精品解析：湖南省长沙市长沙市一中教育集团联考2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

2025年上学期期末监测试卷 八年级数学 命题人：张煜 审题人：陈匆 注意事项： 1、答题前，请考生先将自己的姓名、考号填写清楚，并认真核对答题卡的姓名、考号、考室和座位号； 2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6、本试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. B. π C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：A．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．π是无限不循环小数是无理数，故本选项符合题意； C．是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； D．0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键． 2. 一次函数与y轴的交点是（　　　） A. （0，2） B. （0，） C. （2，0） D. （，0） 【答案】A 【解析】 【分析】令，即可求解． 【详解】解：当时，， ∴一次函数与y轴的交点是（0，2）． 故选：A 【点睛】本题主要考查了一次函数的与坐标轴的交点，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 3. 某班8名同学垫排球的测试成绩（单位：个）分别为：，，，，，，，，则这组数据的众数是（　　） A. 25 B. 26 C. 27 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，它反映了一组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的．利用众数的定义求解，找出数据中出现次数最多的数据即可． 【详解】解：在所给数据中，数据出现了三次，次数最多， 故众数为． 故选：B． 4. 若是一元二次方程的根，则的值为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】将代入即可求出的值． 【详解】解：将代入得， ，得 故选：B 【点睛】此题考查一元二次方程的解，将方程的解代入原方程求参数是解题关键． 5. 如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为（　　） A. 30米 B. 32米 C. 36米 D. 48米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，关键是由三角形中位线定理得到． 【详解】解：∵D、E分别是、中点， ∴是的中位线， ∴， ∵米， ∴米， ∴A、B两点间的距离为32米． 故选：B 6. 甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较高且状态稳定的同学参加数学比赛，那么应选（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 A. 甲 B. C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平均数和方差的意义，熟练掌握平均数和方差的意义是解题的关键；方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 此题有两个要求：①平均成绩较高，②状态稳定．于是应选平均数较大、方差较小的运动员参赛． 【详解】解：由于甲的平均数较大且方差较小， 故选：A 7. 关于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象不经过第二象限 B. 图象与轴的交点是 C. 将一次函数的图象向下平移个单位长度后，所得图象的函数表达式为 D. 点和在一次函数的图象上，若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象与性质逐项判断即可解求解，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，该选项错误，不合题意； 、把代入得，， ∴， ∴一次函数图象与轴的交点坐标为，该选项错误，不合题意； 、将一次函数图象向下平移个单位长度后，所得图象的函数表达式为，该选项正确，符合题意； 、∵， ∴随的增大而减小， 若，则，该选项错误，不合题意； 故选：． 8. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的高、宽和对角线的长各是多少？若设门的对角线长为x尺，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的运用， 根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键． 【详解】解：设门的对角线长为x尺，则可列方程为： ， 故选：B． 9. 如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，则的长为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的定义，勾股定理的运用，理解并掌握平行四边形的性质，勾股勾股定理的计算是解题的关键． 根据平行四边形的性质，角平分线的定义得到,，，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，, ∴, ∴, ∵的平分线和的平分线交于上一点， ∴, ∴, ∴， ∴, ∴, ∴, ∵ ∴， 故选：A． 10. 小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中，小明离家的距离与时间之间的对应关系．根据图象，下列说法错误的是（ ） A. 小明吃早餐用了 B. 小明读报用了 C. 食堂到图书馆的距离为 D. 小明从图书馆回家的速度为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是函数图象．熟练掌握函数图象的性质，图象上的数据，函数的类型，结合题意正确计算，是解题的关键． 根据函数图象逐一判断即可． 【详解】解：A、小明吃早餐用了，A正确； B、小明读报用了，B正确； C、食堂到图书馆的距离为，C正确； D、小明从图书馆回家的速度为，D错误； 故选D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据被开方数为非负数，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：； 故答案为： 12. 某中学将晨练及体育课外活动、期中成绩、期末成绩按照的比例确定学期体育综合成绩．若小云这三项的成绩（百分制）依次是95，90，80，则小云这学期的体育综合成绩是______． 【答案】87分 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的意义和计算方法，理解加权平均数的意义，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的前提． 按照的比例算出本学期的体育成绩即可． 【详解】解：小云这学期的体育综合成绩是（分）， 故答案为：87分． 13. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的计算是关键． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，即可求解． 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，， ∴的取值范围为， 故答案为： ． 14. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与（、为常数，且）的图象交点的横坐标为3，则关于、的二元一次方程组的解为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数交点解二元一次方程组，根据题意，把代入得到交点坐标，由此即可求解． 【详解】解：由条件可知， ∴交点坐标为， ∴关于x、y的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 15. 如图，四边形菱形，，，于点H，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．掌握菱形的性质是解本题的关键． 先根据菱形的性质得，再利用勾股定理计算出，然后根据菱形的面积公式得到，再解关于的方程即可． 【详解】解：四边形是菱形， ， 在中，， ， ， ， ． 故答案为． 16. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的运用．由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：， 每一个直角三角形的面积为：， ∴大正方形的面积为：， ∴小正方形的面积为：， ． 故答案为：3． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟悉掌握因式分解法是解题的关键． （1）提取公因式求解即可． （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ∴或； 【小问2详解】 ∴或 18. 如图，在平面直角坐标系中，一直线与轴相交于点，与轴相交于点，与正比例函数的图象交于点． （1）求直线的解析式． （2）直接写出的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，能够利用数形结合解不等式是解题关键； （1）根据点B、P的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）观察两直线的上下位置关系，即可求出不等式的解集． 【小问1详解】 解：将、代入， ，解得：， 直线的解析式为． 【小问2详解】 观察函数图象，可知：当时，直线在直线上方， 的解集为． 19. 如图，在四边形中，，，对角线，相交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长 【答案】（1）证明见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题主要查了平行四边形的判定和性质，勾股定理： （1）根据，可得，再由，可得，从而得到，即可求证； （2）先，再通过勾股定理可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ， ， ． 20. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，_________，________； （2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 【答案】（1）15；88.5；98 （2）A款，因A款中位数88.5大于B款的87，所以A款好 （3）69人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键； （1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义可得c的值； （2）通过比较A，B款的评分统计表的数据解答即可； （3）由A、B两款的不满意的人数之和即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：“满意”所占百分比为， ∴“比较满意”所占百分比为， ∴； ∵A款的评分非常满意有个，“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； ∴把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89， ∴， 在B款的评分数据中，96出现的次数最多， ∴； 故答案为： ； 【小问2详解】 解：A款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款的评分数据的平均数都是88，但A款评分数据的中位数比B款高，所以A款聊天机器人更受用户喜爱． 【小问3详解】 解：B款中“不满意”的有3人，所占百分比为， 估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有（人）． 21. 已知： 四边形中， ，， ， ，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）5 （2）36 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练准确掌握两个定理的实际应用． （1）利用勾股定理即可求出的长； （2）利用勾股定理的逆定理判定出是直角三角形，再分别求出两个直角三角形的面积，面积和即为四边形的面积． 【小问1详解】 解：在中， ，， ， 根据勾股定理得，． ∴的长为5． 【小问2详解】 解：，， ， 是直角三角形，且， ． ∴四边形的面积为36． 22. 如图所示，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明过程见解答 （2）20 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，菱形的判定和性质，平行四边形的判定，矩形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． （1）根据线段的垂直平分线得出，根据矩形的性质得出，求出，根据全等三角形的判定定理得出，求出，得出四边形为平行四边形，再得出答案即可； （2）根据菱形的性质得出，设，根据勾股定理求出，再求出面积即可． 【小问1详解】 证明：∵是的垂直平分线， ， ∵四边形是矩形， ， ， 在和中 ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形， ， 设， ∵四边形是矩形， ， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 即， ， ∴菱形的面积． 23. 为迎接湖南师大附中梅溪湖中学办学十周年庆，某校友为母校设计了一款纪念版文化衫，原计划每件的售价为元，经过校友意见征集后，连续两次降价，最终每件的售价为元，并且每次降价的百分率相同． （1）求该文化衫每次降价的百分率； （2）若该文化衫每件的成本价为元，两次降价后，至少要售出多少件，总利润才能不低于元？ 【答案】（1）该文化衫每次降价的百分率为； （2）至少要售出件，总利润才能不低于元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设该文化衫每次降价的百分率为，根据题意得到，解得，（舍去），即可得到答案； （2）设至少要售出件，总利润才能不低于元，得到，解得，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设该文化衫每次降价的百分率为， 根据题意得， 解得，（舍去）， 答：该文化衫每次降价的百分率为； 【小问2详解】 解：设至少要售出件，总利润才能不低于元， 根据题意得， 解得， 答：至少要售出件，总利润才能不低于元． 24. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）根据上述定义，是“________倍根方程”； （2）若关于的方程是“三倍根方程”，求的值； （3）直线：与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． 【答案】（1）四 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与几何综合，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可； （2）由题意可设这个方程的两个根分别为，则由根与系数的关系可得，据此求解即可； （3）利用待定系数法求出直线解析式为；再根据题意可得，则可得点P在直线上，求出直线与直线的交点坐标，直线与直线的交点坐标，根据点在的内部（不包含边界），结合函数 图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵， ∴是“四倍根方程”； 【小问2详解】 解：∵关于的方程是“三倍根方程”， ∴可设这个方程的两个根分别为， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设直线解析式为， 把代入到中得， ∴， ∴直线解析式为； ∵一个五倍根方程的两个根为和， ∴， ∴点P的坐标为， ∴点P在直线上， 联立，解得， 联立，解得， ∵点在的内部（不包含边界）， ∴． 25. 如图1，已知正方形中，是边上的一点（不与，重合）．延长至点使，连接，得到，的延长线交于点． （1）①求证：； ②求的度数． （2）如图2，连接，． ①求证：； ②求的值 【答案】（1）①见解析；② （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（）①根据正方形的性质及全等三角形的判定证明即可；②由全等三角形的性质结合三角形内角和定理即可求解； （）过点作于点，作于点，由正方形性质可得，，证明四边形是矩形，然后再证明，通过性质可得四边形是正方形，所以，然后代入即可求证； 由可知，同理可得，，然后代入即可求解； 【小问1详解】 ①证明：∵正方形，延长至点， ∴， ∵， ∴； ②由①得， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，过点作于点，作延长线于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴； ， 理由：由可知， 过点C作于点，作延长线于点， ∵四边形正方形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴； 两式相加得，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上学期期末监测试卷 八年级数学 命题人：张煜 审题人：陈匆 注意事项： 1、答题前，请考生先将自己的姓名、考号填写清楚，并认真核对答题卡的姓名、考号、考室和座位号； 2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6、本试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. B. π C. D. 0 2. 一次函数与y轴的交点是（　　　） A. （0，2） B. （0，） C. （2，0） D. （，0） 3. 某班8名同学垫排球测试成绩（单位：个）分别为：，，，，，，，，则这组数据的众数是（　　） A. 25 B. 26 C. 27 D. 30 4. 若是一元二次方程的根，则的值为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为（　　） A. 30米 B. 32米 C. 36米 D. 48米 6. 甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较高且状态稳定的同学参加数学比赛，那么应选（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 A. 甲 B. C. 丙 D. 丁 7. 关于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象不经过第二象限 B. 图象与轴的交点是 C. 将一次函数的图象向下平移个单位长度后，所得图象的函数表达式为 D. 点和在一次函数的图象上，若，则 8. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的高、宽和对角线的长各是多少？若设门的对角线长为x尺，则可列方程为（ ）． A B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，则的长为（ ） A B. 5 C. D. 10. 小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中，小明离家的距离与时间之间的对应关系．根据图象，下列说法错误的是（ ） A. 小明吃早餐用了 B. 小明读报用了 C. 食堂到图书馆的距离为 D. 小明从图书馆回家的速度为 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 12. 某中学将晨练及体育课外活动、期中成绩、期末成绩按照的比例确定学期体育综合成绩．若小云这三项的成绩（百分制）依次是95，90，80，则小云这学期的体育综合成绩是______． 13. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与（、为常数，且）的图象交点的横坐标为3，则关于、的二元一次方程组的解为________ 15. 如图，四边形是菱形，，，于点H，则_________． 16. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为_____． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一直线与轴相交于点，与轴相交于点，与正比例函数的图象交于点． （1）求直线的解析式． （2）直接写出的解集． 19. 如图，在四边形中，，，对角线，相交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长 20. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取对B款聊天机器人评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，_________，________； （2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 21. 已知： 四边形中， ，， ， ，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 22. 如图所示，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 23. 为迎接湖南师大附中梅溪湖中学办学十周年庆，某校友为母校设计了一款纪念版文化衫，原计划每件的售价为元，经过校友意见征集后，连续两次降价，最终每件的售价为元，并且每次降价的百分率相同． （1）求该文化衫每次降价的百分率； （2）若该文化衫每件成本价为元，两次降价后，至少要售出多少件，总利润才能不低于元？ 24. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）根据上述定义，是“________倍根方程”； （2）若关于的方程是“三倍根方程”，求的值； （3）直线：与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． 25. 如图1，已知正方形中，是边上的一点（不与，重合）．延长至点使，连接，得到，的延长线交于点． （1）①求证：； ②求的度数． （2）如图2，连接，． ①求证：； ②求的值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$