精品解析：陕西省西安市爱知初级中学2024—2025学年下学期期中八年级数学试题

2024-2025学年度第二学期期中试题 八年级数学学科 一、选择题（本题共8道小题，每题3分，共24分） 1. 下列是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的概念，关键是掌握中心对称图形的定义．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断． 【详解】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：B． 2. 已知实数，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质：①不等式两边同时加上（减去）同一个数（式）不等号方向不变；②不等式两边同时乘以（除以）同一个正数不等号方向不变；③不等式两边同时乘以（除以）同一个负数不等号方向改变，逐项验证即可得到结论． 【详解】解：A、根据不等式两边同时减去同一个数不等号方向不变可知，若，则，故该选项错误，不符合题意； B、根据不等式两边同时加上同一个数不等号方向不变可知，若，则，故该选项错误，不符合题意； C、根据不等式两边同时除以同一个正数不等号方向不变可知，若，则，故该选项错误，不符合题意； D、根据不等式两边同时乘以同一个负数不等号方向改变可知，若，则，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解决问题的关键． 3. 如图，在中，，点D为的中点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形内角和是解答本题的关键 ． 先由等腰三角形的性质得到，再结合题意和三角形的内角和定理得到． 【详解】解：∵， ∴, ∵D是边的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4. 在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移变换，注意左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．直接利用点的平移变化规律求解即可． 【详解】解：∵点横坐标从到，说明是向右移动了，纵坐标从2到，说明是向下移动了， 故线段是由线段经过向右移动4个单位，向下移动5个单位得到的， ∵点B的对应点的坐标为， ∴点的坐标为，即． 故选：A． 5. 如图，在中，，平分交于点，，垂足为，的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到两边距离相等成为解题的关键． 过作，垂足为，由三角形面积公式可得，然后再根据角平分线的性质即可解答． 【详解】解：过作，垂足为， 的面积为， ，即， 解得：， 平分交于点，，， ． 故选：C． 6. 已知关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不等式的解，解题的关键是看懂数轴得到解集． 解不等式，结合数轴上的解列等式求解即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， ， 由数轴得，不等式的解集为：， ∴， 解得：， 故选：B 7. 如图，在中，，是边上的高线，D为边上一点，且，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理、等角对等边等知识．求出，得到，则，设，根据即可求出答案． 【详解】解：∵是高，，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 设，则， ∵ ∴ 解得 即 故选：C. 8. 如图，在中，，将线段绕着点C顺时针旋转得到线段，若的面积是8，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，证明是关键．过点作交于点E，过点作交于点F，证明，则，由的面积是8即可求出答案． 【详解】解：过点作交于点E，过点作交于点F， 则， ∵将线段绕着点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是8， ∴， 解得， 故选：C 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，直接提公因式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 10. 如图，在等边中，，，，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，先根据等边三角形的性质得，，再根据再直线平行，内错角相等得，进而得，即可得． 【详解】解：∵在等边中，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 11. 如图，在中，平分，的中垂线交于点E，交于点F，连接．若，，则________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键．先根据角平分线的定义得到， ，再利用三角形的内角和定理求得，然后利用线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，进而可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴，则， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，直线与直线相交于点，与x轴相交于点，则关于x的不等式组的解集为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，会根据两条直线的交点求不等式的解集是解答的关键．结合图象，找到直线在x轴上方且在直线下方部分的点的横坐标的取值范围即可求解． 【详解】解：由图可知， 当时，； 当时，， ∴关于x的不等式组的解集为， 故答案为：． 13. 如图，将绕点逆时针方向旋转一定角度得到，使点落在上，与相交于点．若，，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，由旋转可得，，，进而得，，即得，再根据三角形的外角性质解答即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：由旋转可得，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐标为，点E为边的中点，点P、Q为边上两个动点，且，当四边形的周长最小时，点P的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，轴对称-最短路线问题的应用，一次函数的应用，勾股定理，过点作于点H，截取，作点关于x轴的对称点，连接，根据矩形的性质结合点D的坐标为，可得，由点E为边的中点，求出，易证四边形是矩形，四边形是平行四边形，求出为定值，结合为定值，当四边形的周长最小时，则最小，即最小，当三点共线时，最小，求出直线的解析式为，即可解答． 【详解】解：过点作于点H，截取，作点关于x轴的对称点，连接， 则， ∵长方形中，点D的坐标为， ∴， ∵点与点关于x轴的对称， ∴，， ∵点E为边的中点， ∴， ∵长方形中，， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵为定值，为定值， ∴当四边形的周长最小时，则最小，即最小， 当三点共线时，最小， ∵，， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴ 故答案为：． 三、解答题（共12小题，共78分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用绝对值和二次根式的性质、负整数指数幂分别化简，再合并即可，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 16. 解下列不等式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法步骤是解答的关键． （1）根据去括号、移项、合并同类项、化系数为1的求解步骤解答即可； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1的求解步骤解答即可． 【小问1详解】 解：去括号，得 移项、合并同类项，得 化系数为1，得； 【小问2详解】 解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 化系数为1，得． 17. 把下列各式因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，解题关键是熟练掌握提公因式法和公式法因式分解． （1）先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求得每个不等式的解集，再确定它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 19. 如图，已知∠EBC，点A为边BE上一点，请用尺规作图在BC边上作一点D，使得∠ADC＝2∠ABC（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】如图，点D即为所求． 【解析】 【分析】作线段AB的垂直平分线交BC于点D，点D即为所求． 【详解】解：分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于两点M、N，连接MN，交BC于点D， 由垂直平分线的性质可得DA=DB ∴∠DAB=∠ABC ∴∠ADC=∠DAB＋∠ABC =2∠ABC 【点睛】此题考查的是作垂直平分线、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和三角形外角的性质，掌握利用尺规作图作垂直平分线、垂直平分线的性质、等边对等角和三角形外角的性质是解决此题的关键． 20. 如下图，已知的顶点坐标分别为，，．将先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，可以得到． （1）在图中画出； （2）求的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】（）根据平移找到点的位置，进而画出即可； （）利用割补法计算即可求解； 本题考查了平移作图，三角形的面积，掌握平移的性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：． 21. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴和均为直角三角形． 在和中， ， ∴． ∴， ∴． 【解析】 【分析】利用证明，得到，即可证明． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 22. 有甲、乙两种客车，甲种客车的载客量为45人/辆，乙种客车的载客量为30人/辆，学校组织600名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共18辆，一次将全部师生送到指定地点，则至少需要租用甲种客车多少辆？ 【答案】至少需要租用甲种客车4辆 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．设租用甲种客车辆，则租用乙种客车辆，根据18辆客车的载客量不少于600人，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论． 【详解】解：设租用甲种客车辆，则租用乙种客车辆， 根据题意，可得， 解得， 即至少需要租用甲种客车4辆． 23. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接． （1）若，则_______． （2）若，，求的周长． 【答案】（1）； （2）24． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形性质，线段垂直平分线性质，三角形内角和等知识点，掌握这些是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质得线段相等，再根据“等边对等角”和“三角形内角和”即可求得答案； （2）根据垂直平分线性质得线段相等，再等量代换可得为即可． 【小问1详解】 解：，， ，， 的垂直平分线交于点D， ， ， ． 故答案为：； 【小问2详解】 ，， ， 的垂直平分线交于点D， ， 又， 的周长为：． 24. 随着《哪吒2》票房大卖，周边玩偶也开始热销起来．某商店老板准备购进A款和B款两种玩偶进行销售，已知两种玩偶的进价和售价如下表所示： A B 进价（元） 10 15 售价（元） 12 20 （1）商店老板打算购进A、B两款玩偶共100件，其中A款玩偶x件， A、B两款玩偶全部出售完共获利润为W元，请写出W与x之间的函数关系式． （2）若A款玩偶数量不少于B款玩偶数量的一半，请你根据计算说明，当A、B两款玩偶各购进多少件时，商店老板获得的总利润最高，最高是多少元？ 【答案】（1） （2）商场购进A款玩偶件，购进B款玩偶件，商店老板获得的总利润最高，最高是元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，主要利用了一次函数的增减性，理清题目数量关系并列式是解题的关键． （1）由购进A款玩偶x件，则购进B款玩偶件，然后根据题意列出函数解析式即可； （2）根据A款玩偶数量不少于B款玩偶数量的一半，列出一元一次不等式，再求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值． 【小问1详解】 解：商店购进A款玩偶x件，则购进B款玩偶件， 由题意可得：， ∴W与x之间的函数关系式：； 【小问2详解】 解：根据题意：， 解得：， ∵为非负整数， ∴（为整数）， ∵， ∴,随的增大而减小， 当时，取得最大值为（元）， 此时（件）． 答：商场购进A款玩偶件，购进B款玩偶件，商店老板获得的总利润最高，最高是元． 25. 如图，在中，，，，垂足为D，点E在上，且，连接并延长，交于点F，连接． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）可证明是等腰直角三角形，得到，再证明得到，则由三角形内角和定理证明，即； （2）可证明垂直平分，得到，由勾股定理得，则，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴垂直平分， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴． 26. 在学习《图形的平移与旋转》这一课时，李老师给我们展示了一道这样的数学题目： （1）【初步感知】 如图1，在中，，，点D为斜边上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，则________． （2）【探究应用】 如图2，在中，，，点D为内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求的度数． （3）【拓展提升】 如图3，若是边长为6的等边三角形，点D是线段上的一个动点（不与B、C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接、，点D在运动过程中，的周长是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值以及此时的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）周长最小值为，面积为 【解析】 【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质求得，再根据旋转性质得到，，进而证明，利用全等三角形的对应角相等可得答案； （2）先根据等腰三角形的性质得到，再根据旋转性质得到，，进而证明得到，然后利用三角形的内角和定理求解即可； （3）同（1）（2）方法证明得到，再证明是等边三角形，则，，可推导出的周长为，当时，最短，此时的周长最小，利用等边三角形的性质和勾股定理求得即可求得周长的最小值； 过E作延长线于H，利用含30度角的直角三角形的性质求得即可求得面积． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：的周长存在最小值． ∵是边长为6的等边三角形， ∴，， ∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形，则，， ∵，，， ∴， ∴， ∴的周长为， 当时，最短，此时的周长最小， 如图， 在中，，， ∴， ∴的周长的最小值为， 过E作延长线于H，则，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理以及三角形的内角和定理等知识，熟练掌握旋转性质和全等三角形的性质是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期中试题 八年级数学学科 一、选择题（本题共8道小题，每题3分，共24分） 1. 下列是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知实数，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，点D为的中点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，平分交于点，，垂足为，的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 如图，在中，，是边上的高线，D为边上一点，且，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将线段绕着点C顺时针旋转得到线段，若的面积是8，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 分解因式：________． 10. 如图，在等边中，，，，则________． 11. 如图，在中，平分，的中垂线交于点E，交于点F，连接．若，，则________． 12. 如图，直线与直线相交于点，与x轴相交于点，则关于x的不等式组的解集为________． 13. 如图，将绕点逆时针方向旋转一定角度得到，使点落在上，与相交于点．若，，则的度数为________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐标为，点E为边的中点，点P、Q为边上两个动点，且，当四边形的周长最小时，点P的坐标为________． 三、解答题（共12小题，共78分） 15. 计算： 16. 解下列不等式： （1） （2） 17. 把下列各式因式分解： （1） （2） 18. 解不等式组： 19. 如图，已知∠EBC，点A为边BE上一点，请用尺规作图在BC边上作一点D，使得∠ADC＝2∠ABC（保留作图痕迹，不写作法）． 20. 如下图，已知的顶点坐标分别为，，．将先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，可以得到． （1）在图中画出； （2）求的面积． 21. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，．求证：． 22. 有甲、乙两种客车，甲种客车的载客量为45人/辆，乙种客车的载客量为30人/辆，学校组织600名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共18辆，一次将全部师生送到指定地点，则至少需要租用甲种客车多少辆？ 23. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接． （1）若，则_______． （2）若，，求的周长． 24. 随着《哪吒2》票房大卖，周边玩偶也开始热销起来．某商店老板准备购进A款和B款两种玩偶进行销售，已知两种玩偶的进价和售价如下表所示： A B 进价（元） 10 15 售价（元） 12 20 （1）商店老板打算购进A、B两款玩偶共100件，其中A款玩偶x件， A、B两款玩偶全部出售完共获利润为W元，请写出W与x之间的函数关系式． （2）若A款玩偶数量不少于B款玩偶数量的一半，请你根据计算说明，当A、B两款玩偶各购进多少件时，商店老板获得的总利润最高，最高是多少元？ 25. 如图，在中，，，，垂足为D，点E在上，且，连接并延长，交于点F，连接． （1）求证：． （2）若，求的长． 26. 在学习《图形的平移与旋转》这一课时，李老师给我们展示了一道这样的数学题目： （1）【初步感知】 如图1，在中，，，点D为斜边上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，则________． （2）【探究应用】 如图2，在中，，，点D为内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求的度数． （3）【拓展提升】 如图3，若是边长为6的等边三角形，点D是线段上的一个动点（不与B、C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接、，点D在运动过程中，的周长是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值以及此时的面积；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $