第04讲 利用导数研究不等式恒成立问题（知识点+真题+3大核心考点） ( 精讲）-【一轮复习·学霸之路】2026年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

第04讲 利用导数研究不等式恒成立问题 目录 第一部分：基础知识 1 第二部分：高考真题回顾 2 第三部分：高频考点一遍过 3 高频考点一：分离变量法 3 高频考点二：分类讨论法 5 高频考点三：等价转化法 8 第一部分：基础知识 1、分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③求最值. 2、分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 3、等价转化法 当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 第二部分：高考真题回顾 1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 第三部分：高频考点一遍过 高频考点一：分离变量法 典型例题 例题1．（24-25高三下·江苏宿迁·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，求函数的极值点； (3)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围. 例题2．（24-25高二下·山西长治·期中）设函数． (1)求的单调区间； (2)若，t为整数，且当时，不等式恒成立，求t的最大值． 精练高频考点 1．（2025·湖南长沙·三模）设函数在处的切线经过坐标原点， (1)求； (2)是否存在实数使得函数关于直线对称，若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)若恒成立，求的取值范围． 2．（24-25高三下·上海黄浦·阶段练习）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若对任意恒成立，求正实数的取值范围． 3．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若在单调递减，求实数的取值范围. 高频考点二：分类讨论法 典型例题 例题1．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知函数 (1)时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若恒成立，求实数的取值范围． 例题2．（24-25高三下·安徽安庆·阶段练习）已知函数． (1)若，求证：在上单调递减； (2)若在上恒成立，求a的取值范围； 精练高频考点 1．（山东省东明县第一中学等校联考2024-2025学年高二下学期第二次月考数学试题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若时，，求的取值范围. 2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围. 3．（2025·吉林延边·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的单调递增区间； (2)若，对恒成立，求实数a的取值范围． 高频考点三：等价转化法 典型例题 例题1．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围. 例题2．（24-25高二下·广东广州·期中）已知函数，，其中为常数. (1)若时，求函数图象在点处的切线方程与坐标轴围成的三角形的周长； (2)讨论在上的单调性； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 精练高频考点 1．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数． (1)当时，写出曲线的两条相互垂直的切线方程，并说明理由． (2)设，当时，，求的取值范围． 2．（24-25高三下·江苏苏州·阶段练习）已知函数． (1)试讨论函数的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数，. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)探究函数的零点个数； (3)证明：当时，；当时，. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 利用导数研究不等式恒成立问题 目录 第一部分：基础知识 1 第二部分：高考真题回顾 1 第三部分：高频考点一遍过 4 高频考点一：分离变量法 4 高频考点二：分类讨论法 9 高频考点三：等价转化法 15 第一部分：基础知识 1、分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③求最值. 2、分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 3、等价转化法 当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 第二部分：高考真题回顾 1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值. (2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值. （2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. （2）， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类. 2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析. (2) 【分析】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可; （2）构造,计算的最大值,然后与0比较大小,得出的分界点,再对讨论即可. 【详解】（1） 令,则 则 当 当,即. 当,即. 所以在上单调递增,在上单调递减 （2）设 设 所以. 若, 即在上单调递减,所以. 所以当,符合题意. 若 当,所以. . 所以,使得,即,使得. 当,即当单调递增. 所以当,不合题意. 综上,的取值范围为. 【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性在定义域内是减函数,若,当,对应当. 第三部分：高频考点一遍过 高频考点一：分离变量法 典型例题 例题1．（24-25高三下·江苏宿迁·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，求函数的极值点； (3)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)极小值点为，无极大值点； (3) 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）求导，确定函数单调性即可求解； （3）参变分离，设，求其最值即可求解. 【详解】（1）由题设的定义域是，， 则，， 所以，即， 即在处的切线方程为. （2）当时，函数的定义域为， 求导得， 由，得，当时，；当时，， 即在单调递减，在单调递增， 所以是函数的极小值点，无极大值点. （3）当时， 不等式， 设， 依题意，，， 求导得， 由，得； 由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， ，则， 所以实数的取值范围是. 例题2．（24-25高二下·山西长治·期中）设函数． (1)求的单调区间； (2)若，t为整数，且当时，不等式恒成立，求t的最大值． 【答案】(1)答案见解析； (2)4 【分析】（1）求出导数，再按分类求出单调区间. （2）把代入，等价变形不等式并构造函数。利用导数探讨其最小值取值情况即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数的单调递减区间是； 当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是. （2）当时，， 当时，不等式， 令，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， ，则存在，使得， 当时，，即；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ， 依题意，，而是整数，因此， 所以t的最大值为4. 精练高频考点 1．（2025·湖南长沙·三模）设函数在处的切线经过坐标原点， (1)求； (2)是否存在实数使得函数关于直线对称，若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)存在，， (3) 【分析】（1）利用导数求得，进而可求切线方程； （2）存在，满足题意，计算可得； （3）当时，由题意可得恒成立，令，求得最大值，再证明且时，恒成立即可. 【详解】（1），，， 切线方程为，代入得； （2）存在，满足题意，证明如下： ，， 故函数关于直线对称； （3）当时，恒成立，即恒成立， 令，则， 令，则， 故在上单调递减，注意到， 所以时，，，单调递增， 时，，，单调递减， 故，故，得； 下证且时，恒成立， 即证恒成立，只需证恒成立， 构造函数，则， ，，单调递减，，，单调递增， 故，所以， 所以，证毕； 综上所述，的取值范围为． 2．（24-25高三下·上海黄浦·阶段练习）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若对任意恒成立，求正实数的取值范围． 【答案】(1)的单调递增区间是，单调递减区间是. (2) 【分析】（1）求出，在定义域内，令求得的范围，可得函数增区间，令求得的范围，可得函数的减区间； （2）对一切，恒成立等价于对一切恒成立，利用导数可得的最小值为，从而可得结果； 【详解】（1），，. 令，解得；令，解得， 的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）由，即， 又，整理得， 所以 “对任意成立”等价于“对任意恒成立”. 令，则， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增. ， 又是正实数，即，. 即所求实数的取值范围是. 3．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若在单调递减，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）利用给定单调性建立恒成立不等式，分离参数并构造函数，利用导数求出最小值即可. 【详解】（1）函数，求导得，则， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由在上单调递减，得对恒成立， 则对恒成立，设， 求导得，令， 求导得，函数在上单调递减，， 因此，函数在上单调递减，则，， 所以实数的取值范围是. 高频考点二：分类讨论法 典型例题 例题1．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知函数 (1)时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）将代入解析式，求出，，进一步求出，再利用点斜式即可求出切线方程； （2）求导后，进行分类讨论，分和来讨论函数的单调性； （3）将恒成立问题转化为最值问题，分和进行讨论，结合函数的单调性，当时，在上单调递增，且，不合题意，当时，把问题转化为，得到不等式，令，利用导数来研究即可． 【详解】（1）当时，， ，， ， ， ； （2）函数的定义域为． 当时，恒成立，在R上单调递增； 当时，由，解得：；由，解得：． 在上单调递减，上单调递增． 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，上单调递增． （3）要使恒成立，只需恒成立． 由（2）可知，当时，在上单调递增，且， 当时，，不合题意，舍去． 当时，在上单调递减，上单调递增， ， 只需，即在时恒成立． 记，则 当时，单调递增；当时，单调递减； ， 只有符合题意． 综上所述，实数的取值范围为． 例题2．（24-25高三下·安徽安庆·阶段练习）已知函数． (1)若，求证：在上单调递减； (2)若在上恒成立，求a的取值范围； 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，进而可求最值，进而可证明； （2）构造函数，求出导数，对参数分类讨论即可. 【详解】（1）若，则，所以， 令，所以， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，所以在上单调递减； （2）若在上恒成立，即为在上恒成立， 令， 所以， 因为，当且仅当时等号成立， 当时，，所以在上单调递减，所以，符合题意； 当时，令，所以，设方程的解为， 因为在上单调递增，所以在上单调递减， 则当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，所以时，，不符合题意； 当时，，故在上单调递增，所以，不符合题意； 综上，的取值范围为. 精练高频考点 1．（山东省东明县第一中学等校联考2024-2025学年高二下学期第二次月考数学试题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若时，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题可得切线斜率及所过点，据此可得切线方程； （2）由题可得当时，可得，据此可得答案. 【详解】（1）当时，，， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由，得. 当时，，所以当，即时，，单调递增， 所以在区间上的最小值为. 令，得，所以. 当，即时，若，则，单调递减； 若，则，单调递增， 所以在区间上的最小值为. 令， 解得.综上，的取值范围为. 2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式即得切线方程； （2）解法一：将函数求导，根据参数的取值，判断函数的单调性，验证是否满足条件，可发现在时，需使，用换元后，讨论函数的单调性和零点即得参数的范围；解法二：将进行整理，通过换元，从而将不等式化简为恒成立，继而利用其单调性推得，即得，通过求函数的最小值即得参数的范围. 【详解】（1）当时，，函数定义域为， 则， 所以，， 所以切线方程为，即. （2）解法一：，， ，∵，∴， 当时，，则在上单调递增， 当时，， 不满足恒成立，故舍去； 当时，当时，， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减， 则的最大值为， 依题意恒成立， 令，，， 则，则在上单调递增， 又，故等价于， 所以且， 即，则 的取值范围是. 解法二：由题意得， 设，则恒成立， 又因为恒成立，即函数在上为增函数， 又，所以要使恒成立，需使， 即，得， 设，则， 当时，，当时，， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以 从而，即的取值范围是. 3．（2025·吉林延边·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的单调递增区间； (2)若，对恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)和； (2) 【分析】（1）先求出函数的定义域，再求导，令，即可求出的单调递增区间； （2）分，，三种情况讨论在上的单调性，借助导数及单调性分别求出在上的最小值，令，即可求出实数a的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为． 当时，， ， 令，解得或， 所以的单调递增区间为和； （2），， 令，解得或， 当时， 当时，，在单调递增； 因为对恒成立，所以， 即，移项可得， 因为，所以满足条件； 当时， 当时，，在单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以当时，取到最小值，即， 因为对恒成立，所以， 即， 令，所以， 令，所以， 因为，所以，所以， 所以在上单调递减，所以， 即，所以在上单调递减， 又因为，且，所以． 综上，实数a的取值范围为． 高频考点三：等价转化法 典型例题 例题1．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出函数在某点处的导数，再结合该点的坐标，求出切线方程. （2）构造一个新函数，通过研究新函数的单调性和最值来确定参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 又，则， 所以曲线在处的切线方程为 . （2）令，，易得在单调递增， 故，所以， 令，有， 又，， 令，则， 所以， 故在上单调递增， 当时，，此时在上单调递增， 即恒成立. 当时，，而在上单调递增， 且当时，， 故存在，使得，故当时，， 此时在单调递减，此时，与题设矛盾. 综上所述，. 所以实数的取值范围为. 例题2．（24-25高二下·广东广州·期中）已知函数，，其中为常数. (1)若时，求函数图象在点处的切线方程与坐标轴围成的三角形的周长； (2)讨论在上的单调性； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增 (3) 【分析】（1）当时，，求导得斜率，进而由导数的几何意义及点斜式可求得切线方程，求出该切线与坐标轴的交点，即可求解； （2）将函数，代入，对函数求导得.对分和两类讨论在上的符号情况即可求解； （3）令，.依题意，在恒成立，故.结合（2）中在上的单调性即可求解. 【详解】（1）当时，， ∴，，∴， ∴由点斜式方程可知函数图象在点处的切线方程为：，即. 令得，即该切线与轴相交于点； 令得，即该切线与轴相交于点， ∴该切线与坐标轴围成的三角形的周长为. 即函数图象在点处的切线方程为，与坐标轴围成的三角形的周长为. （2）∵，， ∴，∴. ∵， ∴当时，，，∴， 此时在上单调递增； 当时，∵，令，解得； 令，解得， 此时在上单调递减，在上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）令，. 依题意，在恒成立，故. 由（2）知：当时，在上单调递增， 此时，解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 此时显然当时，不符合题意. 综上，实数的取值范围. 精练高频考点 1．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数． (1)当时，写出曲线的两条相互垂直的切线方程，并说明理由． (2)设，当时，，求的取值范围． 【答案】(1)，，理由见解析 (2) 【分析】（1）先求曲线在点处的切线方程，进而求得另一条切线方程； （2）令，即当时，即可，利用导数研究单调性，验证即可求解. 【详解】（1）两条切线方程可以是，（答案不唯一）． 理由如下：当时，函数的定义域为，， 令，，，曲线在点处的切线方程为； 由题意，另一切线与直线垂直，则其斜率为-1， 令，解得，， 曲线在点处的切线方程为，整理得． （2）令，由题意，当时，． ，由，得或， 若，则，当时，，单调递增， ，不合题意； 若，则，单调递减，，不合题意； 若，则，当时，，单调递减，此时只需，解得，满足题意． 综上，的取值范围为． 2．（24-25高三下·江苏苏州·阶段练习）已知函数． (1)试讨论函数的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 【答案】(1)时，在上单调递减，时，在上单调递减，在上单调递增. (2) 【分析】（1）求出原函数的导函数，对进行分类讨论即可得出原函数的单调区间； （2）由，不等式恒成立，转化为，构造函数，分类讨论求解单调性，求出的范围. 【详解】（1）由，求导得，， 当时，，则在上单调递减， 当时，令，则， 当，，则在上单调递减， 当，，则在上单调递增， 故时，在上单调递减， 时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由，不等式恒成立， 转化为， 构造函数， 求导 若时，则，所以在单调递减， 由于对于成立， 当时，则， 故，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故，但是，不满足题意. 故整数的最大值为. 3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数，. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)探究函数的零点个数； (3)证明：当时，；当时，. 【答案】(1) (2)0 (3)证明见详解 【分析】(1)根据函数导数的实际意义,求切线方程即可. (2)通过整体换元法，改变函数零点的求法，根据换元的范围求出方程的根，判断是否有零点. (3)构造函数,通过函数导数证明函数单调递增且过,即可证明原题. 【详解】（1）因为,所以. 得,可得切线方程为. （2）由题意知,化简得 令，则，且， 所以无零点. （3）设函数则， 得， 设函数，可知为单调增函数，当时， 则在上，，，，单调递增，且， 所以在上，，， 则在上，，，，，单调递增， 所以在上，，，综上原命题得证. 学科网（北京）股份有限公司 $$