精品解析：湖北省仙桃市2024-2025学年高二下学期期末质量监测数学试卷

湖北省仙桃市2024-2025学年高二下学期期末质量监测数学试卷 本试卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用组合数公式可得出关于的等式，结合可求得的值. 【详解】，整理得，因为，解得. 故选：B. 2. 若随机变量满足（其中为常数），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的值，再利用方差公式可求得的值. 【详解】由题意可知，故. 故选：B. 3. 在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为，则每次射击击中目标的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题可利用独立重复试验的概率公式，通过“至少有一次击中目标”的对立事件“三次都未击中目标”来求解每次射击击中目标的概率. 【详解】设每次射击击中目标的概率为p， 因为至少有一次击中目标的概率为， 所以三次都未击中目标的概率为，即，解得. 故选：D 4. 甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，且都不站在两端，则不同的排列方式共有（ ） A. 48种 B. 72种 C. 96种 D. 144种 【答案】D 【解析】 【分析】应用捆绑法及特殊位置优先处理计算求解 【详解】甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排参加文艺汇演， 若甲和乙相邻，则有种排法，且甲和乙都不站在两端丙、丁、戊、己4名同学选2人在两端有种排法， 所以不同的排列方式有种排法. 故选：D. 5. 从装有4个白球，2个红球的盒子中逐个不放回地摸取小球.若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分，按照规则从盒子中任意抽取2个球，所得分数的期望为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据取出小球的所有情况写出得分的所有可能值，根据超几何公式求得各个取值对应的概率，进而得到其分布列，求出期望. 【详解】设得分为，根据题意可以取， .则，，， 则分布列为： 4 3 2 所以得分期望为. 故选：C. 6. 已知函数在定义域内存在单调递减区间，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为存在单调递减区间，所以在上有解，分离参数得，利用二次函数求最值得到的取值范围. 【详解】的定义域为，，令，得， 因为在内存在单调递减区间，所以在上有解，所以， 设，则的图象是开口向下的抛物线，所以， 所以，的取值范围是， 故选：C. 7. 从、、、、中按从小到大的顺序取三个不同的数组成数列，则数列是等差数列的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设取出的个不同的数分别为、、，结合等差数列的性质分析可知故、同为奇数或同为偶数，与确定后，随之而定，利用古典概型的概率公式求解可得答案. 【详解】设取出的个不同的数分别为、、，不同的取法共有种， 若、、构成等差数列，则有. 故、同为奇数或同为偶数，且与确定后，随之而定. 从而所求概率为. 故选：C. 8. 已知随机变量均服从两点分布，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两点分布分别求得的概率，再由求出，由条件概率公式计算. 【详解】因为随机变量均服从两点分布，所以， 因为， 所以， 由条件概率公式， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 两个变量x，y的相关系数为，则|r|越大，与之间的线性相关性越弱 B. 在回归分析中，为0.99的模型比为0.98的模型拟合的效果更好 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据线性相关系数的概念判断A；根据决定系数的概念判断B；正态分布的对称性判断C、D. 【详解】|r|越接近于1，与之间的线性相关性越强，|r|越接近于0，与之间的线性相关性越弱，A错误； 越大模型拟合效果越好，B正确； 由正态分布的对称性知若，则，C正确； 若，则，D错误. 故选：BC 10. 设，则（ ） A. B. C. 中最大的是 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，可得，可得出，令，利用二项展开式通项可判断A选项；利用赋值法可判断B选项；利用二项式系数的增减性可判断C选项；利用赋值法可得出，可判断D选项. 【详解】令，可得，代入题干等式得. 令. 对于A选项，展开式通项为， 所以，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，由A选项可知，， 当为奇数时，，且， 当为偶数时，，且， 结合二项式系数的增减性可知，中最大的是和，C错； 对于D选项，因为， 故，D对. 故选：ABD. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，曲线在处的切线方程为 B. 当时，有极值点，且. C. 对任意，函数都存在最小值 D. 若恒成立，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，由导数的几何意义即可求得切线方程；B选项利用导数的单调性判断函数 单调性，从而得到极值点，进而求得；C选项与B选项类似，证明存在使得在上单调递减，在上单调递增，从而存在最小值；D选项，分离参数求得的范围. 【详解】A选项，当时，，则，从而， 所以在处的切线方程为即，A错误； B选项，当时，，定义域，且， 设，则，所以在上单调递增， 又因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，即，B正确； C选项，定义域，， 设，则，所以即在上单调递增， 当且时，，此时， 当时，，此时， 所以必存在唯一零点，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在处取得最小值，C正确； D选项， 由C选项知，一定存在最小值，得， 则满足，， 要使得恒成立，则即恒成立， 当时，，恒成立， 当时，分离参数可得恒成立，则， 设，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知函数的导函数为，且满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据求导法则求出，再令即可. 【详解】由题意可得，，则， 得. 故答案为： 13. 甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，乙的卡片上分别标有数字2，4，6.两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的得1分，数字小的得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用），则三轮比赛后，甲总得分的数学期望为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】在不考虑出牌顺序的前提下，将所有出牌情况列出，再列出分布列求期望即可. 【详解】设甲总得分为，则的可能取值为， 在不考虑出牌顺序的前提下，甲、乙两人出牌共有种， 第一行为甲出牌，其余为乙出牌，如下表， 甲得分 1 3 5 0分 2 4 6 1分 2 6 4 1分 4 2 6 1分 4 6 2 2分 6 2 4 1分 6 4 2 则， 则. 故答案为： 14. 方程在上有且仅有一个实数根，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，其中，由题意可知函数在上有且仅有一个零点，利用导数分析该函数的单调性，求出其最小值，根据可求得实数的值. 【详解】由可得， 令，其中， 则， 因为，则，令，其中，则， 故函数在上为增函数， 因为，，则， 由零点存在定理可知，存在使得， 即，所以，即，， 当时，，即，故函数在上单调递减， 当时，，即，故函数在上单调递增， 因为函数在上有且只有一个零点， 故，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在的展开式中，第、、项的二项式系数依次成等差数列. （1）求； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数以及等差数列的定义可得出关于的方程，结合且可解得的值； （2）利用二项式系数的增减性可知二项式系数最大的项为第项或第项，再结合二项展开式通项可求得结果； （3）利用二项展开式通项可知，展开式中的有理项为项，再结合插空法与古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； 【小问1详解】 由题意得，，即， 因为且，整理得，解得. 【小问2详解】 二项展开式共项，二项式系数最大的项为第项或第项， 二项式系数最大的项为，. 【小问3详解】 展开式共有项，展开式的通项公式为， 当为整数，即时为有理项，即有理项共项， 由插空法得有理项不相邻的概率为. 16. 已知一批产品是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的，.已知三人生产产品的次品率分别为. （1）现从这批产品中按等比例分层抽样抽出10件产品，再从这10件产品中不放回地任取两件进行检测，记事件“第一次取出的产品是乙生产的”，“第二次抽出的产品是甲生产的产品”，分别求； （2）现从这批产品中任取一件产品，已知它是次品，求这件产品是由丙生产的概率. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式及全概率公式计算求解； （2）应用全概率公式及贝叶斯公式计算求解. 【小问1详解】 抽出的10件产品中，甲、乙、丙三名工人分别生产了3，4和3件， 事件“第一次取出的产品是乙生产的”，“第二次抽出的产品是甲生产的产品”， 所以； 【小问2详解】 分别记事件A、B、C表示抽取的一个零件为甲、乙、丙生产的，记事件：抽取的一个零件为次品， 由题意可得，， 由全概率公式可得， 所以， 即任取一个零件，已知它是次品，这件产品是由丙生产的概率为. 17. 某学校高一年级学生某次考试成绩进行统计，从全体高一学生中抽出名学生的数学成绩和物理成绩，数据经过处理后，得到一些统计数据和数据关系：，，，其中、分别表示学生的数学成绩和物理成绩，其中.通过计算得到与的相关系数. （1）求与的线性回归方程； （2）已知同学甲的此次数学成绩为分，根据回归方程估计其物理成绩是否会超过80分？ 参考公式：，；相关系数. 【答案】（1） （2）同学甲物理成绩不会超过分. 【解析】 【分析】（1）求出、的值，结合题干中的数据求出、的值，即可得出回归直线的方程； （2）将代入回归直线方程，即可得出结论. 【小问1详解】 由题中数据可得，，， 由得， ， 所以， 所以线性回归方程为. 【小问2详解】 当时，，即同学甲物理成绩不会超过分. 18. 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据： 性别 锻炼 不经常 经常 女生 40 60 男生 20 80 （1）依据的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； （2）为了提高学生体育锻炼的积极性，该中学设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动.在该活动的某次排球训练课上，甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，甲传给乙和丙的概率分别为和，乙传给甲和丙的概率分别为和，丙传给甲和乙的概率分别为和.求第次传球后球在乙手中的概率； （3）记第次传球时，乙接到球的次数为，则服从两点分布，且，设前次传球后，乙接到球的总次数为，且总成立，求实数的最小值. 附： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）写出零假设，相关数据代入公式求出，判断与临界值的大小得出结论； （2）设次传球后球在乙手中的概率为，根据全概率公式写出的递推公式，利用构造法求的通项公式； （3）根据两点分布的期望及期望的性质写出，然后利用等比数列的求和公式化简，分析得出恒成立，由随奇数的增大而减小知. 【小问1详解】 零假设：学生性别与体育锻炼的经常性无关，则 ， 故依据的独立性检验，可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； 【小问2详解】 设次传球后球在乙手中的概率为， 则第次传球后球不在乙手中的概率为， 所以， 所以，其中， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 故， 故第次传球后球在乙手中的概率为； 【小问3详解】 由（2）知， 故 ， 所以， 又总成立，设，只需要， 当最大时，必定为奇数，而随奇数的增大而减小， 故当时，最大值， 所以，故实数的最小值为. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，设正项数列满足：. （i）证明：； （ii）记数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，上单调递减. （2）（i）当时，，由得， 由（1）知，在上单调递增，上单调递减.所以， 即，又，， ，，， 下面证明：，即，， 只需证明， 设， 则， 所以在上单调递增，所以， 又，所以， 即，所以. 综上，； （ii）由（i）知， 当，又， 当时，， 又， 即. 所以，设，则， ， 即， ， 故.（当时，不等式右边等号成立） 【解析】 【分析】（1）求导，分和两种情况，得到函数的单调性； （2）（i）在（1）基础上，得到，，，，再构造函数，得到； （ii），又，，，， 又，即，，错位相减法求和，证明出结论. 【小问1详解】 由知，， 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，由得；由得， 所以在上单调递增，上单调递减， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，上单调递减. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省仙桃市2024-2025学年高二下学期期末质量监测数学试卷 本试卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 若随机变量满足（其中为常数），则（ ） A. B. C. D. 3. 在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为，则每次射击击中目标的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，且都不站在两端，则不同的排列方式共有（ ） A. 48种 B. 72种 C. 96种 D. 144种 5. 从装有4个白球，2个红球的盒子中逐个不放回地摸取小球.若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分，按照规则从盒子中任意抽取2个球，所得分数的期望为（ ） A. B. 2 C. D. 6. 已知函数在定义域内存在单调递减区间，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 从、、、、中按从小到大的顺序取三个不同的数组成数列，则数列是等差数列的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知随机变量均服从两点分布，若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 两个变量x，y的相关系数为，则|r|越大，与之间的线性相关性越弱 B. 在回归分析中，为0.99的模型比为0.98的模型拟合的效果更好 C. 若，则 D. 若，则 10. 设，则（ ） A. B. C. 中最大的是 D. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，曲线在处的切线方程为 B. 当时，有极值点，且. C. 对任意，函数都存在最小值 D. 若恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知函数的导函数为，且满足，则__________. 13. 甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，乙的卡片上分别标有数字2，4，6.两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的得1分，数字小的得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用），则三轮比赛后，甲总得分的数学期望为__________. 14. 方程在上有且仅有一个实数根，则实数__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在的展开式中，第、、项的二项式系数依次成等差数列. （1）求； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率. 16. 已知一批产品是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的，.已知三人生产产品的次品率分别为. （1）现从这批产品中按等比例分层抽样抽出10件产品，再从这10件产品中不放回地任取两件进行检测，记事件“第一次取出的产品是乙生产的”，“第二次抽出的产品是甲生产的产品”，分别求； （2）现从这批产品中任取一件产品，已知它是次品，求这件产品是由丙生产的概率. 17. 某学校高一年级学生某次考试成绩进行统计，从全体高一学生中抽出名学生的数学成绩和物理成绩，数据经过处理后，得到一些统计数据和数据关系：，，，其中、分别表示学生的数学成绩和物理成绩，其中.通过计算得到与的相关系数. （1）求与的线性回归方程； （2）已知同学甲的此次数学成绩为分，根据回归方程估计其物理成绩是否会超过80分？ 参考公式：，；相关系数. 18. 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据： 性别 锻炼 不经常 经常 女生 40 60 男生 20 80 （1）依据的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； （2）为了提高学生体育锻炼的积极性，该中学设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动.在该活动的某次排球训练课上，甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，甲传给乙和丙的概率分别为和，乙传给甲和丙的概率分别为和，丙传给甲和乙的概率分别为和.求第次传球后球在乙手中的概率； （3）记第次传球时，乙接到球的次数为，则服从两点分布，且，设前次传球后，乙接到球的总次数为，且总成立，求实数的最小值. 附： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，设正项数列满足：. （i）证明：； （ii）记数列的前项和为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $