第03讲 导数与函数的极值、最值 ( 精练+相遇真题、模拟）-【一轮复习·学霸之路】2026年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

第03讲 导数与函数的极值、最值 A夯实基础 B相遇高考 C素养提升 A夯实基础 1．（23-24高二上·陕西汉中·期末）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列判断正确的是（    ） A．为的极小值点 B．2为的极大值点 C．在区间上，是增函数 D．在区间上，是减函数 2．（23-24高三上·河南驻马店·阶段练习）函数的极小值为（    ） A． B．1 C． D． 3．（23-24高三上·浙江·阶段练习）已知函数存在减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间上的最大值、最小值分别为，则（    ）． A．14 B．16 C．18 D．20 5．（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 6．（23-24高二上·四川成都·期末）已知函数的最小值为1，则（    ） A． B． C． D．1 7．（24-25高三下·广东中山·阶段练习）若函数在是增函数，则常数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高三下·江苏扬州·阶段练习）函数，已知在处取得极值，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（多选）（24-25高二下·重庆·期中）定义在上的函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．是的极小值，是的极大值 B．是的极大值，是的极小值 C．在上单调递增 D．在上单调递减 10．（多选）（24-25高三下·安徽安庆·阶段练习）已知函数，则（ ） A．函数的单调减区间为 B．函数的单调增区间为 C．函数的极小值点为1 D．函数的最大值为 11．（24-25高三下·云南楚雄·阶段练习）已知函数在定义域内单调递增，则实数m的取值范围为 ． 12．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数在处取得极大值，则 . 13．（24-25高三下·四川广元·阶段练习）．已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)求函数在区间上的极值． 14．（24-25高三下·河南商丘·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)当时，求函数在区间上的值域. B相遇高考 1．（多选）（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 2．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． C素养提升 1．（多选）（24-25高二下·河南南阳·阶段练习）若函数在上有最小值，则实数a的可能取值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数在处有最小值，最小值小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·海南海口·阶段练习）已知函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（    ） A．[0，1] B． C． D． 4．（24-25高二下·海南海口·阶段练习）已知函数． (1)当时，证明：； (2)若是的极小值点，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 导数与函数的极值、最值 A夯实基础 B相遇高考 C素养提升 A夯实基础 1．（23-24高二上·陕西汉中·期末）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列判断正确的是（    ） A．为的极小值点 B．2为的极大值点 C．在区间上，是增函数 D．在区间上，是减函数 【答案】B 【分析】根据导函数符号与函数单调性的关系，结合极值点定义判断即可. 【详解】对AD，在，，单调递增；在，，单调递减，故为的极大值点，AD错； 对B，在，，单调递增；在，，单调递减，故2为的极大值点，B对； 对C，在，，单调递减；在，，单调递增，C错. 故选：B 2．（23-24高三上·河南驻马店·阶段练习）函数的极小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据函数求极小值的过程求解：先求的解 ，再判断在两侧的单调性，确定极值. 【详解】因为，所以. 令得， 当时，，当时，. 故的单调递增区间为和，单调递减区间为. 则当时，取得极小值，且极小值为. 故选：C 3．（23-24高三上·浙江·阶段练习）已知函数存在减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】函数存在减区间,则有解可求解. 【详解】由题可知, 因为函数存在减区间,则有解, 即有解, 令,, 令,解得 ; 令,解得 , 所以在单调递减, 单调递增, 所以, 因为有解,所以, 解得. 故选:D. 4．（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间上的最大值、最小值分别为，则（    ）． A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【分析】对函数进行求导，利用导数研究函数的单调区间和最值，进而求得答案． 【详解】因为，函数极值点可能为，又， 而，，，所以，， 所以， 故选：D． 5．（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导，结合题中条件得即，解不等式即得答案 【详解】因为， 因为函数，在上单调递增， 所以题中问题等价于即解得， 故选：D. 6．（23-24高二上·四川成都·期末）已知函数的最小值为1，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】求出函数的导数，分类讨论，从而求出的单调区间，即可求解函数的最值求解. 【详解】函数的定义域为，， 当时，在内恒成立，所以函数在内为增函数,此时无最小值， 当时，由，得，由得 函数在内为减函数，在内为增函数，故当时，取最小值， 即，故， 故选：D 7．（24-25高三下·广东中山·阶段练习）若函数在是增函数，则常数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数为非负结合参变分离可得在上恒成立，构建新函数，利用导数求出右侧函数的最小值后可得参数的范围. 【详解】因为函数在是增函数， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，即在上恒成立， 所以，令， 则， 故时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ， 故选：C 8．（24-25高三下·江苏扬州·阶段练习）函数，已知在处取得极值，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求导后令可得. 【详解】， 因为在处取得极值，所以. 经检验符合题意， 故选：C 9．（多选）（24-25高二下·重庆·期中）定义在上的函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．是的极小值，是的极大值 B．是的极大值，是的极小值 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】BCD 【分析】根据导函数图象可得导数的正负，从而可求出函数的单调区间，进而可求出函数的极值进行判断. 【详解】由图知， 当时，；当时，；当时，； 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，极小值为． 故选：BCD. 10．（多选）（24-25高三下·安徽安庆·阶段练习）已知函数，则（ ） A．函数的单调减区间为 B．函数的单调增区间为 C．函数的极小值点为1 D．函数的最大值为 【答案】ABD 【分析】求导，根据导函数的正负确定函数的单调性，即可结合选项逐一求解. 【详解】的定义域为，且， 当在单调递减，故单调递减区间为，A正确， 当在单调递增，故单调递增区间为，B正确， 当时，取极大值也是最大值，故C错误， ，D正确， 故选：ABD. 11．（24-25高三下·云南楚雄·阶段练习）已知函数在定义域内单调递增，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】通过分离参数，将问题转化为求新函数的最小值，进而确定参数的取值范围. 【详解】，因为函数在定义域内单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，则，令，得， 当时，单调递减， 当时，单调递增，所以，所以，即实数m的取值范围为. 故答案为：. 12．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数在处取得极大值，则 . 【答案】/ 【分析】根据极值与极值点的定义可得解. 【详解】由， 得， 则， 解得或， 当时，，， 此时函数在，上单调递增，在上单调递减， 即函数在处取极小值，不成立； 当时，，， 此时函数在，上单调递增，在上单调递减， 即函数在处取极大值，成立； 综上所述， 故答案为：. 13．（24-25高三下·四川广元·阶段练习）．已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)求函数在区间上的极值． 【答案】(1) (2)极大值为，极小值为 【分析】（1）根据导函数算出时的导数，得到切线斜率.再结合时的函数值，用点斜式方程写出切线方程，最后整理成一般式. （2）令导函数，解出可能的极值点，接着根据导数正负判断函数在不同区间的增减性，进而确定极大值点和极小值点，把对应的值代入函数求出极大值和极小值. 【详解】（1），则，又， 则函数在处的切线方程为，即； （2）令，可得， 易知当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又，， 则函数在区间上的极大值为，极小值为． 14．（24-25高三下·河南商丘·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)当时，求函数在区间上的值域. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出切点坐标，利用导数求出切线斜率，再用点斜式写出切线方程，从而得解； （2）求导，对分类讨论，判断在区间上的单调性，进而计算可求得值域. 【详解】（1）当时，由，可得， 由，可得，所以， 所以切线方程为，即； （2）由，可得， 令，可得或， 当时，由二次函数性质可知，， 所以在上单调递减，又， ，所以值域为， 当时，由二次函数性质可知，，时，， 所以函数在区间上的最大值为， 又，， 若时，， 所以函数在区间上的最小值为，所以值域为， 若时，， 所以函数在区间上的最小值为，所以值域为， 综上所述：当时，函数在区间上的值域值域为， 当时，函数在区间上的值域值域为， 当时，函数在区间上的值域值域为. B相遇高考 1．（多选）（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 2．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】(1) (2)且. 【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解； （2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. （2）在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值. (2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值. （2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. （2）， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类. C素养提升 1．（多选）（24-25高二下·河南南阳·阶段练习）若函数在上有最小值，则实数a的可能取值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】BC 【分析】借助导数可先得到函数的单调性，结合题意与函数单调性计算即可得解. 【详解】， 则当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 由函数在上有最小值， 则在上有最小值， 又，故有， 即，解得，故选项中BC符合、AD不符. 故选：BC. 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数在处有最小值，最小值小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知函数在取极小值，可得出，则，利用导数分析函数的单调性，结合可求出的取值范围，即可得出的取值范围. 【详解】函数的定义域为，且， 由于函数在有最小值，则函数在取极小值，则， 所以， 即， 当时，对任意的恒成立，，不合乎题意； 当时，由可得，由可得, 此时函数的减区间为，增区间为，此时函数在处取得极小值，即最小值，合乎题意； 当时，由可得，由可得， 此时函数的减区间为，增区间为，此时函数在处取得极大值，不合乎题意. 所以，由题意可得，则，解得， 因此，. 故选：C. 3．（24-25高二下·海南海口·阶段练习）已知函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（    ） A．[0，1] B． C． D． 【答案】D 【分析】通过求导得，设，求得，就参数分类讨论函数的单调性，即得函数的极值情况，从而求得参数的范围. 【详解】由可知函数的定义域为，则， 设，则，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，则. ① 当即时，，则在上单调递增，故函数无极大极小值，不合题意； ② 当时，由解得， 因函数既有极大值也有极小值，故，解得. 由可得或；由可得， 即函数在和上单调递增，在上单调递减， 故函数在时取得极大值，在时取得极小值，符合题意. 综上可知，实数的取值范围为. 故选：D. 4．（24-25高二下·海南海口·阶段练习）已知函数． (1)当时，证明：； (2)若是的极小值点，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将代入函数，然后构造新函数，通过求导研究其单调性来证明不等式； （2）先对函数求导，再根据是极小值点这一条件，分析导数在两侧的正负情况，从而确定实数的取值范围. 【详解】（1）设， 则， 因为且在上单调递增， 又， 所以存在唯一的，使得， 即． 当时，； 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 故 （2）依题意，， 令， 因为在上单调递增， ①当时，，存在，使得时，， 当时，， 当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，不合题意. ②当时，，存在，使得时，， 当时，， 当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，符合题意. ③当时，， 当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 又因为，所以，即恒成立， 所以在上单调递增，无极值点，不合题意． 综上，的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$