精品解析：天津市第五中学2024-2025学年高二下学期6月期末数学试题

高二数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分， 共150分，考试用时120分钟. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！ 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9题，每小题5分，共45分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义直接求解即得. 【详解】依题意集合，， ，所以. 故选：D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性及定义域，及条件间的推出关系判断充分、必要性. 【详解】由在上递增，而，则，此时，充分性成立， 若，则，假设时，无意义，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ，甲获胜的概率是 ，则甲不输的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据互斥事件概率加法公式计算即可. 【详解】由题意，“甲不输”包括“甲获胜”和“两人下成和棋”两种情况，两者互斥， 所以甲不输的概率. 故选：A. 4. 由表格数据得到的线性回归方程为，则表格中的m值为（ ） x 3 4 5 6 y 2.5 m 4 4.5 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】计算出样本的中心点坐标，将其代入可求得m的值. 【详解】，， 线性回归方程恒过， 所以，解得：. 故选：C. 5. 若 则a，b，c之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性判断，，的取值范围，即可比较大小. 【详解】因为在上单调递增，，所以， 因为在单调递增，，所以， 因为在上单调递减，，所以， 所以. 故选：D. 6. 要得到函数 的图象，只需将函数的图象上的所有点（ ） A 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度 C. 向左平移π/6个单位长度 D. 向右平移 个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】根据，利用平移变换求解. 【详解】因为，所以要得到函数的图象，只需由图象上所有点的横坐标向左平移个单位长度， 故选：A 7. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 奇函数 D. 为偶函数 【答案】D 【解析】 【分析】利用判断A；利用判断C；利用判断B；利用来判断D选项. 【详解】，则，即故A错误； ，故C错误； ，，则，故B错误； ，，则，故D正确. 故选择：D. 8. 已知函数 的部分图象如图所示，则下列判断正确的是 A. 函数的最小正周期为 B. 函数的值域为 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 【答案】D 【解析】 【详解】A，最小周期为故A不正确． B，由图像知值域为，故不正确． C，由图像知A=2，T=w=2. 故选项C不正确． D，函数的图象向左平移个单位得到，故正确． 故答案为;D . 点睛：这个题目考查的是正弦函数的图像的性质的综合应用，由图像确定解析式，进而研究函数的单调性和值域，定义域等问题．一般在确定辅助角时，经常会选择最值点或者零点，零点又分第一零点和第二零点，注意这个区分开，否则结果就会整个出错． 9. 设函数，若互不相等的实数，，，满足，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 不妨设，由，得，结合图象可知，，则，令，可知在上单调递减，故，则，故选B. 【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、指数与对数的运算以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 10. 某市有小学150所，中学75所，大学25所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，则应从中学中抽取______所学校. 【答案】 【解析】 【分析】根据分层抽样的方法计算抽样比，再计算应从中学中抽取多少所学校 【详解】学校共有，则抽样比为：， 所以中学中抽取. 故答案为：. 11. 已知函数，若为奇函数，则________ 【答案】 【解析】 【分析】因为为奇函数，而在时，有意义，利用建立方程，求出参数的值． 【详解】函数．若为奇函数， 则， 即，． 经检验时，奇函数， 故答案为： 【点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用，当时有意义，利用进行求解来得方便． 12. ，，，则的最小值是____. 【答案】 【解析】 【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【详解】∵x＞0，y＞0，且2x+y＝， ∴9+6．当且仅当时，取等号． ∴的最小值为9+6． 【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题． 13. 若，则_____________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据指对数的运算，即可求解. 【详解】由可得，故， 故， 故答案为: 14. 某中学组建了，，，，五个不同的社团，旨在培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须且只能参加一个社团．假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的，且结果互不影响．记事件为“甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团”，则_______；若甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团，则恰巧甲参加社团的概率为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】首先求出甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团的事件数，及恰巧甲参加社团的事件数，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】依题意甲、乙、丙三名学生选择社团的可能结果有个， 若甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团，则有种选择，所以； 甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团，则恰巧甲参加社团，则有种选择， 所以甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团，则恰巧甲参加社团的概率. 故答案为：； 15. 定义函数，，若至少有个不同的实数解，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值进行分类讨论，数形结合，结合函数的零点个数，可得出关于实数的等式或不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】由，可得， 设，则函数至少有一个零点， 则，解得或， 当时，设函数两个零点分别为、且， 由韦达定理可得，则必有，则必为函数的一个零点， 若使得函数至少有三个零点，则必有，即，解得，所以，， 且当时，， 作出函数的图象如下图中的实线所示： 由图可知，此时函数只有两个零点，不合乎题意； 若，设函数两个零点分别为、且， 由韦达定理可得，则必有， 从而可知，必为函数的一个零点，作出函数的图象如下图中的实线所示， 若使得函数至少有三个零点，则，所以，，解得，此时，. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题：本大题共5个小题，共75分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 在 中， 内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知 （1）求b的值； （2）求sinA； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，即可由余弦定理求解， （2）根据正弦定理即可求解， （3）根据正弦定理，结合诱导公式即可求解. 【小问1详解】 由以及正弦定理可得，即， 由于，所以， 故, 【小问2详解】 由,可得， 由正弦定理可得可得 【小问3详解】 由正弦定理可得可得 17. 在△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，已知:， （1）求a值； （2）求cosC值； （3）求 的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可求解， （2）根据余弦定理即可求解， （3）根据同角关系以及二倍角公式，最后用和差角公式即可展开代入求解. 【小问1详解】 由正弦定理和可得， 又，故， 【小问2详解】 由余弦定理可得， 【小问3详解】 由，且可得为锐角，所以, 则, 故 18. 在△ABC中， 内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 已知 （1）求cosB的值； （2）求a的值； （3）求△ABC面积的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式以及正弦定理互化即可求解， （2）根据余弦定理即可求解， （3）根据面积公式即可求解. 【小问1详解】 由可得, 由正弦定理可得，即,解得， 【小问2详解】 ， ，化简可得，即， 由于解得 【小问3详解】 由,可得, 19. 已知函数，，. （1）若曲线与曲线 相交，且在交点处有相同的切线，求a的值； （2）设函数，当h(x)存在最小值时，求其最小值的解析式； （3）对（2）中的， 证明: 当时，. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意切线的斜率相等，函数值相等列出方程计算即可； （2）根据题意写出，分类讨论、、即可； （3）由（2）知，对其求导，求其单调区间计算得出最大值，即可证明. 【小问1详解】 由已知=，=， 由已知得，解得：， 所以. 【小问2详解】 由条件知， 知=， （i）当时，令解得， ∴当时，，在上递减； 当时，，在上递增. ∴是在上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是的最小值点. ∴最小值； （ii）当时，，在上递增，无最小值． 故的最小值的解析式为. 【小问3详解】 由（2）知， 则，令解得. 当时，，∴在上递增； 当时，，∴在上递减. ∴在处取得最大值， ∵在上有且只有一个极值点，所以也是的最大值. ∴当时，总有 20. 已知函数 （1）若 ， 求函数在点处的切线方程； （2）若，且对于任意 恒成立，试确定实数k的取值范围； （3）设函数 求证： 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程， （2）根据函数的单调性，求解最值，即可解不等式求解， （3）根据基本不等式以及放缩法可证明，即可取，累乘得证. 【小问1详解】 当时，则， 故， 故在点处的切线方程为，即， 【小问2详解】 ，， 当时，在单调递增， 当时，在单调递减， 因此即可， 解得， 【小问3详解】 ， 则 ， 因此， 分别取， 则， ， ……, ， 因此 即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分， 共150分，考试用时120分钟. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！ 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9题，每小题5分，共45分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，， 则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋概率是 ，甲获胜的概率是 ，则甲不输的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 由表格数据得到的线性回归方程为，则表格中的m值为（ ） x 3 4 5 6 y 2.5 m 4 4.5 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 若 则a，b，c之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 要得到函数 的图象，只需将函数的图象上的所有点（ ） A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度 C. 向左平移π/6个单位长度 D. 向右平移 个单位长度 7. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 奇函数 D. 为偶函数 8. 已知函数 的部分图象如图所示，则下列判断正确的是 A. 函数的最小正周期为 B. 函数的值域为 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 9. 设函数，若互不相等的实数，，，满足，则的取值范围是 A B. C. D. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 10. 某市有小学150所，中学75所，大学25所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，则应从中学中抽取______所学校. 11. 已知函数，若为奇函数，则________ 12. ，，，则的最小值是____. 13. 若，则_____________ 14. 某中学组建了，，，，五个不同的社团，旨在培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须且只能参加一个社团．假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的，且结果互不影响．记事件为“甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团”，则_______；若甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团，则恰巧甲参加社团的概率为________． 15. 定义函数，，若至少有个不同的实数解，则实数的取值范围是_____． 三、解答题：本大题共5个小题，共75分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 在 中， 内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知 （1）求b值； （2）求sinA； （3）求的值. 17. 在△ABC内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，已知:， （1）求a的值； （2）求cosC的值； （3）求 的值. 18. 在△ABC中， 内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 已知 （1）求cosB的值； （2）求a的值； （3）求△ABC面积的值. 19. 已知函数，，. （1）若曲线与曲线 相交，且在交点处有相同的切线，求a的值； （2）设函数，当h(x)存在最小值时，求其最小值的解析式； （3）对（2）中的， 证明: 当时，. 20. 已知函数 （1）若 ， 求函数在点处的切线方程； （2）若，且对于任意 恒成立，试确定实数k的取值范围； （3）设函数 求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $