讨论函数的单调性； (2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出导函数，分和分类讨论计算函数的单调性； （2）把方程有两个不等实根转化为与有2个交点，结合导函数得出函数的单调性及最值，计算求出参数范围. 【详解】（1），， 若，则恒成立，所以在上单调递增， 若，，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上可知，时，的增区间是， 当时，的减区间是，增区间是； （2）方程，显然当时，方程不成立，则，， 若方程有两个不等实根，即与有2个交点， ， 当时，，在区间和单调递减， 并且时，，当时， 当时，，单调递增， 时，当时，取得最小值，， 如图，函数的图象， 与有2个交点，则. 2．（24-25高二下·重庆·期中）已知． (1)讨论的单调性； (2)若，且函数有三个零点，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对函数求导后，分，，三种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间； （2）求导，利用导数研究的单调性，结合函数值的符号画出示意图，将零点问题转化为函数与直线有三个交点，数形结合即可求解. 【详解】（1）因为的定义域为，且， 当时，恒成立， 当且仅当时等号成立，所以在上单调递减； 当时，，令，解得或， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减； 当时，，令，解得或， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. （2）若，由（1）得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 且当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于0，且， 当无限趋向于负无穷大时，无限趋向于正穷大， 因为函数有三个零点，则方程有三个根， 所以函数与直线有三个交点， 又，由图可知：，即的取值范围为. 3．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知函数 (1)若，求的最小值 (2)讨论的单调性； (3)若有两个不同的零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）求出导数，判断单调性，可求最小值； （2）求导，分类讨论，结合导数符号可判断单调性； （3）化简函数解析式，分离参数，研究函数性质，结合公共点的个数可得答案. 【详解】（1）时，，， 令得或（舍）， 当时，，为减函数；当时，，为增函数； 所以的最小值为. （2）， 当时，时，，单调递减；时，，单调递增； 当时，时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增； 当时，，且不恒为0，在定义域内单调递增； 当时，时，，单调递增； 时，，单调递减；时，，单调递增； 综上，时，时，单调递减，时，单调递增； 时，时，单调递增，时，单调递减，时，单调递增； 时，在定义域内单调递增； 时，时，单调递增，时，单调递减，时，单调递增. （3）， 令可得，，令，， 时，，为增函数，时，，为减函数，有最大值. 又，无限趋近时，趋近于0，简图如下， 所以，解得，即的取值范围为. 角度2：部分分离参数法 典型例题 例题1．（24-25高三上·山东·开学考试）已知函数有4个不同的零点，则的取值可以为（ ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】转化为方程有4个不同的根，且方程的2个根为，从而方程有2个不同的根，且，进一步转化为函数与函数的图象有两个交点，利用导函数与切线斜率的关系求解. 【详解】由题意可得方程有4个不同的根. 方程的2个根为， 所以方程有2个不同的根，且， 即函数与函数的图象有两个交点. 当直线与函数的图象相切时，设切点为， 因为，所以解得. 要使函数与函数的图象有两个交点，只需直线的斜率大于， 即. 设（），则， 由，， 所以在上单调递增，在单调递减， 所以的最大值为. 所以. 故的取值范围为, 故选：A. 例题2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由命题为假命题，得到为真命题.方法一：参数分离，并构造函数，通过导数求函数单调性求解；方法二：将转化为直线与曲线没有交点，通过导数求切斜方程即可. 【详解】法一：由题可得为真命题， 易知满足，符合题意，此时； 当时，可变形为， 令，则， 当时，；当时，， 当时，单调递减，且；当时，单调递减；当时，单调递增， 所以当时，， 作出函数的图象如图①所示， 由题可知直线与函数的图象没有交点，数形结合可得. 法二：由题可得为真命题， 即直线与曲线没有交点. 设直线与曲线切于点， 由，得，则， 所以， 所以直线与曲线相切， 若直线与曲线没有交点，如图②所示，则. 故选：D. 精练高频考点 1．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数有且仅有3个零点，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用函数零点的定义将问题转化为直线与函数的图象有3个公共点求解。再借助导数探讨单调性并作出图象，数形结合求出范围. 【详解】由，得，令函数，其定义域为， ，函数为奇函数， 依题意，直线与函数的图象有且仅有3个交点， 求导得，函数在上单调递减， 曲线在点处的切线方程为，令， 求导得，函数在上单调递减， 当时，；当时，， 即当时，；当时，；当时，， 作出的图象，如图： 观察图象知，当时，直线与函数的图象有且仅有3个交点， 所以m的取值范围是. 故选：B. 2．（24-25高二上·河北保定·期末）已知函数，若方程在上有且仅有一个实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程有且仅有一个实数根转化为两个函数和只有一个交点的问题，然后通过求在处的切线斜率，结合函数图象来确定的取值范围. 【详解】已知在上有且仅有一个实数根，可化为. 方程有且仅有一个实数根，等价于函数和的图象在上只有一个交点. . 将代入到导数中，可得，即在处的切线的斜率为. 直线恒过原点. 为了使和在上只有一个交点，结合函数图象可知，当直线的斜率满足或时满足条件. 解不等式，可得；解不等式，可得. 所以的取值范围是.     故选：A. 学科网（北京）股份有限公司 $$