1.1探勾股定理同步作业 2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册　

1.1探索勾股定理 一、单选题 1．一根30 m长的绳子，折成三段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长，比较长边短，则它是（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法判断 2．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（    ） A． B． C．3 D． 3．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（    ） A． B． C．   D． 4．如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，沿修了一条近路，已知米，米，则走这条近路可以少走（   ）米路 A．30 B．20 C．50 D．40 5．如图，由5个边长为1的小正方形组成的“L”形，圆O经过其顶点A、B、C，则圆O的半径为（    ） A．5 B． C． D． 6．一个门框的尺寸如图所示，下列长×宽型号（单位：m）的长方形薄木板能从门框内通过的是(   ) A． B． C． D． 7．校园内有两棵树，相距8米，一棵树高为13米，另一棵树高7米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞（    ） A．10米 B．11米 C．12米 D．13米 8．如图，把含30°的直角三角板ABC绕点B顺时针旋转至如图△EBD，使BC在BE上，延长AC交DE于F，若AF＝8，则AB的长为（　　） A．4 B．4 C．4 D．6 二、填空题 9．如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”，在花圃内走出一条不文明的“路”，其实他们仅仅少走了 步路，却踩伤了花草（假设2步为1米）． 10．中，分别是斜边上的中线和高，则 ． 11．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC与BD互相垂直且平分，BD＝6，AC＝8，则四边形周长为 ，面积为 ． 12．在中，，（1）如果，，则 ．（2）如果，，则 ． 三、解答题 13．如图，数学活动课上，老师带领全班学生测量旗杆高度，已知旗杆顶端垂下了一根绳子，绳子的末端点距离地面的高度为米，老师让小明拿起绳子末端向前走了米至点处，此时绳子末端距离地面的高度为米，求旗杆的高度． 14．在中，已知，求的长． 15．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．” 大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？ 16．如图，地面上放着一个小凳子（与地面平行），点A到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．在图①中，一木杆的一端与墙角O重合，另一端靠在点A处，． (1)求小凳子的高度； (2)在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处．若，木杆比凳宽长，求小凳子宽和木杆的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《探索勾股定理》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D B D D A C 1．B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、勾股定理等知识点，根据题意列出方程、求出三边是解题的关键． 设“其中一条边”的长为，再根据意义列一元一次方程，进而求得三边，最后根据勾股定理即可解答． 【详解】解：设“其中一条边”的长为，则有， 解得：． 故三边长分别为5，12，13， ∵， ∴它为直角三角形． 故选B． 2．A 【分析】本题考查了旋转的性质及勾股定理，根据勾股定理先求，再根据旋转得出，进而用勾股定理求值即可． 【详解】解：连接， ∵在中，， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转，使点C落在线段上的点E处， ∴， ∴， 在中， ． 故选：A． 3．D 【分析】对于选项的图形，可以用两种方法分别表示出大正方形的面积，然后由两种表示法的面积相等进行证明；对于选项的图形，可以用两种方法都表示中间正方形的面积，一种是直接表示正方形的面积，另一组是根据“中间正方形的面积大正方形的面积个全等的直角三角形的面积”进行表示，再由两种表示法的面积相等，结合整式的运算证明勾股定理；接下来按照同样的方法，表示出选项、中图形的面积，进而得出结论． 【详解】解：、四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积， ，整理得，可以证明勾股定理，不符合题意； 、四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积， ，整理得，可以证明勾股定理，不符合题意； 、三个直角三角形的面积和梯形的面积， ，整理得，可以证明勾股定理，不符合题意； 、不能证明勾股定理，故此选项符合题意， 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理计算与证明，熟练掌握勾股定理，根据图形的面积关系进行证明是解答本题的关键． 4．B 【分析】根据勾股定理求出AC即可解决问题． 【详解】解：在Rt△ABC中， ∵AB=40米，BC=30米， ∴AC==50（米）， 30+40-50=20（米）， ∴他们踩坏了50米的草坪，只为少走20米的路． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意正确应用勾股定理． 5．D 【分析】取AB的中点E，作，取圆心O，连接OB、OC，根据圆的性质，再结合勾股定理即可求解； 【详解】解：取AB的中点E，作，取圆心O，连接OB、OC， 则 ∵ 设 解得： ∴ 故选：D 【点睛】本题主要考查圆的性质、勾股定理，掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键． 6．D 【分析】解答此题先要弄清题意，只要求出门框对角线的长再与已知薄木板的宽相比较即可得出答案． 【详解】解：连接，则与、构成直角三角形， 根据勾股定理得． 只有薄木板能从门框内通过， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是要根据已知条件构造出直角三角形． 7．A 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图所示，AB，CD为树，且AB=13米，CD=7米，BD为两树距离8米， 过C作CE⊥AB于E， 则CE=BD=8米，AE=AB-CD=6米， 在直角三角形AEC中， AC==10米， 答：小鸟至少要飞10米． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是从实际问题中构建出数学模型，转化为数学知识，然后利用直角三角形的性质解题． 8．C 【分析】根据旋转的性质得到AB＝BE，∠A＝∠E＝30°，设BC＝x，根据直角三角形的性质得到AB＝DE＝2x，根据勾股定理得到AC＝，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】解：∵把含30°的直角三角板ABC绕点B顺时针旋转得到△EBD， ∴AB＝BE， ∴∠A＝∠E＝30°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠EDF＝90°， 设BC＝x， ∴AB＝BE＝2x， ∴CE＝x，AC＝， ∵∠ECF＝90°，∠E＝30°， ∴CF＝EF， ∵CE＝x， ∴CF＝， ∵AF＝8， ∴， ∴x＝ ∴AB＝2x＝， 故选：C 【点睛】本题考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 9． 【分析】根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意得，“路”的长度，即步， 是步，是步，共步， ∴少走了步， 故答案为：步． 【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用，掌握勾股定理是解题的关键． 10．1.4 【分析】由题意可画图，利用勾股定理求出AB的长，然后根据CD是AB边的中线，求出AD的长，再利用 求出CE的长，最后在中利用勾股定理求出AE的长，即可得出最终结果． 【详解】由题意可画图， 在中， CD是AB边的中线， CE是AB的高线， 在中， 故答案为：1.4． 【点睛】本题主要考查直角三角形和勾股定理的综合应用，有一定综合性，熟练掌握勾股定理解三角形是关键． 11． 20 24 【分析】首先由AC与BD互相垂直且平分，可证得四边形ABCD是菱形，又由BD＝6，AC＝8，即可求得答案． 【详解】解：∵AC与BD互相垂直且平分， ∴AD＝AB＝BC＝CD， ∴四边形ABCD是菱形， ∵BD＝6，AC＝8， ∴OA＝ AC＝4，OB＝ BD＝3， ∴ ， ∴四边形周长为：，面积为： ×6×8＝24． 故答案为：20，24． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理是解题的关键． 12． （1）； （2） 【分析】（1）先求出，再利用勾股定理，即可求出答案； （2）先求出，再利用勾股定理，即可求出答案； 【详解】解：在中，，则为斜边； （1）∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵，， ∴, ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方． 13．旗杆的高度为米 【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设绳子长为米，过点作于点，根据题意可得米，米，米，米，由勾股定理得，求解出后，即可求旗杆的高度． 【详解】解：设绳子长为米，如图，过点作于点， 根据题意得米，米，米，米， 在中，由勾股定理得， 解得：， ∴旗杆的高度为米． 答：旗杆的高度为米． 14． 【分析】先判定三角形是直角三角形，后用勾股定理计算即可． 【详解】∵∠A=∠B=45°， ∴∠C=90°，AC=BC=3， ∴AB=． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 15．门的高为9尺6寸，宽为2尺8寸 【分析】设门高x尺，则宽为尺，根据勾股定理列方程解答． 【详解】解：设门高x尺，则宽为尺， 根据题意，得． 整理，得． 解得（不合题意，舍去）． 【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，勾股定理，正确理解题意利用勾股定理列出方程是解题的关键． 16．(1)． (2) 【分析】（1）过A作垂直于墙面，垂足M，根据勾股定理解答即可； （2）延长交墙面于点N，根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：过A作垂直于墙面，垂足M， 根据题意可得，， 在中，， 即凳子的高度为． （2）解：延长交墙面于点N，可得， 设cm，则，，， 在中，，即， 解得，则． 【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理解答． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$