第02讲 导数与函数的单调性（知识点+真题+10大高频考点+2类典型易错） ( 精讲）-【一轮复习·学霸之路】2026年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

第02讲 导数与函数的单调性 目录 第一部分：基础知识 1 第二部分：高考真题回顾 2 第三部分：高频考点一遍过 3 高频考点一：利用导数求函数的单调区间（不含参） 3 高频考点二：已知函数在区间上单调 3 高频考点三：已知函数存在单调区间 4 高频考点四：已知函数在区间上不单调 5 高频考点五：函数单调性之导函数与原函数图象的单调性 5 高频考点六：函数单调性之比较大小 7 高频考点七：函数单调性之构造函数解不等式 8 高频考点八：含参问题讨论单调性（一次型） 8 高频考点九：含参问题讨论单调性（可因式分解二次型） 10 高频考点十：含参问题讨论单调性（不可因式分解二次型） 12 第四部分：典型易错题型 13 第一部分：基础知识 1、函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减） 条件 恒有 结论 函数在区间上可导 在内单调递增 在内单调递减 在内是常数函数 2、求已知函数（不含参）的单调区间 ①求的定义域 ②求 ③令，解不等式，求单调增区间 ④令，解不等式，求单调减区间 注：求单调区间时，令（或）不跟等号. 3、由函数的单调性求参数的取值范围的方法 （1）已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. （2）已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间令，解不等式，求单调增区间，则 ②已知在区间上存在单调减区间令，解不等式，求单调减区间，则 （3）已知函数在区间上不单调，使得 4、含参问题讨论单调性 第一步：求的定义域 第二步：求（导函数中有分母通分） 第三步：确定导函数有效部分，记为 对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负. 第四步：确定导函数有效部分的类型： ①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型） 第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性 第二部分：高考真题回顾 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； 3．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； 第三部分：高频考点一遍过 高频考点一：利用导数求函数的单调区间（不含参） 典型例题 例题1．（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数的单调递减区间是 . 例题2．（24-25高二下·江西宜春·期中）函数的单调增区间为 ． 精练高频考点 1．（24-25高二下·四川·期中）函数的单调递增区间为 ． 2．（23-24高三上·山东烟台·阶段练习）已知函数，则在R上的单调递减区间是 ． 高频考点二：已知函数在区间上单调 典型例题 例题1．（2024·河南·模拟预测）若函数的减区间为，则的值为 . 例题2．（23-24高三上·新疆·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为 . 精练高频考点 1．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 2．（2025高三下·山东日照·专题练习）若在上是减函数，则实数a的取值范围是 . 高频考点三：已知函数存在单调区间 典型例题 例题1．（2025·山东威海·三模）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2025高三·全国·专题练习）若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为 精练高频考点 1．（24-25高二下·福建·期中）已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·天津·阶段练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是 . 高频考点四：已知函数在区间上不单调 典型例题 例题1．（24-25高二下·江西南昌·期中）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高三下·重庆城口·阶段练习）已知函数，若在内不单调，则实数的取值范围是 ． 精练高频考点 1．（多选）（24-25高三下·河北·期中）若函数在区间上不单调，则实数的取值可以是（    ） A．e B． C． D． 2．（2025·江苏苏州·三模）若在上不单调，则实数的取值范围是 ． 高频考点五：函数单调性之导函数与原函数图象的单调性 典型例题 例题1．（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象可能是（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二下·广东·阶段练习）设函数的导函数为，若的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ）    A．和 B． C．和 D．和 精练高频考点 1．（24-25高二下·甘肃定西·期中）如果函数的图象如图，那么导函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 高频考点六：函数单调性之比较大小 典型例题 例题1．（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二下·山东青岛·阶段练习）设，则（    ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（山东省九五高中协作体2024-2025学年高三下学期高考最后一卷数学试题）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·广东中山·阶段练习）已知函数，若，则 ． 高频考点七：函数单调性之构造函数解不等式 典型例题 例题1．（24-25高三下·黑龙江鸡西·阶段练习）已知定义在上的函数的导数为，且，，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高三下·广东·阶段练习）定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为 ． 精练高频考点 1．（24-25高三下·辽宁·阶段练习）函数的定义域为，若，则的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为 . 高频考点八：含参问题讨论单调性（一次型） 典型例题 例题1．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 例题2．（24-25高二下·福建三明·期中） (1)，求曲线在点处的切线方程 (2)讨论的单调性 精练高频考点 1．（24-25高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数（，为自然对数的底数）. (1)若曲线在点处的切线平行于轴，求的值； (2)讨论函数的单调性. 2． （24-25高二下·全国·随堂练习）已知函数，讨论的单调性. 高频考点九：含参问题讨论单调性（可因式分解二次型） 典型例题 例题1．（24-25高二下·浙江杭州·阶段练习）已知函数 (1)当时，求函数的极值. (2)求函数的单调区间. 例题2．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性． 精练高频考点 1．（24-25高三下·广东·开学考试）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 2．（2025·新疆·模拟预测）已知函数． (1)若函数的图象在处的切线与直线垂直，求实数a的值； (2)讨论函数的单调性； 3．（2025·湖北武汉·三模）已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 高频考点十：含参问题讨论单调性（不可因式分解二次型） 典型例题 例题1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； 例题2．（2025·山东烟台·三模）已知函数． (1)讨论的单调性； 精练高频考点 1．（24-25高二下·湖北黄石·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的解集； (2)当时，求的单调区间． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数．讨论的单调性. 3．（2025·重庆·三模）已知函数 ． (1)讨论函数 的单调性； 第四部分：典型易错题型 备注：已知函数在某区间上单调，求解时容易忽视“等号”而存在单调区间却容易误加了“等号” 1．（23-24高二上·山西长治·期末）若函数（且）在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 2．（2024高三·全国·专题练习）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为 ． 备注：解不等式时容易忽视定义域 1．（24-25高二下·上海·期中）函数的单调减区间是 . 2．（24-25高二下·天津武清·阶段练习）已知函数，则的单调减区间为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 导数与函数的单调性 目录 第一部分：基础知识 1 第二部分：高考真题回顾 2 第三部分：高频考点一遍过 4 高频考点一：利用导数求函数的单调区间（不含参） 4 高频考点二：已知函数在区间上单调 5 高频考点三：已知函数存在单调区间 6 高频考点四：已知函数在区间上不单调 8 高频考点五：函数单调性之导函数与原函数图象的单调性 11 高频考点六：函数单调性之比较大小 13 高频考点七：函数单调性之构造函数解不等式 16 高频考点八：含参问题讨论单调性（一次型） 18 高频考点九：含参问题讨论单调性（可因式分解二次型） 20 高频考点十：含参问题讨论单调性（不可因式分解二次型） 25 第四部分：典型易错题型 29 第一部分：基础知识 1、函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减） 条件 恒有 结论 函数在区间上可导 在内单调递增 在内单调递减 在内是常数函数 2、求已知函数（不含参）的单调区间 ①求的定义域 ②求 ③令，解不等式，求单调增区间 ④令，解不等式，求单调减区间 注：求单调区间时，令（或）不跟等号. 3、由函数的单调性求参数的取值范围的方法 （1）已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. （2）已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间令，解不等式，求单调增区间，则 ②已知在区间上存在单调减区间令，解不等式，求单调减区间，则 （3）已知函数在区间上不单调，使得 4、含参问题讨论单调性 第一步：求的定义域 第二步：求（导函数中有分母通分） 第三步：确定导函数有效部分，记为 对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负. 第四步：确定导函数有效部分的类型： ①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型） 第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性 第二部分：高考真题回顾 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【答案】C 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； 【答案】(1)见解析 【详解】（1）定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 3．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. （2）由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. 第三部分：高频考点一遍过 高频考点一：利用导数求函数的单调区间（不含参） 典型例题 例题1．（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数的单调递减区间是 . 【答案】（写成，，，同样给分） 【分析】根据导数和函数单调性的关系，即可求解. 【详解】因为，， 令，得，解得， 所以的单调递减区间是. 故答案为： 例题2．（24-25高二下·江西宜春·期中）函数的单调增区间为 ． 【答案】 【分析】根据导数与函数单调性的关系，即可求解. 【详解】，， ，得，所以函数的单调递增区间是. 故答案为： 精练高频考点 1．（24-25高二下·四川·期中）函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【分析】求导，结合函数的定义域，利用可得函数的单调递增区间. 【详解】因为， 因为，由可得：， 即（舍去）或. 所以函数的单调递增区间为：. 故答案为： 2．（23-24高三上·山东烟台·阶段练习）已知函数，则在R上的单调递减区间是 ． 【答案】（均正确） 【分析】求导可得，结合导数符号与原函数单调性之间的关系分析求解. 【详解】由题意可知：的定义域为R，且， 令，解得， 所以在R上的单调递减区间为. 故答案为：（均正确）. 高频考点二：已知函数在区间上单调 典型例题 例题1．（2024·河南·模拟预测）若函数的减区间为，则的值为 . 【答案】3 【分析】由的解集，求出的值. 【详解】的解集为， 即的解集为，所以， 解得. 故答案为：. 例题2．（23-24高三上·新疆·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用导函数研究函数单调性再结合指数函数的值域计算即可. 【详解】因为在区间上单调递增， 所以当时，恒成立， 即在恒成立， 又，所以. 故答案为：. 精练高频考点 1．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由在上恒成立分离常数，结合三角函数的值域求得正确答案. 【详解】因为在上单调递增， 则恒成立， 即恒成立， 由于， 所以， 即的取值范围是. 故答案为： 2．（2025高三下·山东日照·专题练习）若在上是减函数，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据导数的性质，结合常变量分离法进行求解即可. 【详解】， 因为在上是减函数， 所以在上恒成立， 即， 当时，的最小值为，所以， 故答案为： 高频考点三：已知函数存在单调区间 典型例题 例题1．（2025·山东威海·三模）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，由题意将问题转换成有解，构造函数，由其单调性得到，求解即可. 【详解】求导可得， 由题意有解， 即有解， 即有解， 令， 因为，易知在单调递增， 此时，所以， 又，， 所以，解得：， 所以的取值范围是. 故选：B. 例题2．（2025高三·全国·专题练习）若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】利用，经等价转化得到在区间上有解，故只需求在上的最小值即可. 【详解】依题意，在区间上有解， 即在区间上有解， 设，则，故只需求在上的最小值， 而在时，取得最小值，故得， 则实数的取值范围为. 故答案为： 精练高频考点 1．（24-25高二下·福建·期中）已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知，即在上有解，结合能成立问题分析求解. 【详解】由题意可知：，即在上有解， 又因为在上单调递增，则， 则，所以实数的取值范围是. 故选：B. 2．（24-25高三下·天津·阶段练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用导数转化为能成立问题，分离参数法求解即可. 【详解】因为（），所以. 函数在区间内存在单调递增区间，则在上有解. 由. 设，则在上单调递增，所以. 所以. 故答案为： 高频考点四：已知函数在区间上不单调 典型例题 例题1．（24-25高二下·江西南昌·期中）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意转化为导数在上有变号零点，列出不等式求解. 【详解】，令， 因为函数在区间上不单调， 所以在上有变号零点， 即，解得， 故选：C 例题2．（24-25高三下·重庆城口·阶段练习）已知函数，若在内不单调，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出函数的导数，由在内不单调知在内有实数根且无重根，再通过分类讨论结合二次方程根的分布求得实数的范围. 【详解】由，得， 因为在内不单调，所以在内有实数根且无重根. 若在内有且只有一个实数根，的图象如图， 则， 即，显然不等式无解；    若在内有两个不相等的实数根，的图象如图， 则，即，解得. 综上，实数的取值范围是    故答案为：． 精练高频考点 1．（多选）（24-25高三下·河北·期中）若函数在区间上不单调，则实数的取值可以是（    ） A．e B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用导数研究函数单调性，根据题意确定区间内导函数存在零点，从而利用零点存在性定理来求解即可. 【详解】由题设，，又在上不单调， 所以函数在上存在变号零点， 设，则，则在上单调递减， 所以，即，解得，则的取值范围是. 故选：BC. 2．（2025·江苏苏州·三模）若在上不单调，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得存在，使得，求解即可. 【详解】由，可得， 所以在上不单调，所以在上有解， 即在有解，即存在，使得， 又因为在上单调递减，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 高频考点五：函数单调性之导函数与原函数图象的单调性 典型例题 例题1．（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由的图象分析其正负情况，再由函数单调性与导数关系得到函数单调性情况即可得解. 【详解】由的图象可知，当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以只有选项A符合条件. 故选：A 例题2．（24-25高二下·广东·阶段练习）设函数的导函数为，若的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ）    A．和 B． C．和 D．和 【答案】A 【分析】根据导数正负与单调性关系，结合图像逐个判断. 【详解】根据的图象可知，当时，， 当时，， 所以在内单调递减，在内单调递增， 故BCD错误，A正确. 故选：A. 精练高频考点 1．（24-25高二下·甘肃定西·期中）如果函数的图象如图，那么导函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据原函数的图形可得导数的符号，从而可得正确的选项. 【详解】由的图象知，的单调性为：先增后减再增再减， 故的函数值先正，再负，再正，再负． 故选：A 2．（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导函数与原函数之间的关系分析选项即可. 【详解】由的图象可知，当时，函数单调递增，则，故排除C，D； 当时，先递增，再递减最后递增，所以所对应的导数值应该先大于0， 再小于0，最后大于0，排除B. 故选:A. 高频考点六：函数单调性之比较大小 典型例题 例题1．（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，构造函数，求导可得其单调性，即可判断大小关系. 【详解】设，则， 令，即，解得， 当时，，即函数单调递增， 当时，，即函数单调递减， 且， ，， 其中，则， 所以. 故选：C 例题2．（24-25高二下·山东青岛·阶段练习）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性并比较大小. 【详解】令，求导得，函数在上单调递增， 则，即，； 令函数，求导得，函数在上单调递减， 则，即， 所以. 故选：A 精练高频考点 1．（山东省九五高中协作体2024-2025学年高三下学期高考最后一卷数学试题）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用导数判断函数单调性， 确定a范围； 由对数函数的单调性判断的单调性，确定b的范围，利用指数函数的单调性判断单调性， 确定c范围， 最终确定a，b，c的大小. 【详解】单调递增， 因为 且 且， 故， 令， 因为， 在均单调递增， 则在单调递增， 因为 且， 故， 即 ； 令， 因为， 在R上单调递减， 故单调递减， 因为 且， 则 ， 因此. 故选：D. 2．（24-25高二下·广东中山·阶段练习）已知函数，若，则 ． 【答案】 【分析】借助导数，研究函数的单调性，利用指数函数和对数函数的性质得到三个数所在的范围，即可借助单调性比较出的大小，进而求出. 【详解】因为， 其， 所以恒为负，所以函数在上单调递减. 因为，所以， 因为，又因为，所以， 而，即，所以. 因为在上单调递减，，所以， 即， 因为函数在上单调递减， 所以， 即，所以. 故答案为： 高频考点七：函数单调性之构造函数解不等式 典型例题 例题1．（24-25高三下·黑龙江鸡西·阶段练习）已知定义在上的函数的导数为，且，，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题干条件可构造函数，对求导得在上单调递减，由已知条件可得，结合的单调性可解函数不等式. 【详解】由，联想到积的导数公式，故构造函数， 则，故在上单调递减， 又，所以不等式即的解集为. 故选：B. 例题2．（24-25高三下·广东·阶段练习）定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】设，得到，根据题意，求得的单调性，且，分类讨论，即可求解不等式的解集. 【详解】设，可得， 因为，所以在上单调递减， 因为，可得， 当时，；当时，， 故不等式的解集为． 故答案为：． 精练高频考点 1．（24-25高三下·辽宁·阶段练习）函数的定义域为，若，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，再利用函数的单调性求解即可 【详解】构造函数，满足， 所以在上是增函数，又因为， 所以的解集为． 故选:B． 2．（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】构造函数的导数满足，从而可得单调递增，再结合已知条件把原不等式转化为，从而即可求解. 【详解】令，因为，所以， 即在上单调递增， 又，所以， 因此不等式等价于， 所以，解得， 即不等式的解集为. 故答案为：. 高频考点八：含参问题讨论单调性（一次型） 典型例题 例题1．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间. 【详解】（1）当时，则，， 所以， 所以函数在点处的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， 又， 当时恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，由，解得，由，解得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上可得：当时，单调递增区间为，无单调递减区间； 当时单调递增区间为，单调递减区间为. 例题2．（24-25高二下·福建三明·期中） (1)，求曲线在点处的切线方程 (2)讨论的单调性 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）把代入，求出的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出的导数，再分类讨论求出函数的单调区间. 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 所以所求切线方程为：，即． （2）函数的定义域为R，求导得， 当时，恒成立，函数在R上单调递减； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在R上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 精练高频考点 1．（24-25高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数（，为自然对数的底数）. (1)若曲线在点处的切线平行于轴，求的值； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出，由导数的几何意义，解方程即可； （2）解方程，注意分类讨论，以确定的符号，从而确定的单调性， 【详解】（1）由,得． 又曲线在点处的切线平行于轴, 得,即,解得． （2）, ①当时,,为上的增函数, ②当时,令,得,则． ,；,． 所以在上单调递减,在上单调递增, 综上,当时, 为上的增函数, 当,在上单调递减,在上单调递增, 2．（24-25高二下·全国·随堂练习）已知函数，讨论的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】对进行分类讨论，结合导函数的正负与函数单调性的关系即可得解. 【详解】因为，， 所以， 若，则恒成立，此时在上单调递增； 若，令，得，易得时，，时，， 此时在上单调递增，在上单调递减， 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 高频考点九：含参问题讨论单调性（可因式分解二次型） 典型例题 例题1．（24-25高二下·浙江杭州·阶段练习）已知函数 (1)当时，求函数的极值. (2)求函数的单调区间. 【答案】(1)极大值为，极小值为； (2)答案见解析 【分析】（1）求出定义域，求导，令得或，并得到函数单调性，求出极值； （2）求定义域，求导，分，，和四种情况，求出函数单调区间. 【详解】（1）当时，的定义域为， 故， 令得或， 令得或，令得， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 故极大值为，极小值为； （2）的定义域为， ， 当时，令得，令得， 故单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，，令得或，令得， 故单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，，此时恒成立，故单调递增区间为； 当时，，令得或，令得， 故单调递增区间为，单调递减区间为； 综上，当时，单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，单调递增区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为. 例题2．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)当时，在R上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【分析】（1）首先求出函数的解析式，然后对函数求导，令导数为0求出极值点，并判断单调性，即可求出函数的极值. （2）首先对原函数求导，然后分别讨论当时函数的单调性. 【详解】（1）当时，，， ∴，                                      ∵在上恒成立，∴由得，                           ∵当时，；当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增，                                                         则的极小值为，无极大值． （2）由题意得，，                                                       当时，，，即恒成立，所以在R上单调递减；                                                           当时，令，则，得， 时，，时，， 故在上单调递减，在上单调递增．               综上，当时，在R上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 精练高频考点 1．（24-25高三下·广东·开学考试）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，先求确定切点，再求确定切线斜率，利用直线方程的点斜式可得切线方程. （2）求导，分，，讨论导函数的符号，可得函数的单调区间. 【详解】（1）当时，，则， 从而，， 故所求切线方程为，即（或）. （2）由题意可得. 当，即时，由，得或，由，得， 则在和上单调递增，在上单调递减； 当，即时，恒成立，则在上单调递增； 当，即时，由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 2．（2025·新疆·模拟预测）已知函数． (1)若函数的图象在处的切线与直线垂直，求实数a的值； (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导，根据垂直关系可得求解. （2）求导，讨论时，，得，当时，，当时， ，即可结合导函数的正负，确定函数的单调性， 【详解】（1）， 因为函数的图象在点处的切线与直线垂直， 所以，解得． （2）当时，令，得，当时，，在单调递减，时，，在单调递增； 当时，令，得，， 当时，，， 所以当，或时，，在，单调递减， 当时，，在单调递增； 当时，恒成立，所以在单调递减； 当时，，，所以当，或时，，在，单调递减， 当时，，在单调递增； 综上所述，时，在单调递减，在单调递增； 当时，在，单调递减，在单调递增； 当时，在单调递减； 当时，在，单调递减，在单调递增． 3．（2025·湖北武汉·三模）已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先求出导函数得出切线斜率，再应用点斜式求出切线方程； （2）分，，，四种情况讨论，结合导函数正负得出函数单调性. 【详解】（1），， ，， 切线方程为，即. （2），. ①当时，， 当时，单调递减；当时，单调递增. ②当时， 当时，，， 当时，，，时等号成立， 所以在上单调递增. ③当时，， 当时，单调递增，当时，单调递减， 当时，单调递增. ④当时，， 当时，单调递增，当时，单调递减， 当时，单调递增. 综上所述：①当时，在上单调递减，在上单调递增； ②当时，在上单调递增； ③当时，在上单调递增，在上单调递减； ④当时，在上单调递增，在上单调递减. 高频考点十：含参问题讨论单调性（不可因式分解二次型） 典型例题 例题1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1），， 对于方程， 当，即时，， 函数在上单调递减； 当，即时，方程有两个不相等的实数根， ，且， 当或时，；当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，. 例题2．（2025·山东烟台·三模）已知函数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1）函数的定义域为， ， 令，， ①当时，，， 所以函数在上单调递减． ②当时，，， 所以函数在，上单调递减， 在上单调递增． 精练高频考点 1．（24-25高二下·湖北黄石·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的解集； (2)当时，求的单调区间． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）利用导函数研究函数的单调性，结合，即可得解集； （2）对函数求导，构造并结合二次函数性质，分类讨论确定导函数的符号研究单调区间. 【详解】（1）当时，，， 所以在上单调递减，又， 则当时，；当时，， 故的解集为． （2），（） 设，（）的对称轴，， 当，有，则，在单调递减． 当，则有两个不等正根，， 所以、上，上， 在、上单调递减，在上单调递增； 当，则有一个正根，即上，上， 在上单调递增，在上单调递减． 综上： 当，的单调减区间为，无单调递增区间； 当，的单调减区间为、，单调递增区间为； 当，的单调递增区间为，单调减区间为． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数．讨论的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】把导函数转化为复合的一元二次方程，通过一元二次方程是有一个正根或两个正根或没有正根来讨论导函数的正负区间，从而来判断原函数的单调性； 【详解】，则， 令，，则， 因，故， 当，即时，，则在上单调递减； 当时，令，，，，，， 在和单调递减，在单调递增; 当时，，，则在上单调递增，在单调递减; 综上所述，当时，则在上单调递减， 当时，在和单调递减，在单调递增； 当时，在上单调递增，在单调递减. 3．（2025·重庆·三模）已知函数 ． (1)讨论函数 的单调性； 【答案】(1)答案见解析； 【详解】（1）， ①当，即时，恒成立，在上单调递增． ②当，即或时，令，解得， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增． 即在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 第四部分：典型易错题型 备注：已知函数在某区间上单调，求解时容易忽视“等号”而存在单调区间却容易误加了“等号” 1．（23-24高二上·山西长治·期末）若函数（且）在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】函数求导后，在区间上单调递增，转化为在区间上恒成立，然后利用函数单调性求最值即得. 【详解】由函数（且）在区间上单调递增， 得在区间上恒成立， 又在区间上恒正，只需满足在区间上恒成立即可， 令， 若，则，则一次函数在区间上单调递减，不可能恒正； 若，则，则一次函数在区间单调递增， 所以只需，即，解得， 故答案为：. 2．（2024高三·全国·专题练习）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由函数在区间递减可得，参变分离后利用导数讨论新函数的单调性后可得实数的取值范围. 【详解】函数，， 若函数在区间上递减，故在恒成立， 即在恒成立， 令，，， 在递增，而，故. 故答案为： 【点睛】本题考查导数在单调性中的应用，一般地，若可导函数在上为增函数，则在上恒成立，若在上为减函数，则在上恒成立.另外，含参数的一元二次不等式在给定范围上的恒成立问题，优先考虑参变分离. 备注：解不等式时容易忽视定义域 1．（24-25高二下·上海·期中）函数的单调减区间是 . 【答案】/ 【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可得解. 【详解】函数的定义域为， 又， 令，解得，所以的单调递减区间为. 故答案为： 2．（24-25高二下·天津武清·阶段练习）已知函数，则的单调减区间为 ． 【答案】 【分析】求导，根据导数为负解不等式即可求解. 【详解】的定义域为, ， 令，则或， 故的单调减区间为， 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$