精品解析：重庆市2024-2025学年高一下学期7月期末数学试题

2025年春高一（下）期末联合检测试卷 数学 数学测试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算化简，然后利用虚部的概念求解即可. 【详解】由题意，所以的虚部为. 故选：A. 2. 对于数据，下列说法错误的是（ ） A. 平均数为5 B. 众数为6 C. 极差为11 D. 中位数为6 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数的概念判断A；根据众数的概念判断B；根据极差的概念判断C；根据中位数的概念判断D. 【详解】对于数据，众数为6，极差为，平均数为， 中位数为，所以选项ABC正确，选项D错误. 故选：D 3. 已知圆台上下底面面积分别为，母线长为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆台高，再利用体积公式求解. 【详解】由题意上下底面的半径为1，3，则圆台的高， 所以圆台的体积 故选：B 4. 利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法，用此方法可以快速进行大量重复试验，进而用频率估计概率.袋子中有四张卡片，分别写有“山”“城”“重”“庆”四个字，有放回地每次从中任取一张卡片，共取三次.将三次抽取后“重”“庆”两个字都取到记为事件，用随机模拟的方法估计事件发生的概率.由计算机产生1，2，3，4四个随机数，分别代表“山”“城”“重”“庆”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：121､112､433､142､234､111､243､132､422､134､131､441､412､233､143､231､332､341､211､221，由此可以估计事件发生的概率为（ ） A. 0.5 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2 【答案】C 【解析】 【分析】利用古典概率公式求解即可. 【详解】相当于做了20次重复试验，其中事件发生了6次， 对应的数据组为，用频率估计事件的概率为. 故选：C. 5. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以，， 所以在上的投影向量为. 故选：A 6. 如图，在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线所成角定义结合边长计算求解. 【详解】连接，则有， 所以异面直线与所成角等于与所成的角， 是等腰直角三角形，，所以， 所以异面直线与所成角为. 故选：B. 7. 某俱乐部举行羽毛球友谊赛，该比赛采用的是三局两胜制.现有甲乙两人参加比赛，根据统计，在两人以往的1000场比赛中，甲获胜600场，乙获胜400场.以频率估计概率，各局比赛互不影响，则这次比赛甲获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合互斥事件概率加法公式和独立事件乘法公式求解即可. 【详解】由题意，甲获胜的概率为， 三局两胜制中，甲获胜的情况是胜胜，胜输胜，输胜胜， 所以这次比赛甲获胜的概率为. 故选：D. 8. 在中，内角的对边分别为，已知，且，若，则的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角可得，再结合条件可得，最后由面积公式得解. 【详解】由及正弦定理， 可得， 因，所以， 又，则有， 若，则有，则， 所以. 选选：B. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 在复平面内对应的点可能是 B. C. 的实部与虚部之积小于等于3 D. 复数，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，可知在复平面对应的点为以原点为中心，半径为的圆上，从而判断AB；利用基本不等式判断C；由复数减法的几何意义判断D. 【详解】，则在复平面对应的点为以原点为中心，半径为的圆上， 复平面的点，其模为正确； 错误； 令，则有，所以实部与虚部之积，C正确； ，则，D正确. 故选：ACD. 10. 若是空间中三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间中线线关系、线面关系和面面关系逐项判断即可. 【详解】是空间中三条不同的直线，是两个不同的平面， 对于A，若，则由线面平行的性质得，故A正确； 对于B，若，则与平行或相交或，故B错误； 对于C，若，则，又，则，故C正确； 对于D，若，则与相交或平行，故D错误. 故选：AC. 11. 某公司举行周年庆活动，在活动中设置了一个游戏环节，每人随机抛掷两个编号分别为1和2的质地均匀的骰子.记事件：至多一个骰子的点数为奇数；事件：两个骰子的点数之和为奇数；事件：两个骰子的点数均为偶数；事件号骰子的点数大于等于3.则（ ） A. 与对立 B. 与互斥 C. 与相互独立 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用互斥事件、对立事件、独立事件的定义逐项判断ABC即可，利用和事件概率公式判断D. 【详解】事件发生的概率， 事件发生则两枚骰子点数为一奇一偶，则， 显然错误； 事件发生的概率为，，B正确； 事件发生的概率， 则同时发生时， 1号骰子点数大于等于3且2号点数偶数或者1号点数大于等于3为偶数， 2号点数为奇数，则， 所以C正确； 同时发生， 1号点数大于等于3且为偶数，2号也为偶数， 所以，D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积的运算律求得，然后利用数量积的运算律求解模即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 13. 已知直角中，两直角边，以所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的概念可知几何体为圆锥，利用圆锥的表面积公式求解即可. 【详解】由题意形成的几何体为圆锥，该圆锥的底面半径为4，母线长为， 所以其表面积为 故答案为： 14. 学校为了解学生身高（单位：）情况，采用分层随机抽样的方法从2000名学生（男女生人数之比为）中抽取了一个容量为50的样本.其中，男生平均身高为175，方差为84，女生平均身高为160，方差为79，用样本估计总体，则该学校学生身高的均值为__________，方差为__________. 【答案】 ①. 169##169cm ②. 136##136cm2 【解析】 【分析】根据题意，求出样本的平均数和方差，结合用样本估计总体的思路，即可得答案． 【详解】设男生样本记为，平均数为，方差为， 女生样本记为，平均数为，方差为， 总体样本数据的平均数记为，方差记为， 所以学生身高的均值为， 总体样本的方差为 故答案为：169cm；136cm2 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知某学校高一学生共有600人，为了解高一学生课外阅读时间，从中随机抽取了100位同学进行调查，将他们上周课外阅读的时间（单位：小时）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值并估计样本数据的第65百分位数； （2）已知样本中阅读时间大于等于4小时的学生中，男､女学生各占一半，阅读时间小于4小时的学生中男生占，试估计该学校高一年级男生的人数. 【答案】（1），6.4 （2）人 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中的矩形面积之和为1列式求出，先确定累计频率为的所在小组，然后利用百分位数的概念求解即可. （2）先求出样本中阅读时间大于或等于4小时的男生人数，再求样本中阅读时间小于4小时的学生中男生有5人；即样本中男生共有40人，利用比例即可求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，， 解得， 设样本数据的第65百分位数为， 因为样本数据在的频率为， 样本数据在的频率为， 则，所以， 解得，故估计样本数据的第65百分位数为6.4. 【小问2详解】 上周阅读时间在的频数为， 故样本中阅读时间大于或等于4小时的男生有35人； 上周阅读时间在的频数为， 即样本中阅读时间小于4小时的学生中男生有5人； 所以样本中男生共有40人，高一年级男生总人数为人. 16. 如图所示，在四棱锥中，已知平面，底面为平行四边形，且，. （1）证明：； （2）若，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，再根据线面垂直的判定定理得平面，则可得证； （2）作于点，通过证明平面平面，可得平面，所以为直线与平面所成角，求解即可. 小问1详解】 在中，. 由正弦定理，得. 因为，所以，从而为矩形. 因为平面，所以. 又因为，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 【小问2详解】 作于点. 由（1）知平面，且，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 因为，平面平面， 所以平面， 故为在平面上的射影，为直线与平面所成角. 又平面，所以， 在直角中，，有， 所以. 故直线与平面所成角的正弦值为. 17. 如图，政府规划一个四边形区域为市民打造休闲场所，拟在区域挖一个人工湖，区域建设公园，对角线修建步道，其中. （1）若公园区域是一个占地面积为平方千米的钝角三角形，需要修建多长的步道？ （2）在规划要求下，保证公园占地面积最大的同时，人工湖的最大面积是多少？并求此时的长度. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式和同角基本关系式可得，再利用余弦定理可解； （2）根据正弦函数的值域和三角形面积公式可得，设，由正弦定理和面积公式以及三角恒等变换得，从而求最值. 【小问1详解】 ， 根据三角形的面积公式可得， 解得， 由是钝角，得， 根据余弦定理可得， ， 所以需要修建的步道. 小问2详解】 由题意，， 当且仅当时取到等号，此时， 设， 在中，根据正弦定理可得， 根据三角形的面积公式可得 ， 由，得，当， 即时，， 此时. 18. 某商场为了回馈顾客，决定举办一场抽奖活动，凡是在商场内消费金额每达到200元的即可抽奖一次，即消费满200但不足400元的可抽奖一次，消费满400但不足600元的可抽奖两次，依次类推.抽奖规则为：在一个盒子中共有6个除颜色外形状大小均相同的小球，其中红球1个，黄球2个，蓝球2个，绿球1个，抽奖者每次从盒中随机摸出一个小球后并放回原盒子中，若抽到红球即可获得10元红包，抽到黄球即可获得20元红包，抽到蓝球即可获得30元红包，抽到绿球即可获得40元红包.每次抽奖结果相互独立. （1）已知小明共消费500元，求小明抽到的红包均不相同的概率； （2）已知小方共消费750元，求小方抽到两种不同颜色的小球，且获得红包总金额不低于80元的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件、互斥事件求出2次抽到同色球的概率，再利用对立事件求出2次抽到不同色的概率即可. （2）把所求概率的事件分拆成3个互斥事件的和，再利用相互独立事件求出概率，进而利用互斥事件的加法公式得解. 【小问1详解】 根据规则，小明可以抽2次球， 2次均抽到红球或2次均抽到绿球的概率均为， 2次均抽到黄球或2次均抽到蓝球的概率均为， 因此2次抽到相同颜色球的概率为， 从而2次抽到不同颜色球的概率为， 所以小明抽到的红包均不相同的概率为. 【小问2详解】 根据规则，小方可以抽3次球，要使得“获得红包总金额不低于80元”，有以下情形： ①抽到“两个绿球和一个其他颜色球”，则概率； ②抽到“两个蓝球和一个绿球（或一个黄球）”，则概率； ③抽到“两个黄球和一个绿球”，则概率， 所以小方抽到两种不同颜色的小球，且获得红包总金额不低于80元的概率. 19. 已知是所在平面上的一点，且. （1）证明：； （2）若，记， （i）当时，求； （ii）比较与的大小，并说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据数量积为0得出即可证明； （2）（i）根据已知化简得出，计算求解；（ii）作差计算化简再结合基本不等式计算求解. 【小问1详解】 由，得，所以① 由，得，所以② 由①，②得：，从而， 即，故. 【小问2详解】 作于，由， 得，， ， ，故， ，当且时，. ， 所以， 所以， 所以 所以. （i）当时，. 所以. （ii）. 由题意，， 所以. ， 因为，所以， 从而， 当且仅当时，取“”. 所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春高一（下）期末联合检测试卷 数学 数学测试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2. 对于数据，下列说法错误的是（ ） A. 平均数为5 B. 众数为6 C. 极差为11 D. 中位数为6 3. 已知圆台上下底面面积分别为，母线长为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法，用此方法可以快速进行大量重复试验，进而用频率估计概率.袋子中有四张卡片，分别写有“山”“城”“重”“庆”四个字，有放回地每次从中任取一张卡片，共取三次.将三次抽取后“重”“庆”两个字都取到记为事件，用随机模拟的方法估计事件发生的概率.由计算机产生1，2，3，4四个随机数，分别代表“山”“城”“重”“庆”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：121､112､433､142､234､111､243､132､422､134､131､441､412､233､143､231､332､341､211､221，由此可以估计事件发生的概率为（ ） A. 0.5 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2 5. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角为（ ） A. B. C. D. 7. 某俱乐部举行羽毛球友谊赛，该比赛采用的是三局两胜制.现有甲乙两人参加比赛，根据统计，在两人以往的1000场比赛中，甲获胜600场，乙获胜400场.以频率估计概率，各局比赛互不影响，则这次比赛甲获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角的对边分别为，已知，且，若，则的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 在复平面内对应点可能是 B C. 的实部与虚部之积小于等于3 D. 复数，则的最大值为 10. 若是空间中三条不同直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 11. 某公司举行周年庆活动，在活动中设置了一个游戏环节，每人随机抛掷两个编号分别为1和2的质地均匀的骰子.记事件：至多一个骰子的点数为奇数；事件：两个骰子的点数之和为奇数；事件：两个骰子的点数均为偶数；事件号骰子的点数大于等于3.则（ ） A. 与对立 B. 与互斥 C. 与相互独立 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 13. 已知直角中，两直角边，以所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成面围成一个几何体，则该几何体的表面积为______. 14. 学校为了解学生身高（单位：）情况，采用分层随机抽样的方法从2000名学生（男女生人数之比为）中抽取了一个容量为50的样本.其中，男生平均身高为175，方差为84，女生平均身高为160，方差为79，用样本估计总体，则该学校学生身高的均值为__________，方差为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知某学校高一学生共有600人，为了解高一学生的课外阅读时间，从中随机抽取了100位同学进行调查，将他们上周课外阅读的时间（单位：小时）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值并估计样本数据的第65百分位数； （2）已知样本中阅读时间大于等于4小时的学生中，男､女学生各占一半，阅读时间小于4小时的学生中男生占，试估计该学校高一年级男生的人数. 16. 如图所示，在四棱锥中，已知平面，底面为平行四边形，且，. （1）证明：； （2）若，求与平面所成角的正弦值. 17. 如图，政府规划一个四边形区域为市民打造休闲场所，拟在区域挖一个人工湖，区域建设公园，对角线修建步道，其中. （1）若公园区域是一个占地面积为平方千米的钝角三角形，需要修建多长的步道？ （2）在规划要求下，保证公园占地面积最大的同时，人工湖的最大面积是多少？并求此时的长度. 18. 某商场为了回馈顾客，决定举办一场抽奖活动，凡是在商场内消费金额每达到200元的即可抽奖一次，即消费满200但不足400元的可抽奖一次，消费满400但不足600元的可抽奖两次，依次类推.抽奖规则为：在一个盒子中共有6个除颜色外形状大小均相同的小球，其中红球1个，黄球2个，蓝球2个，绿球1个，抽奖者每次从盒中随机摸出一个小球后并放回原盒子中，若抽到红球即可获得10元红包，抽到黄球即可获得20元红包，抽到蓝球即可获得30元红包，抽到绿球即可获得40元红包.每次抽奖结果相互独立. （1）已知小明共消费500元，求小明抽到的红包均不相同的概率； （2）已知小方共消费750元，求小方抽到两种不同颜色的小球，且获得红包总金额不低于80元的概率. 19. 已知是所在平面上的一点，且. （1）证明：； （2）若，记， （i）当时，求； （ii）比较与的大小，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$